ФИПИ · ЕГЭ · Базовый уровень · Задание 12

Задание 12 (часть 9). Планиметрия

137 заданий открытого банка ФИПИ: впишите ответ, при затруднении — подсказка; после ответа — разбор по шагам.

Решено

Правильно

Точность

Что проверяет номер

Задание 12 — планиметрия в один-два шага: найти угол, сторону, площадь или синус, косинус, тангенс угла. Почти всегда хватает одного свойства фигуры и одной формулы.

Ответ — целое число или конечная десятичная дробь; градусы пишут без знака $^{\circ}$ . Задание оценивается в 1 балл.

УглыСмежные и вертикальные углы, биссектриса, параллельные прямые, часы.

ТреугольникСумма углов, внешний угол, равнобедренный треугольник, медиана, средняя линия, площади.

Прямоугольный треугольникТеорема Пифагора,

sin

cos

tg

, угол

3 0^{\circ}

, высота к гипотенузе.

ЧетырёхугольникиПараллелограмм, ромб, прямоугольник, трапеция: стороны, диагонали, углы, площади.

ОкружностьЦентральный и вписанный углы, дуги, диаметр, касательные, вписанный четырёхугольник.

Правильные многоугольникиУглы между вершинами правильного

n

-угольника.

Углы и параллельные прямые

Смежные углы в сумме дают $18 0^{\circ}$ , вертикальные равны. Биссектриса делит угол пополам.

Секущая пересекает параллельные прямые

a

b

Накрест лежащие углы равны, соответственные равны, односторонние в сумме $18 0^{\circ}$ .

Точка $M$ лежит на прямой $A B$ , луч $M D$ — биссектриса угла $CMB$ , $∠ CM A = 7 0^{\circ}$ . Найдите $∠ D MB$ .

$∠ CMB = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$ (смежные).
$∠ D MB = 11 0^{\circ} : 2 = 5 5^{\circ}$ . Ответ: 55.

Часы: между соседними делениями-часами $36 0^{\circ} : 12 = 3 0^{\circ}$ ; в 18:00 стрелки образуют $18 0^{\circ}$ . Колесо: если угол между соседними спицами $α$ , то спиц $36 0^{\circ} : α$ .

Углы треугольника

Внешний угол смежен с внутренним углом

C

∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ} ∠_{внеш C} = ∠ A + ∠ B

внешний угол равен сумме двух внутренних, не смежных с ним

В треугольнике $A BC$ стороны $A C = BC$ , внешний угол при вершине $B$ равен $14 0^{\circ}$ . Найдите $∠ C$ .

$∠ B = 18 0^{\circ} - 14 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$ , и $∠ A = ∠ B = 4 0^{\circ}$ — углы при основании $A B$ .
$∠ C = 18 0^{\circ} - 8 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$ . Ответ: 100.

$A L$ — биссектриса треугольника $A BC$ , $∠ A L C = 10 0^{\circ}$ , $∠ A BC = 4 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ .

$∠ A L C$ — внешний угол треугольника $A B L$ : $∠ B A L = 10 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ .
$∠ A = 2 \cdot 6 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ , $∠ C = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 2 0^{\circ}$ . Ответ: 20.

Четырёхугольник с $A B = BC$ и $A D = C D$ («дельтоид») симметричен относительно $B D$ , поэтому $∠ A = ∠ C = \frac{36 0 ^{\circ} - ∠ B - ∠ D}{2}$ .

Прямоугольный треугольник

a = BC

— катет, противолежащий углу

A

;

b = A C

— прилежащий;

c = A B

— гипотенуза

sin A = \frac{a}{c}, cos A = \frac{b}{c}, tg A = \frac{a}{b}, a^{2} + b^{2} = c^{2}

синус — противолежащий катет к гипотенузе, косинус — прилежащий к гипотенузе, тангенс — противолежащий к прилежащему

Угол $3 0^{\circ}$ Катет против угла

3 0^{\circ}

равен половине гипотенузы. Внешний угол

15 0^{\circ}

при вершине

A

значит

∠ A = 3 0^{\circ}

Высота к гипотенузе

C H = \frac{ab}{c}

;

B H = BC \cdot sin A

(в треугольнике

BC H

угол

BC H

равен

∠ A

Площадь

S = \frac{1}{2} ab

— половина произведения катетов.

Тройки Пифагора

3, 4, 5

;

5, 12, 13

;

8, 15, 17

;

7, 24, 25

;

20, 21, 29

;

9, 40, 41

и кратные им.

В треугольнике $A BC$ угол $C$ прямой, $A B = 20$ , $cos A = 0, 6$ . Найдите площадь и высоту $C H$ .

$A C = A B \cdot cos A = 12$ , $BC = 2 0^{2} - 1 2^{2} = 16$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 96$ , $C H = \frac{12 \cdot 16}{20} = 9, 6$ . Ответ: 96 и 9,6.

Тангенс — отношение катетов, а не катета к гипотенузе. Перед подстановкой найдите на рисунке, какой катет лежит напротив нужного угла.

Равнобедренный треугольник, медианы, площади

B K

— медиана, высота и биссектриса;

MN

— средняя линия

В равнобедренном треугольнике медиана к основанию является высотой и биссектрисой. Поэтому $A K = \frac{A C}{2}$ , $tg A = \frac{B K}{A K}$ , $S = \frac{1}{2} A C \cdot B K$ . Средняя линия параллельна третьей стороне и равна её половине: $MN = \frac{A C}{2}$ .

$A B = BC = 13$ , $A C = 10$ . Найдите $B K$ , площадь и $sin A$ .

$A K = 5$ , $B K = 1 3^{2} - 5^{2} = 12$ .
$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 = 60$ , $sin A = \frac{B K}{A B} = \frac{12}{13}$ .

Подробнее: ещё приёмы из банка

— Угол при вершине $12 0^{\circ}$ : углы при основании по $3 0^{\circ}$ , высота к основанию равна половине боковой стороны.

— Медиана совпала с биссектрисой (или высотой) — треугольник равнобедренный.

— $BM$ — медиана, $B H$ — высота и $BC = BM$ : треугольник $BMC$ равнобедренный, $H$ — середина $MC$ , поэтому $A H = \frac{3}{4} A C$ .

— Медиана делит площадь пополам. Треугольники с общим углом: $\frac{S _{MB K}}{S _{A BC}} = \frac{BM}{B A} \cdot \frac{B K}{BC}$ .

— Произвольный треугольник: теорема синусов $\frac{a}{sin A} = \frac{b}{sin B}$ , теорема косинусов $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab cos C$ . Пример: $BC = 10$ , $sin A = 0, 8$ , внешний угол при $C$ равен $15 0^{\circ}$ , тогда $∠ C = 3 0^{\circ}$ и $A B = \frac{10 \cdot s i n 3 0 ^{\circ}}{0 , 8} = 6, 25$ .

Параллелограмм, ромб, прямоугольник

Параллелограмм: противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме $18 0^{\circ}$ , диагонали делятся точкой пересечения пополам. Если диагонали перпендикулярны или являются биссектрисами углов — это ромб; если диагонали равны — прямоугольник.

Ромб: половинки диагоналей и сторона образуют прямоугольный треугольник

S = a h_{a} = ab sin α S_{ромба} = \frac{d _{1} d _{2}}{2}

a, b

— стороны,

h_{a}

— высота к стороне

a

α

— угол между сторонами,

d_{1}, d_{2}

— диагонали

Сторона ромба $10$ , одна диагональ $12$ . Найдите площадь.

Половина второй диагонали: $1 0^{2} - 6^{2} = 8$ , диагональ $16$ .
$S = \frac{12 \cdot 16}{2} = 96$ . Ответ: 96.

Подробнее: ещё приёмы из банка

— Высоты параллелограмма обратно пропорциональны сторонам: $a \cdot h_{a} = b \cdot h_{b}$ .

— Сумма двух углов ромба $24 0^{\circ}$ — это два тупых угла по $12 0^{\circ}$ ; острый угол $6 0^{\circ}$ , и меньшая диагональ равна стороне.

— Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник: $B K = A B$ .

— В прямоугольнике $tg ∠ C A D = \frac{C D}{A D}$ , площадь $A B \cdot A D$ .

— $M$ — середина $BC$ , отрезки $A M$ и $B D$ пересекаются в $K$ : $B K = \frac{1}{3} B D$ .

Трапеция

Высоты отсекают по краям два равных прямоугольных треугольника

m = \frac{a + b}{2}, S = \frac{a + b}{2} \cdot h

a, b

— основания,

m

— средняя линия,

h

— высота

Проекция боковой стороны на большее основание равна $\frac{a - b}{2}$ , а проекция диагонали — $\frac{a + b}{2}$ .

Основания равнобедренной трапеции $7$ и $25$ , боковая сторона $15$ . Найдите диагональ.

Проекция боковой стороны: $\frac{25 - 7}{2} = 9$ , высота $1 5^{2} - 9^{2} = 12$ .
Проекция диагонали $\frac{25 + 7}{2} = 16$ , диагональ $1 2^{2} + 1 6^{2} = 20$ . Ответ: 20.

Подробнее: ещё приёмы из банка

— Боковая сторона $c$ образует с основанием угол $15 0^{\circ}$ (или $3 0^{\circ}$ ): $h = c \cdot sin 3 0^{\circ} = \frac{c}{2}$ .

— Треугольники $A BC$ и $A C D$ имеют общую высоту, поэтому $S_{A BC} = S \cdot \frac{BC}{A D + BC}$ . Пример: $A D = 5$ , $BC = 3$ , $S = 40$ дают $S_{A BC} = 15$ .

— В равнобедренной трапеции $∠ A = ∠ D = ∠ B D A + ∠ B D C$ , а $∠ A B D = 18 0^{\circ} - ∠ A - ∠ B D A$ .

— Прямоугольная трапеция: опустите высоту из вершины тупого угла — получится прямоугольник и прямоугольный треугольник.

Окружность и правильные многоугольники

Центральный угол равен дуге, вписанный — половине дуги

Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается, и половине центрального угла на той же дуге. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой. Вписанные углы на одну дугу равны.

Вписанный четырёхугольникПротивоположные углы в сумме

18 0^{\circ}

;

∠ A BC = ∠ A B D + ∠ D BC

, а

∠ D BC = ∠ D A C

КасательныеКасательная перпендикулярна радиусу. Окружность вписана в угол

C

∠ A OB = 18 0^{\circ} - ∠ C

ДугиДлина дуги пропорциональна её угловой мере. Угол между пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых дуг.

$A C$ и $B D$ — диаметры окружности с центром $O$ , $∠ A O D = 12 0^{\circ}$ . Найдите $∠ A CB$ .

$∠ A OB = 18 0^{\circ} - 12 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ (смежные).
$∠ A CB$ — вписанный на дугу $A B$ : $6 0^{\circ} : 2 = 3 0^{\circ}$ . Ответ: 30.

Подробнее: правильный многоугольник

Внутренний угол $\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$ . Угол с вершиной в вершине многоугольника, опирающийся на $k$ сторон, равен $k \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$ .

$A BC D EFG H I J$ — правильный десятиугольник. Найдите $∠ A CE$ .

Угол при вершине $C$ опирается на дугу $E A$ , не содержащую $C$ : стороны $EF, FG, G H, H I, I J, J A$ — их $6$ .
$6 \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{10} = 10 8^{\circ}$ . Ответ: 108.

Шпаргалка номера

Фигура	Главное
Углы	смежные $18 0^{\circ}$ ; вертикальные равны; при параллельных: накрест лежащие равны, односторонние $18 0^{\circ}$
Треугольник	сумма углов $18 0^{\circ}$ ; внешний $=$ сумма двух других; $S = \frac{1}{2} ah = \frac{1}{2} ab sin C$
Прямоугольный	$sin A = \frac{a}{c}$ , $cos A = \frac{b}{c}$ , $tg A = \frac{a}{b}$ ; $c^{2} = a^{2} + b^{2}$ ; против $3 0^{\circ}$ — половина гипотенузы; $h = \frac{ab}{c}$
Равнобедренный	медиана к основанию $=$ высота $=$ биссектриса
Средняя линия	треугольника $\frac{a}{2}$ ; трапеции $\frac{a + b}{2}$
Параллелограмм	$S = a h_{a} = ab sin α$ ; $a h_{a} = b h_{b}$
Ромб	диагонали $⊥$ и делятся пополам; $S = \frac{d _{1} d _{2}}{2} = a^{2} sin α$
Трапеция	$S = \frac{a + b}{2} h$ ; в равнобедренной проекция боковой $\frac{a - b}{2}$
Окружность	вписанный $= \frac{1}{2}$ дуги; на диаметр — $9 0^{\circ}$ ; во вписанном четырёхугольнике $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}$
Правильный многоугольник	угол $\frac{18 0 ^{\circ} ( n - 2 )}{n}$ ; угол на $k$ сторон $k \cdot \frac{18 0 ^{\circ}}{n}$

Задания открытого банка ФИПИ «Задание 12 (часть 9). Планиметрия» (базовый уровень). Ответ вписывается так же, как в бланк ЕГЭ: целое число или десятичная дробь через запятую, без единиц измерения.

Неофициальная копия. Условия заданий — из открытого банка заданий ФИПИ (fipi.ru); номер у каждого задания открывает его в банке ФИПИ. Ответы, подсказки, разборы и рисунки подготовлены reknow.ru. Нашли ошибку — нажмите «Сообщить об ошибке» у задания.

Серия: 0