Числовые характеристики случайных величин · урок 6 из 6 · обобщение

Ожидание и дисперсия: обобщение и систематизация

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9U-027

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Числовые характеристики случайных величин» (6 ч), урок 6/6 — итоговый, единицы R06.1–R06.6: математическое ожидание, его физический смысл, примеры использования, дисперсия и стандартное отклонение, свойства $E$ и $D$ , $E$ и $D$ изученных распределений. Тип урока — О. Опора: VIS9U-022…026; сегодня — система правил и смешанные задачи с обоснованием.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: $E$ , $D$ , $σ$ ) 3 · 7 (сводка: свойства) 3 · 9 (сводка: изученные распределения) 3 · 19 (итоговая сводка правил) 2. Тип О — теория только сводками.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10) по 2,5 · образцы → сам (сл. 11, 12) по 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 20) 1.
Картинка на титуле: геометрическое распределение при $p = \frac{1}{2}$ : вероятности $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \dots$ ; $E = 1/ p = 2$ , $D = q / p^{2} = 0, 5 : 0, 25 = 2$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1 · R06.2 · R06.3 · R06.4 · R06.5 · R06.6

Цели урока

Сегодня вы закрепите

$E$ , $D$ , $σ$ по таблице

прямые и обратные задачи, формула $E (X^{2}) - (EX)^{2}$ (ПР-5)

Свойства $E$ и $D$

$a X + b$ , сумма величин, метод индикаторов (ПР-5)

Изученные распределения

биномиальное и геометрическое: $E$ и $D$ без таблицы (ПР-3, ПР-5)

Решения в жизни

лотерея, страхование, риск: среднее и разброс (ПР-4, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». ПР-3: испытания до первого успеха, серии Бернулли. ПР-4: распределение вероятностей. Коды требований в данных курса не заданы — цели по результатам.
Сказать классу: последний урок темы; в конце — самостоятельная. Дальше — неравенство Чебышева и закон больших чисел (VIS9U-028).

повторение: VIS9U-022…026

Разминка · устно

Ожидания и дисперсии в уме

По определению и свойствам

$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . $E (X)$ $0, 7$
$E (X) = 2$ : $E (3 X - 1)$ $5$
$D (X) = 4$ : $D (3 X - 1)$ $36$
$D (X) = 4$ : $σ (- 2 X)$ $4$

Формулы и распределения

$E (X^{2}) = 5$ , $E (X) = 2$ : $D (X)$ $1$
$n = 10$ , $p = 0, 5$ : $E$ и $D$ числа успехов $5$ и $2, 5$
До первого успеха, $p = 0, 25$ : $E$ числа попыток $4$
$X$ , $Y$ независимы, $D (X) = 2$ , $D (Y) = 3$ : $D (X - Y)$ $5$

R06.1 · R06.2 · R06.4

Теория · сводка: ожидание, дисперсия, стандартное отклонение

Центр распределения и разброс вокруг него

$E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ — центр масс; среднее при многих повторениях

$D (X) = E ((X - EX)^{2}) = E (X^{2}) - (EX)^{2}$

$σ (X) = D (X)$ — в единицах $X$

$E (X^{2}) = 0, 5 + 7, 5 = 8$ , $D = 8 - 4 = 4$

3 мин · теория
Распределение: $X$ = $0; 1; 5$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$ (сумма 1). $E = 0 + 0, 5 + 1, 5 = 2$ — точка опоры, в которой «грузы»-столбики уравновешены (R06.2). Значения 2 величина не принимает — ожидание есть теоретическое среднее.
Дисперсия двумя способами: по определению $4 \cdot 0, 2 + 1 \cdot 0, 5 + 9 \cdot 0, 3 = 0, 8 + 0, 5 + 2, 7 = 4$ ; через $E (X^{2})$ : $0 \cdot 0, 2 + 1 \cdot 0, 5 + 25 \cdot 0, 3 = 8$ , $8 - 2^{2} = 4$ ; $σ = 2$ (проверено fractions).
Вопрос классу: какая формула удобнее, когда $E$ — дробное число? (Вычислительная: не нужно возводить в квадрат дробные отклонения.)

R06.1 · R06.4

Образец → сам · ожидание и дисперсия по таблице

Прямое применение: $E$ , затем $E (X^{2})$

Образец: найдите $E (X)$ , $D (X)$ , $σ (X)$

$x$	$0$	$2$	$5$
$p$	$0, 4$	$0, 5$	$0, 1$

$E = 0 + 1 + 0, 5 = 1, 5$ $\sum x_{i} p_{i}$

$E (X^{2}) = 0 + 2 + 2, 5 = 4, 5$ $\sum x_{i}^{2} p_{i}$

$D = 4, 5 - 2, 25 = 2, 25$ $E (X^{2}) - (EX)^{2}$

$σ = 1, 5$ $2, 25$

Сам

$X$ : $0; 1; 3$ , $P$ : $0, 5; 0, 4; 0, 1$ . $E$ и $D$ $0, 7$ и $0, 81$
$X$ : $0; 2; 3$ , $P$ : $0, 4; 0, 4; 0, 2$ . $E$ и $σ$ $1, 4$ и $1, 2$
$X$ : $- 1; 1; 4$ , $P$ : $0, 4; 0, 5; 0, 1$ . $σ (X)$ $1, 5$

R06.1 · R06.4

Образец → сам · обратная задача

Известны характеристики — найдите распределение

Образец: $X$ : $- 1; 0; 2$ , $P$ : $a; b; 0, 2$ , $E (X) = 0, 1$ . Найдите $a$ , $b$ , $D (X)$

$a + b = 0, 8$ сумма вероятностей $= 1$

$- a + 0, 4 = 0, 1 \Rightarrow a = 0, 3$ , $b = 0, 5$ условие на $E$

$E (X^{2}) = 0, 3 + 0, 8 = 1, 1$

$D = 1, 1 - 0, 01 = 1, 09$

Сам

$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $0, 2; a; b$ , $E (X) = 1, 3$ . Найдите $a$ , $b$ $0, 3$ и $0, 5$
$X$ равна $0$ или $a > 0$ с вероятностями по $0, 5$ ; $D (X) = 9$ . Найдите $a$ $6$
Индикатор события $A$ : $D = 0, 21$ , $P (A) < 0, 5$ . Найдите $P (A)$ $0, 3$

R06.5

Теория · сводка: свойства ожидания и дисперсии

Сдвиг не меняет разброс, растяжение — меняет

$E (a X + b) = a E (X) + b$

$D (a X + b) = a^{2} D (X)$ , $σ = ∣ a ∣ σ (X)$

$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ — всегда

$D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)$ — для независимых

3 мин · теория
Чертёж: $X$ = $1; 2; 3$ с вероятностями $0, 25; 0, 5; 0, 25$ (размер кружка ~ вероятность), $E = 2$ , $D = 0, 25 + 0 + 0, 25 = 0, 5$ . Сдвиг $X + 3$ переносит всё на 3 — центр $5$ , разброс тот же. Растяжение $2 X$ : значения $2; 4; 6$ , $E = 4$ , отклонения удвоились, квадраты — в 4 раза: $D = 2$ .
Напомнить доказательства (VIS9U-024): $E (a X + b) = \sum (a x_{i} + b) p_{i} = a \sum x_{i} p_{i} + b \sum p_{i}$ ; $D (a X + b) = E ((a X - a EX)^{2}) = a^{2} D (X)$ . Сложение дисперсий — только для независимых; для разности: $D (X - Y) = D (X) + (- 1)^{2} D (Y)$ .
Индикатор $I_{A}$ (1, если $A$ наступило, иначе 0): $E = P (A)$ , $D = pq$ . Метод индикаторов: число событий = сумма индикаторов, ожидание = сумма вероятностей (к сл. 11).

R06.5

Образец → сам · линейное преобразование и сумма

Два независимых теста: сумма и среднее баллов

Образец: $E (X) = 7$ , $D (X) = 4$ ; $E (Y) = 8$ , $D (Y) = 5$ ; $X$ , $Y$ независимы. Найдите $E$ и $σ$ для $S = X + Y$ и $M = \frac{S}{2}$

$E (S) = 7 + 8 = 15$ ожидания складываются

$D (S) = 4 + 5 = 9$ , $σ (S) = 3$ независимы

$E (M) = 7, 5$ , $D (M) = \frac{9}{4}$ $a = 1/2$ , $a^{2} = 1/4$

$σ (M) = 1, 5$

Сам

$E (X) = - 2$ , $D (X) = 3$ . $E (5 - 2 X)$ и $D (5 - 2 X)$ $9$ и $12$
Независимы, $D (X) = 1$ , $D (Y) = 4$ . $D (2 X - Y)$ $8$
Два кубика ( $E = 3, 5$ , $D = \frac{35}{12}$ у каждого). $E$ и $D$ суммы очков $7$ и $\frac{35}{6}$

R06.6

Теория · сводка: ожидание и дисперсия изученных распределений

Три распределения — формулы без таблицы

Распределение	Значения	$P (X = k)$	$E (X)$	$D (X)$
Бернулли (индикатор)	$0; 1$	$P (1) = p$	$p$	$pq$
биномиальное: число успехов в $n$ испытаниях	$0; 1; \dots; n$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	$n p$	$n pq$
геометрическое: номер первого успеха	$1; 2; 3; \dots$	$q^{k - 1} p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{q}{p ^{2}}$

Почему

n p

и

n pq

: число успехов

X = I_{1} + I_{2} + \dots + I_{n}

— сумма

n

независимых индикаторов.

R06.6

Образец → сам · биномиальное и геометрическое распределения

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$

Образец: а) $25$ выстрелов, $X$ — число попаданий; б) стреляет до первого попадания, $Y$ — число выстрелов. $E$ и $D$ ?

а) $E = 25 \cdot 0, 8 = 20$ $n p$

$D = 20 \cdot 0, 2 = 4$ , $σ = 2$ $n pq$

б) $E = \frac{1}{0 , 8} = 1, 25$ $1/ p$

$D = \frac{0 , 2}{0 , 64} = \frac{5}{16}$ $q / p^{2}$

Сам

Кубик бросают до первой «шестёрки». $E$ и $D$ числа бросков $6$ и $30$
Биномиальное, $n = 50$ , $E = 20$ . Найдите $p$ и $D$ $0, 4$ и $12$
Биномиальное, $E = 6$ , $D = 4, 2$ . Найдите $n$ и $p$ $n = 20$ , $p = 0, 3$

R06.3 · R06.5

Образец → сам · комбинированная задача: метод индикаторов

Ожидание без таблицы распределения

Образец: монету бросают $10$ раз; $X$ — число пар соседних бросков с одинаковым результатом. $E (X)$ ?

$I_{k} = 1$ , если броски $k$ и $k + 1$ совпали $k = 1, \dots, 9$

$P (I_{k} = 1) = \frac{1}{2}$ ОО или РР из 4 исходов

$X = I_{1} + \dots + I_{9}$ $E$ суммы

$E (X) = 9 \cdot \frac{1}{2} = 4, 5$

Сам

$4$ письма наугад кладут в $4$ конверта. $E$ числа писем в «своём» конверте $1$
$10$ человек наугад выбирают число от $1$ до $5$ . $E$ числа пар с одинаковым выбором $9$
Кубик бросают $6$ раз. $E$ числа граней, не выпавших ни разу $\approx 2, 01$

R06.3 · R06.4 · R06.6

Образец → сам · задача из жизни: страхование и риск

Средняя прибыль и её разброс

Образец: $100$ домов, взнос $3000$ руб., выплата $200000$ руб. с вероятностью $0, 01$ независимо. $X$ — число страховых случаев. $E$ и $σ$ прибыли $Π$ ?

$Π = 300000 - 200000 X$ сбор минус выплаты

$E (X) = 1$ , $D (X) = 0, 99$ биномиальное

$E (Π) = 100000$ руб. $E (a X + b)$

$σ (Π) = 200000 0, 99 \approx 199000$ руб.

Сам

Билет $150$ руб.; выигрыш $500$ руб. с вероятностью $0, 2$ . $E$ и $σ$ чистого выигрыша $- 50$ и $200$ руб.
Прибыли двух магазинов независимы, $σ = 3$ и $4$ тыс. руб. $σ$ общей прибыли $5$ тыс. руб.
Партия: $E = - 2$ , $D = 16$ . $E$ и $σ$ выигрыша за $100$ независимых партий $- 200$ и $40$

2 мин · практика
Образец: $X$ — биномиальное, $n = 100$ , $p = 0, 01$ : $E = 1$ , $D = 0, 99$ . $Π = 300000 - 200000 X$ : $E = 100000$ ; $D (Π) = 4 \cdot 1 0^{10} \cdot 0, 99$ ; $σ \approx 198997 \approx 199000$ . Разброс вдвое больше средней прибыли — для малой компании риск огромен.
Обсудить: при $10000$ домов $E (Π) = 10000000$ , $σ = 20000099 \approx 1990000$ — разброс уже лишь $\approx 20 %$ от среднего. Поэтому страховщики собирают много договоров (закон больших чисел, VIS9U-028).
1) $W = 500 I - 150$ : $E = 100 - 150 = - 50$ ; $D = 50 0^{2} \cdot 0, 2 \cdot 0, 8 = 40000$ , $σ = 200$ . 2) $9 + 16 = 5$ . 3) $E = 100 \cdot (- 2) = - 200$ ; $D = 1600$ , $σ = 40$ . Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.

R06.4 · R06.5 · R06.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
множитель и сдвиг в дисперсии	$D (3 X + 2) = 3 D (X) + 2$	$9 D (X)$
дисперсия разности независимых	$D (X - Y) = D (X) - D (Y)$	$D (X) + D (Y)$
складывают $σ$ независимых величин	$σ (X + Y) = σ_{X} + σ_{Y}$	$D (X) + D (Y)$
кубик до первой «шестёрки»: $E$ числа бросков	$E = \frac{1}{6}$	$E = \frac{1}{p} = 6$

R06.4 · R06.5 · R06.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $X$ : $0; 1; 3$ , $P$ : $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . Найти $D (X)$

$E = 0, 9$ , $E (X^{2}) = 2, 1$ ,
$D = 2, 1 - 0, 9 = 1, 2$

вычтено $E$ , а не $(EX)^{2}$

$D = 2, 1 - 0, 81 = 1, 29$

б) Кубик бросают до первой «шестёрки». $D$ числа бросков

$D = \frac{q}{p} = \frac{5/6}{1/6} = 5$

в знаменателе $p^{2}$

$D = \frac{5/6}{1/36} = 30$

в) $X$ , $Y$ независимы, $D (X) = 1$ , $D (Y) = 2$ . Найти $D (2 X - 3 Y)$

$2 \cdot 1 - 3 \cdot 2 = - 4$

$D \geq 0$ ; множители — в квадрате, знак «+»

$4 \cdot 1 + 9 \cdot 2 = 22$

R06.1 · R06.4 · R06.5 · R06.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По таблице и по свойствам

$X$ : $1; 2; 4$ , $P$ : $0, 5; 0, 2; 0, 3$ . $E (X)$ $2, 1$
Для той же $X$ : $σ (X)$ $1, 3$
$E (X) = 4$ , $D (X) = 2$ : $E (2 X + 1)$ и $D (2 X + 1)$ $9$ и $8$
Независимы, $σ (X) = 6$ , $σ (Y) = 8$ : $σ (X + Y)$ $10$

Изученные распределения

$n = 100$ , $p = 0, 2$ : $E$ и $σ$ числа успехов $20$ и $4$
До первого успеха, $p = 0, 2$ : $E$ и $D$ $5$ и $20$
Индикатор, $P (A) = 0, 3$ : $D (I_{A})$ $0, 21$

R06.2 · R06.4 · R06.5 · R06.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, исследуйте, решите

доказать $E (X^{2}) \geq (EX)^{2}$ . Когда достигается равенство? $D \geq 0$ ; $X$ — постоянная
исследованиеПри каком $a$ величина $E ((X - a)^{2})$ наименьшая? Чему равен минимум? $a = E (X)$ , минимум $D (X)$
повыш. $X_{1}, \dots, X_{n}$ независимы, у каждой $σ = 6$ . При каком $n$ у их среднего $σ = 1$ ? $n = 36$
из жизниБаскетболист бросает до первого попадания, но не более $3$ раз; $p = 0, 5$ . $E$ числа бросков $1, 75$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $D (X) = \sum (x_{i} - E)^{2} p_{i} \geq 0$ как сумма неотрицательных слагаемых, и $D = E (X^{2}) - (EX)^{2}$ . Равенство — когда все $x_{i} = E$ (при $p_{i} > 0$ ), т. е. $X$ постоянна. 2) $E ((X - a)^{2}) = E ((X - EX + EX - a)^{2}) = D (X) + 2 (EX - a) \cdot E (X - EX) + (EX - a)^{2} = D (X) + (EX - a)^{2}$ , так как $E (X - EX) = 0$ . Минимум $D (X)$ при $a = EX$ — физический смысл: момент инерции наименьший относительно центра масс.
3) $D (\overset{ˉ}{X}) = \frac{1}{n ^{2}} \cdot n \cdot 36 = \frac{36}{n}$ ; $σ = 6/ n = 1 \Rightarrow n = 36$ . 4) $X$ : $1; 2; 3$ с вероятностями $0, 5; 0, 25; 0, 25$ (третий бросок делается при двух промахах, $0, 25$ ): $E = 0, 5 + 0, 5 + 0, 75 = 1, 75$ (fractions).

R06.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. В среднем из $500$ аккумуляторов, поступивших в продажу, $6$ неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу аккумулятор исправен.

$0, 988$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 8$ . Он стреляет $3$ раза. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно $2$ раза.

$0, 384$

3. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел равно $5$ .

$0, 25$

«В среднем

6

из

500

» — частота;

E

числа неисправных в партии из

500

— это

6

.

R06.1 · R06.4 · R06.5 · R06.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $0, 3; 0, 4; 0, 3$ . $E$ и $D$ $1$ и $0, 6$
$E (X) = 3$ , $D (X) = 2$ : $E (1 - 2 X)$ , $D (1 - 2 X)$ $- 5$ и $8$
$n = 50$ , $p = 0, 2$ : $E$ и $D$ числа успехов $10$ и $8$
До первого успеха, $p = 0, 25$ : $E$ и $D$ $4$ и $12$

Вариант 2

$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $0, 2; 0, 6; 0, 2$ . $E$ и $D$ $1$ и $0, 4$
$E (X) = - 1$ , $D (X) = 3$ : $E (2 - 3 X)$ , $D (2 - 3 X)$ $5$ и $27$
$n = 40$ , $p = 0, 25$ : $E$ и $D$ числа успехов $10$ и $7, 5$
До первого успеха, $p = 0, 5$ : $E$ и $D$ $2$ и $2$

R06.1–R06.6

Теория · итоговая сводка правил

Числовые характеристики на одном слайде

Определения

$E (X) = \sum x_{i} p_{i}$
$D = E (X^{2}) - (EX)^{2}$
$σ = D$ , $D \geq 0$

Свойства

$E (a X + b) = a EX + b$
$D (a X + b) = a^{2} D (X)$
$E$ суммы — всегда сумма $E$
$D$ суммы — для независимых

Распределения

индикатор: $p$ , $pq$
биномиальное: $n p$ , $n pq$
геометрическое: $\frac{1}{p}$ , $\frac{q}{p ^{2}}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что показывают $E (X)$ и $σ (X)$ ?
Почему $E$ суммы — всегда сумма, а $D$ — не всегда?
Откуда берутся $n p$ и $n pq$ ?

Домашнее задание

$X$ : $- 1; 0; 2; 3$ , $P$ : $0, 1; 0, 4; 0, 3; 0, 2$ . Найдите $E$ и $D$
$p = 0, 6$ : $E$ , $D$ числа попаданий из $15$ и числа выстрелов до первого попадания
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-027 · Обобщение по теме «Числовые характеристики случайных величин»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Числовые характеристики случайных величин», 6 ч · урок 6/6 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Математическое ожидание случайной величины» → 3–6, 15, 18 · R06.2 «Физический смысл математического ожидания» → 4, 16 · R06.3 «Примеры использования математического ожидания» → 11–12, 17 · R06.4 «Дисперсия и стандартное отклонение» → 4–6, 13–16, 18 · R06.5 «Свойства математического ожидания и дисперсии» → 7–8, 11, 13–16, 18 · R06.6 «Ожидание и дисперсия изученных распределений» → 9–10, 12–15, 17–19
Результаты	ПР-5 (ожидание и дисперсия по распределению, характеристики изученных распределений) → 3–19 · ПР-3 (испытания до первого успеха, серии Бернулли) → 9–10, 17 · ПР-4 (распределение вероятностей) → 5–6, 16
Вне урока	неравенство Чебышева и закон больших чисел — VIS9U-028 (только мостик на сл. 8, 12, 19)
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Ожидание и дисперсия: обобщение и систематизация

Сегодня вы закрепите

E, D, σ по таблице

Свойства E и D

Изученные распределения

Решения в жизни

Ожидания и дисперсии в уме

По определению и свойствам

Формулы и распределения

Центр распределения и разброс вокруг него

Прямое применение: E, затем E(X2)

Образец: найдите E(X), D(X), σ(X)

Сам

Известны характеристики — найдите распределение

Образец: X: −1; 0; 2, P: a; b; 0,2, E(X)=0,1. Найдите a, b, D(X)

Сам

Сдвиг не меняет разброс, растяжение — меняет

Два независимых теста: сумма и среднее баллов

Образец: E(X)=7, D(X)=4; E(Y)=8, D(Y)=5; X, Y независимы. Найдите E и σ для S=X+Y и M=2S​

Сам

Три распределения — формулы без таблицы

Стрелок попадает с вероятностью 0,8

Образец: а) 25 выстрелов, X — число попаданий; б) стреляет до первого попадания, Y — число выстрелов. E и D?

Сам

Ожидание без таблицы распределения

Образец: монету бросают 10 раз; X — число пар соседних бросков с одинаковым результатом. E(X)?

Сам

Средняя прибыль и её разброс

Образец: 100 домов, взнос 3000 руб., выплата 200000 руб. с вероятностью 0,01 независимо. X — число страховых случаев. E и σ прибыли Π?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) X: 0; 1; 3, P: 0,5; 0,3; 0,2. Найти D(X)

б) Кубик бросают до первой «шестёрки». D числа бросков

в) X, Y независимы, D(X)=1, D(Y)=2. Найти D(2X−3Y)

Решите и проверьте

По таблице и по свойствам

Изученные распределения

Докажите, исследуйте, решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Числовые характеристики на одном слайде

Определения

Свойства

Распределения

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-027 · Обобщение по теме «Числовые характеристики случайных величин»

$E$ , $D$ , $σ$ по таблице

Свойства $E$ и $D$

Прямое применение: $E$ , затем $E (X^{2})$

Образец: найдите $E (X)$ , $D (X)$ , $σ (X)$

Образец: $X$ : $- 1; 0; 2$ , $P$ : $a; b; 0, 2$ , $E (X) = 0, 1$ . Найдите $a$ , $b$ , $D (X)$

Образец: $E (X) = 7$ , $D (X) = 4$ ; $E (Y) = 8$ , $D (Y) = 5$ ; $X$ , $Y$ независимы. Найдите $E$ и $σ$ для $S = X + Y$ и $M = \frac{S}{2}$

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$

Образец: а) $25$ выстрелов, $X$ — число попаданий; б) стреляет до первого попадания, $Y$ — число выстрелов. $E$ и $D$ ?

Образец: монету бросают $10$ раз; $X$ — число пар соседних бросков с одинаковым результатом. $E (X)$ ?

Образец: $100$ домов, взнос $3000$ руб., выплата $200000$ руб. с вероятностью $0, 01$ независимо. $X$ — число страховых случаев. $E$ и $σ$ прибыли $Π$ ?

а) $X$ : $0; 1; 3$ , $P$ : $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . Найти $D (X)$

б) Кубик бросают до первой «шестёрки». $D$ числа бросков

в) $X$ , $Y$ независимы, $D (X) = 1$ , $D (Y) = 2$ . Найти $D (2 X - 3 Y)$