Повторение и систематизация · урок 2 из 4 · обобщение

Испытания и серии Бернулли: собираем систему

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS9U-032

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (4 ч), урок 2/4, тип О. Единицы строки: R08.1–R08.6; фокус этого урока (2-я часть списка) — R08.3 «Серия испытаний Бернулли» плюс смешанные задачи (геометрическая вероятность как вероятность успеха, выбор из конечного множества, распределение числа успехов — подготовка к R08.4). Предыдущий урок VIS9U-031 — события и комбинаторика; следующий VIS9U-033 — случайные величины и их характеристики (R08.4, R08.5).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: дерево трёх испытаний, до первого успеха, формула Бернулли — пример учителя) 3 · 7 (распределение числа успехов, наиболее вероятное число) 2,5 · 10 (выбор с возвращением и без — пример учителя) 2,5 · 13 (итоговая сводка) 2,5.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 12) 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · задача из жизни (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задание 3 на сл. 11 и задание 2 на сл. 17 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Титул: распределение числа успехов при $n = 6$ , $p = \frac{1}{3}$ (сл. 7), выделен самый высокий столбик — наиболее вероятное число успехов $k_{0} = 2$ .

R08.3

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Выбирать модель

до первого успеха, серия Бернулли или выбор без возвращения (ПР-3)

Формула Бернулли

ровно $k$ , «не менее», «не более» и наиболее вероятное число успехов (ПР-3, ПР-1)

Обратные задачи

сколько испытаний нужно для заданной надёжности, найти $p$ или $n$ (ПР-3)

Смешанные задачи

успех — попадание точки в фигуру; турниры и контроль качества (ПР-2, ПР-1)

повторение: VIS9U-013…018

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

$0, 3^{2}$ $0, 09$
$C_{5}^{2}$ $10$
$p = 0, 2$ : первый успех — во $2$ -м испытании $0, 16$
Монета $3$ раза: ровно один орёл $\frac{3}{8}$

$p = 0, 5$ , $n = 4$ : все неудачи $\frac{1}{16}$
Две лампы, каждая исправна с вер. $0, 9$ : обе $0, 81$
$C_{4}^{0} + C_{4}^{1} + C_{4}^{2} + C_{4}^{3} + C_{4}^{4}$ $16$
$2$ белых шара из $5$ , берут один: белый $0, 4$

R08.3

Теория · сводка · испытания и серия Бернулли

Три независимых испытания: успех $p$ , неудача $q = 1 - p$

Ровно $k$ успехов из $n$ :

$P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

$p = 0, 4$ : $P_{3} (2) = 3 \cdot 0, 16 \cdot 0, 6 = 0, 288$

До первого успеха: $P (X = k) = q^{k - 1} p$

больше $n$ попыток: $P (X > n) = q^{n}$

Формула Бернулли — только если испытания независимы и

p

не меняется.

3 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Дерево трёх испытаний: 8 цепочек. «Ровно 2 успеха» — подсвечены три пути УУН, УНУ, НУУ; вероятность каждого $p^{2} q$ (умножаем вдоль пути — испытания независимы), путей $C_{3}^{2} = 3$ — столько способов выбрать места для двух успехов. Отсюда формула Бернулли.
Пример учителя: $p = 0, 4$ , $q = 0, 6$ : $3 \cdot 0, 16 \cdot 0, 6 = 0, 288$ (проверено fractions: 36/125).
До первого успеха: путь ННУ — первый успех при 3-м испытании, $q^{2} p$ (подсвечено рамкой). «Больше $n$ попыток» означает: первые $n$ — неудачи, $q^{n}$ . Вопрос классу: чем отличаются события «первый успех при 3-м» и «ровно один успех из 3»? (Второе — три пути УНН, НУН, ННУ: $3 p q^{2}$ .)
Условия модели Бернулли: число испытаний задано, испытания независимы, вероятность успеха одна и та же. Если шары не возвращают — сл. 10.

R08.3

Образец → сам · испытания до первого успеха

Серия обрывается на первом успехе

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ и стреляет до первого попадания; патронов $4$ . Найдите вероятность, что он израсходует все патроны.

все $4$ — значит, первые $3$ мимо 4-й выстрел — любой

$q^{3} = 0, 3^{3}$ независимые промахи

$P = 0, 027$

Сам

Тот же стрелок: попадёт впервые третьим выстрелом $0, 063$
Кубик бросают до первой «шестёрки»: понадобится больше $3$ бросков $\frac{125}{216}$
$p = 0, 2$ , уже $2$ неудачи. Вероятность, что понадобится ещё больше $2$ попыток $0, 64$

R08.3

Образец → сам · формула Бернулли

Сколько путей × вероятность одного пути

Образец: в тесте $5$ вопросов, в каждом $3$ варианта ответа. Ученик угадывает. Найдите вероятность ровно $3$ верных ответов.

$n = 5$ , $p = \frac{1}{3}$ , $q = \frac{2}{3}$ успех — верный ответ

$C_{5}^{3} \cdot (\frac{1}{3})^{3} \cdot (\frac{2}{3})^{2} = 10 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{4}{9}$

$P = \frac{40}{243} \approx 0, 165$

Сам

Монету бросают $6$ раз: ровно $3$ орла $0, 3125$
Всхожесть семян $0, 8$ , посадили $4$ : взойдут ровно $3$ $0, 4096$
Кубик бросают $4$ раза: ровно $2$ «шестёрки» $\frac{25}{216}$

R08.3 · R08.4

Теория · сводка · распределение числа успехов

$n = 6$ , $p = \frac{1}{3}$ : сколько будет успехов?

$P_{6} (k) = C_{6}^{k} \cdot \frac{2 ^{6 - k}}{3 ^{6}}$

$k = 0 \sum n C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} = (q + p)^{n} = 1$

Наиболее вероятное число $k_{0}$ :

$n p - q \leq k_{0} \leq n p + p$

$2 - \frac{2}{3} \leq k_{0} \leq 2 + \frac{1}{3}$ : $k_{0} = 2$

2,5 мин · теория
Значения (проверено math.comb): $P (0) = 64/729 \approx 0, 088$ ; $P (1) = 192/729 \approx 0, 263$ ; $P (2) = 240/729 \approx 0, 329$ ; $P (3) = 160/729 \approx 0, 219$ ; $P (4) = 60/729 \approx 0, 082$ ; $P (5) = 12/729$ ; $P (6) = 1/729$ . Сумма 729/729 = 1.
Сумма равна 1 по биному Ньютона: слагаемые — члены разложения $(q + p)^{n}$ , а $q + p = 1$ (связь с VIS9U-031, сл. 11). Это таблица распределения случайной величины «число успехов» — биномиальное распределение (подробно — VIS9U-033).
Наиболее вероятное число: отношение $P (k + 1) : P (k) = \frac{( n - k ) p}{( k + 1 ) q}$ больше 1, пока $k < n p - q$ . Если $n p - q$ — целое, наиболее вероятных чисел два: $n p - q$ и $n p + p$ . Здесь $n p = 2$ — и $k_{0} = 2$ совпало с $n p$ ; так бывает не всегда (сл. 8, 15).

R08.3

Образец → сам · «хотя бы», «больше» и наиболее вероятное число

Мало слагаемых — считаем прямо, много — через $1 - P$

Образец: $n = 6$ , $p = \frac{1}{3}$ (диаграмма сл. 7). Найдите вероятность того, что успехов будет не меньше двух.

противоположное: $0$ или $1$ успех 2 слагаемых вместо 5

$\frac{64 + 192}{729} = \frac{256}{729}$

$P = 1 - \frac{256}{729} = \frac{473}{729} \approx 0, 649$

Сам

Та же серия: больше $4$ успехов $\frac{13}{729}$
$n = 8$ , $p = 0, 25$ : наиболее вероятное число успехов $2$
$n = 9$ , $p = 0, 4$ : наиболее вероятное число успехов $3$ и $4$

R08.3

Образец → сам · обратная задача: сколько испытаний нужно

$P (хотя бы один успех) = 1 - q^{n}$ — подбираем $n$

Образец: билет выигрывает с вероятностью $0, 2$ . Сколько билетов купить, чтобы хотя бы один выиграл с вероятностью не меньше $0, 9$ ?

$1 - 0, 8^{n} \geq 0, 9 ⟺ 0, 8^{n} \leq 0, 1$

$0, 8^{10} \approx 0, 107$ , $0, 8^{11} \approx 0, 086$ подбор

Ответ: $11$ билетов

Сам

Стрелок, $p = 0, 6$ : сколько выстрелов, чтобы $P (хотя бы одно попадание) \geq 0, 99$ ? $6$
Монета: наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один орёл) > 0, 95$ $5$
$P (хотя бы один успех из 3) = 0, 973$ . Найдите $p$ $0, 7$

R08.3 · R08.2

Теория · сводка · случайный выбор из конечного множества

В урне $6$ белых и $4$ чёрных шара; вынимают $3$ . Ровно $2$ белых?

С возвращением — серия Бернулли, $p = \frac{M}{N} = 0, 6$

$C_{3}^{2} \cdot 0, 6^{2} \cdot 0, 4 = 0, 432$

Без возвращения — состав меняется, считаем наборы

$\frac{C _{6}^{2} \cdot C _{4}^{1}}{C _{10}^{3}} = \frac{15 \cdot 4}{120} = 0, 5$

При большом

N

и малой выборке ответы почти совпадают.

2,5 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
С возвращением: каждый раз в урне снова 6 белых из 10, испытания независимы, $p = 0, 6$ — формула Бернулли: 3 · 0,36 · 0,4 = 0,432 (54/125).
Без возвращения: после первого белого шара белых уже 5 из 9 — вероятность меняется, испытания зависимы, формула Бернулли не годится. Считаем равновозможные наборы по 3 шара: $C_{10}^{3} = 120$ , благоприятных $C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 60$ ; ответ 0,5 (связь с VIS9U-031, сл. 10).
Почему почти совпадают при большом $N$ : вынув несколько шаров из тысячи, долю белых почти не меняем (VIS9U-018: партия 200 деталей). Так социологи считают выборку из большого города по формуле Бернулли.

R08.3 · R08.2

Образец → сам · выбор с возвращением и без

Сначала вопрос: возвращают или нет?

Образец: в коробке $10$ ручек, $3$ из них не пишут. Наугад берут $3$ ручки. Найдите вероятность, что не пишет ровно одна.

не возвращают: наборы $C_{10}^{3} = 120$

$C_{3}^{1} \cdot C_{7}^{2} = 3 \cdot 21 = 63$ 1 плохая + 2 хороших

$P = \frac{63}{120} = \frac{21}{40} = 0, 525$

Сам

Та же коробка, но ручку проверяют и возвращают, $3$ раза: ровно один раз не пишет $0, 441$
Берут $3$ без возвращения: хотя бы одна не пишет $\frac{17}{24}$
Лотерея « $5$ из $36$ »: угадано ровно $3$ числа $\approx 0, 012$

R08.3 · R08.1

Образец → сам · смешанная задача: геометрия + Бернулли

Успех — точка попала в нужную часть фигуры

Образец: на отрезке $[0; 10]$ наугад $4$ раза независимо выбирают точку. Найдите вероятность, что ровно $2$ раза она попадёт в $[0; 3]$ .

$p = \frac{3}{10} = 0, 3$ отношение длин

$C_{4}^{2} \cdot 0, 3^{2} \cdot 0, 7^{2} = 6 \cdot 0, 09 \cdot 0, 49$

$P = 0, 2646$

Сам

В квадрат $4 \times 4$ с квадратом $2 \times 2$ в центре бросают $3$ точки: хотя бы одна во внутреннем $\frac{37}{64}$
Стрелка рулетки, сектор $12 0^{\circ}$ ; $4$ вращения: ровно $1$ раз в сектор $\frac{32}{81}$
Матч до $3$ побед, партию команда выигрывает с вер. $0, 6$ . Она победит ровно в $4$ партиях $0, 2592$

R08.3

Теория · итоговая сводка

Какая модель — такая формула

В условии	Формула	Когда можно
впервые при $k$ -м испытании	$q^{k - 1} p$	независимые, $p$ постоянна
понадобится больше $n$ попыток	$q^{n}$	первые $n$ — неудачи
ровно $k$ успехов из $n$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	число испытаний задано
хотя бы один успех из $n$	$1 - q^{n}$	всегда для серии Бернулли
наиболее вероятное число	$n p - q \leq k_{0} \leq n p + p$	серия Бернулли
выбор без возвращения	$\frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}}$	состав меняется — не Бернулли

R08.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
Монета $4$ раза: ровно $2$ орла	$0, 5^{2} \cdot 0, 5^{2} = \frac{1}{16}$	$C_{4}^{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$
$p = 0, 4$ : хотя бы один успех из $3$	$3 \cdot 0, 4 = 1, 2$	$1 - 0, 6^{3} = 0, 784$
$10$ ручек, $3$ не пишут; берут $2$ : обе не пишут	$0, 3^{2} = 0, 09$	$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} = \frac{1}{15}$
$p = 0, 2$ : первый успех при $3$ -м испытании	$C_{3}^{1} \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{2}$	$0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 128$

1,5 мин · практика
1) Посчитана вероятность одной цепочки (например, ООРР), а цепочек с двумя орлами $C_{4}^{2} = 6$ : 6/16 = 3/8. 2) Вероятность больше 1 — сигнал ошибки: сложили вероятности совместных событий; верно через противоположное: 1 − 0,216 = 0,784. 3) Ручки не возвращают — после первой неисправной их 2 из 9; формула Бернулли не годится: 3/10 · 2/9 = 1/15 (= $C_{3}^{2} / C_{10}^{2}$ = 3/45). 4) $C_{3}^{1} \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{2} = 0, 384$ — это «ровно один успех из 3»; «впервые при 3-м» — один путь ННУ: 0,128.
Ученики называют, где на сл. 5–12 могли бы ошибиться так же.

R08.3

Найди ошибку

Баскетболист попадает с вероятностью $0, 7$ и делает $5$ бросков

1) $P (4) = C_{5}^{4} \cdot 0, 7^{4} \cdot 0, 3 = 0, 36015$

2) $P (5) = C_{5}^{5} \cdot 0, 7^{5} \cdot 0, 3 = 0, 050421$

3) $P (не менее 4) = 0, 36015 + 0, 050421 \approx 0, 41$

4) Наиболее вероятное число попаданий: $n p = 3, 5$ — «три с половиной»

Исправление

2) $0, 7^{5} = 0, 16807$

3) $0, 36015 + 0, 16807 \approx 0, 528$

4) $3, 2 \leq k_{0} \leq 4, 2$ : $k_{0} = 4$

R08.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Серия Бернулли

$p = 0, 3$ , $n = 3$ : ровно $1$ успех $0, 441$
Монета $5$ раз: ровно $2$ орла $0, 3125$
$p = 0, 9$ , $n = 3$ : все успехи $0, 729$
$n = 4$ , $p = 0, 5$ : хотя бы один успех $0, 9375$

Первый успех, выбор, $k_{0}$

$p = 0, 4$ : первый успех во $2$ -м испытании $0, 24$
$p = 0, 25$ : первые $3$ испытания — неудачи $\frac{27}{64}$
$n = 12$ , $p = 0, 5$ : наиболее вероятное число успехов $6$
$4$ белых и $6$ чёрных; шар вынимают и возвращают, $2$ раза: оба белые $0, 16$

R08.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

Двое по очереди бросают кубик; выигрывает тот, у кого первым выпадет «шестёрка». Найдите вероятность, что выиграет начинающий $\frac{6}{11}$
Докажите: при $p = \frac{1}{2}$ вероятность чётного числа успехов в серии из $n \geq 1$ испытаний равна $\frac{1}{2}$ $\frac{( q + p ) ^{n} + ( q - p ) ^{n}}{2} = \frac{1}{2}$
При $p = \frac{1}{3}$ «ровно $1$ успех» и «ровно $2$ успеха» из $n$ равновероятны. Найдите $n$ $5$
Прибор из $3$ независимых блоков работает, если исправны хотя бы $2$ ; блок исправен с вероятностью $0, 9$ $0, 972$

2,5 мин · практика
1) Начинающий выигрывает при 1-м, 3-м, 5-м … броске серии: $p + q^{2} p + q^{4} p + \dots = \frac{p}{1 - q ^{2}} = \frac{1/6}{11/36} = \frac{6}{11}$ (сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии, алгебра 9). Без прогрессии: $x = p + q^{2} x$ .
2) Сложим разложения $(q + p)^{n}$ и $(q - p)^{n}$ : нечётные степени $p$ сокращаются, остаётся удвоенная сумма $P_{n} (k)$ по чётным $k$ . При $p = q = \frac{1}{2}$ : $(1 + 0) /2 = 1/2$ (проверено для $n = 1 \dots 6$ ).
3) $n p q^{n - 1} = C_{n}^{2} p^{2} q^{n - 2}$ ⇔ $q = \frac{n - 1}{2} p$ ⇔ $\frac{2}{3} = \frac{n - 1}{6}$ , $n = 5$ . Проверка: $P_{5} (1) = P_{5} (2) = 80/243$ .
4) $P_{3} (2) + P_{3} (3) = 3 \cdot 0, 81 \cdot 0, 1 + 0, 729 = 0, 243 + 0, 729 = 0, 972$ — надёжнее одного блока (резервирование).

R08.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичная дробь

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза. $0, 375$

2. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0, 06$ . Покупатель выбирает упаковку с двумя батарейками. Найдите вероятность того, что обе батарейки исправны. $0, 8836$

3. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четырежды. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. $0, 0625$

Независимые испытания: умножаем; «ровно

k

» — ещё и число путей

C_{n}^{k}

.

R08.3 · R08.4

Задача из жизни · можно ли сдать тест наугад?

Тест: $10$ вопросов по $4$ варианта, зачёт — от $6$ верных

$P (зачёт) = k = 6 \sum 10 C_{10}^{k} 0, 2 5^{k} 0, 7 5^{10 - k}$

наугад: $\approx 0, 02$ 1 из 50

Наиболее вероятно угадать? $2$

Знает

5

ответов,

5

угадывает:

1 - 0, 7 5^{5} \approx 0, 76

.

R08.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$p = 0, 6$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 432$
Кубик бросают до первой «шестёрки»: понадобится ровно $3$ броска $\frac{25}{216}$
$p = 0, 5$ : наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один успех) \geq 0, 99$ $7$
Из $6$ деталей $2$ бракованные, берут $3$ : ровно $1$ бракованная $0, 6$

Вариант 2

$p = 0, 3$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 189$
Монету бросают до первого орла: понадобится ровно $4$ броска $0, 0625$
$p = 0, 4$ : наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один успех) \geq 0, 9$ $5$
Из $7$ деталей $3$ бракованные, берут $3$ : ровно $1$ бракованная $\frac{18}{35}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Откуда в формуле Бернулли множитель $C_{n}^{k}$ ?
Чем «впервые при $k$ -м» отличается от «ровно один из $k$ »?
Когда формулой Бернулли пользоваться нельзя?

Домашнее задание

Кубик бросают $5$ раз: ровно $2$ «шестёрки»
$p = 0, 2$ : сколько выстрелов, чтобы $P (хотя бы одно попадание) \geq 0, 8$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-032 · Обобщение: испытания и серии Бернулли

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 4 ч · урок 2/4 · тип О
Единицы → слайды	R08.3 «Серия испытаний Бернулли» → 3–21 · R08.4 (распределение числа успехов, подготовка) → 7, 8, 19 · R08.1, R08.2 в смешанных задачах → 10–12 · R08.4–R08.6 подробно — VIS9U-033, 034
Результаты	ПР-3 (до первого успеха, серии Бернулли) → 3–9, 12–21 · ПР-1 (сочетания) → 4, 10, 11, 20 · ПР-2 (геометрическая вероятность) → 12 · ПР-4 (распределение) → 7, 19
Вне урока	испытания и первый успех — VIS9U-013, 014; формула Бернулли — VIS9U-015; выбор из конечного множества — VIS9U-016; k-й успех, парадокс де Мере — VIS9U-018; события и комбинаторика — VIS9U-031
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Испытания и серии Бернулли: собираем систему

Сегодня вы повторите и научитесь

Выбирать модель

Формула Бернулли

Обратные задачи

Смешанные задачи

Восемь быстрых вопросов

Три независимых испытания: успех p, неудача q=1−p

Серия обрывается на первом успехе

Образец: стрелок попадает с вероятностью 0,7 и стреляет до первого попадания; патронов 4. Найдите вероятность, что он израсходует все патроны.

Сам

Сколько путей × вероятность одного пути

Образец: в тесте 5 вопросов, в каждом 3 варианта ответа. Ученик угадывает. Найдите вероятность ровно 3 верных ответов.

Сам

n=6, p=31​: сколько будет успехов?

Мало слагаемых — считаем прямо, много — через 1−P

Образец: n=6, p=31​ (диаграмма сл. 7). Найдите вероятность того, что успехов будет не меньше двух.

Сам

P(хотя бы один успех)=1−qn — подбираем n

Образец: билет выигрывает с вероятностью 0,2. Сколько билетов купить, чтобы хотя бы один выиграл с вероятностью не меньше 0,9?

Сам

В урне 6 белых и 4 чёрных шара; вынимают 3. Ровно 2 белых?

Сначала вопрос: возвращают или нет?

Образец: в коробке 10 ручек, 3 из них не пишут. Наугад берут 3 ручки. Найдите вероятность, что не пишет ровно одна.

Сам

Успех — точка попала в нужную часть фигуры

Образец: на отрезке [0;10] наугад 4 раза независимо выбирают точку. Найдите вероятность, что ровно 2 раза она попадёт в [0;3].

Сам

Какая модель — такая формула

Неверно → почему → верно

Баскетболист попадает с вероятностью 0,7 и делает 5 бросков

Исправление

Решите и проверьте

Серия Бернулли

Первый успех, выбор, k0​

Подумайте и решите

Ответ — десятичная дробь

Тест: 10 вопросов по 4 варианта, зачёт — от 6 верных

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-032 · Обобщение: испытания и серии Бернулли

Три независимых испытания: успех $p$ , неудача $q = 1 - p$

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ и стреляет до первого попадания; патронов $4$ . Найдите вероятность, что он израсходует все патроны.

Образец: в тесте $5$ вопросов, в каждом $3$ варианта ответа. Ученик угадывает. Найдите вероятность ровно $3$ верных ответов.

$n = 6$ , $p = \frac{1}{3}$ : сколько будет успехов?

Мало слагаемых — считаем прямо, много — через $1 - P$

Образец: $n = 6$ , $p = \frac{1}{3}$ (диаграмма сл. 7). Найдите вероятность того, что успехов будет не меньше двух.

$P (хотя бы один успех) = 1 - q^{n}$ — подбираем $n$

Образец: билет выигрывает с вероятностью $0, 2$ . Сколько билетов купить, чтобы хотя бы один выиграл с вероятностью не меньше $0, 9$ ?

В урне $6$ белых и $4$ чёрных шара; вынимают $3$ . Ровно $2$ белых?

Образец: в коробке $10$ ручек, $3$ из них не пишут. Наугад берут $3$ ручки. Найдите вероятность, что не пишет ровно одна.

Образец: на отрезке $[0; 10]$ наугад $4$ раза независимо выбирают точку. Найдите вероятность, что ровно $2$ раза она попадёт в $[0; 3]$ .

Баскетболист попадает с вероятностью $0, 7$ и делает $5$ бросков

Первый успех, выбор, $k_{0}$

Тест: $10$ вопросов по $4$ варианта, зачёт — от $6$ верных