Закон больших чисел · урок 1 из 3

Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R07 · VIS9U-028

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R07 «Закон больших чисел» (3 ч), урок 1/3, единицы R07.1 «Неравенство Чебышева», R07.2 «Закон больших чисел». Тип урока — Н. Опора: R06 — математическое ожидание, дисперсия, свойства $E$ и $D$ , $E = n p$ , $D = n pq$ (VIS9U-022 – VIS9U-027).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (неравенство Чебышёва, доказательство) 3 · 7 (вторая форма, правило $kσ$ ) 2 · 9 (среднее независимых величин) 2 · 10 (закон больших чисел) 3 · 14 (сводка) 1,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 11, 12) по 2,5, (сл. 6, 8) по 2 · опрос (сл. 13) 2,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная (сл. 20) 3,5 · итог (сл. 21) 1.
Картинка на титуле: распределение частоты орлов $ν = m / n$ при $n = 10$ и $n = 100$ ; бирюзовые столбики — $∣ ν - 0, 5∣ < 0, 1$ , розовые — вне полосы. При $n = 100$ почти вся вероятность внутри полосы.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R07.1 · R07.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Доказывать неравенство Чебышёва

и оценивать им вероятность большого отклонения (ПР-5, ПР-6)

Находить $D$ среднего

$D (\overline{X}) = σ^{2} / n$ для независимых величин (ПР-5)

Формулировать закон больших чисел

для средних и для частоты — с оценкой точности (ПР-6)

Рассчитывать число опытов

для заданной точности и надёжности: опрос, измерения (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6: «Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости, понимать математическое обоснование близости частоты и вероятности события…». ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». Коды требований в данных курса не заданы — цели по результатам.
Единицы ФРП: R07.1 «Неравенство Чебышева», R07.2 «Закон больших чисел». В тексте слайдов — написание «Чебышёв» (как в учебнике Высоцкого, Ященко).

повторение: R06

Разминка · устно

Ожидание, дисперсия, биномиальное распределение

Найдите

$X$ : $0; 2$ , $P$ : $0, 5; 0, 5$ . $E$ и $D$ $1; 1$
$n = 100$ , $p = 0, 5$ : $n p$ и $σ$ $50; 5$
$n = 400$ , $p = 0, 2$ : $E$ и $D$ $80; 64$
$D (X) = 50$ . $D (\frac{X}{5})$ $2$

Вычислите

$σ = 3$ . $D$ $9$
$\frac{4}{4 ^{2}}$ $0, 25$
$X$ : $- 2; 0; 2$ , $P$ : $0, 1; 0, 8; 0, 1$ . $P (∣ X ∣ \geq 2)$ $0, 2$
наибольшее значение $p (1 - p)$ $\frac{1}{4}$

R07.1

Теория · неравенство Чебышёва · доказательство

Большие отклонения маловероятны

P (∣ X - μ ∣ \geq ε) \leq \frac{D ( X )}{ε ^{2}}

,

μ = EX

,

ε > 0

$D = \sum (x_{i} - μ)^{2} p_{i} \geq ∣ x_{i} - μ ∣ \geq ε \sum (x_{i} - μ)^{2} p_{i}$ отбросили слагаемые $\geq 0$

$\geq ∣ x_{i} - μ ∣ \geq ε \sum ε^{2} p_{i} = ε^{2} P (∣ X - μ ∣ \geq ε)$ там $(x_{i} - μ)^{2} \geq ε^{2}$

делим на $ε^{2} > 0$ ∎

Нужны только

E

и

D

— само распределение знать не обязательно.

3 мин · теория (доказательство у доски полностью)
Чертёж: $X$ — число орлов в 8 бросках монеты, $μ = 4$ , $D = n pq = 2$ , $ε = 2$ . Розовые столбики ( $x = 0, 1, 2, 6, 7, 8$ ) — событие $∣ X - 4∣ \geq 2$ . Точно: $P = 1 - \frac{56 + 70 + 56}{256} = \frac{74}{256} = \frac{37}{128} \approx 0, 29$ ; оценка Чебышёва $\frac{2}{4} = 0, 5$ — верная, но грубая.
Смысл доказательства: дисперсия — «взвешенная сумма квадратов отклонений»; если вероятность далёких значений велика, то и $D$ велика. Отсюда: малая $D$ ⇒ значения «прижаты» к $μ$ .
Вопрос классу: что даёт неравенство при $ε^{2} \leq D$ ? (Правая часть $\geq 1$ — оценка ничего не сообщает; полезна при $ε > σ$ .)
П. Л. Чебышёв (1821–1894) — петербургский математик; неравенство опубликовано в 1867 г. в работе «О средних величинах».

R07.1

Образец → сам · оценка вероятности отклонения

Знаем $E$ и $D$ — оцениваем «хвосты»

Образец: время доставки $X$ мин: $EX = 30$ , $σ = 4$ . Оцените вероятность, что $X$ отклонится от $30$ не меньше чем на $10$ мин

$D (X) = σ^{2} = 16$ , $ε = 10$ данные для неравенства

$P (∣ X - 30∣ \geq 10) \leq \frac{16}{1 0 ^{2}}$ Чебышёв

$P \leq$ $0, 16$ при любом распределении

Сам: оцените сверху

$EX = 5$ , $D = 2$ : $P (∣ X - 5∣ \geq 2)$ $\leq 0, 5$
$EX = 0$ , $σ = 3$ : $P (∣ X ∣ \geq 6)$ $\leq 0, 25$
$D = 9$ : $P (∣ X - μ ∣ \geq 2)$ . Что даёт оценка? ничего: $\frac{9}{4} > 1$

R07.1

Образец → сам · точное значение и оценка Чебышёва

Насколько оценка грубая?

Образец: $X$ — очки на кубике; $μ = 3, 5$ , $D = \frac{35}{12}$ . Сравните $P (∣ X - 3, 5∣ \geq 2, 5)$ с оценкой

$∣ x - 3, 5∣ \geq 2, 5 ⟺ x = 1$ или $6$ перебор значений

точно: $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0, 33$

оценка: $\frac{35/12}{6 , 25} = \frac{7}{15} \approx 0, 47$

$\frac{1}{3} \leq \frac{7}{15}$ — неравенство выполнено

Сам: точно и по Чебышёву

$X$ : $- 2; 0; 2$ , $P$ : $0, 1; 0, 8; 0, 1$ ; $P (∣ X ∣ \geq 2)$ $0, 2$ и $\leq 0, 2$
$X$ — число орлов в 4 бросках; $P (∣ X - 2∣ \geq 2)$ $0, 125$ и $\leq 0, 25$

R07.1

Теория · вторая форма и правило «k сигм»

Оценка снизу для «близких» значений

P (∣ X - μ ∣ < ε) \geq 1 - \frac{D ( X )}{ε ^{2}}

противоположное событие к $∣ X - μ ∣ \geq ε$ $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

$ε = kσ$ : $P (∣ X - μ ∣ \geq kσ) \leq \frac{1}{k ^{2}}$ $D = σ^{2}$

$k = 2$ : внутри $μ \pm 2 σ$ — не меньше $\frac{3}{4}$ вероятности

$k = 3$ : внутри $μ \pm 3 σ$ — не меньше $\frac{8}{9} \approx 0, 89$

R07.1

Образец → сам · оценка снизу и обратная задача

Гарантия «не меньше чем»

Образец: масса пакета $X$ г: $EX = 1000$ , $σ = 5$ . Оцените снизу $P (985 < X < 1015)$

$985 < X < 1015 ⟺ ∣ X - 1000∣ < 15$ симметрично

$ε = 15 = 3 σ$ $k = 3$

$P \geq 1 - \frac{25}{225} = 1 - \frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9} \approx 0, 89$

Сам

$EX = 50$ , $D = 25$ . Оцените снизу $P (40 < X < 60)$ $\geq 0, 75$
$EX = 20$ , $D = 4$ . При каком наименьшем $ε$ гарантировано $P (∣ X - 20∣ < ε) \geq 0, 96$ ? $ε = 10$
При каком наименьшем $k$ гарантировано $P (∣ X - μ ∣ \geq kσ) \leq 0, 04$ ? $k = 5$

R07.2

Теория · среднее независимых величин

Усреднение уменьшает разброс в $n$ раз

$X_{1}, \dots, X_{n}$ независимы, $E X_{i} = μ$ , $D (X_{i}) = σ^{2}$

$\overline{X} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$

$E \overline{X} = \frac{n μ}{n} = μ$ $E$ суммы, $E (a X) = a EX$

$D (\overline{X}) = \frac{1}{n ^{2}} (σ^{2} + \dots + σ^{2}) = \frac{σ ^{2}}{n}$ $D (a X) = a^{2} D$ , независимость

$σ (\overline{X}) = \frac{σ}{n}$ ∎

Частота $ν = \frac{m}{n}$ — среднее $n$ индикаторов успеха

E ν = p

,

D (ν) = \frac{pq}{n}

100

измерений вместо одного:

σ

меньше в

10

раз.

R07.2

Теория · закон больших чисел

Среднее и частота устойчивы при больших $n$

Теорема Чебышёва (Чебышёв для $\overline{X}$ , сл. 4 и 9):

P (∣ \overline{X} - μ ∣ \geq ε) \leq \frac{σ ^{2}}{n ε ^{2}} n \to \infty 0

Теорема Бернулли (для частоты):

P (∣ ν - p ∣ \geq ε) \leq \frac{pq}{n ε ^{2}} \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}}

При больших

n

частота почти наверняка близка к

p

.

3 мин · теория
Вывод: применяем неравенство Чебышёва к $\overline{X}$ , у которого $E = μ$ , $D = σ^{2} / n$ (сл. 9). Для частоты $D (ν) = pq / n$ , а $pq \leq \frac{1}{4}$ (разминка, задание 8) — оценка $\frac{1}{4 n ε ^{2}}$ годится, даже когда $p$ неизвестна.
Чертёж: распределение частоты орлов при $n = 10$ и $n = 100$ , полоса $0, 4 < ν < 0, 6$ ( $ε = 0, 1$ ). Точно: вне полосы при $n = 10$ — $1 - \frac{252}{1024} \approx 0, 754$ ; при $n = 100$ — $\approx 0, 057$ . Оценка Бернулли при $n = 100$ : $\frac{0 , 25}{100 \cdot 0 , 01} = 0, 25$ .
Это математическое выражение статистической устойчивости частот (Я. Бернулли, 1713) и средних (П. Л. Чебышёв, 1867). Оценка точности: $ε \sim \frac{1}{n}$ — чтобы точность выросла в 10 раз, нужно в 100 раз больше опытов.

R07.2

Образец → сам · закон больших чисел для частоты

Оцениваем отклонение частоты от $p$

Образец: монету бросают $1000$ раз. Оцените вероятность, что частота орлов отличается от $0, 5$ не меньше чем на $0, 05$

$pq = 0, 25$ , $n = 1000$ , $ε = 0, 05$ $ε^{2} = 0, 0025$

$P \leq \frac{0 , 25}{1000 \cdot 0 , 0025} = \frac{0 , 25}{2 , 5}$ = $0, 1$

с вероятностью $\geq 0, 9$ орлов от $451$ до $549$ $∣ m - 500∣ < 50$

Сам: оцените сверху

Кубик, $600$ бросков, частота шестёрок, $ε = 0, 05$ $\leq \frac{5}{54} \approx 0, 09$
Монета, $2500$ бросков, $ε = 0, 02$ $\leq 0, 25$
Среднее $100$ независимых измерений, $σ = 2$ , $ε = 0, 5$ $\leq 0, 16$

R07.2

Образец → сам · сколько нужно опытов

Точность $ε$ и надёжность $1 - α$ → $n$

Образец: сколько раз бросить монету, чтобы с вероятностью $\geq 0, 95$ частота орлов отличалась от $0, 5$ меньше чем на $0, 01$ ?

нужно $\frac{pq}{n ε ^{2}} \leq 0, 05$ $α = 1 - 0, 95$

$n \geq \frac{0 , 25}{0 , 0001 \cdot 0 , 05}$ выразили $n$

$n \geq$ $50000$ бросков

Сам: найдите наименьшее $n$ по оценке

Монета: $ε = 0, 05$ , надёжность $0, 9$ $1000$
$p$ неизвестна: $ε = 0, 1$ , надёжность $0, 95$ $500$
Среднее измерений, $σ = 3$ : $ε = 0, 5$ , надёжность $0, 99$ $3600$

R07.2 · из жизни

Задача из жизни · социологический опрос

Сколько людей опросить?

Долю $p$ сторонников проекта хотят оценить частотой с точностью $\pm 3 %$ и надёжностью $0, 95$

$ε = 0, 03$ , $α = 0, 05$ , $p$ неизвестна $pq \leq \frac{1}{4}$

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 0009 \cdot 0 , 05} \approx 5555, 6$

опросить $5556$ человек — по Чебышёву

Опросили $2000$ , «за» — $840$

Частота $ν$ $0, 42$
Оцените $P (∣ ν - p ∣ \geq 0, 03)$ $\leq 0, 14$
С какой гарантией $p \in (0, 39; 0, 45)$ ? $\geq 0, 86$

R07.1 · R07.2

Теория · сводка правил

Чебышёв и закон больших чисел

Что	Формула	Условие / смысл
неравенство Чебышёва	$P (∣ X - μ ∣ \geq ε) \leq \frac{D}{ε ^{2}}$	любая $X$ , полезно при $ε > σ$
вторая форма, $kσ$	$P (∣ X - μ ∣ < ε) \geq 1 - \frac{D}{ε ^{2}}$ ; $\leq \frac{1}{k ^{2}}$	оценка снизу / вне $μ \pm kσ$
среднее $\overline{X}$	$E \overline{X} = μ$ , $D (\overline{X}) = \frac{σ ^{2}}{n}$	$X_{i}$ независимы
ЗБЧ для частоты	$P (∣ ν - p ∣ \geq ε) \leq \frac{pq}{n ε ^{2}} \leq \frac{1}{4 n ε ^{2}}$	независимые испытания
число опытов	$n \geq \frac{pq}{α ε ^{2}}$	точность $ε$ , надёжность $1 - α$

R07.1 · R07.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
оценку считают вероятностью	$P (∣ X - μ ∣ \geq ε) = \frac{D}{ε ^{2}}$	$P \leq \frac{D}{ε ^{2}}$ , точное — меньше или равно
$σ$ вместо $D$ , $ε$ без квадрата	$\frac{σ}{ε ^{2}}$ или $\frac{D}{ε}$	$\frac{D}{ε ^{2}} = \frac{σ ^{2}}{ε ^{2}}$
надёжность вместо $α$	$n \geq \frac{pq}{0 , 95 ε ^{2}}$	$n \geq \frac{pq}{0 , 05 ε ^{2}}$
«закон компенсации»	после 5 решек орёл вероятнее	броски независимы: $P = 0, 5$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Неравенство Чебышёва даёт только верхнюю границу (сл. 6: $\frac{1}{3}$ против $\frac{7}{15}$ ). 2) Проверка размерности: $D$ и $ε^{2}$ — в квадратах единиц, их отношение — число. 3) В неравенство подставляется вероятность «плохого» события $α = 1 - 0, 95$ . 4) Монета не «помнит» прошлые броски; закон больших чисел говорит о частоте в длинной серии, а не о следующем броске: отклонение не «исправляется», а «растворяется» в большом $n$ .

R07.1 · R07.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $EX = 10$ , $σ = 2$ . Оцените $P (∣ X - 10∣ \geq 4)$

$P \leq \frac{2}{4 ^{2}} = 0, 125$

в числителе $D = σ^{2} = 4$

$P \leq \frac{4}{16} = 0, 25$

б) Монету бросили $100$ раз. Оцените $P (∣ ν - 0, 5∣ \geq 0, 1)$

$P \leq \frac{0 , 25}{100 \cdot 0 , 1} = 0, 025$

нужен $ε^{2} = 0, 01$

$P \leq \frac{0 , 25}{100 \cdot 0 , 01} = 0, 25$

в) $p$ неизвестна; $ε = 0, 02$ , надёжность $0, 9$ . Найдите $n$

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 0004 \cdot 0 , 9} \approx 695$

$α = 1 - 0, 9 = 0, 1$

$n \geq \frac{1}{4 \cdot 0 , 0004 \cdot 0 , 1} = 6250$

R07.1 · R07.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$EX = 8$ , $D (X) = 1, 5$

Оцените сверху $P (∣ X - 8∣ \geq 3)$ $\leq \frac{1}{6}$
Оцените снизу $P (5 < X < 11)$ $\geq \frac{5}{6}$
$σ = 0, 5$ : оцените $P (∣ X - μ ∣ \geq 1, 5)$ $\leq \frac{1}{9}$

Средние и частоты

Монета, $400$ бросков: $P (∣ ν - 0, 5∣ \geq 0, 1)$ $\leq 0, 0625$
$25$ независимых $X_{i}$ , $D = 9$ : $D (\overline{X})$ , $σ (\overline{X})$ $0, 36; 0, 6$
Монета, $900$ бросков: $E ν$ и $σ (ν)$ $0, 5; \frac{1}{60}$

R07.1 · R07.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Постройте $X$ : $- 2; 0; 2$ с $EX = 0$ , $D (X) = 1$ , для которой $P (∣ X ∣ \geq 2)$ равна оценке Чебышёва $\frac{1}{8}; \frac{3}{4}; \frac{1}{8}$
повыш. $X$ — число шестёрок в $180$ бросках кубика. Оцените снизу $P (20 < X < 40)$ $\geq 0, 75$
повыш.Монету бросают $n$ раз. Найдите $ε$ , при котором по оценке $P (∣ ν - 0, 5∣ < ε) \geq 0, 96$ ; вычислите при $n = 10000$ $\frac{2 , 5}{n}; 0, 025$
из жизни $10000$ страховок, у каждой страховой случай с вероятностью $0, 01$ независимо. Оцените $P (∣ X - 100∣ \geq 30)$ , $X$ — число случаев $\leq 0, 11$

R07 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

«В среднем из …» — частота как вероятность

1. В среднем из $1000$ садовых насосов, поступивших в продажу, $5$ подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный насос не подтекает.

Ответ: $0, 995$

2. Фабрика выпускает сумки. В среднем $8$ сумок из $200$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Ответ: $0, 96$

3. Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Ответ: $0, 5$

R07.1 · R07.2

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 $EX = 12$ , $D (X) = 4$

Оцените $P (∣ X - 12∣ \geq 4)$ $\leq 0, 25$
Оцените снизу $P (6 < X < 18)$ $\geq \frac{8}{9}$
Монета, $900$ бросков: $P (∣ ν - 0, 5∣ \geq 0, 05)$ $\leq \frac{1}{9}$
Монета: $n$ для $ε = 0, 05$ , надёжность $0, 95$ $2000$

Вариант 2 $EX = 20$ , $D (X) = 9$

Оцените $P (∣ X - 20∣ \geq 5)$ $\leq 0, 36$
Оцените снизу $P (10 < X < 30)$ $\geq 0, 91$
Монета, $400$ бросков: $P (∣ ν - 0, 5∣ \geq 0, 05)$ $\leq 0, 25$
Монета: $n$ для $ε = 0, 1$ , надёжность $0, 9$ $250$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что оценивает неравенство Чебышёва и когда оно бесполезно?
Почему $D (\overline{X})$ в $n$ раз меньше $D (X_{i})$ ?
Что утверждает и чего НЕ утверждает закон больших чисел?

Домашнее задание

$EX = 50$ , $σ = 4$ : оцените $P (∣ X - 50∣ \geq 10)$ и снизу $P (38 < X < 62)$
Сколько раз бросить кубик, чтобы частота шестёрок с вероятностью $\geq 0, 9$ отличалась от $\frac{1}{6}$ меньше чем на $0, 02$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-028 · Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R07 «Закон больших чисел», 3 ч · урок 1/3 · тип Н
Единицы → слайды	R07.1 «Неравенство Чебышева» → 2, 4–8, 14–18, 20 · R07.2 «Закон больших чисел» → 2, 9–19, 20 · повторение R06 → 3
Результаты	ПР-6 (закон больших чисел, обоснование близости частоты и вероятности) → 4–20 · ПР-5 (мат. ожидание и дисперсия) → 3, 5–9, 17
Вне урока	числовые характеристики случайных величин — R06 (VIS9U-022 – VIS9U-027); математические основания измерения вероятностей — VIS9U-029; роль закона больших чисел в науке и обществе (R07.4) — далее по строке R07
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел

Сегодня вы научитесь

Доказывать неравенство Чебышёва

Находить D среднего

Формулировать закон больших чисел

Рассчитывать число опытов

Ожидание, дисперсия, биномиальное распределение

Найдите

Вычислите

Большие отклонения маловероятны

Знаем E и D — оцениваем «хвосты»

Образец: время доставки X мин: EX=30, σ=4. Оцените вероятность, что X отклонится от 30 не меньше чем на 10 мин

Сам: оцените сверху

Насколько оценка грубая?

Образец: X — очки на кубике; μ=3,5, D=1235​. Сравните P(∣X−3,5∣≥2,5) с оценкой

Сам: точно и по Чебышёву

Оценка снизу для «близких» значений

Гарантия «не меньше чем»

Образец: масса пакета X г: EX=1000, σ=5. Оцените снизу P(985<X<1015)

Сам

Усреднение уменьшает разброс в n раз

Среднее и частота устойчивы при больших n

Оцениваем отклонение частоты от p

Образец: монету бросают 1000 раз. Оцените вероятность, что частота орлов отличается от 0,5 не меньше чем на 0,05

Сам: оцените сверху

Точность ε и надёжность 1−α → n

Образец: сколько раз бросить монету, чтобы с вероятностью ≥0,95 частота орлов отличалась от 0,5 меньше чем на 0,01?

Сам: найдите наименьшее n по оценке

Сколько людей опросить?

Долю p сторонников проекта хотят оценить частотой с точностью ±3% и надёжностью 0,95

Опросили 2000, «за» — 840

Чебышёв и закон больших чисел

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) EX=10, σ=2. Оцените P(∣X−10∣≥4)

б) Монету бросили 100 раз. Оцените P(∣ν−0,5∣≥0,1)

в) p неизвестна; ε=0,02, надёжность 0,9. Найдите n

Решите и проверьте

EX=8, D(X)=1,5

Средние и частоты

Подумайте и решите

«В среднем из …» — частота как вероятность

Два варианта — решите свой

Вариант 1 EX=12, D(X)=4

Вариант 2 EX=20, D(X)=9

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-028 · Неравенство Чебышёва. Закон больших чисел

Находить $D$ среднего

Знаем $E$ и $D$ — оцениваем «хвосты»

Образец: время доставки $X$ мин: $EX = 30$ , $σ = 4$ . Оцените вероятность, что $X$ отклонится от $30$ не меньше чем на $10$ мин

Образец: $X$ — очки на кубике; $μ = 3, 5$ , $D = \frac{35}{12}$ . Сравните $P (∣ X - 3, 5∣ \geq 2, 5)$ с оценкой

Образец: масса пакета $X$ г: $EX = 1000$ , $σ = 5$ . Оцените снизу $P (985 < X < 1015)$

Усреднение уменьшает разброс в $n$ раз

Среднее и частота устойчивы при больших $n$

Оцениваем отклонение частоты от $p$

Образец: монету бросают $1000$ раз. Оцените вероятность, что частота орлов отличается от $0, 5$ не меньше чем на $0, 05$

Точность $ε$ и надёжность $1 - α$ → $n$

Образец: сколько раз бросить монету, чтобы с вероятностью $\geq 0, 95$ частота орлов отличалась от $0, 5$ меньше чем на $0, 01$ ?

Сам: найдите наименьшее $n$ по оценке

Долю $p$ сторонников проекта хотят оценить частотой с точностью $\pm 3 %$ и надёжностью $0, 95$

Опросили $2000$ , «за» — $840$

а) $EX = 10$ , $σ = 2$ . Оцените $P (∣ X - 10∣ \geq 4)$

б) Монету бросили $100$ раз. Оцените $P (∣ ν - 0, 5∣ \geq 0, 1)$

в) $p$ неизвестна; $ε = 0, 02$ , надёжность $0, 9$ . Найдите $n$

$EX = 8$ , $D (X) = 1, 5$

Вариант 1 $EX = 12$ , $D (X) = 4$

Вариант 2 $EX = 20$ , $D (X) = 9$