Повторение и систематизация · урок 3 из 4 · обобщение

Случайные величины и их характеристики: собираем систему

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS9U-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (4 ч), урок 3/4, тип О. Единицы строки: R08.1–R08.6; фокус этого урока (3-я часть списка) — R08.4 «Случайные величины и распределения» и R08.5 «Числовые характеристики случайных величин» плюс смешанные задачи. Предыдущие: VIS9U-031 — события и комбинаторика (R08.1, R08.2), VIS9U-032 — серии испытаний Бернулли (R08.3). Следующий: VIS9U-034 — закон больших чисел, E и D изученных распределений (R08.6).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (случайная величина и распределение, учитель строит распределение сам по таблице исходов) 3 · 7 (ожидание, дисперсия, σ, физический смысл — пример учителя) 3 · 9 (свойства E и D, вывод $D (a X + b)$ ) 3 · 13 (итоговая сводка) 1,5.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11, 12) по 2,5 = 15 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задание 3 на сл. 11 и задание 3 на сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Титул: распределение $X$ — наибольшего из очков на двух кубиках: $P (X = k) = \frac{2 k - 1}{36}$ (сл. 4); выделен столбик $X = 4$ .

R08.4 · R08.5

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Строить распределение

по таблице исходов, через сочетания и по дереву (ПР-4)

Считать $E$ , $D$ , $σ$

по таблице распределения и понимать их смысл (ПР-5)

Применять свойства

$a X + b$ , сумма величин — без новой таблицы (ПР-5)

Решать задачи из жизни

лотерея, справедливая цена, сравнение риска (ПР-4, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-4: «Иметь представление о случайных величинах и распознавать случайные величины в явлениях окружающего мира, оперировать понятием „распределение вероятностей“. Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах». ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». ПР-1 (сочетания) — сл. 5, 15; ПР-3 (испытания до первого успеха) — сл. 6, 16, ДЗ.
Единицы ФРП: R08.4 «Случайные величины и распределения», R08.5 «Числовые характеристики случайных величин».

повторение: VIS9U-019…027

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

$X$ : $1; 2; 3$ , $P$ : $0, 2; 0, 5; ?$ $0, 3$
$E (X)$ для этой величины $2, 1$
$E (X) = 3$ . $E (2 X + 1)$ ? $7$
$D (X) = 4$ . $D (3 X)$ ? $36$

$D (X) = 9$ . $σ (X)$ ? $3$
$D (X) = 2$ . $D (X + 5)$ ? $2$
Число орлов при одном броске монеты: $E$ ? $0, 5$
$E (X) = 2$ , $E (Y) = 5$ . $E (X - Y)$ ? $- 3$

R08.4

Теория · сводка · случайная величина и распределение

Два кубика: $X$ — наибольшее из выпавших очков

Случайная величина — число, зависящее от исхода опыта. Распределение — её значения и их вероятности, $\sum p_{i} = 1$ .

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P$	$\frac{1}{36}$	$\frac{3}{36}$	$\frac{5}{36}$	$\frac{7}{36}$	$\frac{9}{36}$	$\frac{11}{36}$

$P (X = k) = \frac{2 k - 1}{36}$ «уголок» из $2 k - 1$ клеток

Дискретные: очки, число попаданий. Непрерывные: рост, время ожидания автобуса.

3 мин · теория (учитель строит распределение сам)
36 равновозможных исходов (a; b). В каждой клетке записано max(a, b); чем больше значение, тем темнее. Клетки с X = 4 (подсвечены по клику) образуют «уголок»: (4;1), (4;2), (4;3), (4;4), (1;4), (2;4), (3;4) — 7 клеток, P = 7/36. Вообще клеток со значением k: k² − (k − 1)² = 2k − 1.
Проверка: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = 36 — сумма вероятностей 1 ✓ (сумма первых нечётных чисел — квадрат).
Вопрос: какое значение наиболее вероятно? (6 — 11/36 ≈ 0,31.) Чем отличается от суммы очков? (Распределение суммы симметрично относительно 7.)
R05.2: дискретная величина принимает отдельные значения, которые можно перечислить; непрерывная — любые значения из промежутка, для неё говорят о вероятности попасть в промежуток (геометрическая вероятность — пример).

R08.4 · R08.2

Образец → сам · распределение через сочетания

Значения → вероятность каждого → проверка суммы

Образец: в урне $4$ белых и $2$ чёрных шара. Вынимают $3$ шара, $X$ — число белых. Постройте распределение $X$ .

значения: $1; 2; 3$ чёрных только $2$ — $X \neq = 0$

все тройки: $C_{6}^{3} = 20$

$P (1) = \frac{4 \cdot 1}{20}, P (2) = \frac{6 \cdot 2}{20}, P (3) = \frac{4}{20}$

$0, 2 + 0, 6 + 0, 2 = 1$ проверка

Сам

Из $5$ деталей $2$ бракованные, берут $2$ ; $X$ — число бракованных $0, 3; 0, 6; 0, 1$
Монету бросают $3$ раза, $X$ — число орлов $0, 125; 0, 375; 0, 375; 0, 125$
Два кубика, $X$ — модуль разности очков. $P (X = 1)$ ? $\frac{5}{18}$

R08.4 · R08.3

Образец → сам · распределение «до первого успеха»

Вероятности умножаем вдоль цепочки попыток

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, но патронов только $3$ . Попадает с вероятностью $0, 7$ . $X$ — число выстрелов.

$P (X = 1) = 0, 7$ сразу попал

$P (X = 2) = 0, 3 \cdot 0, 7 = 0, 21$ промах, попадание

$P (X = 3) = 0, 3^{2} = 0, 09$ два промаха — 3-й при любом исходе

$0, 7 + 0, 21 + 0, 09 = 1$

Сам

То же при $p = 0, 5$ и $4$ патронах $0, 5; 0, 25; 0, 125; 0, 125$
В образце $Y$ — число промахов. Распределение $Y$ $0, 7; 0, 21; 0, 063; 0, 027$
Кубик бросают до первой шестёрки. $P (X = 3)$ ? $\frac{25}{216}$

2,5 мин · практика
Образец: главное — последнее значение. На третий выстрел стрелок выходит, если первые два — промахи (0,09), и стреляет при любом исходе. Частая ошибка — писать P(X = 3) = 0,3² · 0,7 = 0,063, тогда сумма 0,973 ≠ 1.
1) 0,5; 0,5² = 0,25; 0,5³ = 0,125; P(X = 4) = 0,5³ = 0,125 (три промаха). Сумма 1 ✓. 2) Y = 0 — сразу попал (0,7); Y = 1 — 0,3 · 0,7 = 0,21; Y = 2 — 0,3² · 0,7 = 0,063; Y = 3 — все три мимо, 0,3³ = 0,027. Сумма 1 ✓. Значений у Y на одно больше, чем у X: Y ≠ X − 1, когда все промахи. 3) Без ограничения — геометрическое распределение: (5/6)² · 1/6 = 25/216 ≈ 0,116.

R08.5

Теория · сводка · ожидание, дисперсия, отклонение

$X$ : $0; 1; 2$ с вероятностями $0, 3; 0, 6; 0, 1$

$E (X) = \sum x_{i} p_{i} = 0 + 0, 6 + 0, 2 = 0, 8$

$E (X^{2}) = 0 + 0, 6 + 4 \cdot 0, 1 = 1$

$D (X) = E (X^{2}) - E^{2} = 1 - 0, 64 = 0, 36$

$σ (X) = D (X) = 0, 6$

E

— точка равновесия столбиков;

σ

— типичное отклонение от

E

.

3 мин · теория (учитель считает сам)
Распределение взято из задания 1 сл. 5 (число бракованных из 2 деталей). Физический смысл: если столбики — грузы на невесомой балке, балка уравновешена в точке E(X) = 0,8 (треугольник-опора на рисунке). Ожидание — не обязательно одно из значений.
Дисперсия по определению: (0 − 0,8)² · 0,3 + (1 − 0,8)² · 0,6 + (2 − 0,8)² · 0,1 = 0,192 + 0,024 + 0,144 = 0,36 ✓ — тот же ответ, что по вычислительной формуле. σ = 0,6 — в тех же единицах, что X; полоса E ± σ = [0,2; 1,4] показана по клику.
Вопрос: можно ли D(X) получить отрицательной? (Нет: это ожидание квадратов; отрицательный ответ — ошибка в вычислениях.)

R08.5

Образец → сам · ожидание и дисперсия по таблице

$E (X)$ , затем $E (X^{2})$ , затем $D$ и $σ$

Образец: в игре выигрыш $X$ (руб.): $- 1$ с вероятностью $0, 5$ ; $0$ — $0, 3$ ; $4$ — $0, 2$ . Найдите $E$ , $D$ , $σ$ .

$E = - 0, 5 + 0 + 0, 8 = 0, 3$ $\sum x_{i} p_{i}$

$E (X^{2}) = 0, 5 + 0 + 16 \cdot 0, 2 = 3, 7$

$D = 3, 7 - 0, 09 = 3, 61$ $E (X^{2}) - E^{2}$

$σ = 1, 9$ руб. $3, 61$

Сам

$E (X)$ для числа выстрелов (сл. 6): $1; 2; 3$ — $0, 7; 0, 21; 0, 09$ $1, 39$
$X$ — число орлов при $2$ бросках. $E$ и $D$ $1; 0, 5$
$X$ : $0; 2; 5$ , $P$ : $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . $D (X)$ ? $3, 64$

R08.5

Теория · сводка · свойства ожидания и дисперсии

Новая величина — без новой таблицы

Свойства

$E (a X + b) = a E (X) + b$

$D (a X + b) = a^{2} D (X)$

$σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)$

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ всегда

$D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ если $X$ , $Y$ независимы

Вывод для $D (a X + b)$

$Y = a X + b$ , $E (Y) = a E (X) + b$

$Y - E (Y) = a (X - E (X))$ $b$ сократилось

$D (Y) = E (a^{2} (X - EX)^{2}) = a^{2} D (X)$ ∎

Сл. 7: $Y = 10 X - 3$ : $E = 5$ , $D = 36$ , $σ = 6$

3 мин · теория
Ожидание линейно: умножение и сдвиг переносятся на среднее. Дисперсия не замечает сдвига, а множитель выходит в квадрате (дисперсия измеряется в «квадратных» единицах); σ — с модулем: σ(−2X) = 2σ(X).
Сумма: ожидание суммы равно сумме ожиданий для любых величин (даже зависимых — сл. 12, задание 3); дисперсия суммы — только для независимых. Следствие: D(X − Y) = D(X) + D(−Y) = D(X) + D(Y) — дисперсии складываются и для разности.
Пример по распределению сл. 7 (E = 0,8; D = 0,36): E(10X − 3) = 8 − 3 = 5; D = 100 · 0,36 = 36; σ = 10 · 0,6 = 6.

R08.5

Образец → сам · линейное преобразование

Множитель — в квадрате для $D$ , сдвиг исчезает

Образец: время поездки $X$ (мин): $E (X) = 30$ , $σ (X) = 4$ . Цена такси $Y = 15 X + 100$ (руб.). Найдите $E (Y)$ и $σ (Y)$ .

$E (Y) = 15 \cdot 30 + 100 = 550$ руб.

$D (X) = 16$ , $D (Y) = 1 5^{2} \cdot 16 = 3600$ $a^{2} D$

$σ (Y) = 15 \cdot 4 = 60$ руб. $∣ a ∣ σ$

Сам

$E (X) = 5$ , $D (X) = 2$ . Для $Z = 3 - 2 X$ : $E$ и $D$ $- 7; 8$
Баллы $X$ : $E = 60$ , $σ = 10$ . $Y = 0, 5 X + 20$ : $E$ и $σ$ $50; 5$
$E (X) = 4$ , $σ (X) = 2$ . Найдите $a > 0$ и $b$ : $Y = a X + b$ имеет $E = 0$ , $σ = 1$ $a = \frac{1}{2}, b = - 2$

R08.4 · R08.5

Образец → сам · сумма случайных величин

Распределение суммы — по таблице; $E$ — сразу

Образец: $X$ : $0; 1; 2$ — $0, 2; 0, 5; 0, 3$ ; $Y$ : $0; 1$ — $0, 4; 0, 6$ ; независимы. Найдите распределение $S = X + Y$ и $E (S)$ .

$S$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 08$	$0, 12 + 0, 2$	$0, 3 + 0, 12$	$0, 18$

$E (S) = 0, 32 + 0, 84 + 0, 54 = 1, 7$

$E (X) + E (Y) = 1, 1 + 0, 6 = 1, 7$ совпало

Сам

Два кубика: $E$ суммы очков $7$
$X$ , $Y$ независимы, $D (X) = 3$ , $D (Y) = 5$ . $D (X - Y)$ ? $8$
$3$ билета выигрывают независимо с вероятностями $0, 1$ ; $0, 2$ ; $0, 3$ . $X$ — число выигравших: $E$ и $D$ $0, 6; 0, 46$

R08.4 · R08.5

Образец → сам · задача из жизни: лотерея

$1000$ билетов по $20$ руб. Выгодно ли покупать?

Образец: призы — $1$ по $5000$ руб., $10$ по $500$ руб., $100$ по $50$ руб. $X$ — выигрыш на один билет. Найдите $E (X)$ и средний доход покупателя.

$X$ : $5000; 500; 50; 0$ — $0, 001; 0, 01; 0, 1; 0, 889$

$E (X) = 5 + 5 + 5 = 15$ руб.

$E (X - 20) = 15 - 20 = - 5$ руб. в среднем проигрыш

Сам

При какой цене билета игра справедливая? $15$ руб.
Добавили ещё один приз $5000$ руб. Найдите $E (X)$ $20$ руб.
Купили $10$ билетов. Ожидаемый суммарный выигрыш? $150$ руб.

2,5 мин · практика
Образец: 1 + 10 + 100 = 111 выигрышных билетов, пустых 889 — сумма вероятностей 1 ✓. E(X) = 5000 · 0,001 + 500 · 0,01 + 50 · 0,1 = 15. Организатор с каждого билета в среднем получает 5 руб.: со всей лотереи 20 000 − 15 000 = 5000 руб. Разброс огромный: E(X²) = 25 000 + 2500 + 250 = 27 750, D = 27 750 − 225 = 27 525, σ ≈ 166 руб. (проверено кодом).
1) Справедливая — средний доход 0: цена = E(X) = 15 руб. 2) 2 · 5000 · 0,001 + 5 + 5 = 20 руб. — тогда игра справедлива при цене 20. 3) Билеты зависимы (два одинаковых приза не выпадут на один розыгрыш), но ожидание суммы — сумма ожиданий: 10 · 15 = 150 руб.

R08.4 · R08.5

Теория · итоговая сводка

По вопросу задачи — инструмент

Нужно	Инструмент	Проверка
распределение	таблица исходов, $C_{n}^{k}$ , дерево	все значения; $\sum p_{i} = 1$
среднее значение	$E (X) = \sum x_{i} p_{i}$	между наименьшим и наибольшим $x_{i}$
разброс	$D = E (X^{2}) - E^{2}$ , $σ = D$	$D \geq 0$ ; $σ$ — в единицах $X$
$a X + b$	$a E + b$ ; $a^{2} D$ ; $∣ a ∣ σ$	сдвиг $b$ не меняет $D$
сумма, разность	$E$ складываются; $D$ складываются	для $D$ — независимость
выгодно ли, справедливо ли	$E$ дохода	справедливо: $E = 0$

R08.4 · R08.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
$X$ : $0$ и $10$ с вероятностями $0, 9$ и $0, 1$ . $E (X)$ ?	$\frac{0 + 10}{2} = 5$	с весами: $10 \cdot 0, 1 = 1$
Число орлов при $2$ бросках: распределение	$0; 1; 2$ — по $\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}$
$D (X) = 2$ . $D (3 X)$ ?	$3 \cdot 2 = 6$	$3^{2} \cdot 2 = 18$
Независимы, $D (X) = 5$ , $D (Y) = 2$ . $D (X - Y)$ ?	$5 - 2 = 3$	$5 + 2 = 7$

R08.4 · R08.5

Найди ошибку

Урна: $3$ белых и $2$ чёрных, вынимают $2$ шара. $X$ — число белых

1) $P (X = 0) = \frac{C _{2}^{2}}{C _{5}^{2}} = 0, 1$ , $P (X = 2) = \frac{C _{3}^{2}}{C _{5}^{2}} = 0, 3$

2) $P (X = 1) = \frac{C _{3}^{1}}{C _{5}^{2}} = 0, 3$

3) $E (X) = 0, 3 + 2 \cdot 0, 3 = 0, 9$

4) $D (X) = E (X^{2}) - E (X) = 1, 5 - 0, 9 = 0, 6$

Исправление

2) $\frac{3 \cdot 2}{10} = 0, 6$ (сумма была $0, 7$ )

3) $0, 6 + 0, 6 = 1, 2$

4) $1, 8 - 1, 2^{2} = 0, 36$

R08.4 · R08.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Распределение и $E$

$X$ : $- 1; 0; 1; 2$ — $0, 1; 0, 3; a; 0, 2$ . $a$ ? $0, 4$
$E (X)$ для этой величины $0, 7$
$X$ — очки на кубике. $E (X)$ ? $3, 5$
Из карточек $1, 2, 3, 4$ берут две, $X$ — сумма. $P (X = 5)$ ? $\frac{1}{3}$

$D$ и свойства

$X$ : $0; 1$ — $0, 25; 0, 75$ . $D (X)$ ? $0, 1875$
$E (X) = 4$ , $D (X) = 9$ . $E$ и $σ$ для $2 X - 3$ $5; 6$
Независимы, $D (X) = 1$ , $D (Y) = 4$ . $D (2 X + Y)$ ? $8$
Монету бросают до орла, но не более $2$ раз. $E$ числа бросков $1, 5$

R08.4 · R08.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

$X$ принимает значения $1$ и $3$ , $E (X) = 2, 2$ . Найдите $P (X = 3)$ и $D (X)$ $0, 6; 0, 96$
Два кубика, $X$ — наибольшее из очков (сл. 4). Найдите $E (X)$ $\frac{161}{36} \approx 4, 47$
В лифт на $1$ -м этаже $9$ -этажного дома вошли $3$ человека; каждый независимо выходит на одном из этажей $2$ – $9$ равновероятно. $X$ — число остановок лифта. $E (X)$ ? $\frac{169}{64} \approx 2, 64$
Докажите, что $E (X^{2}) \geq (E (X))^{2}$ для любой случайной величины $D (X) \geq 0$

2,5 мин · практика
1) P(X = 3) = p, P(X = 1) = 1 − p: 1 + 2p = 2,2 ⇒ p = 0,6. E(X²) = 0,4 + 9 · 0,6 = 5,8; D = 5,8 − 4,84 = 0,96.
2) (1 · 1 + 2 · 3 + 3 · 5 + 4 · 7 + 5 · 9 + 6 · 11)/36 = 161/36 ≈ 4,47 (проверено перебором).
3) Индикатор Iₖ — «лифт остановился на этаже k» (8 этажей). P(никто не вышел на k) = (7/8)³ = 343/512; E(Iₖ) = 169/512; E(X) = 8 · 169/512 = 169/64 ≈ 2,64. Индикаторы зависимы, но ожидание суммы — сумма ожиданий.
4) D(X) = E((X − E X)²) — ожидание неотрицательной величины, значит, ≥ 0; по вычислительной формуле D = E(X²) − (E X)² ≥ 0. Равенство — только если X принимает одно значение (с вероятностью 1).

R08.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичная дробь

1. В фирме такси $40$ легковых автомобилей: $14$ из них чёрные, $6$ жёлтые, остальные — зелёные. На вызов выехала случайная машина. Найдите вероятность того, что приедет зелёное такси. $0, 5$

2. В среднем из $150$ карманных фонариков, поступивших в продажу, $3$ неисправных. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен. $0, 98$

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно $5$ . $0, 25$

Классическая вероятность: благоприятные : все; «не» — через

1 - P

.

R08.4 · R08.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X$ : $0; 1; 2$ — $0, 3; a; 0, 2$ . Найдите $a$ и $E (X)$ $0, 5; 0, 9$
$D (X)$ для этой величины $0, 49$
$E (X) = 3$ , $D (X) = 2$ . $E$ и $D$ для $4 X + 1$ $13; 32$
В урне $2$ белых и $3$ чёрных, берут $2$ шара. $P (ровно один белый)$ $0, 6$

Вариант 2

$X$ : $0; 1; 2$ — $0, 1; a; 0, 3$ . Найдите $a$ и $E (X)$ $0, 6; 1, 2$
$D (X)$ для этой величины $0, 36$
$E (X) = 2$ , $D (X) = 3$ . $E$ и $D$ для $5 X - 4$ $6; 75$
В урне $3$ белых и $2$ чёрных, берут $2$ шара. $P (оба белые)$ $0, 3$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как проверить, что распределение построено верно?
Почему $D (X + 5) = D (X)$ , а $D (2 X) = 4 D (X)$ ?
Когда игра справедливая?

Домашнее задание

Кубик бросают до шестёрки, но не более $3$ раз; $X$ — число бросков. Распределение и $E (X)$
$X$ , $Y$ независимы; $E (X) = 1$ , $D (X) = 4$ , $E (Y) = 2$ , $D (Y) = 1$ . $E$ и $D$ для $2 X - 3 Y + 1$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-033 · Обобщение: случайные величины и их числовые характеристики

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 4 ч · урок 3/4 · тип О
Единицы → слайды	R08.4 «Случайные величины и распределения» → 3–6, 11–18, 20 · R08.5 «Числовые характеристики случайных величин» → 3, 7–17, 19, 20 · R08.1–R08.3 — VIS9U-031, 032 · R08.6 — VIS9U-034
Результаты	ПР-4 (случайные величины, распределения) → 4–6, 11, 12, 15–18 · ПР-5 (ожидание и дисперсия по распределению) → 3, 7–17, 19 · ПР-1 (сочетания) → 5, 15, 19 · ПР-3 (до первого успеха) → 6, 16
Вне урока	случайная величина и распределения — VIS9U-019…021; ожидание и дисперсия — VIS9U-022…027; E и D биномиального и геометрического распределений, закон больших чисел — VIS9U-034
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Случайные величины и их характеристики: собираем систему

Сегодня вы повторите и научитесь

Строить распределение

Считать E, D, σ

Применять свойства

Решать задачи из жизни

Восемь быстрых вопросов

Два кубика: X — наибольшее из выпавших очков

Значения → вероятность каждого → проверка суммы

Образец: в урне 4 белых и 2 чёрных шара. Вынимают 3 шара, X — число белых. Постройте распределение X.

Сам

Вероятности умножаем вдоль цепочки попыток

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, но патронов только 3. Попадает с вероятностью 0,7. X — число выстрелов.

Сам

X: 0; 1; 2 с вероятностями 0,3; 0,6; 0,1

E(X), затем E(X2), затем D и σ

Образец: в игре выигрыш X (руб.): −1 с вероятностью 0,5; 0 — 0,3; 4 — 0,2. Найдите E, D, σ.

Сам

Новая величина — без новой таблицы

Свойства

Вывод для D(aX+b)

Множитель — в квадрате для D, сдвиг исчезает

Образец: время поездки X (мин): E(X)=30, σ(X)=4. Цена такси Y=15X+100 (руб.). Найдите E(Y) и σ(Y).

Сам

Распределение суммы — по таблице; E — сразу

Образец: X: 0;1;2 — 0,2; 0,5; 0,3; Y: 0;1 — 0,4; 0,6; независимы. Найдите распределение S=X+Y и E(S).

Сам

1000 билетов по 20 руб. Выгодно ли покупать?

Образец: призы — 1 по 5000 руб., 10 по 500 руб., 100 по 50 руб. X — выигрыш на один билет. Найдите E(X) и средний доход покупателя.

Сам

По вопросу задачи — инструмент

Неверно → почему → верно

Урна: 3 белых и 2 чёрных, вынимают 2 шара. X — число белых

Исправление

Решите и проверьте

Распределение и E

D и свойства

Подумайте и решите

Ответ — десятичная дробь

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-033 · Обобщение: случайные величины и их числовые характеристики

Считать $E$ , $D$ , $σ$

Два кубика: $X$ — наибольшее из выпавших очков

Образец: в урне $4$ белых и $2$ чёрных шара. Вынимают $3$ шара, $X$ — число белых. Постройте распределение $X$ .

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, но патронов только $3$ . Попадает с вероятностью $0, 7$ . $X$ — число выстрелов.

$X$ : $0; 1; 2$ с вероятностями $0, 3; 0, 6; 0, 1$

$E (X)$ , затем $E (X^{2})$ , затем $D$ и $σ$

Образец: в игре выигрыш $X$ (руб.): $- 1$ с вероятностью $0, 5$ ; $0$ — $0, 3$ ; $4$ — $0, 2$ . Найдите $E$ , $D$ , $σ$ .

Вывод для $D (a X + b)$

Множитель — в квадрате для $D$ , сдвиг исчезает

Образец: время поездки $X$ (мин): $E (X) = 30$ , $σ (X) = 4$ . Цена такси $Y = 15 X + 100$ (руб.). Найдите $E (Y)$ и $σ (Y)$ .

Распределение суммы — по таблице; $E$ — сразу

Образец: $X$ : $0; 1; 2$ — $0, 2; 0, 5; 0, 3$ ; $Y$ : $0; 1$ — $0, 4; 0, 6$ ; независимы. Найдите распределение $S = X + Y$ и $E (S)$ .

$1000$ билетов по $20$ руб. Выгодно ли покупать?

Образец: призы — $1$ по $5000$ руб., $10$ по $500$ руб., $100$ по $50$ руб. $X$ — выигрыш на один билет. Найдите $E (X)$ и средний доход покупателя.

Урна: $3$ белых и $2$ чёрных, вынимают $2$ шара. $X$ — число белых

Распределение и $E$

$D$ и свойства