Тема 03 · Геометрия, углублённый уровень · подтема 2 из 5

Сечение конуса через вершину

Тела вращения: сечения и развёртки. 100 заданий.

Решено

Правильно

Точность

Простыми словами

Цилиндр, конус и шар получаются вращением плоской фигуры вокруг оси: прямоугольник даёт цилиндр, прямоугольный треугольник — конус, полукруг — шар. Поэтому почти любую задачу про них решают на плоскости: в сечении, на развёртке или в «вращаемой» фигуре.

Цилиндр: $V = π r^{2} h$ , $S_{бок} = 2 π r h$ . Конус: $V = \frac{1}{3} π r^{2} h$ , $S_{бок} = π r l$ , $l^{2} = r^{2} + h^{2}$ . Здесь $r$ — радиус основания, $h$ — высота, $l$ — образующая.

Сечения цилиндра и конуса

Цилиндр, сечение параллельно оси — прямоугольник: одна сторона — высота $h$ , другая — хорда основания. Если плоскость удалена от оси на $d$ , половина хорды равна $r^{2} - d^{2} www.reknow.ru$ .

S = h \cdot 2 r^{2} - d^{2} www.reknow.ru

площадь сечения цилиндра, параллельного оси

$r = 5$ , $h = 28$ , $d = 4$ : хорда $2 25 - 16 www.reknow.ru = 6$ , $S = 6 \cdot 28 = 168$ .
Обратно: $h = 5$ , $S = 60$ , $d = 8$ : хорда $12$ , половина $6$ , $r = 36 + 64 www.reknow.ru = 10$ .

Конус, сечение через вершину — равнобедренный треугольник из двух образующих. Если хорда основания удалена от центра на $d$ , высота сечения $S H = h^{2} + d^{2} www.reknow.ru$ , а

S = \frac{1}{2} \cdot хорда \cdot S H = \frac{1}{2} l^{2} sin φ

φ

— угол между образующими в сечении

$r = 35$ , $h = 28$ , $d = 21$ : полухорда $1225 - 441 www.reknow.ru = 28$ , хорда $56$ ; $S H = 784 + 441 www.reknow.ru = 35$ ; $S = \frac{1}{2} \cdot 56 \cdot 35 = 980$ .

Если $r \geq h$ (угол при вершине осевого сечения не меньше $9 0^{\circ}$ ), максимум $\frac{l ^{2}}{2}$ (когда $φ = 9 0^{\circ}$ ). Если $r < h$ — максимум у осевого сечения: $S = r h$ .

$r = 24$ , $h = 32$ : $r < h$ , значит наибольшее — осевое: $24 \cdot 32 = 768$ .

Развёртка конуса и кратчайший путь

Слева: сектор-развёртка конуса. Справа: вид на основание цилиндра сверху

Развёртка боковой поверхности конуса — сектор радиуса $l$ ; длина его дуги равна длине окружности основания $2 π r$ . Отсюда угол сектора:

φ = 36 0^{\circ} \cdot \frac{r}{l}, S_{бок} = π r l = π l^{2} \cdot \frac{φ}{36 0 ^{\circ}}

угол развёртки конуса

$r = 36$ , $h = 48$ : $l = 60$ , $φ = 36 0^{\circ} \cdot \frac{36}{60} = 21 6^{\circ}$ .
Сектор $21 6^{\circ}$ , радиус $30$ : $l = 30$ , $r = 30 \cdot \frac{216}{360} = 18$ , $h = 900 - 324 www.reknow.ru = 24$ .

Кратчайший путь по боковой поверхности — отрезок на развёртке. Путь «вокруг конуса» из точки $A$ основания обратно в $A$ — хорда сектора: $d^{2} = 2 l^{2} (1 - cos φ)$ (при $φ < 18 0^{\circ}$ ; иначе путь идёт через вершину и равен $2 l$ ).

Усечённый конус

S_{бок} = π (R + r) l, V = \frac{1}{3} πh (R^{2} + R r + r^{2})

R, r

— радиусы оснований,

l

— образующая,

h

— высота

$h$ , $l$ и $R - r$ образуют прямоугольный треугольник: $l^{2} = h^{2} + (R - r)^{2}$ . Высота полного конуса $H = \frac{h R}{R - r}$ . Если в усечённый конус вписан шар, то $l = R + r$ и $h = 2 R r www.reknow.ru$ .

$R = 17$ , $r = 12$ , $h = 12$ : $l = 144 + 25 www.reknow.ru = 13$ , $S_{бок} = π \cdot 29 \cdot 13 = 377 π$ .
$R = 34$ , $r = 14$ , $l = 29$ : $h = 841 - 400 www.reknow.ru = 21$ , $V = \frac{1}{3} π \cdot 21 (1156 + 476 + 196) = 12796 π$ .

Тела, полученные вращением фигур

Треугольник вокруг гипотенузыДва конуса с общим основанием радиуса

h_{c}

(высота к гипотенузе), сумма высот — гипотенуза

c

V = \frac{1}{3} π h_{c}^{2} c

Прямоугольник вокруг внешней оси«Труба»: цилиндр радиуса

R_{внеш}

минус цилиндр радиуса

R_{внутр}

V = π (R_{внеш}^{2} - R_{внутр}^{2}) h

Катеты 40 и 30, вращение вокруг гипотенузы.

$c = 50$ , $h_{c} = \frac{40 \cdot 30}{50} = 24$ .
$V = \frac{1}{3} π \cdot 576 \cdot 50 = 9600 π$ .

Прямоугольник $2 \times 15$ , ось параллельна стороне 15 и удалена от неё на 10 (вне прямоугольника).

Радиусы $10$ и $12$ , высота $15$ : $V = π (144 - 100) \cdot 15 = 660 π$ .

Нарисуйте фигуру и ось, затем отразите фигуру относительно оси — так видно, какие цилиндры и конусы получились и что из чего вычитать.

Серия: 0