Повторение и систематизация · урок 4 из 4 · обобщение

Ожидание, дисперсия и закон больших чисел: итог курса

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS9U-034

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (4 ч), урок 4/4, тип О — последний урок курса. Единицы строки: R08.1–R08.6; фокус этого урока (4-я часть списка) — R08.6 «Закон больших чисел, нахождение математических ожиданий и дисперсий изученных распределений» плюс смешанные задачи по всему курсу (R08.3–R08.5). Предыдущие уроки: VIS9U-031 — события и комбинаторика, VIS9U-032 — серии Бернулли, VIS9U-033 — случайные величины и их характеристики.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (таблица E и D распределений, пример учителя) 3 · 6 (свойства E и D, пример учителя) 2 · 9 (неравенство Чебышева и закон больших чисел, пример учителя) 3 · 13 (итоговая сводка курса) 2.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11, 12) 2,5 + 2,5 + 2 + 2 + 2,5 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · база (сл. 16) 2 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · задача из жизни (сл. 19) 2,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задание 3 на сл. 12 и задание 4 на сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Титул: распределение числа успехов при $n = 8$ , $p = \frac{1}{2}$ ; пунктир — $E = 4$ , полоса — $E \pm σ$ .

R08.4 · R08.5 · R08.6

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Узнавать распределение

биномиальное, геометрическое, равномерное — и сразу писать $E$ и $D$ (ПР-4, ПР-5)

Свойства $E$ и $D$

линейная функция, сумма независимых, обратные задачи (ПР-5)

Неравенство Чебышева

оценивать вероятность большого отклонения от $E (X)$ (ПР-6)

Закон больших чисел

сколько опытов нужно и насколько точно среднее (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-4: «Иметь представление о случайных величинах … Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах». ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». ПР-6: закон больших чисел, «математическое обоснование близости частоты и вероятности события». ПР-3 (серии Бернулли) — смешанные задания сл. 16 (№ 5), 17 (№ 3).
Единицы ФРП: R08.6 «Закон больших чисел нахождение математических ожиданий и дисперсий изученных распределений» (главная), R08.4 «Случайные величины и распределения», R08.5 «Числовые характеристики случайных величин».

повторение: VIS9U-021…030

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Биномиальное, $n = 50$ , $p = 0, 2$ : $E (X)$ ? $10$
То же распределение: $D (X)$ ? $8$
До первого успеха, $p = 0, 25$ : $E (X)$ ? $4$
Индикатор, $p = 0, 3$ : $D (I)$ ? $0, 21$

$D (X) = 5$ : $D (2 X + 3)$ ? $20$
$E (X) = 4$ : $E (3 X - 1)$ ? $11$
$D (X) = 9$ : $σ (X)$ ? $3$
Частота орлов, $n = 100$ : $D (ν)$ ? $0, 0025$

R08.4 · R08.6

Теория · сводка · ожидание и дисперсия изученных распределений

Узнали распределение — формулы готовы

Распределение	$P (X = k)$	$E (X)$	$D (X)$
индикатор успеха	$q, p$	$p$	$pq$
число успехов из $n$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	$n p$	$n pq$
до первого успеха	$q^{k - 1} p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{q}{p ^{2}}$
равномерное на $1, \dots, n$	$\frac{1}{n}$	$\frac{n + 1}{2}$	$\frac{n ^{2} - 1}{12}$

n = 8, p = \frac{1}{2}

:

E = 4

,

D = 2

,

σ = 2 \approx 1, 41

3 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Откуда формулы (VIS9U-025): число успехов — сумма $n$ независимых индикаторов, поэтому $E = n p$ , $D = n pq$ ; до первого успеха — «первый шаг»: $E = 1 + qE$ , $E = \frac{1}{p}$ ; равномерное — суммы $1 + \dots + n$ и $1^{2} + \dots + n^{2}$ .
Пример учителя: монету бросают 8 раз. $P (X = k) = C_{8}^{k} /256$ : 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 (сумма 256 ✓). Самое вероятное значение $4$ ( $70/256 \approx 0, 27$ ) совпадает с $E = n p = 4$ . $D = 8 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 2$ ; полоса $E \pm σ$ (от $2, 6$ до $5, 4$ ) захватывает значения 3, 4, 5 — $182/256 \approx 0, 71$ всей вероятности.
Проверка таблицы: равномерное на $1, \dots, 6$ (кубик): $E = 3, 5$ , $D = \frac{35}{12}$ ✓ (посчитано кодом). Вопрос: какая из формул даёт $D$ кубика? (последняя строка, $n = 6$ ).

R08.4 · R08.6

Образец → сам · узнай распределение

Сначала — какое распределение, потом — формула

Образец: стрелок делает $20$ выстрелов, вероятность попадания $0, 7$ . Найдите $E$ , $D$ и $σ$ числа попаданий $X$ .

биномиальное: $n = 20$ , $p = 0, 7$ независимые выстрелы

$E (X) = n p = 14$

$D (X) = n pq = 14 \cdot 0, 3 = 4, 2$

$σ = 4, 2 \approx 2, 05$

Сам: $E$ и $D$

Баскетболист бросает до первого попадания, $p = 0, 4$ ; $X$ — число бросков $2, 5$ ; $3, 75$
Тест из $12$ вопросов по $4$ варианта, ответы угадывают; $X$ — число верных $3$ ; $2, 25$
$X$ — случайное число от $1$ до $10$ (все равновозможны) $5, 5$ ; $8, 25$

R08.5

Теория · сводка · свойства ожидания и дисперсии

Сдвиг переносит центр, растяжение — ещё и разброс

$E (a X + b) = a E (X) + b$

$D (a X + b) = a^{2} D (X)$ $σ$ — в $∣ a ∣$ раз

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ всегда

$D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)$ — только для независимых $X$ , $Y$

$D (X) = E (X^{2}) - (E (X))^{2}$

R08.5 · R08.6

Образец → сам · обратная задача

Известны $E$ и $D$ — восстановите $n$ и $p$

Образец: $X$ — число успехов в серии Бернулли, $E (X) = 6$ , $D (X) = 4, 2$ . Найдите $n$ и $p$ .

$q = \frac{n pq}{n p} = \frac{4 , 2}{6} = 0, 7$ делим $D$ на $E$

$p = 1 - q = 0, 3$

$n = \frac{E}{p} = \frac{6}{0 , 3} = 20$

Сам

Серия Бернулли: $E = 4$ , $D = 3, 2$ . Найдите $n$ и $p$ $20$ ; $0, 2$
До первого успеха: $E = 5$ . Найдите $p$ и $D$ $0, 2$ ; $20$
$X$ — число орлов в $10$ бросках, $Y = 3 X - 2$ . Найдите $E (Y)$ и $D (Y)$ $13$ ; $22, 5$

R08.5 · R08.6

Образец → сам · случайный выигрыш

Выигрыш — линейная функция от числа успехов

Образец: тест из $20$ вопросов по $5$ вариантов; за верный ответ $+ 1$ балл, за неверный $- 0, 25$ . Ученик угадывает всё. Найдите $E$ и $D$ баллов $B$ .

$B = X - 0, 25 (20 - X) = 1, 25 X - 5$

$E (X) = 4$ , $D (X) = 3, 2$ $n = 20$ , $p = 0, 2$

$E (B) = 1, 25 \cdot 4 - 5 = 0$

$D (B) = 1, 2 5^{2} \cdot 3, 2 = 5$

Сам

Монету бросают $10$ раз: за орла $+ 3$ руб., за решку $- 2$ руб. $E$ и $D$ выигрыша $5$ ; $62, 5$
$S$ — сумма очков на двух кубиках. $E (S)$ и $D (S)$ $7$ ; $\frac{35}{6}$
Стрельба до первого попадания, $p = 0, 8$ ; выстрел стоит $10$ руб. $E$ и $D$ стоимости $12, 5$ ; $31, 25$

R08.6

Теория · сводка · неравенство Чебышева и закон больших чисел

Частота орлов $ν$ с ростом $n$ прижимается к $0, 5$

$P (∣ X - EX ∣ \geq ε) \leq \frac{D ( X )}{ε ^{2}}$

частота: $E (ν) = p$ , $D (ν) = \frac{pq}{n} \leq \frac{1}{4 n}$

$P (∣ ν - p ∣ \geq ε) \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}} \to 0$

$n = 1000$ , $ε = 0, 05$ : $\leq 0, 1$

Среднее

n

измерений:

D (\overline{X}) = \frac{σ ^{2}}{n}

3 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
График — моделирование 600 бросков (компьютерный эксперимент): $ν_{10} = 0, 3$ , $ν_{50} = 0, 42$ , $ν_{100} = 0, 41$ , $ν_{600} = 0, 50$ . В начале частота «скачет», потом остаётся в полосе $0, 5 \pm 0, 1$ . Это и есть закон больших чисел: при росте $n$ вероятность выйти из любой полосы $p \pm ε$ стремится к нулю.
Откуда оценка: $ν = \frac{X}{n}$ , $D (ν) = \frac{D ( X )}{n ^{2}} = \frac{n pq}{n ^{2}} = \frac{pq}{n}$ ; $pq = p (1 - p) \leq \frac{1}{4}$ (максимум при $p = \frac{1}{2}$ ) — оценка работает, даже когда $p$ неизвестно.
Пример учителя: 1000 бросков, $ε = 0, 05$ : $\frac{1}{4 \cdot 1000 \cdot 0 , 0025} = 0, 1$ — с вероятностью не меньше $0, 9$ частота орлов окажется между $0, 45$ и $0, 55$ . Для среднего $n$ независимых измерений с дисперсией $σ^{2}$ : $P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq ε) \leq \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}}$ (VIS9U-030).

R08.6

Образец → сам · неравенство Чебышева

Оценка сверху, через противоположное — снизу

Образец: $E (X) = 50$ , $D (X) = 16$ . Оцените снизу вероятность $P (42 < X < 58)$ .

$42 < X < 58 ⟺ ∣ X - 50∣ < 8$ $ε = 8$

$P (∣ X - 50∣ \geq 8) \leq \frac{16}{64} = 0, 25$

$P (42 < X < 58) \geq 1 - 0, 25 = 0, 75$

Сам

$E (X) = 20$ , $D (X) = 9$ . Оцените сверху $P (∣ X - 20∣ \geq 5)$ $0, 36$
$X$ — число орлов в $100$ бросках. Оцените снизу $P (40 < X < 60)$ $0, 75$
Оцените снизу $P (∣ X - EX ∣ < 3 σ)$ для любой $X$ $\frac{8}{9}$

R08.6

Образец → сам · сколько опытов нужно

Точность $ε$ , ошибка не чаще $δ$ $\Rightarrow$ $n \geq 1 : (4 ε^{2} δ)$

Образец: сколько раз бросить монету, чтобы с вероятностью не меньше $0, 95$ частота орлов отличалась от $0, 5$ меньше чем на $0, 05$ ?

$ε = 0, 05$ , $δ = 1 - 0, 95 = 0, 05$

$\frac{1}{4 n \cdot 0 , 0025} \leq 0, 05$ Чебышев для $ν$

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 0025 \cdot 0 , 05} = 2000$

Сам

Опрос: точность $0, 02$ , надёжность $0, 9$ . Сколько человек опросить? $6250$
$n = 2500$ , $ε = 0, 05$ . С какой надёжностью $∣ ν - p ∣ < ε$ ? $\geq 0, 96$
$n = 10000$ , $δ = 0, 04$ . Какую точность $ε$ гарантирует оценка? $0, 025$

R08.6

Образец → сам · точность среднего

Среднее $n$ измерений точнее одного в $n$ раз

Образец: ошибка прибора $σ = 0, 5$ мм. Деталь измерили $25$ раз и взяли среднее. Оцените $P (∣ \overline{X} - a ∣ < 0, 3)$ , $a$ — истинный размер.

$D (\overline{X}) = \frac{0 , 25}{25} = 0, 01$ $σ (\overline{X}) = 0, 1$

$P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq 0, 3) \leq \frac{0 , 01}{0 , 09} = \frac{1}{9}$

$P (∣ \overline{X} - a ∣ < 0, 3) \geq \frac{8}{9} \approx 0, 89$

Сам

$σ = 2$ г, взвесили $100$ раз. Найдите $σ (\overline{X})$ $0, 2$ г
$σ = 3$ , нужно $∣ \overline{X} - a ∣ < 1$ с надёжностью $\geq 0, 95$ . Сколько измерений? $180$
Во сколько раз увеличить $n$ , чтобы $σ (\overline{X})$ уменьшилось в $3$ раза? в $9$

R08.1–R08.6

Теория · итоговая сводка курса

По вопросу задачи — инструмент

Спрашивают	Инструмент	Урок
вероятность «или», «и», «хотя бы один»	сложение, умножение, $1 - P$	VIS9U-031
ровно $k$ успехов из $n$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	VIS9U-032
распределение величины	таблица «значение — вероятность»	VIS9U-033
среднее значение, разброс	$E$ , $D$ , $σ$ и их свойства	VIS9U-033, 034
вероятность большого отклонения	неравенство Чебышева	сл. 9, 10
сколько опытов, точность среднего	$\frac{1}{4 n ε ^{2}}$ , $\frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}}$	сл. 11, 12

R08.5 · R08.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
$D (X) = 5$ ; $D (2 X + 3)$	$2 \cdot 5 + 3 = 13$	$2^{2} \cdot 5 = 20$
$X$ , $Y$ независимы: $D (X - Y)$	$D (X) - D (Y)$	$D (X) + D (Y)$
$D = 4$ : оценка $P (∣ X - EX ∣ \geq 4)$	$\leq \frac{4}{4} = 1$	$\leq \frac{4}{4 ^{2}} = 0, 25$
$5$ решек подряд — что дальше?	«теперь чаще орёл — закон больших чисел»	$P (орёл) = 0, 5$ : броски независимы

1,5 мин · практика
1) Сдвиг не меняет разброс, множитель входит в квадрате. 2) $D (- Y) = D (Y)$ ; если бы дисперсии вычитались, могла бы получиться отрицательная дисперсия. 3) В знаменателе — квадрат $ε$ ; оценка « $\leq 1$ » бессодержательна. 4) Закон больших чисел говорит о частоте при больших $n$ , а не о следующем броске: монета «не помнит» прошлых бросков; отклонение частоты не «исправляется», а размывается делением на большое $n$ .
Ученики называют, где на сл. 5–12 могли бы ошибиться так же.

R08.6

Найди ошибку

Монету бросают $400$ раз. Оцените снизу $P (∣ ν - 0, 5∣ < 0, 1)$

1) $E (ν) = 0, 5$

2) $D (ν) = \frac{pq}{n} = \frac{0 , 25}{400} = 0, 000625$

3) $P (∣ ν - 0, 5∣ \geq 0, 1) \leq \frac{0 , 000625}{0 , 1} = 0, 00625$

4) $P (∣ ν - 0, 5∣ < 0, 1) \geq 0, 00625$

Исправление

3) делим на $ε^{2} = 0, 01$ : $\leq 0, 0625$

4) через противоположное: $\geq 1 - 0, 0625 = 0, 9375$

2 мин · практика
Шаги 1 и 2 верны. Шаг 3: в неравенстве Чебышева $ε$ в квадрате: $\frac{0 , 000625}{0 , 01} = 0, 0625$ (или сразу $\frac{1}{4 \cdot 400 \cdot 0 , 01}$ ). Шаг 4: оценка сверху для «далеко» переходит в оценку снизу для «близко» через $1 - P$ ; « $\geq 0, 00625$ » — верное, но бесполезное неравенство.
Сигнал ошибки: «вероятность больших отклонений $0, 006$ при 400 бросках» — подозрительно мало; полезно прикидывать $σ (ν) = \frac{0 , 5}{20} = 0, 025$ — отклонение $0, 1$ это $4 σ$ .
Минута поиска в парах, затем исправления по клику.

R08.3–R08.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Распределения

Биномиальное, $n = 30$ , $p = 0, 4$ : $E$ и $D$ $12$ ; $7, 2$
До первого успеха, $p = 0, 1$ : $E$ и $D$ $10$ ; $90$
Очки на кубике: $D (X)$ $\frac{35}{12}$
$X$ , $Y$ независимы, $D (X) = 2$ , $D (Y) = 3$ : $D (X - 2 Y)$ $14$

Бернулли и Чебышев

$4$ броска монеты: ровно $2$ орла $0, 375$
$E = 10$ , $D = 4$ : оцените сверху $P (∣ X - 10∣ \geq 4)$ $0, 25$
$500$ бросков монеты: оцените сверху $P (∣ ν - 0, 5∣ \geq 0, 1)$ $0, 05$
$E (X) = 3$ , $E (X^{2}) = 13$ : $σ (X)$ $2$

R08.3–R08.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, исследуйте, решите

Докажите: частота $ν = \frac{X}{n}$ успехов в серии Бернулли имеет $D (ν) = \frac{pq}{n}$ $\frac{1}{n ^{2}} \cdot n pq$
При каком $p$ дисперсия числа успехов в $100$ испытаниях наибольшая? Чему она равна? $p = 0, 5$ ; $25$
Стрелок стреляет до первого попадания, но не более $3$ раз; $p = 0, 5$ . Найдите $E$ числа выстрелов $1, 75$
Сколько раз бросить кубик, чтобы с надёжностью $\geq 0, 9$ частота шестёрок отличалась от $1/6$ меньше чем на $0, 05$ ? $556$

R08.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичная дробь

1. В среднем из $500$ аккумуляторов, поступивших в продажу, $15$ неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным. $0, 97$

2. В фирме такси $25$ машин: $9$ чёрных, $4$ жёлтых, остальные зелёные. На вызов выехала случайная машина. Найдите вероятность того, что приедет зелёное такси. $0, 48$

3. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет $8$ очков. Результат округлите до сотых. $0, 14$

«В среднем из

N

—

k

»: частота как оценка вероятности — закон больших чисел в задаче ОГЭ.

R08.5 · R08.6

Задача из жизни · почему казино не проигрывает

Ставка $1$ на «красное»: $+ 1$ с вероятностью $\frac{18}{37}$ , иначе $- 1$

$E = \frac{18 - 19}{37} = - \frac{1}{37}$ , $D \approx 1$

$n = 10000$ : $E (S) \approx - 270$ , $σ (S) \approx 100$

Оцените $P (S > 0)$ $\leq 0, 14$

Полоса

E (S) \pm 2 σ (S)

уходит ниже нуля: для казино игра — почти без риска.

2,5 мин · практика
Модель: европейская рулетка, 37 секторов (18 красных, 18 чёрных, зеро). Выигрыш одной ставки: $+ 1$ с вероятностью $\frac{18}{37}$ , $- 1$ с вероятностью $\frac{19}{37}$ . $E = - \frac{1}{37} \approx - 0, 027$ ; $E (X^{2}) = 1$ , $D = 1 - \frac{1}{1369} = \frac{1368}{1369} \approx 1$ .
Сумма $S$ $n$ независимых ставок: $E (S) = - \frac{n}{37}$ , $D (S) = n \cdot D \approx n$ , $σ (S) \approx n$ . При $n = 10000$ : $E (S) \approx - 270, 3$ , $σ (S) \approx 99, 96$ .
Чебышев: $S > 0$ означает $S - E (S) > 270$ , т. е. $∣ S - ES ∣ \geq 270$ : $P \leq \frac{10 000 \cdot 0 , 9993}{270 , 3 ^{2}} \approx 0, 137 \leq 0, 14$ (точное значение намного меньше, около $0, 003$ ).
График: прямая — $E (S)$ , полоса — $E (S) \pm 2 n$ ; её верхний край пересекает ноль при $2 n = \frac{n}{37}$ , $n = 74$ , $n = 5476 \approx 5500$ . Для одного игрока за вечер (десятки ставок) исход случаен, для казино (миллионы ставок) — почти детерминирован. Та же логика у страховой компании.

R08.4–R08.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Биномиальное, $n = 40$ , $p = 0, 25$ : $E$ и $D$ $10$ ; $7, 5$
До первого успеха, $p = 0, 4$ : $E$ и $D$ $2, 5$ ; $3, 75$
$D (X) = 3$ : $D (- 2 X + 5)$ $12$
$E = 30$ , $D = 25$ : оцените сверху $P (∣ X - 30∣ \geq 10)$ $0, 25$

Вариант 2

Биномиальное, $n = 50$ , $p = 0, 2$ : $E$ и $D$ $10$ ; $8$
До первого успеха, $p = 0, 25$ : $E$ и $D$ $4$ ; $12$
$D (X) = 5$ : $D (3 X - 1)$ $45$
$E = 40$ , $D = 36$ : оцените сверху $P (∣ X - 40∣ \geq 12)$ $0, 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Итог курса: проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему у числа успехов $D = n pq$ ?
Что гарантирует неравенство Чебышева?
Почему закон больших чисел не «исправляет» серию решек?

Домашнее задание

$n = 100$ , $p = 0, 3$ : $E$ , $D$ , $σ$ для $X$ и для $ν$
Сколько бросков монеты нужно для надёжности $0, 99$ при $ε = 0, 05$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-034 · Обобщение: ожидание, дисперсия, закон больших чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 4 ч · урок 4/4 · тип О
Единицы → слайды	R08.6 «Закон больших чисел нахождение математических ожиданий и дисперсий изученных распределений» → 3–5, 7–17, 19–21 · R08.4 «Случайные величины и распределения» → 4, 5, 13, 16, 20 · R08.5 «Числовые характеристики случайных величин» → 3, 6–8, 14, 16, 19, 20 · R08.3 «Серия испытаний Бернулли» → 16, 17 · R08.1 → 18
Результаты	ПР-4 (распределения) → 4, 5, 17 · ПР-5 (E и D) → 3–8, 14, 16, 19, 20 · ПР-6 (закон больших чисел) → 9–12, 14, 15, 17, 19 · ПР-3 (Бернулли) → 16, 17
Вне урока	события и комбинаторика — VIS9U-031; серии Бернулли — VIS9U-032; случайные величины и характеристики — VIS9U-033; подробно Чебышев и ЗБЧ — VIS9U-028…030
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Ожидание, дисперсия и закон больших чисел: итог курса

Сегодня вы повторите и научитесь

Узнавать распределение

Свойства E и D

Неравенство Чебышева

Закон больших чисел

Восемь быстрых вопросов

Узнали распределение — формулы готовы

Сначала — какое распределение, потом — формула

Образец: стрелок делает 20 выстрелов, вероятность попадания 0,7. Найдите E, D и σ числа попаданий X.

Сам: E и D

Сдвиг переносит центр, растяжение — ещё и разброс

Известны E и D — восстановите n и p

Образец: X — число успехов в серии Бернулли, E(X)=6, D(X)=4,2. Найдите n и p.

Сам

Выигрыш — линейная функция от числа успехов

Образец: тест из 20 вопросов по 5 вариантов; за верный ответ +1 балл, за неверный −0,25. Ученик угадывает всё. Найдите E и D баллов B.

Сам

Частота орлов ν с ростом n прижимается к 0,5

Оценка сверху, через противоположное — снизу

Образец: E(X)=50, D(X)=16. Оцените снизу вероятность P(42<X<58).

Сам

Точность ε, ошибка не чаще δ ⇒ n≥1:(4ε2δ)

Образец: сколько раз бросить монету, чтобы с вероятностью не меньше 0,95 частота орлов отличалась от 0,5 меньше чем на 0,05?

Сам

Среднее n измерений точнее одного в n​ раз

Образец: ошибка прибора σ=0,5 мм. Деталь измерили 25 раз и взяли среднее. Оцените P(∣X−a∣<0,3), a — истинный размер.

Сам

По вопросу задачи — инструмент

Неверно → почему → верно

Монету бросают 400 раз. Оцените снизу P(∣ν−0,5∣<0,1)

Исправление

Решите и проверьте

Распределения

Бернулли и Чебышев

Докажите, исследуйте, решите

Ответ — десятичная дробь

Ставка 1 на «красное»: +1 с вероятностью 3718​, иначе −1

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Итог курса: проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-034 · Обобщение: ожидание, дисперсия, закон больших чисел

Свойства $E$ и $D$

Образец: стрелок делает $20$ выстрелов, вероятность попадания $0, 7$ . Найдите $E$ , $D$ и $σ$ числа попаданий $X$ .

Сам: $E$ и $D$

Известны $E$ и $D$ — восстановите $n$ и $p$

Образец: $X$ — число успехов в серии Бернулли, $E (X) = 6$ , $D (X) = 4, 2$ . Найдите $n$ и $p$ .

Образец: тест из $20$ вопросов по $5$ вариантов; за верный ответ $+ 1$ балл, за неверный $- 0, 25$ . Ученик угадывает всё. Найдите $E$ и $D$ баллов $B$ .

Частота орлов $ν$ с ростом $n$ прижимается к $0, 5$

Образец: $E (X) = 50$ , $D (X) = 16$ . Оцените снизу вероятность $P (42 < X < 58)$ .

Точность $ε$ , ошибка не чаще $δ$ $\Rightarrow$ $n \geq 1 : (4 ε^{2} δ)$

Образец: сколько раз бросить монету, чтобы с вероятностью не меньше $0, 95$ частота орлов отличалась от $0, 5$ меньше чем на $0, 05$ ?

Среднее $n$ измерений точнее одного в $n$ раз

Образец: ошибка прибора $σ = 0, 5$ мм. Деталь измерили $25$ раз и взяли среднее. Оцените $P (∣ \overline{X} - a ∣ < 0, 3)$ , $a$ — истинный размер.

Монету бросают $400$ раз. Оцените снизу $P (∣ ν - 0, 5∣ < 0, 1)$

Ставка $1$ на «красное»: $+ 1$ с вероятностью $\frac{18}{37}$ , иначе $- 1$