Повторение и систематизация · урок 1 из 4 · обобщение

Вероятности событий и комбинаторика: собираем систему

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R08 · VIS9U-031

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний» (4 ч), урок 1/4, тип О. Единицы строки: R08.1–R08.6; фокус этого урока (1-я часть списка) — R08.1 «Вероятности случайных событий» и R08.2 «Элементы комбинаторики» плюс смешанные задачи. Следующие уроки: VIS9U-032 — серии испытаний Бернулли (R08.3), VIS9U-033 — случайные величины и их характеристики (R08.4, R08.5), VIS9U-034 — закон больших чисел, E и D изученных распределений (R08.6).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: включение-исключение, условная вероятность — учитель разбирает пример сам) 2,5 · 6 (дерево и формула полной вероятности, пример учителя) 2,5 · 8 (схема выбора комбинаторной формулы) 2 · 11 (треугольник Паскаля, свойства $C_{n}^{k}$ , бином Ньютона) 2 · 14 (итоговая сводка) 1,5.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 12, 13) 2,5 + 2,5 + 2 + 2,5 + 2,5 + 1,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2 · повышенный (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог и ДЗ (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задание 3 на сл. 13 и задание 4 на сл. 18 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Титул: три круга Эйлера, закрашено тройное пересечение $A \cap B \cap C$ — то, что формула включения-исключения возвращает в конце (сл. 4).

R08.1 · R08.2

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Операции с событиями

включение-исключение для трёх событий, условная вероятность (ПР-1)

Дерево и полная вероятность

вероятность события, которое наступает разными путями (ПР-3)

Выбирать формулу

перестановки, размещения, сочетания — и вероятность через них (ПР-1)

Доказывать тождества

свойства $C_{n}^{k}$ и бином Ньютона — алгебраически и комбинаторно (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1: «Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число перестановок, число сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля при решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий». ПР-2 (геометрическая вероятность) — задания сл. 17 (№ 7) и 18 (№ 2). ПР-3 — вероятности в сериях испытаний: независимые попытки (сл. 18, № 1), подробно — VIS9U-032.
Единицы ФРП: R08.1 «Вероятности случайных событий», R08.2 «Элементы комбинаторики».

повторение: VIS9U-001…009

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

$P (A) = 0, 35$ . $P (\overline{A})$ ? $0, 65$
$C_{6}^{2}$ $15$
$A_{5}^{2}$ $20$
$C_{10}^{8}$ $45$

$\frac{6 !}{4 !}$ $30$
Независимы, $0, 5$ и $0, 4$ : $P (A \cap B)$ ? $0, 2$
Сколько подмножеств у ${a, b, c, d}$ ? $16$
Кубик: $P (меньше 3)$ ? $\frac{1}{3}$

R08.1

Теория · сводка · операции над событиями

$Ω = {1, \dots, 30}$ : $A$ — кратные $2$ , $B$ — $3$ , $C$ — $5$

$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$

$- P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C)$

$+ P (A \cap B \cap C)$

$\frac{15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2 + 1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}$

$P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} = \frac{5/30}{10/30} = \frac{1}{2}$

P (A ∣ B) = P (A) = \frac{1}{2}

—

A

и

B

независимы:

P (A \cap B) = P (A) P (B)

.

2,5 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Числа в областях (сосчитано перебором): только A — 8 (2, 4, 8, 14, 16, 22, 26, 28), только B — 4 (3, 9, 21, 27), только C — 2 (5, 25), A∩B без C — 4 (6, 12, 18, 24), A∩C без B — 2 (10, 20), B∩C без A — 1 (15), A∩B∩C — 1 (30), вне кругов — 8 (1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29). Сумма 30 ✓.
Включение-исключение: |A| = 15, |B| = 10, |C| = 6, |A∩B| = 5 (кратные 6), |A∩C| = 3 (кратные 10), |B∩C| = 2 (кратные 15), |A∩B∩C| = 1 (30). Почему «+1» в конце: число 30 посчитано 3 раза в сумме, 3 раза вычтено — его надо вернуть. Итог 22 = 30 − 8 ✓ (по рисунку).
Условная вероятность: среди 10 кратных 3 ровно 5 чётных — P(A | B) = 1/2 = P(A). Значит, A и B независимы (проверка: 1/6 = 1/2 · 1/3 ✓). Вопрос: независимы ли A и C на Ω = {1, …, 30}? (P(A∩C) = 3/30 = 1/10 = 1/2 · 1/5 — да.)

R08.1

Образец → сам · включение-исключение

Три условия «или» — три пересечения и тройное

Образец: из чисел $1$ – $100$ выбирают одно. Найдите вероятность, что оно делится на $2$ , на $3$ или на $5$ .

$50 + 33 + 20 = 103$ кратные $2$ , $3$ , $5$

$- 16 - 10 - 6$ кратные $6$ , $10$ , $15$

$+ 3$ кратные $30$

$P = \frac{74}{100} = 0, 74$

Сам

Число из $1$ – $60$ делится на $2$ , $3$ или $5$ $\frac{11}{15}$
Число из $1$ – $100$ не делится ни на $2$ , ни на $3$ , ни на $5$ $0, 26$
$P (A) = P (B) = P (C) = 0, 5$ , попарные пересечения $0, 25$ , тройное $0, 125$ . $P (A \cup B \cup C)$ ? $0, 875$

R08.1

Теория · сводка · формула полной вероятности

Деталь с завода $1$ ( $60 %$ ) или $2$ ( $40 %$ ); брак $2 %$ и $5 %$

$H_{1}, H_{2}$ — «с завода $1$ / $2$ », $A$ — «брак»:

$P (A) = P (H_{1}) P (A ∣ H_{1}) + P (H_{2}) P (A ∣ H_{2})$

$P (A) = 0, 012 + 0, 02 = 0, 032$

$P (H_{1} ∣ A) = \frac{0 , 012}{0 , 032} = 0, 375$ брак — откуда?

Проверка:

0, 012 + 0, 588 + 0, 02 + 0, 38 = 1

2,5 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Б — брак, Г — годная. На рёбрах второго уровня стоят условные вероятности P(A | H₁) = 0,02 и P(A | H₂) = 0,05. Вдоль пути — умножаем: 0,6 · 0,02 = 0,012; 0,4 · 0,05 = 0,02. Событие «брак» наступает по двум путям — складываем: 0,032.
Обратный вопрос: деталь бракованная — с какого она завода? Доля пути через завод 1 среди всех «бракованных» путей: 0,012 : 0,032 = 0,375; завод 2 — 0,625. Хотя завод 1 даёт больше деталей, брак чаще оказывается со второго.
Вопрос: сколько бракованных в партии из 5000 деталей ожидается? (0,032 · 5000 = 160.)

R08.1

Образец → сам · полная и условная вероятность

Событие наступает разными путями — складываем пути

Образец: в урне I — $3$ белых и $2$ чёрных шара, в урне II — $1$ белый и $3$ чёрных. Урну выбирают монетой и вынимают шар. Найдите $P (белый)$ .

путь I: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = 0, 3$ урна I, затем белый

путь II: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = 0, 125$

$P = 0, 3 + 0, 125 = 0, 425$ полная вероятность

Сам

Те же урны: шар белый. Вероятность, что он из урны I? $\frac{12}{17}$
Болеют $1 %$ . Тест у больного положителен с вероятностью $0, 9$ , у здорового — $0, 05$ . Найдите $P (+)$ $0, 0585$
Тест положителен. Вероятность, что человек болен? $\frac{2}{13} \approx 0, 15$

R08.2

Теория · сводка · как выбрать комбинаторную формулу

Важен ли порядок? Можно ли повторять?

$5$ книг на полке: $P_{5} = 5! = 120$

староста и зам. из $7$ : $A_{7}^{2} = 42$

дежурные: $2$ из $7$ : $C_{7}^{2} = 21$

ПИН-код из $4$ цифр: $1 0^{4}$

Повторяются буквы: ПАПА — $\frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6$ «слов»

2 мин · теория
Схема: сначала вопрос «важен ли порядок?» (меняются ли роли, места, позиции?), потом — «можно ли повторять?». При k = n размещения без повторов — это перестановки: $A_{n}^{n} = P_{n} = n!$ . Связь: $A_{n}^{k} = C_{n}^{k} \cdot k!$ (выбрали состав, затем упорядочили): 42 = 21 · 2 ✓.
Перестановки с повторениями: 4! = 24 перестановки букв, но две П и две А неразличимы — делим на 2! · 2!: ПАПА, ПААП, ППАА, АППА, АПАП, ААПП — 6 ✓.
Правило умножения лежит в основе всех формул: $A_{7}^{2} = 7 \cdot 6$ , $1 0^{4} = 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$ .

R08.2

Образец → сам · выбираем комбинаторную формулу

Разбиваем выбор на этапы и умножаем

Образец: в классе $10$ человек. Сколькими способами выбрать старосту, его заместителя и трёх дежурных из остальных?

староста и зам.: $A_{10}^{2} = 90$ роли разные

дежурные: $C_{8}^{3} = 56$ из $8$ оставшихся

$90 \cdot 56 = 5040$ правило умножения

Сам

Сколько четырёхзначных чисел с различными цифрами? $4536$
Сколько «слов» из всех букв слова МАТЕМАТИКА? $151200$
Сколько диагоналей у выпуклого десятиугольника? $35$

R08.1 · R08.2

Образец → сам · вероятность через сочетания

Благоприятные наборы : все наборы

Образец: в партии $12$ деталей, $4$ из них бракованные. Наугад берут $3$ . Найдите вероятность, что бракованная ровно одна.

все тройки: $C_{12}^{3} = 220$

нужные: $C_{4}^{1} \cdot C_{8}^{2} = 4 \cdot 28 = 112$ брак + 2 годных

$P = \frac{112}{220} = \frac{28}{55}$

Сам

Та же партия: хотя бы одна бракованная $\frac{41}{55}$
Из колоды $36$ карт берут $2$ : оба туза $\frac{1}{105}$
Буквы слова МАТЕМАТИКА перемешали: снова вышло «МАТЕМАТИКА» $\frac{1}{151 200}$

R08.2

Теория · сводка · треугольник Паскаля и бином Ньютона

Строка $n$ — числа $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ симметрия

$C_{n}^{k} + C_{n}^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$ $4 + 6 = 10$

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ $32$

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

$(a + b)^{5} = a^{5} + 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} + 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} + b^{5}$

2 мин · теория
Строки нумеруются с нуля: верхняя единица — n = 0. Каждое число равно сумме двух над ним — это свойство $C_{4}^{1} + C_{4}^{2} = C_{5}^{2}$ (4 + 6 = 10, подсвечено). Строка 5 подсвечена — коэффициенты $(a + b)^{5}$ ; сумма 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = $2^{5}$ (подставили a = b = 1).
Ошибка в подписи «строки $n$ …» — нет: в SVG-тексте подпись без формул; если на экране видны знаки $, сообщить — это служебная подпись. (Подпись выводится как текст «строки n = 0, 1, …, 6».)
Вопрос: чему равна сумма $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots$ ? (Подставить a = 1, b = −1: 0 при n ≥ 1 — сл. 13, задание 3.)

R08.2

Образец → сам · бином Ньютона и свойства сочетаний

Нужный член разложения — по общей формуле

Образец: найдите коэффициент при $x^{3}$ в разложении $(2 x - 1)^{5}$ .

член: $C_{5}^{k} (2 x)^{k} (- 1)^{5 - k}$ $a = 2 x$

$k = 3$ : $C_{5}^{3} \cdot 2^{3} \cdot (- 1)^{2}$

$= 10 \cdot 8 \cdot 1 = 80$

Сам

Коэффициент при $x^{2}$ в $(1 + 3 x)^{4}$ $54$
Сколько подмножеств из не менее $2$ элементов у множества из $6$ элементов? $57$
Найдите $n$ : $C_{n}^{2} = 45$ $10$

R08.2

Образец → сам · комбинаторное доказательство

Считаем одно и то же двумя способами

Образец: докажите $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ .

Считаем: комитет из $k$ человек (из $n$ ) с председателем.

1) состав $C_{n}^{k}$ , председатель — $k$ способов: $k C_{n}^{k}$

2) председатель — $n$ способов, остальные $k - 1$ из $n - 1$ : $n C_{n - 1}^{k - 1}$

Одно множество посчитано двумя способами — числа равны. ∎

Сам: докажите

$C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$ каждый элемент: «берём / нет»
$C_{2 n}^{2} = 2 C_{n}^{2} + n^{2}$ $n$ мальчиков и $n$ девочек
$C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots = 0$ $(1 - 1)^{n} = 0$

1,5 мин · практика
Образец, проверка для n = 5, k = 2: 2 · 10 = 20 = 5 · 4 ✓. Алгебраически: k · n!/(k!(n − k)!) = n!/((k − 1)!(n − k)!) = n · (n − 1)!/((k − 1)!(n − k)!).
1) Левая часть — число всех подмножеств n-элементного множества, разбитых по числу элементов; правая — по правилу умножения: каждый из n элементов берём или нет — 2ⁿ. 2) Выбор 2 человек из n мальчиков и n девочек: оба мальчики $C_{n}^{2}$ , обе девочки $C_{n}^{2}$ , разного пола n · n. Алгебра: n(2n − 1) = 2n² − n = n(n − 1) + n² ✓. 3) Бином при a = 1, b = −1 (n ≥ 1). Комбинаторно: подмножеств с чётным числом элементов столько же, сколько с нечётным.
Если не успеваете — задание 3 в ДЗ.

R08.1 · R08.2

Теория · итоговая сводка

По словам задачи — инструмент

В условии	Инструмент	Когда можно
«или» для $2$ – $3$ событий	включение-исключение	всегда; без вычитаний — если несовместны
«и»	$P (A) P (B ∣ A)$	всегда; $P (A) P (B)$ — если независимы
несколько путей к событию	дерево, полная вероятность	гипотезы $H_{i}$ несовместны и покрывают $Ω$
«хотя бы один»	$1 - P (ни одного)$	всегда
выбор, перестановка	$P_{n}$ , $A_{n}^{k}$ , $C_{n}^{k}$ , $n^{k}$	по схеме: порядок, повторы
коэффициент, сумма $C_{n}^{k}$	бином Ньютона	подставить нужные $a$ , $b$

R08.1 · R08.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
Число из $1$ – $30$ кратно $2$ , $3$ или $5$	$\frac{15 + 10 + 6 - 5 - 3 - 2}{30} = \frac{21}{30}$	$+ 1$ за число $30$ : $\frac{22}{30}$
Делегация из $3$ человек от класса в $10$ человек	$10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$	порядок не важен: $C_{10}^{3} = 120$
Тест: $P (+ ∣ болен) = 0, 9$ . Тест «+» — болен?	«с вероятностью $0, 9$ »	$P (болен ∣ +) \approx 0, 15$ (сл. 7)
$C_{n}^{0}$ и $0!$	$C_{n}^{0} = 0$ , $0! = 0$	$C_{n}^{0} = 1$ , $0! = 1$

1,5 мин · практика
1) Забыли вернуть тройное пересечение: число 30 трижды прибавили и трижды вычли. 2) Члены делегации равноправны; 720 — это размещения (с ролями), каждая делегация посчитана 3! = 6 раз: 720 : 6 = 120. 3) Перепутаны P(A | B) и P(B | A) — разные условные вероятности; правильный ответ — по формуле полной вероятности и доле пути. 4) Пустой набор — один способ: «ничего не выбрать»; 0! = 1 по соглашению, чтобы $C_{n}^{n} = n! / (n! 0!) = 1$ .
Ученики называют, где на сл. 5–13 могли бы ошибиться так же.

R08.1 · R08.2

Найди ошибку

Из $20$ лотерейных билетов $5$ выигрышных. Купили $3$ билета

1) Всего троек: $C_{20}^{3} = 1140$

2) Без выигрыша: $C_{15}^{3} = 15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730$

3) $P (ровно один) = \frac{C _{5}^{1}}{C _{20}^{3}} = \frac{5}{1140}$

4) $P (хотя бы один) = 3 \cdot \frac{5}{20} = 0, 75$

Исправление

2) $\frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 !} = 455$

3) $\frac{5 \cdot C _{15}^{2}}{1140} = \frac{525}{1140} = \frac{35}{76}$

4) $1 - \frac{455}{1140} = \frac{137}{228} \approx 0, 6$

2 мин · практика
Шаг 1 верен: 20 · 19 · 18 : 6 = 1140. Шаг 2: забыли разделить на 3! — посчитаны упорядоченные тройки; $C_{15}^{3}$ = 455. Шаг 3: выбрали только выигрышный билет, а два остальных (из 15 пустых, $C_{15}^{2}$ = 105 способов) не учли: 5 · 105 = 525, 525/1140 = 35/76 ≈ 0,46. Шаг 4: сложили вероятности совместных событий «i-й билет выиграл» — так можно получить и больше 1; верно через противоположное: 1 − 455/1140 = 685/1140 = 137/228 ≈ 0,601 (проверено кодом).
Проверка: ровно 0 — 455, ровно 1 — 525, ровно 2 — $C_{5}^{2} \cdot 15$ = 150, ровно 3 — $C_{5}^{3}$ = 10; сумма 1140 ✓.
Минута поиска в парах, затем исправления по клику.

R08.1 · R08.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

События

Два кубика: сумма очков равна $7$ $\frac{1}{6}$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 8$
$P (A \cap B) = 0, 12$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A ∣ B)$ ? $0, 3$
Точка в квадрате $2 \times 2$ : внутри вписанного круга $\frac{π}{4} \approx 0, 785$

Комбинаторика

Из $5$ юношей и $4$ девушек выбрать $2$ юношей и $1$ девушку $40$
Сколько «слов» из букв слова КОКОС? $30$
Коэффициент при $x^{4}$ в $(x + 3)^{5}$ $15$
Монету бросают $5$ раз: все результаты одинаковые $0, 0625$

R08.1 · R08.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

Три стрелка попадают независимо с вероятностями $0, 6$ ; $0, 7$ ; $0, 8$ . Найдите вероятность, что попал ровно один $0, 188$
На отрезке $[0; 1]$ наугад выбирают два числа $x$ и $y$ . Найдите $P (∣ x - y ∣ < 0, 5)$ $0, 75$
Сколькими способами посадить в ряд $4$ мальчиков и $4$ девочек так, чтобы они чередовались? $1152$
В урне I — $2$ белых и $3$ чёрных шара, в урне II — $4$ белых и $1$ чёрный. Из I во II переложили шар, затем из II вынули шар. $P (белый)$ ? $\frac{11}{15}$

2,5 мин · практика
1) Три пути: П Н Н 0,6 · 0,3 · 0,2 = 0,036; Н П Н 0,4 · 0,7 · 0,2 = 0,056; Н Н П 0,4 · 0,3 · 0,8 = 0,096; сумма 0,188.
2) Квадрат 1 × 1, неблагоприятны два угловых треугольника |x − y| ≥ 0,5 с катетами 0,5: 2 · 0,125 = 0,25; P = 1 − 0,25 = 0,75.
3) Начать можно с мальчика или с девочки — 2 способа; мальчиков по своим местам 4! = 24, девочек 24: 2 · 24 · 24 = 1152.
4) Полная вероятность: переложили белый (2/5) — во II 5 белых из 6; чёрный (3/5) — 4 белых из 6. 2/5 · 5/6 + 3/5 · 4/6 = 10/30 + 12/30 = 22/30 = 11/15 ≈ 0,73.

R08.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичная дробь

1. На олимпиаде $250$ участников рассадили по трём аудиториям. В первых двух — по $120$ человек, остальных — в запасную. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал в запасной аудитории. $0, 04$

2. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не пишет), равна $0, 19$ . Покупатель выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что она пишет хорошо. $0, 81$

3. В соревнованиях $45$ спортсменов: $18$ из России, $9$ из Норвегии, остальные из других стран. Порядок выступления — жребий. Найдите вероятность, что первым выступит спортсмен не из России. $0, 6$

Классическая вероятность: благоприятные : все; «не» — через

1 - P

.

R08.1 · R08.2

Задача из жизни · парадокс дней рождения

В классе $n$ человек. Есть ли двое с общим днём рождения?

все разные: $\frac{365 \cdot 364 \dots ( 365 - n + 1 )}{36 5 ^{n}} = \frac{A _{365}^{n}}{36 5 ^{n}}$

$P (есть совпадение) = 1 - \frac{A _{365}^{n}}{36 5 ^{n}}$

При каком наименьшем $n$ $P > 0, 5$ ? $23$

Класс из

25

человек:

P \approx 0, 57

— совпадение скорее есть, чем нет.

2 мин · практика
Модель: 365 равновозможных дней (без 29 февраля), дни рождения независимы. Все n дней различны — размещения из 365 по n, всего исходов 365ⁿ (с повторениями). Противоположное событие — «хотя бы одно совпадение».
Значения (посчитаны кодом): n = 10 — 0,117; 20 — 0,411; 22 — 0,476; 23 — 0,507; 25 — 0,569; 30 — 0,706; 40 — 0,891; 50 — 0,970. Сначала спросить класс: «как вы думаете, сколько нужно человек для P > 0,5?» — обычно называют 183 (половину года); ответ 23 удивляет.
Почему так мало: пар людей $C_{23}^{2}$ = 253 — у каждой пары шанс 1/365 совпасть.

R08.1 · R08.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Число из $1$ – $50$ делится на $2$ , $3$ или $5$ $0, 72$
$70 %$ деталей — с завода $1$ (брак $1 %$ ), остальные — с завода $2$ (брак $3 %$ ). $P (брак)$ $0, 016$
Коэффициент при $x^{2}$ в $(1 + 2 x)^{6}$ $60$
Из $8$ деталей $3$ бракованные, берут $2$ : обе годные $\frac{5}{14}$

Вариант 2

Число из $1$ – $40$ делится на $2$ , $3$ или $5$ $0, 75$
$40 %$ деталей — с завода $1$ (брак $2 %$ ), остальные — с завода $2$ (брак $1 %$ ). $P (брак)$ $0, 014$
Коэффициент при $x^{2}$ в $(1 + 2 x)^{5}$ $40$
Из $9$ деталей $4$ бракованные, берут $2$ : обе годные $\frac{5}{18}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Зачем в формуле для трёх событий $+ P (A \cap B \cap C)$ ?
Чем $P (A ∣ B)$ отличается от $P (B ∣ A)$ ?
Как понять, что нужны сочетания, а не размещения?

Домашнее задание

Коэффициент при $x^{3}$ в $(x - 2)^{6}$
Из $6$ юношей и $4$ девушек выбирают $3$ : хотя бы одна девушка?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-031 · Обобщение: вероятности событий и комбинаторика

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R08 «Повторение, обобщение, систематизация знаний», 4 ч · урок 1/4 · тип О
Единицы → слайды	R08.1 «Вероятности случайных событий» → 3–7, 10, 14–21 · R08.2 «Элементы комбинаторики» → 3, 8–18, 20–22 · R08.3–R08.6 — VIS9U-032…034
Результаты	ПР-1 (правило умножения, перестановки, сочетания, треугольник Паскаля, вероятности) → 3, 8–13, 15–18, 20–21 · ПР-2 (геометрическая вероятность) → 17, 18 · ПР-3 (независимые испытания) → 18
Вне урока	операции над событиями — VIS9U-001…003; комбинаторика и бином — VIS9U-004…009; геометрическая вероятность — VIS9U-010…012; Бернулли — VIS9U-032
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вероятности событий и комбинаторика: собираем систему

Сегодня вы повторите и научитесь

Операции с событиями

Дерево и полная вероятность

Выбирать формулу

Доказывать тождества

Восемь быстрых вопросов

Ω={1,…,30}: A — кратные 2, B — 3, C — 5

Три условия «или» — три пересечения и тройное

Образец: из чисел 1–100 выбирают одно. Найдите вероятность, что оно делится на 2, на 3 или на 5.

Сам

Деталь с завода 1 (60%) или 2 (40%); брак 2% и 5%

Событие наступает разными путями — складываем пути

Образец: в урне I — 3 белых и 2 чёрных шара, в урне II — 1 белый и 3 чёрных. Урну выбирают монетой и вынимают шар. Найдите P(белый).

Сам

Важен ли порядок? Можно ли повторять?

Разбиваем выбор на этапы и умножаем

Образец: в классе 10 человек. Сколькими способами выбрать старосту, его заместителя и трёх дежурных из остальных?

Сам

Благоприятные наборы : все наборы

Образец: в партии 12 деталей, 4 из них бракованные. Наугад берут 3. Найдите вероятность, что бракованная ровно одна.

Сам

Строка n — числа Cn0​,Cn1​,…,Cnn​

Нужный член разложения — по общей формуле

Образец: найдите коэффициент при x3 в разложении (2x−1)5.

Сам

Считаем одно и то же двумя способами

Образец: докажите kCnk​=nCn−1k−1​.

Сам: докажите

По словам задачи — инструмент

Неверно → почему → верно

Из 20 лотерейных билетов 5 выигрышных. Купили 3 билета

Исправление

Решите и проверьте

События

Комбинаторика

Подумайте и решите

Ответ — десятичная дробь

В классе n человек. Есть ли двое с общим днём рождения?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-031 · Обобщение: вероятности событий и комбинаторика

$Ω = {1, \dots, 30}$ : $A$ — кратные $2$ , $B$ — $3$ , $C$ — $5$

Образец: из чисел $1$ – $100$ выбирают одно. Найдите вероятность, что оно делится на $2$ , на $3$ или на $5$ .

Деталь с завода $1$ ( $60 %$ ) или $2$ ( $40 %$ ); брак $2 %$ и $5 %$

Образец: в урне I — $3$ белых и $2$ чёрных шара, в урне II — $1$ белый и $3$ чёрных. Урну выбирают монетой и вынимают шар. Найдите $P (белый)$ .

Образец: в классе $10$ человек. Сколькими способами выбрать старосту, его заместителя и трёх дежурных из остальных?

Образец: в партии $12$ деталей, $4$ из них бракованные. Наугад берут $3$ . Найдите вероятность, что бракованная ровно одна.

Строка $n$ — числа $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$

Образец: найдите коэффициент при $x^{3}$ в разложении $(2 x - 1)^{5}$ .

Образец: докажите $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ .

Из $20$ лотерейных билетов $5$ выигрышных. Купили $3$ билета

В классе $n$ человек. Есть ли двое с общим днём рождения?