Числовые характеристики случайных величин · урок 4 из 6

Математическое ожидание и дисперсия изученных распределений

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9U-025

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Числовые характеристики случайных величин» (6 ч), урок 4/6, единица R06.6 «Математическое ожидание и дисперсия изученных распределений». Тип урока — Н. Опора — VIS9U-024 (дисперсия, $σ$ , свойства $E$ и $D$ ), R04 (испытания Бернулли, до первого успеха), R05 (распределения).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (Бернулли) 2,5 · 6 (биномиальное) 3 · 8 (геометрическое) 3 · 10 (равномерное) 2 · 12 (сводка) 1.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11 — по 3; сл. 13 — 2,5) · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — биномиальное распределение $n = 8$ , $p = \frac{1}{2}$ (число орлов за 8 бросков монеты): $P (X = k) = \frac{C _{8}^{k}}{256}$ ; столбик $k = 4$ — самый высокий, $E = 4$ , $σ = 2 \approx 1, 41$ (отрезок над столбиками — от $E - σ$ до $E + σ$ ).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

получать $E$ и $D$ распределений Бернулли и биномиального через индикаторы (ПР-5)

До первого успеха

находить ожидание и дисперсию числа испытаний до первого успеха (ПР-3, ПР-5)

Равномерное распределение

находить $E$ и $D$ очков кубика и случайного номера, сумм независимых величин (ПР-4, ПР-5)

Решать без таблиц

узнавать распределение в задаче и сразу писать $E$ , $D$ , $σ$ (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». ПР-4: распределения вероятностей в изученных опытах. ПР-3: испытания до первого успеха, серии Бернулли.
Деятельность по ФРП (R06): «знакомиться с математическим ожиданием и дисперсией некоторых распределений, в том числе распределения случайной величины „число успехов“ в серии испытаний Бернулли».

повторение: VIS9U-024

Разминка · устно

Ожидание, дисперсия, свойства

Найдите

$X$ : $0$ и $1$ с вероятностями $0, 7$ и $0, 3$ . $E (X)$ $0, 3$
Для той же $X$ : $E (X^{2})$ $0, 3$
$E$ числа орлов за $10$ бросков монеты $5$
$D (X) = 4$ . Найдите $σ (X)$ $2$

Вычислите

$D (X) = 2$ . Найдите $D (3 X)$ $18$
$D (X) = 2$ . Найдите $D (X + 5)$ $2$
$1 : 0, 25$ $4$
$50 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2$ $8$

R06.6

Теория · распределение Бернулли

Одно испытание: индикатор успеха

$I = 1$ при успехе (вероятность $p$ ), $I = 0$ при неудаче ( $q = 1 - p$ ).

$E (I) = 0 \cdot q + 1 \cdot p = p$

$E (I^{2}) = p$ , так как $I^{2} = I$

$D (I) = E (I^{2}) - (E I)^{2} = p - p^{2}$

D (I) = pq

; наибольшая при

p = \frac{1}{2}

:

D = \frac{1}{4}

.

R06.6

Образец → сам · распределение Бернулли

Один бросок, одно испытание

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью $0, 8$ . $X$ — число попаданий за один бросок. $E$ , $D$ , $σ$ ?

$E (X) = p = 0, 8$ индикатор успеха

$D (X) = 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 16$ $D = pq$

$σ = 0, 16$ = $0, 4$ корень из $D$

Сам

$I = 1$ , если на кубике выпала шестёрка. $E (I)$ и $D (I)$ $\frac{1}{6}$ ; $\frac{5}{36}$
обратная $D (I) = 0, 24$ и $p > 0, 5$ . Найдите $p$ $0, 6$
Успех с $p = 0, 3$ даёт $10$ очков, ставка $2$ очка: $Y = 10 I - 2$ . $E (Y)$ , $D (Y)$ $1$ ; $21$

R06.6

Теория · биномиальное распределение

Число успехов в $n$ испытаниях Бернулли

$X = I_{1} + I_{2} + \dots + I_{n}$ , где $I_{j}$ — успех в $j$ -м испытании; $I_{j}$ независимы.

$E (X) = p + \dots + p = n p$ (сумма ожиданий)

$D (X) = pq + \dots + pq = n pq$ (независимы)

E = n p

,

D = n pq

,

σ = n pq

— без суммы

\sum k C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

.

3 мин · теория (вывод)
$P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — формула Бернулли (R04). Считать $E$ прямо по определению долго; через индикаторы — в одну строку.
Ожидание суммы равно сумме ожиданий всегда; дисперсия суммы равна сумме дисперсий — для независимых величин (VIS9U-024). Испытания Бернулли независимы, поэтому $D (X) = n \cdot pq$ .
Рисунок: $n = 10$ , $p = 0, 3$ ; вероятности $0, 028; 0, 121; 0, 233; 0, 267; 0, 200; 0, 103; 0, 037; 0, 009; 0, 001; \dots$ $E = 3$ , $D = 2, 1$ , $σ \approx 1, 45$ . Розовая полоса $E \pm σ$ накрывает самые вероятные значения $2, 3, 4$ (их суммарная вероятность $\approx 0, 70$ ).
Проверка формулы при $n = 2$ : $E = 0 \cdot q^{2} + 1 \cdot 2 pq + 2 p^{2} = 2 p (q + p) = 2 p$ ✓.

R06.6

Образец → сам · биномиальное распределение

Серия независимых испытаний

Образец: стрелок делает $20$ выстрелов, попадает с вероятностью $0, 9$ . $X$ — число попаданий

$E (X) = 20 \cdot 0, 9 = 18$ $n p$

$D (X) = 20 \cdot 0, 9 \cdot 0, 1 = 1, 8$ $n pq$

$σ = 1, 8 \approx$ $1, 34$ обычно $17$ – $19$ попаданий

Сам

Кубик бросают $30$ раз; $X$ — число шестёрок. $E$ и $D$ $5$ ; $\frac{25}{6}$
обратная $X$ — биномиальная, $E = 12$ , $D = 4, 8$ . Найдите $n$ и $p$ $20$ ; $0, 6$
повыш.Тест: $25$ вопросов по $4$ варианта, всё наугад; верно $+ 4$ , неверно $- 1$ . $E$ и $σ$ баллов $6, 25$ ; $\approx 10, 8$

R06.6

Теория · испытания до первого успеха

Геометрическое распределение

$X$ — номер испытания с первым успехом: $P (X = k) = q^{k - 1} p$ , $k = 1, 2, \dots$

$E = p \cdot 1 + q (1 + E)$ (первый шаг)

$E - qE = 1$ , $pE = 1$

E (X) = \frac{1}{p}

,

D (X) = \frac{q}{p ^{2}}

3 мин · теория (вывод «методом первого шага»)
Если первое испытание — успех (вероятность $p$ ), то $X = 1$ . Если неудача (вероятность $q$ ), то одно испытание потрачено, а дальше всё повторяется заново: $X = 1 + X^{'}$ , где $X^{'}$ распределена так же, как $X$ (испытания независимы, «память» отсутствует). Отсюда $E = p + q (1 + E)$ , $E (1 - q) = p + q = 1$ , $E = \frac{1}{p}$ .
Дисперсия тем же способом: $E (X^{2}) = p \cdot 1 + q E ((1 + X)^{2}) = 1 + 2 qE + qE (X^{2})$ , значит, $pE (X^{2}) = 1 + \frac{2 q}{p}$ , $E (X^{2}) = \frac{2 - p}{p ^{2}}$ ; $D = \frac{2 - p}{p ^{2}} - \frac{1}{p ^{2}} = \frac{q}{p ^{2}}$ . На доске — только итог; вывод — сильным ученикам.
Пример: кубик до шестёрки — в среднем $6$ бросков. Проверено численно суммированием ряда: $p = \frac{1}{6}$ → $E = 6$ , $D = 30$ .

R06.6

Образец → сам · до первого успеха

Сколько попыток в среднем?

Образец: кубик бросают до первой шестёрки. $X$ — число бросков. $E$ , $D$ , $σ$ ?

$p = \frac{1}{6}$ , $q = \frac{5}{6}$ успех — шестёрка

$E = 6$ , $D = \frac{5}{6} : \frac{1}{36} = 30$ $\frac{1}{p}$ и $\frac{q}{p ^{2}}$

$σ = 30 \approx$ $5, 48$ разброс почти как $E$

Сам

Монету бросают до первого орла. $E$ и $D$ $2$ ; $2$
Попадание с $p = 0, 2$ ; стреляют до попадания. $E$ и $D$ $5$ ; $20$
обратнаяВ среднем до успеха $4$ испытания. Найдите $p$ и $D$ $0, 25$ ; $12$

R06.6

Теория · равномерное распределение

Случайный номер от $1$ до $n$

$E (X) = \frac{1 + 2 + \dots + n}{n} = \frac{n + 1}{2}$

$E (X^{2}) = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}$

D (X) = \frac{( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} - \frac{( n + 1 ) ^{2}}{4} = \frac{n ^{2} - 1}{12}

Кубик,

n = 6

:

E = 3, 5

,

D = \frac{35}{12}

.

R06.6

Образец → сам · равномерное распределение и суммы

Сумма очков двух кубиков

Образец: $S = X_{1} + X_{2}$ — сумма очков на двух кубиках. $E (S)$ , $D (S)$ , $σ$ ?

$E (S) = 3, 5 + 3, 5 = 7$ сумма ожиданий

$D (S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12} = \frac{35}{6}$ кубики независимы

$σ = 35/6 \approx$ $2, 42$

Сам

Случайное целое число от $1$ до $10$ . $E$ и $D$ $5, 5$ ; $8, 25$
Сумма очков на трёх кубиках. $E$ и $D$ $10, 5$ ; $8, 75$
повыш. $Y = 2 X - 1$ , $X$ — очки кубика (числа $1, 3, \dots, 11$ ). $E (Y)$ , $D (Y)$ $6$ ; $\frac{35}{3}$

R06.6

Теория · сводка распределений

Узнай распределение — запиши $E$ и $D$

Распределение	Значения	$P (X = k)$	$E (X)$	$D (X)$
Бернулли (один успех)	$0; 1$	$q; p$	$p$	$pq$
биномиальное: число успехов	$0, \dots, n$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	$n p$	$n pq$
до первого успеха	$1, 2, \dots$	$q^{k - 1} p$	$\frac{1}{p}$	$\frac{q}{p ^{2}}$
равномерное	$1, \dots, n$	$\frac{1}{n}$	$\frac{n + 1}{2}$	$\frac{n ^{2} - 1}{12}$

Всегда

σ = D

; для суммы независимых — складываем и

E

, и

D

.

R06.6 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Брак в партии и звонки в колл-центр

Образец: доля брака $2 %$ , в партии $2500$ изделий. $X$ — число бракованных. Сколько обычно?

биномиальное: $n = 2500$ , $p = 0, 02$ считаем успехи

$E = 50$ , $D = 50 \cdot 0, 98 = 49$

$σ = 7$ : $43$ – $57$ $E \pm σ$

Сам

Партия $400$ изделий, брак $5 %$ . $E$ и $σ$ числа бракованных $20$ ; $\approx 4, 36$
Оператор дозванивается с вероятностью $0, 25$ . $E$ и $σ$ числа звонков до первого ответа $4$ ; $\approx 3, 46$
обратнаяБрак $10 %$ , $σ = 6$ . Сколько изделий в партии? $400$

R06.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли $q$ в дисперсии числа успехов ( $n = 20$ , $p = 0, 3$ )	$D = n p = 6$	$D = n pq = 4, 2$
$σ$ для того же $X$ : не извлекли корень	$σ = 4, 2$	$σ = 4, 2 \approx 2, 05$
до первого успеха, $p = 0, 2$ : перепутали формулы	$E = \frac{q}{p} = 4$	$E = \frac{1}{p} = 5$
$D (X) = 3$ ; дисперсия удвоенной величины	$D (2 X) = 6$	$D (2 X) = 4 \cdot 3 = 12$

R06.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают до первой шестёрки. Найдите $D$ числа бросков

$D = \frac{1}{p ^{2}} = 36$

в числителе $q$ , а не $1$

$D = \frac{5/6}{1/36} = 30$

б) $S$ — сумма очков на двух кубиках. Найдите $D (S)$

$S = 2 X$ , $D (S) = 4 \cdot \frac{35}{12} = \frac{35}{3}$

кубики разные: $X_{1} + X_{2} \neq = 2 X_{1}$

независимы:
$D (S) = \frac{35}{12} \cdot 2 = \frac{35}{6}$

в) $100$ бросков монеты, $X$ — число орлов. Найдите $σ$

$D = 100 \cdot 0, 5 = 50$ , $σ \approx 7, 07$

$D = n pq = 100 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5$ $= 25$

$σ = 5$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) $D = \frac{q}{p ^{2}}$ ; при $p = \frac{1}{6}$ : $30$ , а $\frac{1}{p ^{2}} = 36$ — это квадрат ожидания $(EX)^{2}$ , а не дисперсия. Проверка численно (ряд): $D = 30$ ✓.
б) $2 X_{1}$ — «один кубик, очки удвоили»: значения $2, 4, \dots, 12$ . Сумма двух независимых кубиков принимает и нечётные значения, разброс меньше. Перебор 36 исходов: $D (S) = \frac{35}{6}$ ✓.
в) Забыт множитель $q$ . Число орлов за 100 бросков обычно $45$ – $55$ ( $E \pm σ$ ).

R06.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Биномиальное и Бернулли

$n = 50$ , $p = 0, 2$ . $E (X)$ $10$
Для того же $X$ : $D (X)$ $8$
$n = 100$ , $p = 0, 5$ . $σ (X)$ $5$
Индикатор, $p = 0, 9$ . $D (I)$ $0, 09$

До успеха и равномерное

До первого успеха, $p = 0, 5$ . $E (X)$ $2$
До первого успеха, $p = 0, 1$ . $D (X)$ $90$
Тетраэдр: грани $1$ – $4$ . $E$ и $D$ очков $2, 5$ ; $1, 25$

R06.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Биномиальная $X$ : $E = 6$ , $D = 4, 2$ . Найдите $n$ и $p$ $20$ ; $0, 3$
повыш.При каком $n$ число успехов с $p = 0, 2$ имеет $σ = 4$ ? $100$
повыш.Монету бросают до второго орла. $E$ и $D$ числа бросков $4$ ; $4$
исследованиеКубик бросают до шестёрки; первые $3$ броска — без шестёрки. $E$ общего числа бросков $9$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $q = \frac{4 , 2}{6} = 0, 7$ ; $p = 0, 3$ ; $n = \frac{6}{0 , 3} = 20$ . 2) $n \cdot 0, 2 \cdot 0, 8 = 16$ → $n = 100$ .
3) Число бросков до второго орла $= X_{1} + X_{2}$ : до первого орла и затем ещё до следующего; $X_{1}$ , $X_{2}$ независимы и распределены «до первого успеха» с $p = \frac{1}{2}$ . $E = 2 + 2 = 4$ , $D = 2 + 2 = 4$ .
4) «Отсутствие памяти»: после 3 неудач опыт начинается заново, оставшееся число бросков в среднем $6$ ; всего $3 + 6 = 9$ . Вопрос классу: «шестёрка „должна“ скоро выпасть?» — нет, кубик не помнит прошлых бросков.

R06.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. На экзамене $25$ билетов, Серёжа не выучил $3$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет.

Ответ: $0, 88$

2. Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Ответ: $0, 5$

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0, 06$ . Покупатель берёт упаковку из двух батареек. Найдите вероятность того, что обе исправны.

Ответ: $0, 8836$

В задаче 3 число исправных — биномиальная величина:

E = 2 \cdot 0, 94 = 1, 88

.

R06.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Число успехов: $n = 40$ , $p = 0, 25$ . Найдите $E (X)$ $10$
Для той же величины найдите $D (X)$ $7, 5$
Стреляют до первого попадания, $p = 0, 4$ . $E$ числа выстрелов $2, 5$
Случайное целое число от $1$ до $8$ . Найдите $D$ $5, 25$

Вариант 2

Число успехов: $n = 60$ , $p = 0, 3$ . Найдите $E (X)$ $18$
Для той же величины найдите $D (X)$ $12, 6$
Звонят до первого ответа, $p = 0, 25$ . $E$ числа звонков $4$
Случайное целое число от $1$ до $5$ . Найдите $D$ $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему у числа успехов $D = n pq$ ?
Как вывести $E = \frac{1}{p}$ «первым шагом»?
Когда дисперсии складываются?

Домашнее задание

Кубик бросают $120$ раз: $E$ и $D$ числа шестёрок
Тетраэдр бросают до первой «четвёрки»: $E$ и $D$ числа бросков
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-025 · Математическое ожидание и дисперсия изученных распределений

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Числовые характеристики случайных величин», 6 ч · урок 4/6 · тип Н
Единицы → слайды	R06.6 «Математическое ожидание и дисперсия изученных распределений» → 2–20 · повторение R06.4–R06.5 → 3
Результаты	ПР-5 (ожидание и дисперсия по распределению, характеристики изученных распределений) → 4–19 · ПР-3 (до первого успеха, серии Бернулли) → 6–9, 17 · ПР-4 (распределения) → 10–12
Вне урока	практикум по ожиданию (VIS9U-026), неравенство Чебышева и закон больших чисел (R07)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Математическое ожидание и дисперсия изученных распределений

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

До первого успеха

Равномерное распределение

Решать без таблиц

Ожидание, дисперсия, свойства

Найдите

Вычислите

Одно испытание: индикатор успеха

Один бросок, одно испытание

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью 0,8. X — число попаданий за один бросок. E, D, σ?

Сам

Число успехов в n испытаниях Бернулли

Серия независимых испытаний

Образец: стрелок делает 20 выстрелов, попадает с вероятностью 0,9. X — число попаданий

Сам

Геометрическое распределение

Сколько попыток в среднем?

Образец: кубик бросают до первой шестёрки. X — число бросков. E, D, σ?

Сам

Случайный номер от 1 до n

Сумма очков двух кубиков

Образец: S=X1​+X2​ — сумма очков на двух кубиках. E(S), D(S), σ?

Сам

Узнай распределение — запиши E и D

Брак в партии и звонки в колл-центр

Образец: доля брака 2%, в партии 2500 изделий. X — число бракованных. Сколько обычно?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают до первой шестёрки. Найдите D числа бросков

б) S — сумма очков на двух кубиках. Найдите D(S)

в) 100 бросков монеты, X — число орлов. Найдите σ

Решите и проверьте

Биномиальное и Бернулли

До успеха и равномерное

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-025 · Математическое ожидание и дисперсия изученных распределений

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью $0, 8$ . $X$ — число попаданий за один бросок. $E$ , $D$ , $σ$ ?

Число успехов в $n$ испытаниях Бернулли

Образец: стрелок делает $20$ выстрелов, попадает с вероятностью $0, 9$ . $X$ — число попаданий

Образец: кубик бросают до первой шестёрки. $X$ — число бросков. $E$ , $D$ , $σ$ ?

Случайный номер от $1$ до $n$

Образец: $S = X_{1} + X_{2}$ — сумма очков на двух кубиках. $E (S)$ , $D (S)$ , $σ$ ?

Узнай распределение — запиши $E$ и $D$

Образец: доля брака $2 %$ , в партии $2500$ изделий. $X$ — число бракованных. Сколько обычно?

а) Кубик бросают до первой шестёрки. Найдите $D$ числа бросков

б) $S$ — сумма очков на двух кубиках. Найдите $D (S)$

в) $100$ бросков монеты, $X$ — число орлов. Найдите $σ$