Закон больших чисел · урок 2 из 3

Математические основания измерения вероятностей

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS9U-029

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Закон больших чисел» (3 ч), урок 2/3, единица R07.3 «Математические основания измерения вероятностей». Тип урока — Н. Опора: VIS9U-028 (неравенство Чебышева, закон больших чисел), VIS9U-024 (свойства $E$ и $D$ ), VIS9U-025 (биномиальное распределение: $E = n p$ , $D = n pq$ ), VIS9U-010 — VIS9U-012 (геометрическая вероятность, случайные точки).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (частота — оценка вероятности) 2,5 · 6 (неравенство Чебышева для частоты, $pq \leq \frac{1}{4}$ ) 3 · 8 (сколько опытов нужно) 1,5 · 10 (интервал для $p$ ) 1,5 · 12 (метод Монте-Карло) 2 · 14 (сводка) 1. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11) по 2, (сл. 13) 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный (сл. 18) 3 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 2,5 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Картинка на титуле — 260 случайных точек в единичном квадрате (компьютерная генерация), внутри четверти круга — 198. Доля точек $ν$ оценивает вероятность $\frac{π}{4}$ , отсюда $π \approx 4 ν \approx 3, 05$ . Вопрос классу: «Насколько можно доверять такому числу? Сколько точек нужно, чтобы получить $π$ точнее?» — ответ к концу урока.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R07.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Обосновывать оценку $p \approx ν$

$E (ν) = p$ , $D (ν) = \frac{pq}{n}$ (ПР-6)

Гарантировать точность

$P (∣ ν - p ∣ \geq ε) \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}}$ (ПР-5, ПР-6)

Планировать опыт

сколько опытов нужно и каков интервал для $p$ (ПР-6)

Измерять методом Монте-Карло

площади и число $π$ по случайным точкам (ПР-2, ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6: «Иметь представление о законе случайных чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости, понимать математическое обоснование близости частоты и вероятности события…». ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». ПР-2: геометрическая вероятность (случайный выбор точек из фигуры). Коды требований в данных курса не заданы — цели по результатам.
Деятельность по ФРП (R07): «изучать частоту события в повторяющихся случайных опытах как случайную величину», «решать задачи на измерение вероятностей с помощью частот», «обсуждать роль закона больших чисел в обосновании частотного метода измерения вероятностей».

повторение: VIS9U-024, VIS9U-025, VIS9U-028

Разминка · устно

Чебышев, дисперсия, частота

Вычислите

$D (X) = 4$ . Оценка $P (∣ X - EX ∣ \geq 4) \leq ?$ $0, 25$
$pq$ при $p = 0, 3$ $0, 21$
$0, 0 5^{2}$ $0, 0025$
$\frac{1}{4 \cdot 0 , 0 5 ^{2}}$ $100$

Ответьте

$D (X / n)$ , если $D (X) = n pq$ $\frac{pq}{n}$
Наибольшее значение $p (1 - p)$ $\frac{1}{4}$ при $p = \frac{1}{2}$
$200$ бросков, $90$ орлов. Частота? $0, 45$
Число успехов $X$ , $n = 100$ , $p = 0, 3$ . $E (X)$ ? $30$

R07.3

Теория · частота — оценка вероятности

Частота $ν = \frac{X}{n}$ «в среднем» равна $p$

$X$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли опыт повторяем независимо

$E (X) = n p, D (X) = n pq$ биномиальное распределение

$E (ν) = E (\frac{X}{n}) = \frac{n p}{n} = p$ $E (c X) = c E (X)$

$D (ν) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot n pq = \frac{pq}{n}$ $D (c X) = c^{2} D (X)$

$σ (ν) = \frac{pq}{n} \to 0$ при $n \to \infty$

Измерить вероятность — значит оценить неизвестное число

p

по наблюдаемой случайной величине

ν

.

Оценка несмещённая:

E (ν) = p

— нет систематической ошибки. Разброс убывает как

\frac{1}{n}

.

2,5 мин · теория
Ключевая идея урока: вероятность $p$ — неизвестное число, характеристика опыта; частота $ν$ — случайная величина, которую мы наблюдаем. Математическое основание метода измерения — два факта: $E (ν) = p$ (частота «целится» в $p$ ) и $D (ν) = pq / n \to 0$ (с ростом $n$ разброс исчезает).
Вывод опирается на свойства $E$ и $D$ (VIS9U-024) и формулы $E (X) = n p$ , $D (X) = n pq$ (VIS9U-025). Вопрос классу: «Почему нужна независимость опытов?» — без неё не работает $D (X) = n pq$ (дисперсия суммы равна сумме дисперсий только для независимых слагаемых).
Разброс $\sim 1/ n$ : чтобы уменьшить его в $10$ раз, опытов нужно в $100$ раз больше.

R07.3 · ПР-5

Образец → сам · ожидание и разброс частоты

$E (ν) = p$ , $D (ν) = \frac{pq}{n}$

Образец: $p = 0, 2$ , $n = 400$ . Найдите $E (ν)$ , $D (ν)$ , $σ (ν)$

$E (ν) = p = 0, 2$ несмещённость

$pq = 0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$ $q = 1 - p$

$D (ν) = \frac{0 , 16}{400} = 0, 0004$ $D (ν) = pq / n$

Ответ: $0, 2$ ; $0, 0004$ ; $σ = 0, 02$

Сам

Монета, $n = 2500$ . $σ (ν)$ $0, 01$
$p = 0, 1$ , $n = 900$ . $D (ν)$ и $σ (ν)$ $0, 0001$ ; $0, 01$
Монета. При каком $n$ будет $σ (ν) = 0, 005$ ? $n = 10000$

R07.3

Теория · гарантированная точность · вывод

Оценка, которая не требует знать $p$

$P (∣ ν - p ∣ \geq ε) \leq \frac{D ( ν )}{ε ^{2}} = \frac{pq}{n ε ^{2}}$ неравенство Чебышева

$pq = p - p^{2} = \frac{1}{4} - (p - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}$ выделили квадрат

P (∣ ν - p ∣ \geq ε) \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}}

верно при любом неизвестном

p

$\frac{1}{4 n ε ^{2}} \to 0$ при $n \to \infty$ закон больших чисел (Бернулли)

3 мин · теория
Вывод по шагам. 1) Применяем неравенство Чебышева (VIS9U-028) к случайной величине $ν$ : $E (ν) = p$ , $D (ν) = pq / n$ . 2) Правая часть зависит от неизвестного $p$ — оценим $pq$ сверху: $p (1 - p) = \frac{1}{4} - (p - \frac{1}{2})^{2} \leq \frac{1}{4}$ , равенство при $p = \frac{1}{2}$ (график справа). 3) Получаем оценку, которая годится для любого $p$ — именно это нужно при измерении, ведь $p$ неизвестна.
4) При фиксированном $ε$ правая часть стремится к $0$ — это закон больших чисел в форме Бернулли, теперь с количественной оценкой точности.
Словарь: $ε$ — точность (допустимое отклонение), $α$ — допустимая вероятность ошибки, $1 - α$ — надёжность. Если $p$ заранее известно хотя бы примерно (например, $p \leq 0, 1$ ), вместо $\frac{1}{4}$ берут наибольшее $pq$ на этом промежутке — оценка точнее.

R07.3 · ПР-6

Образец → сам · надёжность измерения

Даны $n$ и $ε$ — с какой надёжностью $∣ ν - p ∣ < ε$ ?

Образец: кнопку бросили $1000$ раз. Оцените вероятность того, что частота отличается от $p$ меньше чем на $0, 05$

$P (∣ ν - p ∣ \geq 0, 05) \leq \frac{1}{4 \cdot 1000 \cdot 0 , 0025}$ $p$ неизвестна

$= \frac{1}{10} = 0, 1$ вероятность ошибки

$P (∣ ν - p ∣ < 0, 05) \geq 1 - 0, 1$ противоположное событие

Ответ: не меньше $0, 9$

Сам: надёжность не меньше …

$n = 2500$ , $ε = 0, 02$ $0, 75$
$n = 500$ , $ε = 0, 1$ $0, 95$
$p = 0, 1$ известна, $n = 900$ , $ε = 0, 03$ $\frac{8}{9} \approx 0, 89$

R07.3

Теория · сколько опытов нужно

Точность $ε$ , надёжность $1 - α$ $\Rightarrow$ число опытов $n$

$\frac{1}{4 n ε ^{2}} \leq α$ ошибка не больше $α$

n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} α}

достаточное число опытов

Точность вдвое выше

\Rightarrow

опытов в

4

раза больше

$ε$	$α = 0, 1$	$α = 0, 05$
$0, 1$	$250$	$500$
$0, 05$	$1000$	$2000$
$0, 01$	$25000$	$50000$

1,5 мин · теория
Решаем неравенство относительно $n$ . Таблица: $1/ (4 \cdot 0, 01 \cdot 0, 1) = 250$ ; $\dots \cdot 0, 05 = 500$ ; $1/ (4 \cdot 0, 0025 \cdot 0, 1) = 1000$ ; $2000$ ; $1/ (4 \cdot 0, 0001 \cdot 0, 1) = 25000$ ; $50000$ . Проверено python.
Вопрос классу: «Что дороже — повысить точность или надёжность?» Точность входит в квадрате: уменьшить $ε$ в $2$ раза — $n$ в $4$ раза; уменьшить $α$ в $2$ раза — $n$ лишь в $2$ раза.
Это достаточное число опытов (с запасом). Более точные оценки (через нормальное распределение) дают примерно в $5$ раз меньше — это 10–11 класс.

R07.3 · ПР-6

Образец → сам · планирование опыта

Найдите достаточное число опытов

Образец: сколько деталей проверить, чтобы с надёжностью $0, 95$ оценить долю брака с точностью $0, 01$ ?

$ε = 0, 01$ , $α = 1 - 0, 95 = 0, 05$ данные

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 0001 \cdot 0 , 05}$ $n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} α}$

$= \frac{1}{0 , 00002} = 50000$

Ответ: $50000$ деталей

Сам

$ε = 0, 05$ , надёжность $0, 9$ $1000$
$ε = 0, 02$ , надёжность $0, 95$ $12500$
Известно $p \leq 0, 1$ ; $ε = 0, 01$ , надёжность $0, 9$ $9000$

R07.3

Теория · интервал для неизвестной вероятности

Результат измерения: $p = ν \pm ε$ с надёжностью $1 - α$

$\frac{1}{4 n ε ^{2}} = α \Rightarrow ε = \frac{1}{2 n α}$ точность при данных $n$ , $α$

$P (ν - ε < p < ν + ε) \geq 1 - α$

Пример:

n = 2000

,

ν = 0, 38

,

α = 0, 05

:

ε = \frac{1}{2 100} = 0, 05

,

p \in (0, 33; 0, 43)

1,5 мин · теория
Обратная постановка: опыт уже проведён ( $n$ известно), задаём надёжность — получаем точность $ε = 1/ (2 n α)$ . Неравенство $∣ ν - p ∣ < ε$ равносильно $ν - ε < p < ν + ε$ — интервал, который «накрывает» неизвестное $p$ с вероятностью не меньше $1 - α$ .
Аккуратная формулировка: случаен интервал (он зависит от $ν$ ), а $p$ — число. «С надёжностью $0, 95$ » значит: в $95 %$ (и больше) таких измерений интервал накроет $p$ .
Так и записывают результат любого измерения: «значение $\pm$ погрешность». Подробно о роли этого в науке, опросах и измерениях — следующий урок (VIS9U-030).

R07.3 · ПР-6

Образец → сам · интервал для $p$

Запишите результат измерения $p = ν \pm ε$

Образец: монету бросили $10000$ раз, орлов — $5070$ . Надёжность $0, 96$ . Есть ли основания считать монету несимметричной?

$ν = 0, 507$ , $n α = 10000 \cdot 0, 04 = 400$ $α = 0, 04$

$ε = \frac{1}{2 400} = 0, 025$ $ε = \frac{1}{2 n α}$

$p \in (0, 482; 0, 532)$ $ν \pm ε$

$0, 5$ внутри — оснований нет

Сам: найдите интервал

$n = 400$ , $m = 240$ , $α = 0, 25$ $(0, 55; 0, 65)$
$n = 2000$ , $m = 760$ , $α = 0, 05$ $(0, 33; 0, 43)$
$n = 2500$ , $m = 1500$ , $α = 0, 01$ . Симметрична ли монета? $(0, 5; 0, 7)$ — нет

R07.3 · ПР-2

Теория · метод Монте-Карло

Площадь как вероятность, вероятность — по частоте

Точка $(x; y)$ выбрана случайно в квадрате: $P (в фигуре) = \frac{S _{фиг}}{S _{кв}}$

Четверть круга: $p = \frac{π}{4}$ , $ν = \frac{316}{400}$ , $π \approx 4 ν = 3, 16$

Ошибка в $π$ — в $4$ раза больше ошибки $ν$ : нужна оценка $n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} α}$

Так вычисляют площади, объёмы и вероятности, которые трудно найти формулой

2 мин · теория
Рисунок: 400 компьютерных случайных точек в единичном квадрате, внутри четверти круга ( $x^{2} + y^{2} < 1$ , зелёные) — 316. Геометрическая вероятность (VIS9U-010) $p = \frac{π /4}{1} = \frac{π}{4} \approx 0, 785$ ; частота $ν = 0, 79$ ; $π \approx 3, 16$ .
Обоснование метода — закон больших чисел: точки независимы, каждая — испытание Бернулли с успехом «попала в фигуру». По сл. 10: при $n = 400$ , $α = 0, 1$ точность частоты $ε = 1/ (240) \approx 0, 079$ , для $π$ — около $\pm 0, 32$ . Мало! Чтобы знать $π$ до $\pm 0, 04$ , нужна точность частоты $0, 01$ .
Название — по городу Монте-Карло с казино (рулетка — генератор случайности); метод придумали в 1940-х С. Улам и Дж. фон Нейман для расчётов в физике.

R07.3 · ПР-2

Образец → сам · метод Монте-Карло

Площадь $\approx S_{кв} \cdot ν$

Образец: в квадрат $2 \times 2$ бросили $3000$ случайных точек, в фигуру попало $1170$ . Оцените площадь фигуры

$ν = \frac{1170}{3000} = 0, 39$ частота попадания

$\frac{S}{4} \approx 0, 39$ геометрическая вероятность

Ответ: $S \approx 1, 56$

Сам

Четверть круга: $2000$ точек, внутри $1572$ . Оцените $π$ $3, 144$
Квадрат $3 \times 3$ , $500$ точек, в фигуре $150$ . $S$ ? $2, 7$
Сколько точек нужно, чтобы с надёжностью $0, 9$ найти $π$ с ошибкой меньше $0, 04$ ? $25000$

R07.3

Теория · сводка правил

Измерение вероятности частотой

Что ищем	Формула	Когда
оценка $p$	$p \approx ν = \frac{m}{n}$	опыты независимы, одинаковы
вероятность ошибки	$P (∣ ν - p ∣ \geq ε) \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}}$	$p$ неизвестна
число опытов	$n \geq \frac{1}{4 ε ^{2} α}$	заданы $ε$ и $1 - α$
интервал для $p$	$ν \pm \frac{1}{2 n α}$	заданы $n$ и $1 - α$

R07.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
гарантия, а не точное значение	$n = 1000$ , $ε = 0, 05$ → $p$ точно в $ν \pm 0, 05$	с вероятностью $\geq 0, 9$
точность в квадрате	$ε$ вдвое меньше → $n$ вдвое больше	$n$ в $4$ раза больше
забыли квадрат или корень	$n \geq \frac{1}{4 ε α}$ ; $ε = \frac{1}{2 n α}$	$\frac{1}{4 ε ^{2} α}$ ; $\frac{1}{2 n α}$
надёжность вместо $α$	надёжность $0, 95$ → $α = 0, 95$	$α = 1 - 0, 95 = 0, 05$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Частота — случайная величина; неравенство Чебышева оценивает только вероятность отклонения: $1/ (4 \cdot 1000 \cdot 0, 0025) = 0, 1$ , значит с вероятностью не меньше $0, 9$ . 2) $ε$ стоит в квадрате: $\frac{1}{4 ( ε /2 ) ^{2} α} = 4 \cdot \frac{1}{4 ε ^{2} α}$ . 3) Проверка размерности здравым смыслом: при $n = 1000$ , $α = 0, 1$ «формула» без корня даёт $ε = 0, 005$ — неправдоподобно точно; верно $1/ (2100) = 0, 05$ . 4) $α$ — вероятность ошибки, а не надёжность; при $α = 0, 95$ получилось бы $n$ в $19$ раз меньше нужного. Проверено python.

R07.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Сколько опытов нужно для точности $0, 02$ с надёжностью $0, 95$ ?

$α = 0, 05$

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 02 \cdot 0 , 05} = 250$

точность входит в квадрате: $ε^{2} = 0, 0004$

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 0004 \cdot 0 , 05} = 12500$

б) $n = 1000$ , $m = 300$ , $α = 0, 1$ . Интервал для $p$

$ν = 0, 3$ , $ε = \frac{1}{2 \cdot 1000 \cdot 0 , 1} = 0, 005$

$p \in (0, 295; 0, 305)$

потерян корень: $ε = \frac{1}{2 100} = 0, 05$

$p \in (0, 25; 0, 35)$

R07.3

Задания с самопроверкой · база

Надёжность, число опытов, интервал

Найдите

$n = 400$ , $ε = 0, 05$ : надёжность $\geq$ $0, 75$
$ε = 0, 1$ , надёжность $0, 95$ : $n \geq$ $500$
$n = 1600$ , $α = 0, 25$ : $ε =$ $0, 025$

Решите

$n = 500$ , $m = 200$ , $α = 0, 2$ . Интервал для $p$ $(0, 35; 0, 45)$
Квадрат площади $9$ , $500$ точек, в фигуре $150$ . $S \approx$ $2, 7$
Во сколько раз увеличить $n$ , чтобы $ε$ уменьшилось в $5$ раз? в $25$

R07.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, исследуйте, оцените

повыш.Докажите $pq \leq \frac{1}{4}$ другим способом — через среднее арифметическое и геометрическое $pq \leq \frac{p + q}{2} = \frac{1}{2}$
повыш.Известно, что $p \leq 0, 2$ . Сколько опытов достаточно для $ε = 0, 02$ и надёжности $0, 9$ ? $4000$
повыш.Что даёт оценка Чебышева при $n = 10$ , $ε = 0, 1$ ? Объясните $2, 5 > 1$ — ничего
исслед.Кубик бросили $3600$ раз, шестёрок $720$ . Оцените для правильного кубика $P (∣ ν - \frac{1}{6} ∣ \geq \frac{1}{30})$ . Вывод? $\leq \frac{5}{144} \approx 0, 035$

3 мин · практика
1) $p + q = 1$ , $p, q \geq 0$ : $pq \leq \frac{p + q}{2} = \frac{1}{2}$ , значит $pq \leq \frac{1}{4}$ (равенство при $p = q$ ). 2) На $[0; 0, 2]$ $p (1 - p)$ возрастает: $pq \leq 0, 16$ ; $n \geq 0, 16/ (0, 0004 \cdot 0, 1) = 4000$ .
3) $1/ (4 \cdot 10 \cdot 0, 01) = 2, 5$ : «вероятность не больше $2, 5$ » — верно, но бессодержательно. При малом $n$ Чебышев ничего не гарантирует; метод измерения работает только при большом числе опытов.
4) $ν = 720/3600 = 0, 2$ , отклонение от $\frac{1}{6}$ равно $\frac{1}{30}$ . Для правильного кубика $pq = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{36}$ : $\frac{5/36}{3600 \cdot ( 1/30 ) ^{2}} = \frac{5/36}{4} = \frac{5}{144} \approx 0, 035$ . Такое отклонение у правильного кубика маловероятно — есть серьёзные основания считать кубик неправильным (шестёрка выпадает чаще). Проверено python (fractions).

R07.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Частота против вероятности

1. Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна $0, 045$ . В некотором городе из $1000$ проданных проигрывателей в течение года в мастерскую поступила $51$ штука. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?

$0, 006$

2. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна $0, 94$ . В некотором городе из $1000$ проданных сканеров в течение года вышли из строя $51$ . На сколько частота события «выйдет из строя в течение года» отличается от его вероятности?

$0, 009$

3. В среднем из $1400$ садовых фонариков, поступивших в продажу, $56$ неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу в магазине фонарик окажется исправен.

$0, 96$

R07.3 · ПР-6

Задача из жизни · проверка игрального кубика

Кубик для настольной игры бросили $6000$ раз: шестёрка — $1100$ раз

Частота шестёрки $\frac{11}{60} \approx 0, 183$
Отклонение от $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{60} \approx 0, 017$
Оценка Чебышева для правильного кубика: $P (∣ ν - \frac{1}{6} ∣ \geq \frac{1}{60}) \leq$ $\frac{1}{12} \approx 0, 083$
Сколько бросков нужно, чтобы при той же частоте оценка стала $\leq 0, 02$ ? $25000$

Вывод: кубик подозрителен, но

0, 083

— не «почти ноль». Чтобы решить, бросков нужно больше.

R07.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$n = 2000$ , $ε = 0, 05$ . Надёжность $\geq$ $0, 95$
$ε = 0, 04$ , надёжность $0, 9$ . Наименьшее $n$ $1563$
$n = 1600$ , $m = 240$ , $α = 0, 25$ . Интервал для $p$ $(0, 125; 0, 175)$
Квадрат площади $4$ , $800$ точек, в фигуре $300$ . $S \approx$ $1, 5$

Вариант 2

$n = 4000$ , $ε = 0, 025$ . Надёжность $\geq$ $0, 9$
$ε = 0, 05$ , надёжность $0, 8$ . Наименьшее $n$ $500$
$n = 2000$ , $m = 1200$ , $α = 0, 2$ . Интервал для $p$ $(0, 575; 0, 625)$
Квадрат площади $9$ , $1000$ точек, в фигуре $350$ . $S \approx$ $3, 15$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему частота — разумная оценка вероятности?
Зачем в оценке $pq$ заменяют на $\frac{1}{4}$ ?
Что дороже: точность или надёжность?
Как Монте-Карло находит площадь?

Домашнее задание

Сколько опытов нужно для $ε = 0, 03$ и надёжности $0, 9$ ?
Нарисуйте круг, вписанный в квадрат; бросьте $200$ зёрен риса, оцените $π$ и точность
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-029 · Математические основания измерения вероятностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R07 «Закон больших чисел», 3 ч · урок 2/3 · тип Н
Единицы → слайды	R07.3 «Математические основания измерения вероятностей» → 1–22
Результаты	ПР-6 (математическое обоснование близости частоты и вероятности) → 2, 4, 6–11, 14–18, 20, 21 · ПР-5 (числовые характеристики распределений) → 3, 5, 7, 19 · ПР-2 (геометрическая вероятность, случайные точки) → 12, 13, 17, 21
Вне урока	неравенство Чебышева и закон больших чисел — VIS9U-028; роль закона больших чисел в науке, природе, обществе, опросах — VIS9U-030; нормальное приближение и доверительные интервалы — 10–11 класс
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Математические основания измерения вероятностей

Сегодня вы научитесь

Обосновывать оценку p≈ν

Гарантировать точность

Планировать опыт

Измерять методом Монте-Карло

Чебышев, дисперсия, частота

Вычислите

Ответьте

Частота ν=nX​ «в среднем» равна p

E(ν)=p, D(ν)=npq​

Образец: p=0,2, n=400. Найдите E(ν), D(ν), σ(ν)

Сам

Оценка, которая не требует знать p

Даны n и ε — с какой надёжностью ∣ν−p∣<ε?

Образец: кнопку бросили 1000 раз. Оцените вероятность того, что частота отличается от p меньше чем на 0,05

Сам: надёжность не меньше …

Точность ε, надёжность 1−α ⇒ число опытов n

Найдите достаточное число опытов

Образец: сколько деталей проверить, чтобы с надёжностью 0,95 оценить долю брака с точностью 0,01?

Сам

Результат измерения: p=ν±ε с надёжностью 1−α

Запишите результат измерения p=ν±ε

Образец: монету бросили 10000 раз, орлов — 5070. Надёжность 0,96. Есть ли основания считать монету несимметричной?

Сам: найдите интервал

Площадь как вероятность, вероятность — по частоте

Площадь ≈Sкв​⋅ν

Образец: в квадрат 2×2 бросили 3000 случайных точек, в фигуру попало 1170. Оцените площадь фигуры

Сам

Измерение вероятности частотой

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Сколько опытов нужно для точности 0,02 с надёжностью 0,95?

б) n=1000, m=300, α=0,1. Интервал для p

Надёжность, число опытов, интервал

Найдите

Решите

Докажите, исследуйте, оцените

Частота против вероятности

Кубик для настольной игры бросили 6000 раз: шестёрка — 1100 раз

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-029 · Математические основания измерения вероятностей

Обосновывать оценку $p \approx ν$

Частота $ν = \frac{X}{n}$ «в среднем» равна $p$

$E (ν) = p$ , $D (ν) = \frac{pq}{n}$

Образец: $p = 0, 2$ , $n = 400$ . Найдите $E (ν)$ , $D (ν)$ , $σ (ν)$

Оценка, которая не требует знать $p$

Даны $n$ и $ε$ — с какой надёжностью $∣ ν - p ∣ < ε$ ?

Образец: кнопку бросили $1000$ раз. Оцените вероятность того, что частота отличается от $p$ меньше чем на $0, 05$

Точность $ε$ , надёжность $1 - α$ $\Rightarrow$ число опытов $n$

Образец: сколько деталей проверить, чтобы с надёжностью $0, 95$ оценить долю брака с точностью $0, 01$ ?

Результат измерения: $p = ν \pm ε$ с надёжностью $1 - α$

Запишите результат измерения $p = ν \pm ε$

Образец: монету бросили $10000$ раз, орлов — $5070$ . Надёжность $0, 96$ . Есть ли основания считать монету несимметричной?

Площадь $\approx S_{кв} \cdot ν$

Образец: в квадрат $2 \times 2$ бросили $3000$ случайных точек, в фигуру попало $1170$ . Оцените площадь фигуры

а) Сколько опытов нужно для точности $0, 02$ с надёжностью $0, 95$ ?

б) $n = 1000$ , $m = 300$ , $α = 0, 1$ . Интервал для $p$

Кубик для настольной игры бросили $6000$ раз: шестёрка — $1100$ раз