Числовые характеристики случайных величин · урок 5 из 6 · практикум

Практикум: математическое ожидание случайной величины

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9U-026

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Числовые характеристики случайных величин» (6 ч), урок 5/6, единицы R06.1 «Математическое ожидание случайной величины» и R06.2 «Физический смысл математического ожидания». Тип урока — П (практикум). Опора — VIS9U-022 (определение, центр масс), VIS9U-023 (лотереи, индикаторы), VIS9U-024 (свойства $E$ и $D$ ), VIS9U-025 ( $E = n p$ , $E = \frac{1}{p}$ ).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: определение, смысл, оценки) 3 · 9 (сводка: линейность, индикаторы, распределения) 3,5 · 12 (формула через хвосты с доказательством) 3,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам: сл. 5 — 1,5; 6 — 2; 7 — 2,5; 8 — 2; 10 — 1,5; 11 — 2,5; 13 — 2,5 · исследование (сл. 14) 1,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 1,5 · самостоятельная (сл. 20) 4 · итог (сл. 21) 1.
Картинка на титуле: грузы $0, 4$ ; $0, 4$ ; $0, 2$ в точках $0$ ; $2$ ; $6$ . Равновесие в точке $E (X) = 0 + 0, 8 + 1, 2 = 2$ .
Если не успеваете: исследование (сл. 14) и задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; сводки (сл. 4, 9, 12) не сокращать.

R06.1 · R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь уверенно

Считать и проверять

находить $E (X)$ по распределению и проверять ответ оценкой $x_{m i n} \leq E \leq x_{m a x}$ (ПР-5)

Точка равновесия

предсказывать, как сдвинется $E (X)$ при изменении значений и вероятностей (ПР-5)

Строить распределения

выбор без возвращения, обратные задачи: неизвестные значения и вероятности (ПР-4, ПР-5)

Короткие пути

линейность, метод индикаторов, формула «через хвосты» (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач» — сегодня отрабатываем ожидание всеми способами. ПР-4: «…Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах» — сл. 7, 8.
Практикум: каждый приём — образец (2 мин объяснения учеником у доски или учителем) и сразу 3 задания «сам».

повторение: R06.1 – R06.6

Разминка · устно

Ожидание за 10 секунд

Вычислите $E$

$5 \cdot 0, 2 + 2 \cdot 0, 5 + 0 \cdot 0, 3$ $2$
очки на кубике $3, 5$
$X$ : $- 1$ и $1$ , по $0, 5$ $0$
$E (2 X + 1)$ , если $E (X) = 3$ $7$

Ответьте

число успехов: $n = 10$ , $p = 0, 3$ . $E$ $3$
попыток до первого успеха, $p = 0, 25$ . $E$ $4$
$X \in {1; 2; 3}$ , $P (1) = 0, 25$ , $P (3) = 0, 35$ . $P (2)$ $0, 4$
может ли $E = 6$ , если $X \in {2; 4; 5}$ ? нет

R06.1 · R06.2

Теория · сводка: определение и физический смысл

Что мы знаем об $E (X)$

E (X) = x_{1} p_{1} + \dots + x_{n} p_{n}

Центр масс: грузы $p_{i}$ в точках $x_{i}$ уравновешены в точке $E (X)$

Оценка: $x_{m i n} \leq E (X) \leq x_{m a x}$

Симметрия: распределение симметрично относительно $c$ $\Rightarrow$ $E (X) = c$

3 мин · теория (сводка, без новых определений)
Рисунок: $X$ : $0$ ; $2$ ; $6$ с вероятностями $0, 4$ ; $0, 4$ ; $0, 2$ . $E (X) = 0 + 0, 8 + 1, 2 = 2$ . Проверка моментами: слева $0, 4 \cdot 2 = 0, 8$ , справа $0, 2 \cdot 4 = 0, 8$ ✓. Точка $2$ — одно из значений, но так бывает не всегда.
Алгоритм решения любой задачи на ожидание: 1) что за случайная величина и какие значения; 2) вероятности (сумма $1$ ); 3) сумма «значение × вероятность»; 4) проверка: ответ в $[x_{m i n}; x_{m a x}]$ , разумен ли с точки зрения «центра масс».
Вопрос: где окажется точка равновесия, если груз $0, 2$ перенести из $6$ в $11$ ? (Сдвинется на $0, 2 \cdot 5 = 1$ , в точку $3$ — это тема сл. 6.)

R06.1

Образец → сам · ожидание по распределению с проверкой

Недостающая вероятность и оценка ответа

Образец: найдите $E (X)$

$x$	$- 3$	$0$	$2$	$7$
$P$	$0, 1$	$0, 4$	$0, 3$	$?$

$P (7) = 1 - 0, 8 = 0, 2$ сумма вероятностей $1$

$E = - 0, 3 + 0 + 0, 6 + 1, 4$ = $1, 7$ определение

$- 3 \leq 1, 7 \leq 7$ ✓ оценка через $x_{m i n}$ , $x_{m a x}$

Сам: найдите $E (X)$

$X$ : $1; 3; 9$ с вероятностями $0, 6; 0, 3$ и $?$ $2, 4$
$P (X = k) = c k$ , $k = 1, 2, 3$ $\frac{7}{3}$
$X$ : $100$ и $- 50$ с вероятностями $0, 3$ и $0, 7$ $- 5$

R06.2

Образец → сам · как сдвигается точка равновесия

Перенесли груз — где теперь опора?

Образец: $X$ : $1; 3; 8$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . Значение $8$ заменили на $13$

$E = 0, 5 + 0, 9 + 1, 6 = 3$ определение

$Δ E = 0, 2 \cdot (13 - 8) = 1$ , $E_{нов}$ = $4$

Сам: начальное $E = 3$ (образец)

Все значения увеличили на $2$ $5$
Груз $0, 5$ перенесли из точки $1$ в точку $0$ $2, 5$
обратнаяКуда перенести груз $0, 3$ из точки $3$ , чтобы стало $E = 4$ ? в $\frac{19}{3}$

R06.1 · R05

Образец → сам · сначала распределение, потом $E$

Выбор без возвращения

Образец: в урне $3$ белых и $2$ чёрных шара, вынимают $2$ . $X$ — число белых

всего $C_{5}^{2} = 10$ равновозможных пар порядок не важен

$P (0) = \frac{C _{2}^{2}}{10}$ , $P (1) = \frac{C _{3}^{1} C _{2}^{1}}{10}$ , $P (2) = \frac{C _{3}^{2}}{10}$

$x$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0, 1$	$0, 6$	$0, 3$

$E = 0, 6 + 0, 6$ = $1, 2$ сумма $P$ равна $1$ ✓

Сам

$2$ белых, $3$ чёрных, вынимают $2$ ; $X$ — число белых $0, 8$
$4$ белых, $2$ чёрных, вынимают $3$ ; $X$ — число чёрных $1$
Из чисел $1, \dots, 5$ выбирают три разных; $X$ — наибольшее $4, 5$

R06.1

Образец → сам · обратная задача

Известно ожидание — найдите неизвестное

Образец: $E (X) = 3, 4$ . Найдите $a$ и $b$

$x$	$1$	$3$	$6$
$P$	$a$	$0, 2$	$b$

$a + b = 0, 8$ сумма вероятностей $1$

$a + 0, 6 + 6 b = 3, 4 \Rightarrow a + 6 b = 2, 8$ определение

$5 b = 2$ : $b = 0, 4$ , $a = 0, 4$ $a, b \in [0; 1]$ ✓

проверка: $0, 4 + 0, 6 + 2, 4$ = $3, 4$

Сам

$X \in {1; 4}$ , $E = 3, 1$ . Найдите $P (X = 4)$ $0, 7$
$X \in {- 1; 0; 3}$ , $P (0) = 0, 5$ , $E = 0, 7$ . Найдите $P (- 1)$ и $P (3)$ $0, 2$ и $0, 3$
$X \in {2; x}$ , $P (2) = 0, 6$ , $E = 5$ . Найдите $x$ $9, 5$

R06.1 · свойства

Теория · сводка: свойства и готовые формулы

Короткие пути к $E (X)$

Правило	Формула	Когда применять
линейность	$E (a X + b) = a E (X) + b$	выигрыш, цена, перевод единиц
ожидание суммы	$E (X + Y) = E (X) + E (Y)$	всегда, даже для зависимых $X$ , $Y$
индикатор события $A$	$E (I_{A}) = P (A)$	$X$ — «сколько раз произошло»: $X = I_{1} + \dots + I_{n}$
биномиальное (число успехов)	$E (X) = n p$	$n$ независимых испытаний Бернулли
геометрическое (до первого успеха)	$E (X) = \frac{1}{p}$	испытания без ограничения числа

Перед готовой формулой проверьте условия: независимы ли испытания, ограничено ли число попыток.

3,5 мин · теория (сводка с опорой на VIS9U-023 – VIS9U-025)
Линейность и ожидание суммы доказаны на уроке VIS9U-024. Подчеркнуть: для суммы независимость не нужна (в отличие от дисперсии суммы).
Метод индикаторов (VIS9U-023): $I_{k} = 1$ , если событие $A_{k}$ произошло, иначе $0$ ; $E (I_{k}) = 1 \cdot P (A_{k}) + 0 = P (A_{k})$ . Поэтому $E (X) = P (A_{1}) + \dots + P (A_{n})$ . Именно так получаются $E = n p$ (каждое испытание — индикатор успеха) и «доля × число» на сл. 7.
$E = \frac{1}{p}$ — только для неограниченного числа попыток. При ограничении (не более $n$ попыток) — считаем по распределению или формулой сл. 12.

R06.1 · свойства

Образец → сам · линейность ожидания

Выигрыш — линейная функция от $X$

Образец: бросают $3$ кубика; за каждое очко игрок получает $5$ руб., за участие платит $60$ руб. Выгодна ли игра?

$W = 5 S - 60$ , $S$ — сумма очков модель

$E (S) = 3 \cdot 3, 5 = 10, 5$ ожидание суммы

$E (W) = 5 \cdot 10, 5 - 60$ = $- 7, 5$ руб. — невыгодна

Сам

Монету бросают $10$ раз: орёл $+ 3$ руб., решка $- 2$ руб. $E (выигрыша)$ $5$ руб.
Тест: $20$ вопросов по $4$ варианта, ответы наугад; верный $+ 1$ , неверный $- 0, 25$ . $E (балла)$ $1, 25$
$E (X) = 4$ , $E (Y) = - 1$ . Найдите $E (3 X - 2 Y + 5)$ $19$

R06.1 · R06.3

Образец → сам · метод индикаторов

Сколько ящиков останется пустыми?

Образец: $3$ шара независимо и равновероятно раскладывают по $3$ ящикам. $X$ — число пустых ящиков

$X = I_{1} + I_{2} + I_{3}$ , $I_{k} = 1$ , если ящик $k$ пуст

$P (ящик пуст) = (\frac{2}{3})^{3} = \frac{8}{27}$ все шары мимо

$E (X) = 3 \cdot \frac{8}{27}$ = $\frac{8}{9}$ ожидание суммы

Сам

$4$ шара по $4$ ящикам. $E (пустых)$ $\frac{81}{64}$
Карточки $1, \dots, 5$ перемешали. $E (карточек на своём месте)$ $1$
повыш.Монету бросают $10$ раз. $E (числа пар « орёл, затем решка »)$ $\frac{9}{4}$

R06.1 · доказательство

Теория · ожидание «через хвосты» · доказательство

Если $X$ принимает значения $1, 2, \dots, n$

E (X) = k = 1 \sum n P (X \geq k)

$n = 3$ : $P_{1} + 2 P_{2} + 3 P_{3} =$ определение

$= (P_{1} + P_{2} + P_{3}) + (P_{2} + P_{3}) + P_{3}$ $P_{k}$ взяли $k$ раз

пример: $X$ — наибольшее на двух кубиках

$P (X \geq k) = 1 - \frac{( k - 1 ) ^{2}}{36}$ дополнение к «оба $\leq k - 1$ »

$E = 6 - \frac{0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25}{36} = \frac{161}{36}$ ✓

3,5 мин · теория (учитель доказывает у доски и решает демонстрационный пример)
Доказательство: в сумме $\sum k P_{k}$ вероятность $P_{k}$ стоит с множителем $k$ . Запишем её $k$ раз — в строках $P (X \geq 1), \dots, P (X \geq k)$ . Рисунок: клетка (строка $k$ , столбец $j$ ) заполнена при $j \geq k$ . По столбцам — $j P_{j}$ (ожидание), по строкам — хвосты $P (X \geq k)$ . Сумма всех клеток одна и та же.
Демонстрационный пример — наибольшее из двух чисел на кубиках (VIS9U-022, сл. 10): $P (X \leq k - 1) = \frac{( k - 1 ) ^{2}}{36}$ . $E = 6 - \frac{55}{36} = \frac{216 - 55}{36} = \frac{161}{36} \approx 4, 47$ — совпало с прямым счётом.
Где удобно: «наибольшее», «число попыток» (хвост $P (X \geq k)$ = «первые $k - 1$ попыток неудачны»). Для геометрического распределения: $1 + q + q^{2} + \dots = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{p}$ .

R06.1 · R06.3

Образец → сам · задача из жизни: ограниченное число попыток

Сколько попыток в среднем?

Образец: на зачёт дают не более $3$ попыток; каждая успешна с вероятностью $0, 6$ . $X$ — число попыток

$P (X \geq 1) = 1$ , $P (X \geq 2) = 0, 4$ , $P (X \geq 3) = 0, 4^{2}$ предыдущие неудачны

$E = 1 + 0, 4 + 0, 16$ = $1, 56$ формула через хвосты

не $\frac{1}{0 , 6} \approx 1, 67$ : попыток не больше трёх

Сам

Не более $4$ попыток, $p = 0, 5$ . $E (X)$ $1, 875$
Пароль — один из $4$ вариантов; пробуют наугад без повторов. $E (попыток)$ $2, 5$
Попытка зачёта из образца стоит $200$ руб. $E (затрат)$ $312$ руб.

R06.1 · исследование

Исследование · сколько серий в среднем?

Монету бросают $n$ раз; $X$ — число серий

Серия — подряд одинаковые: ООРО — $3$ серии. Для $n = 3$ :

ООО	ООР	ОРО	ОРР	РОО	РОР	РРО	РРР
$1$	$2$	$3$	$2$	$2$	$3$	$2$	$1$

$n = 2$ : $E = 1, 5$ ; $n = 3$ : $E = \frac{16}{8} = 2$

гипотеза: $E (X) = \frac{n + 1}{2}$

Докажите методом индикаторов

$X = 1 + (число смен)$ каждая смена — новая серия

смена на каждом из $n - 1$ стыков: $P = \frac{1}{2}$

$E = 1 + \frac{n - 1}{2} = \frac{n + 1}{2}$ ; $n = 10$ : $5, 5$

R06.1 · свойства

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$E (X + Y)$ , где $X$ , $Y$ зависимы (например, $Y = X$ )	«формула суммы не работает»	$E (X) + E (Y)$ — всегда
ожидание квадрата: $X$ : $0$ и $2$ , по $0, 5$ . $E (X^{2})$	$(EX)^{2} = 1$	$0 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 5 = 2$
выстрелы до первого попадания, $p = 0, 2$	$\frac{1}{0 , 8} = 1, 25$	$\frac{1}{0 , 2} = 5$
не более $2$ попыток, $p = 0, 5$	$\frac{1}{p} = 2$	$1 + 0, 5 = 1, 5$

R06.1 · R06.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $3$ кубика: $5$ руб. за очко, взнос $60$ руб. $E (W)$ ?

$E (W) = 5 \cdot 3, 5 - 60 = - 42, 5$

$3, 5$ — ожидание одного кубика, а сумма трёх: $10, 5$

$E (W) = 52, 5 - 60 = - 7, 5$

б) $4$ шара по $4$ ящикам. $E (пустых)$ ?

$P (ящик пуст) = (\frac{3}{4})^{4}$ , значит, $E = \frac{81}{256}$

забыли сложить $4$ индикатора

$E = 4 \cdot \frac{81}{256} = \frac{81}{64}$

в) $X$ : $2; 5; 10$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$

$E = 0, 4 + 2, 5 + 3 = 5, 9$ , значит, $E (X - 4) = 5, 9$

сдвиг значений сдвигает и $E$

$E (X - 4) = 5, 9 - 4 = 1, 9$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ответ $- 42, 5$ можно было заподозрить: выигрыш не меньше $5 \cdot 3 - 60 = - 45$ и не больше $5 \cdot 18 - 60 = 30$ , а средний результат «почти худший» — неправдоподобно. б) Найдена вероятность пустовать для одного ящика, а $X$ — сумма четырёх индикаторов; оценка смыслом: $rac{81}{256} pprox 0{,}32$ — слишком мало, ведь каждый ящик пуст с такой вероятностью. в) Ожидание вычислено верно ( $0, 4 + 2, 5 + 3 = 5, 9$ ), ошибка в линейности: $E (X - 4) = E (X) - 4$ ; точка равновесия сдвигается вместе со стержнем.

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По распределению и свойствам

$X$ : $2; 4; 6$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$ $4, 2$
$X$ : $- 1; 0; 5$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$ $0, 5$
$E (X) = 2, 5$ . Найдите $E (4 X - 3)$ $7$
$X \in {1; 6}$ , $E = 4$ . Найдите $P (X = 6)$ $0, 6$

Готовые формулы, индикаторы

$20$ испытаний, $p = 0, 15$ . $E (успехов)$ $3$
Кубик бросают до первой шестёрки. $E (бросков)$ $6$
Из урны: $4$ белых, $6$ чёрных — вынимают $5$ шаров. $E (белых)$ $2$

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Из колоды в $36$ карт берут $4$ карты. Найдите $E (числа тузов)$ $\frac{4}{9}$
повыш.Кубик бросают $3$ раза; $X$ — наибольшее из чисел. Найдите $E (X)$ $\frac{119}{24}$
доказ.Докажите: $E (X - E (X)) = 0$ . Каков физический смысл? моменты уравновешены
повыш.Числа $1, \dots, 10$ записали в случайном порядке. $E (числа мест, где соседнее справа больше)$ $4, 5$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Индикаторы по картам: каждая из $4$ карт — туз с вероятностью $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$ ; $E = \frac{4}{9} \approx 0, 44$ .
2) Хвосты: $P (X \geq k) = 1 - (\frac{k - 1}{6})^{3}$ ; $E = 6 - \frac{0 + 1 + 8 + 27 + 64 + 125}{216} = 6 - \frac{225}{216} = \frac{1071}{216} = \frac{119}{24} \approx 4, 96$ (проверено перебором $216$ исходов).
3) $E (X) = c$ — число; по линейности $E (X - c) = E (X) - c = 0$ . Физический смысл: суммарный момент грузов относительно точки равновесия равен нулю (лемма VIS9U-022).
4) $9$ стыков; на каждом из двух соседних чисел правое больше с вероятностью $\frac{1}{2}$ (симметрия); $E = \frac{9}{2} = 4, 5$ .

R05 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. В лотерее $1000$ билетов, из них $20$ выигрышных. Найдите вероятность того, что купленный билет окажется без выигрыша.

Ответ: $0, 98$

2. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Ответ: $0, 375$

3. В урне $3$ белых и $2$ чёрных шара. Наугад вынимают два шара. Найдите вероятность того, что оба шара белые.

Ответ: $0, 3$

Каждый ответ — одна строка распределения: билета, числа орлов, числа белых шаров (сл. 7).

R06.1 · R06.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X$ : $0; 3; 10$ с вероятностями $0, 4; 0, 5$ и $?$ . $E (X)$ $2, 5$
$X \in {2; 7}$ , $E (X) = 3$ . Найдите $P (X = 7)$ $0, 2$
$E (X) = 5$ . Найдите $E (2 X + 3)$ $13$
$3$ шара по $2$ ящикам. $E (пустых ящиков)$ $\frac{1}{4}$

Вариант 2

$X$ : $- 2; 1; 4$ с вероятностями $0, 3; 0, 5$ и $?$ . $E (X)$ $0, 7$
$X \in {1; 5}$ , $E (X) = 4$ . Найдите $P (X = 5)$ $0, 75$
$E (X) = - 2$ . Найдите $E (3 X + 10)$ $4$
$2$ шара по $3$ ящикам. $E (пустых ящиков)$ $\frac{4}{3}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какой способ найти $E (X)$ сегодня оказался самым коротким?
Как сдвинется $E$ , если одно значение увеличить на $d$ ?
Когда нельзя применять $E = \frac{1}{p}$ ?

Домашнее задание

Кубик бросают дважды, $X$ — меньшее из чисел. Найдите $E (X)$ двумя способами
Монету бросают $5$ раз. Найдите $E (числа серий)$ перебором и формулой
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-026 · Практикум: математическое ожидание случайной величины

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Числовые характеристики случайных величин», 6 ч · урок 5/6 · тип П
Единицы → слайды	R06.1 «Математическое ожидание случайной величины» → 2–5, 7–21 · R06.2 «Физический смысл математического ожидания» → 2, 4, 6, 16, 18 · повторение R05, R06.3–R06.6 → 3, 9, 11, 13, 19
Результаты	ПР-5 (математическое ожидание по распределению, числовые характеристики изученных распределений) → 3–21 · ПР-4 (распределения в изученных опытах) → 7, 8, 14
Вне урока	дисперсия в задачах — VIS9U-027; неравенство Чебышева и закон больших чисел — R07 (VIS9U-028)
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: математическое ожидание случайной величины

Сегодня вы научитесь уверенно

Считать и проверять

Точка равновесия

Строить распределения

Короткие пути

Ожидание за 10 секунд

Вычислите E

Ответьте

Что мы знаем об E(X)

Недостающая вероятность и оценка ответа

Образец: найдите E(X)

Сам: найдите E(X)

Перенесли груз — где теперь опора?

Образец: X: 1; 3; 8 с вероятностями 0,5; 0,3; 0,2. Значение 8 заменили на 13

Сам: начальное E=3 (образец)

Выбор без возвращения

Образец: в урне 3 белых и 2 чёрных шара, вынимают 2. X — число белых

Сам

Известно ожидание — найдите неизвестное

Образец: E(X)=3,4. Найдите a и b

Сам

Короткие пути к E(X)

Выигрыш — линейная функция от X

Образец: бросают 3 кубика; за каждое очко игрок получает 5 руб., за участие платит 60 руб. Выгодна ли игра?

Сам

Сколько ящиков останется пустыми?

Образец: 3 шара независимо и равновероятно раскладывают по 3 ящикам. X — число пустых ящиков

Сам

Если X принимает значения 1,2,…,n

Сколько попыток в среднем?

Образец: на зачёт дают не более 3 попыток; каждая успешна с вероятностью 0,6. X — число попыток

Сам

Монету бросают n раз; X — число серий

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 3 кубика: 5 руб. за очко, взнос 60 руб. E(W)?

б) 4 шара по 4 ящикам. E(пустых)?

в) X: 2; 5; 10 с вероятностями 0,2; 0,5; 0,3

Решите и проверьте

По распределению и свойствам

Готовые формулы, индикаторы

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-026 · Практикум: математическое ожидание случайной величины

Вычислите $E$

Что мы знаем об $E (X)$

Образец: найдите $E (X)$

Сам: найдите $E (X)$

Образец: $X$ : $1; 3; 8$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . Значение $8$ заменили на $13$

Сам: начальное $E = 3$ (образец)

Образец: в урне $3$ белых и $2$ чёрных шара, вынимают $2$ . $X$ — число белых

Образец: $E (X) = 3, 4$ . Найдите $a$ и $b$

Короткие пути к $E (X)$

Выигрыш — линейная функция от $X$

Образец: бросают $3$ кубика; за каждое очко игрок получает $5$ руб., за участие платит $60$ руб. Выгодна ли игра?

Образец: $3$ шара независимо и равновероятно раскладывают по $3$ ящикам. $X$ — число пустых ящиков

Если $X$ принимает значения $1, 2, \dots, n$

Образец: на зачёт дают не более $3$ попыток; каждая успешна с вероятностью $0, 6$ . $X$ — число попыток

Монету бросают $n$ раз; $X$ — число серий

а) $3$ кубика: $5$ руб. за очко, взнос $60$ руб. $E (W)$ ?

б) $4$ шара по $4$ ящикам. $E (пустых)$ ?

в) $X$ : $2; 5; 10$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$