Закон больших чисел · урок 3 из 3

Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS9U-030

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Закон больших чисел» (3 ч), урок 3/3, единица R07.4 «Роль и значение закона больших чисел в науке, в природе и обществе, в том числе в социологических обследованиях и в измерениях». Тип урока — Н. Опора: VIS9U-028 (неравенство Чебышева, закон больших чисел), VIS9U-029 (математические основания измерения вероятностей), VIS9U-024 (свойства $E$ и $D$ ).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (две формы закона с оценкой Чебышева) 1,5 · 5 (опрос: объём выборки, вывод) 2,5 · 8 (среднее измерений, вывод) 2 · 10 (природа и общество) 2,5 · 13 (границы применимости) 1,5 · 14 (сводка) 1. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3,5 · повышенный (сл. 18) 3 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Картинка на титуле: моделирование 2000 бросков монеты (одна реализация, сгенерировано кодом): частота орла после 10 бросков 0,7, после 100 — 0,54, после 2000 — 0,515; полоса — $0, 5 \pm 0, 05$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R07.4

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Планировать опрос

находить объём выборки по точности и надёжности (ПР-6)

Оценивать точность измерений

$σ (\overline{X}) = σ / n$ и оценка Чебышева для среднего (ПР-5, ПР-6)

Видеть закон в природе

генетика, распад, демография, страхование (ПР-6)

Знать границы

когда большое $n$ не спасает: смещённая выборка, систематическая ошибка (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6: «Иметь представление о законе случайных чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости, понимать математическое обоснование близости частоты и вероятности события. Иметь представление о роли закона больших чисел в природе и обществе». ПР-5: «…применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». Коды требований в данных курса не заданы — цели по результатам.
Единица ФРП: R07.4 «Роль и значение закона больших чисел в науке, в природе и обществе, в том числе в социологических обследованиях и в измерениях».

повторение: R07.1–R07.3, R06.5

Разминка · устно

Дисперсия частоты, Чебышев, проценты

Вычислите

$p = 0, 5$ , $n = 100$ : $D (\frac{m}{n}) = \frac{pq}{n}$ $0, 0025$
наибольшее значение $pq$ $\frac{1}{4}$ при $p = \frac{1}{2}$
$D (X) = 4$ : $P (∣ X - EX ∣ \geq 4) \leq$ ? $0, 25$
$σ = 6$ ; $σ$ среднего $9$ независимых измерений $2$

Устно

$\frac{1}{4 \cdot 0 , 01}$ $25$
$0, 0 5^{2}$ $0, 0025$
Из $1200$ опрошенных $300$ «за». Частота? $0, 25$
Опросили читателей одного блога. Переносим на страну? нет

R07.4 (повторение R07.1–R07.2)

Теория · закон больших чисел с оценкой точности

Частота и среднее устойчивы

Частота $\frac{m}{n}$ события с вероятностью $p$ в $n$ независимых опытах:

P (\frac{m}{n} - p \geq ε) \leq \frac{pq}{n ε ^{2}} \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}}

Среднее $\overline{X}$ независимых величин с $EX = a$ , $D (X) = σ^{2}$ :

P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq ε) \leq \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}}

При

n \to \infty

правая часть

\to 0

: случайность «гасится» массой.

1,5 мин · теория
Напоминание VIS9U-028: неравенство Чебышева $P (∣ X - EX ∣ \geq ε) \leq D (X) / ε^{2}$ , применённое к частоте ( $D = pq / n$ ) и к среднему ( $D = σ^{2} / n$ ). Сегодня обе оценки — рабочий инструмент: по ним планируют опросы, измерения, страховые фонды.
График — моделирование трёх серий по 2000 бросков монеты (сгенерировано кодом): итоговые частоты 0,506; 0,508; 0,501 — все внутри полосы $0, 5 \pm 0, 05$ . Для $n = 2000$ , $ε = 0, 05$ оценка даёт $P (выход из полосы) \leq \frac{1}{4 \cdot 2000 \cdot 0 , 0025} = 0, 05$ .
Вопрос классу: почему закон называют «статистической устойчивостью»? (Отдельный опыт непредсказуем, а доля и среднее в массе опытов почти не меняются.)

R07.4 · социологические обследования

Теория · социологический опрос: сколько опросить?

Доля в выборке ≈ доля в совокупности

Случайно опрашиваем $n$ человек; ответ «за» — успех с вероятностью $p$ (неизвестной доли).

Хотим: $\frac{m}{n} - p < ε$ погрешность
с вероятностью $\geq 1 - δ$ надёжность

Достаточно $\frac{1}{4 n ε ^{2}} \leq δ$ Чебышев, $pq \leq \frac{1}{4}$

n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} δ}

Объём выборки не зависит от размера города или страны.

2,5 мин · теория (вывод у доски)
Модель: выбор случайного человека из большой совокупности — испытание Бернулли с $p$ , равным доле «за» (выбор без возвращения из миллионов почти не отличается от выбора с возвращением). Частота в выборке — оценка $p$ .
Так как $p$ неизвестно, берём худший случай $pq \leq \frac{1}{4}$ . Если заранее известно, что $p \leq 0, 1$ (редкое событие), то $pq \leq 0, 09$ и выборка нужна меньше (сл. 7, задание 3).
Рисунок (сгенерирован кодом): 200 человек, 80 «за» ( $p = 0, 4$ ), в случайной выборке из 25 — 9 «за», частота 0,36. При 25 опрошенных ошибка в 0,04 — обычное дело; нужны сотни и тысячи.
Для учителя: оценка Чебышева — «с запасом». Социологи пользуются более точной (нормальное приближение, после 9 класса): для $\pm 3 %$ с надёжностью $0, 95$ хватает около $1100$ человек, а Чебышев требует $\frac{1}{4 \cdot 0 , 0009 \cdot 0 , 05} \approx 5556$ . Но главный вывод тот же: объём выборки определяется точностью, а не размером страны.

R07.4

Образец → сам · объём выборки опроса

$n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} δ}$

Образец: погрешность $ε = 0, 05$ , надёжность $0, 95$ . Сколько опросить?

$δ = 1 - 0, 95 = 0, 05$ допустимый риск

$ε^{2} = 0, 0025$ квадрат погрешности

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 0025 \cdot 0 , 05} = \frac{1}{0 , 0005}$ формула

$n \geq$ $2000$ человек

Сам

$ε = 0, 1$ , надёжность $0, 9$ . Найдите $n$ $250$
$ε = 0, 02$ , надёжность $0, 9$ . Найдите $n$ $6250$
Опросили $1000$ человек, $ε = 0, 05$ . Какую надёжность гарантирует Чебышев? $\geq 0, 9$

R07.4 · социологические обследования

Образец → сам · погрешность готового опроса

Обратная задача: $ε$ по $n$ и $δ$

Образец: из $2500$ опрошенных $1050$ «за». Надёжность $0, 96$ . Оцените долю «за»

$\frac{m}{n} = \frac{1050}{2500} = 0, 42$ частота

$\frac{1}{4 n ε ^{2}} = 0, 04 \Rightarrow ε^{2} = \frac{1}{400}$ $δ = 0, 04$

$ε = 0, 05$

$p \in (0, 37; 0, 47)$ с вероятностью $\geq 0, 96$

Сам: найдите $ε$ или $n$

$n = 10000$ , надёжность $0, 96$ . Найдите $ε$ $0, 025$
$n = 400$ , надёжность $0, 75$ . Найдите $ε$ $0, 05$
Известно: доля брака $p \leq 0, 1$ . Для $ε = 0, 03$ и надёжности $0, 9$ найдите $n$ $1000$

R07.4 · измерения

Теория · почему измеряют много раз · вывод

Среднее $n$ измерений точнее в $n$ раз

$X_{i} = a + ошибка_{i}$ , $E X_{i} = a$ , $D (X_{i}) = σ^{2}$ , независимы

$E \overline{X} = \frac{1}{n} (a + \dots + a) = a$ $E$ суммы

$D (\overline{X}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n}$ $D (c X) = c^{2} D$ , независимость

$σ (\overline{X}) = \frac{σ}{n}$ ; $P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq ε) \leq \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}}$

Систематическая ошибка прибора (сдвиг

c

) не уменьшается:

\overline{X} \to a + c

.

2 мин · теория (вывод у доски по свойствам VIS9U-024)
Модель измерения: истинное значение $a$ плюс случайная ошибка с нулевым средним (прибор «не врёт в среднем»). Так физики, химики, геодезисты и метрологи повышают точность: повторяют измерение и берут среднее.
Рисунок (сгенерирован кодом, $a = 50$ , $σ = 0, 5$ ): 30 отдельных измерений разбросаны от 49,4 до 50,9; 30 средних по 10 измерений — от 49,7 до 50,5: разброс меньше примерно в $10 \approx 3, 2$ раза.
Важно: чтобы уменьшить ошибку вдвое, нужно вчетверо больше измерений. Систематическую ошибку (неверно выставленный ноль весов) усреднение не убирает — её устраняют поверкой прибора.

R07.4 · измерения

Образец → сам · сколько раз измерять?

$n \geq \frac{σ ^{2}}{ε ^{2} δ}$

Образец: штангенциркуль, $σ = 0, 5$ мм. Нужна погрешность среднего $0, 1$ мм с надёжностью $0, 95$

$\frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} \leq δ$ Чебышев для среднего

$n \geq \frac{0 , 25}{0 , 01 \cdot 0 , 05}$ $σ^{2} = 0, 25$ , $ε^{2} = 0, 01$

$n \geq$ $500$ измерений

Сам

$σ = 2$ , $n = 25$ . Найдите $σ (\overline{X})$ $0, 4$
Во сколько раз больше измерений нужно, чтобы $σ (\overline{X})$ уменьшилась в $3$ раза? в $9$
$σ = 1$ , $n = 100$ . Оцените $P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq 0, 5)$ $\leq 0, 04$

R07.4 · наука, природа, общество

Теория · закон больших чисел в природе и обществе

Случайность отдельного — закономерность массы

Генетика

Мендель: $5474$ гладких и $1850$ морщинистых горошин; доля $\approx 0, 747$ при теории $\frac{3}{4}$

Физика

атом распадается случайно, а за период полураспада распадается ровно половина из $1 0^{20}$ атомов; давление газа — среднее ударов молекул

Демография

доля мальчиков среди новорождённых год за годом $\approx 0, 51$

Экономика и техника

страхование, контроль качества по выборке, метод Монте-Карло

2,5 мин · теория
Генетика: Г. Мендель (1865) во втором поколении гибридов гороха получил 5474 гладких и 1850 морщинистых семян, всего 7324: доля гладких $5474/7324 \approx 0, 7474$ , теория — $3/4$ (каждое растение получает признак случайно). Подробно — сл. 11.
Физика: каждый радиоактивный атом за период полураспада распадается с вероятностью $\frac{1}{2}$ независимо от других; атомов так много, что доля распавшихся практически точно равна $\frac{1}{2}$ — поэтому радиоуглеродный метод датирования работает. Давление газа — средний результат ударов огромного числа молекул: отдельный удар случаен, а давление стабильно.
Демография: на 1000 девочек рождается около 1050 мальчиков, доля $\approx 0, 512$ ; это заметил ещё П. Лаплас по статистике Парижа и Лондона.
Экономика: страховая компания не знает, у кого случится пожар, но знает, сколько пожаров будет в среднем (сл. 12). Контроль качества: по выборке судят о партии. Монте-Карло: площади и интегралы по случайным точкам (сл. 18, задание 4).
Вопрос классу: приведите свой пример массового явления, где отдельный случай непредсказуем, а среднее устойчиво (ДТП в год, звонки в колл-центр, урожайность, посещаемость).

R07.4 · природа

Образец → сам · проверяем закон природы

Согласуются ли данные с теорией?

Образец: Мендель, $n = 7324$ , гладких $5474$ , теория $p = \frac{3}{4}$

ожидалось $n p = 5493$ , частота $\approx 0, 7474$ отклонение $0, 0026$

$P (∣ \frac{m}{n} - \frac{3}{4} ∣ \geq 0, 01) \leq \frac{3/16}{7324 \cdot 0 , 0001} \approx 0, 26$

отклонение меньше $0, 01$ ожидаемо с вероятностью $\geq 0, 74$

данные согласуются с теорией

Сам: оцените сверху

$1 0^{6}$ атомов, $p = \frac{1}{2}$ : $P (∣ \frac{m}{n} - \frac{1}{2} ∣ \geq 0, 005)$ $\leq 0, 01$
$1 0^{20}$ атомов: $P (∣ \frac{m}{n} - \frac{1}{2} ∣ \geq 1 0^{- 6})$ $\leq 2, 5 \cdot 1 0^{- 9}$
$10000$ рождений, $p = 0, 512$ : $P (∣ \frac{m}{n} - p ∣ \geq 0, 02)$ , взяв $pq \leq \frac{1}{4}$ $\leq 0, 0625$

R07.4 · общество

Образец → сам · задача из жизни: страховая компания

Почему крупной компании риск меньше

Образец: выплата $100000$ р. с вероятностью $0, 01$ , иначе $0$ . Взнос $1500$ р., клиентов $10000$ . Оцените риск убытка

$EX = 1000$ ; $D (X) = 1 0^{10} \cdot 0, 01 \cdot 0, 99 = 9, 9 \cdot 1 0^{7}$

убыток, если $\overline{X} \geq 1500$ , т. е. $∣ \overline{X} - 1000∣ \geq 500$

$P \leq \frac{9 , 9 \cdot 1 0 ^{7}}{1 0 ^{4} \cdot 50 0 ^{2}} = 0, 0396$

Сам

Та же оценка для $1000$ клиентов $\leq 0, 396$
Сколько клиентов нужно, чтобы оценка была $\leq 0, 01$ ? $39600$
Взнос $1100$ р., $10000$ клиентов. Оценка риска $\leq 0, 99$

2,5 мин · практика
Образец: $X$ — выплата одному клиенту; $E (X^{2}) = 1 0^{10} \cdot 0, 01 = 1 0^{8}$ , $D = 1 0^{8} - 1 0^{6} = 9, 9 \cdot 1 0^{7}$ (то же, что $10000 0^{2} \cdot pq$ ). $\overline{X}$ — средняя выплата на клиента. Компания в убытке, если средняя выплата не меньше взноса.
1) $\frac{9 , 9 \cdot 1 0 ^{7}}{1 0 ^{3} \cdot 2 , 5 \cdot 1 0 ^{5}} = 0, 396$ — маленькой компании такой взнос опасен. 2) $n \geq \frac{9 , 9 \cdot 1 0 ^{7}}{2 , 5 \cdot 1 0 ^{5} \cdot 0 , 01} = 39600$ . 3) $\frac{9 , 9 \cdot 1 0 ^{7}}{1 0 ^{4} \cdot 10 0 ^{2}} = 0, 99$ — оценка ничего не гарантирует: надбавка к $EX$ слишком мала.
Вывод: взнос = мат. ожидание выплаты + надбавка на риск; чем больше клиентов, тем меньше нужная надбавка. На этом основано всё страхование.

R07.4

Теория · когда закон больших чисел не спасает

Важно не только $n$ , но и как получены данные

Смещённая выборка

1936, США: журнал собрал $2, 4$ млн анкет и ошибся с победителем; Гэллап по $\approx 50$ тыс. случайно отобранных — угадал

Систематическая ошибка

весы с неверным нулём: среднее $\to a + c$ , а не $a$

Зависимые опыты

ответы под влиянием соседа, «цепочка» знакомых — формулы $D = \frac{pq}{n}$ неверны

Малое $n$

$10$ бросков, $7$ орлов — не повод говорить, что $p = 0, 7$

1,5 мин · теория
1936 г.: журнал Literary Digest разослал анкеты по телефонным книгам и спискам владельцев автомобилей (в годы Великой депрессии — более обеспеченные люди), получил около 2,4 млн ответов и предсказал победу А. Лэндона; победил Ф. Рузвельт. Дж. Гэллап по гораздо меньшей, но представительной выборке предсказал верно. Огромная смещённая выборка оценивает не ту долю $p$ .
Систематическая ошибка: все измерения сдвинуты на $c$ , усреднение даёт $a + c$ (сл. 8). Зависимость: свойства $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$ требуют независимости (VIS9U-024).
Малое $n$ : при $n = 10$ оценка Чебышева для $ε = 0, 2$ даёт $\frac{1}{4 \cdot 10 \cdot 0 , 04} = 0, 625$ — почти ничего не гарантирует.

R07.4

Теория · сводка правил

Закон больших чисел как инструмент

Задача	Формула	Условие
оценка доли	$P (∣ \frac{m}{n} - p ∣ \geq ε) \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}}$	случайная выборка, независимость
объём опроса	$n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} δ}$	надёжность $1 - δ$
точность среднего	$σ (\overline{X}) = \frac{σ}{n}$	нет систематической ошибки
число измерений	$n \geq \frac{σ ^{2}}{ε ^{2} δ}$	независимые измерения

R07.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«ошибка игрока»	после $5$ решек орёл вероятнее	броски независимы: $P = \frac{1}{2}$
точность среднего	$σ (\overline{X}) = \frac{σ}{n}$	$σ (\overline{X}) = \frac{σ}{n}$
объём выборки	$n \geq \frac{1}{4 ε δ}$	$n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} δ}$
размер вместо случайности	$1 0^{6}$ ответов — значит, точно	нужна случайная выборка

R07.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $ε = 0, 1$ , надёжность $0, 95$ . Сколько опросить?

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 1 \cdot 0 , 05} = 50$

забыт квадрат: $ε^{2} = 0, 01$

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 01 \cdot 0 , 05} = 500$

б) $σ = 3$ , сделано $9$ измерений. Найдите $σ (\overline{X})$

$σ (\overline{X}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

делят на $n$ , а не на $n$

$σ (\overline{X}) = \frac{3}{9} = 1$

в) Голосование на сайте: $10000$ голосов, $80 %$ «за»

«По Чебышеву доля «за» в стране — $80 % \pm 1 %$ »

голосуют добровольцы — выборка не случайная

о стране вывод сделать нельзя

R07.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Опросы

$ε = 0, 1$ , надёжность $0, 95$ . Найдите $n$ $500$
$n = 500$ , $ε = 0, 05$ . Надёжность не меньше … $0, 8$
Из $1500$ опрошенных $600$ «за». Сколько «за» среди $200000$ жителей? $\approx 80000$

Измерения

$σ = 0, 8$ г, $n = 16$ . Найдите $σ (\overline{X})$ $0, 2$ г
$σ = 4$ . При каком $n$ будет $σ (\overline{X}) = 0, 5$ ? $64$
$D (X) = 9$ , $n = 100$ . Оцените $P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq 1)$ $\leq 0, 09$

R07.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько раз бросить монету, чтобы по Чебышеву частота орла отличалась от $0, 5$ меньше чем на $0, 01$ с вероятностью $\geq 0, 99$ ? $250000$
повыш.Доля брака не больше $0, 05$ . Сколько деталей проверить, чтобы оценить её с $ε = 0, 01$ и надёжностью $0, 95$ ? $9500$
повыш.Прибор А: $σ = 2$ , прибор Б: $σ = 1$ . Сколько измерений прибором А дадут ту же $σ (\overline{X})$ , что $10$ измерений прибором Б? $40$
наукаМонте-Карло: $10000$ случайных точек в квадрате, частота попаданий в четверть круга $f \approx \frac{π}{4}$ . Оцените $P (∣4 f - π ∣ \geq 0, 1)$ $\leq 0, 04$

R07 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность по статистике

1. В среднем из $500$ садовых насосов, поступивших в продажу, $6$ подтекают. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает.

Ответ: $0, 988$

2. Фабрика выпускает сумки. В среднем $8$ сумок из $160$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Ответ: $0, 95$

3. В среднем из $1000$ аккумуляторов, поступивших в продажу, $5$ неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор исправен.

Ответ: $0, 995$

R07.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$ε = 0, 05$ , надёжность $0, 9$ . Найдите объём опроса $1000$
$n = 4000$ , надёжность $0, 975$ . Найдите $ε$ $0, 05$
$σ = 1, 2$ , $n = 36$ . Найдите $σ (\overline{X})$ $0, 2$
$D (X) = 4$ , $n = 400$ . Оцените $P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq 0, 2)$ $\leq 0, 25$

Вариант 2

$ε = 0, 1$ , надёжность $0, 8$ . Найдите объём опроса $125$
$n = 1000$ , надёжность $0, 9$ . Найдите $ε$ $0, 05$
$σ = 2, 5$ , $n = 25$ . Найдите $σ (\overline{X})$ $0, 5$
$D (X) = 9$ , $n = 900$ . Оцените $P (∣ \overline{X} - a ∣ \geq 0, 5)$ $\leq 0, 04$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему опросу $1500$ человек можно верить, а $2, 4$ млн анкет 1936 г. — нет?
Во сколько раз больше измерений нужно для вдвое большей точности?
Ваш пример закона больших чисел в природе

Домашнее задание

Объём опроса при $ε = 0, 04$ и надёжности $0, 95$
Весы: $σ = 0, 3$ г. Сколько взвешиваний, чтобы $σ (\overline{X}) \leq 0, 05$ г?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-030 · Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R07 «Закон больших чисел», 3 ч · урок 3/3 · тип Н
Единицы → слайды	R07.4 «Роль и значение закона больших чисел в науке, в природе и обществе, в том числе в социологических обследованиях и в измерениях» → 2, 4–21 · повторение R07.1–R07.3, R06.5 → 3, 4
Результаты	ПР-6 (закон больших чисел, близость частоты и вероятности, роль в природе и обществе) → 2–18, 20, 21 · ПР-5 (числовые характеристики) → 8, 9, 12 · ОГЭ (линия 10) → 19
Вне урока	неравенство Чебышева и закон больших чисел — VIS9U-028; математические основания измерения вероятностей — VIS9U-029; повторение курса — строка R08 (VIS9U-031)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе

Сегодня вы научитесь

Планировать опрос

Оценивать точность измерений

Видеть закон в природе

Знать границы

Дисперсия частоты, Чебышев, проценты

Вычислите

Устно

Частота и среднее устойчивы

Доля в выборке ≈ доля в совокупности

n≥4ε2δ1​

Образец: погрешность ε=0,05, надёжность 0,95. Сколько опросить?

Сам

Обратная задача: ε по n и δ

Образец: из 2500 опрошенных 1050 «за». Надёжность 0,96. Оцените долю «за»

Сам: найдите ε или n

Среднее n измерений точнее в n​ раз

n≥ε2δσ2​

Образец: штангенциркуль, σ=0,5 мм. Нужна погрешность среднего 0,1 мм с надёжностью 0,95

Сам

Случайность отдельного — закономерность массы

Генетика

Физика

Демография

Экономика и техника

Согласуются ли данные с теорией?

Образец: Мендель, n=7324, гладких 5474, теория p=43​

Сам: оцените сверху

Почему крупной компании риск меньше

Образец: выплата 100000 р. с вероятностью 0,01, иначе 0. Взнос 1500 р., клиентов 10000. Оцените риск убытка

Сам

Важно не только n, но и как получены данные

Смещённая выборка

Систематическая ошибка

Зависимые опыты

Малое n

Закон больших чисел как инструмент

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) ε=0,1, надёжность 0,95. Сколько опросить?

б) σ=3, сделано 9 измерений. Найдите σ(X)

в) Голосование на сайте: 10000 голосов, 80% «за»

Решите и проверьте

Опросы

Измерения

Подумайте и решите

Вероятность по статистике

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-030 · Роль закона больших чисел в науке, природе и обществе

$n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} δ}$

Образец: погрешность $ε = 0, 05$ , надёжность $0, 95$ . Сколько опросить?

Обратная задача: $ε$ по $n$ и $δ$

Образец: из $2500$ опрошенных $1050$ «за». Надёжность $0, 96$ . Оцените долю «за»

Сам: найдите $ε$ или $n$

Среднее $n$ измерений точнее в $n$ раз

$n \geq \frac{σ ^{2}}{ε ^{2} δ}$

Образец: штангенциркуль, $σ = 0, 5$ мм. Нужна погрешность среднего $0, 1$ мм с надёжностью $0, 95$

Образец: Мендель, $n = 7324$ , гладких $5474$ , теория $p = \frac{3}{4}$

Образец: выплата $100000$ р. с вероятностью $0, 01$ , иначе $0$ . Взнос $1500$ р., клиентов $10000$ . Оцените риск убытка

Важно не только $n$ , но и как получены данные

Малое $n$

а) $ε = 0, 1$ , надёжность $0, 95$ . Сколько опросить?

б) $σ = 3$ , сделано $9$ измерений. Найдите $σ (\overline{X})$

в) Голосование на сайте: $10000$ голосов, $80 %$ «за»