Числовые характеристики · урок 3 из 6

Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства $E$ и $D$

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9U-024

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Числовые характеристики случайных величин» (6 ч), урок 3/6, единицы R06.4 «Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины», R06.5 «Свойства математического ожидания и дисперсии». Тип урока — Н. Опора: VIS9U-022, VIS9U-023 (математическое ожидание и его применения), дисперсия числового набора (8 класс).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (дисперсия, σ) 2,5 · 6 (формула $E (X^{2}) - (EX)^{2}$ , вывод) 2,5 · 8 (свойства $E$ ) 2 · 9 (свойства $D$ , доказательство) 2,5 · 13 (сводка) 1,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 10, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3,5 · повышенный (сл. 17) 3 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Картинка на титуле: две величины с одним и тем же $E = 5$ , но разным разбросом: $D = 0, 4$ и $D = 2, 4$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.4 · R06.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить $D (X)$ и $σ$

по определению и по формуле $E (X^{2}) - (EX)^{2}$ (ПР-5)

Доказывать свойства

$E (a X + b)$ , $D (a X + b)$ — выводить из определения (ПР-5)

Складывать величины

$E$ суммы и $D$ суммы независимых величин (ПР-5)

Сравнивать по разбросу

выбирать стабильный вариант при равных средних (ПР-4, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». ПР-4: «…оперировать понятием „распределение вероятностей“…». Коды требований в данных курса не заданы — цели по результатам.
Единицы ФРП: R06.4 «Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины», R06.5 «Свойства математического ожидания и дисперсии».

повторение: R06.1–R06.3, статистика 8 класса

Разминка · устно

Ожидание, среднее, квадраты

Найдите $E (X)$

$X$ : $0; 1$ , $P$ : $0, 7; 0, 3$ $0, 3$
$X$ : $1; 2; 3$ , $P$ : $0, 2; 0, 5; 0, 3$ $2, 1$
очки на игральном кубике $3, 5$
индикатор события, $P (A) = 0, 4$ $0, 4$

Вычислите

среднее набора $3; 5; 10$ $6$
дисперсия набора $2; 4; 6; 8$ $5$
$(- 3)^{2} \cdot 0, 5$ $4, 5$
$0, 49$ $0, 7$

R06.4

Теория · дисперсия и стандартное отклонение

Мера разброса вокруг $E (X)$

Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения от $E (X)$ :

D (X) = E ((X - EX)^{2}) = \sum (x_{i} - EX)^{2} p_{i}

σ (X) = D (X)

стандартное отклонение

$X$ : $D = 1 \cdot 0, 2 + 0 + 1 \cdot 0, 2 = 0, 4$

$Y$ : $D = 4 \cdot 0, 3 + 0 + 4 \cdot 0, 3 = 2, 4$

E = 5

у обеих; отрезок

[E - σ; E + σ]

у

Y

шире.

2,5 мин · теория
$X$ : значения 4; 5; 6 с вероятностями 0,2; 0,6; 0,2. $Y$ : 3; 5; 7 с вероятностями 0,3; 0,4; 0,3. $E (X) = E (Y) = 5$ (симметрия). Отклонения $X$ : −1; 0; 1, у $Y$ : −2; 0; 2.
Почему квадрат: $E (X - EX) = EX - EX = 0$ всегда — отклонения «гасят» друг друга. Модуль неудобен в выкладках, квадрат даёт красивые свойства (сл. 9).
$D$ — в квадратах единиц $X$ (очки², руб.²), $σ$ — в единицах $X$ . Под осью — отрезок от $E - σ$ до $E + σ$ : $σ_{X} = 0, 4 \approx 0, 63$ , $σ_{Y} = 2, 4 \approx 1, 55$ .
Вопрос классу: когда $D (X) = 0$ ? (Только если $X$ принимает одно значение с вероятностью 1 — все слагаемые неотрицательны и должны быть нулями.)

R06.4

Образец → сам · дисперсия по определению

$E$ → отклонения → квадраты → с весами

Образец: найдите $D (X)$ и $σ (X)$

$X$	$- 1$	$0$	$2$	$3$
$P$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 1$	$0, 2$
$x - E$	$- 1, 5$	$- 0, 5$	$1, 5$	$2, 5$
$(x - E)^{2}$	$2, 25$	$0, 25$	$2, 25$	$6, 25$

$E = - 0, 3 + 0 + 0, 2 + 0, 6 = 0, 5$

$D = 0, 675 + 0, 1 + 0, 225 + 1, 25$ = $2, 25$

$σ = 2, 25$ = $1, 5$

Сам: найдите $E$ и $D$

$X$ : $0; 4$ , $P$ : $0, 5; 0, 5$ $2; 4$
$X$ : $- 2; 0; 2$ , $P$ : $0, 25; 0, 5; 0, 25$ $0; 2$
$X$ : $1; 2; 3; 4$ , $P$ : $0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4$ $3; 1$

R06.4 · R06.5

Теория · вычислительная формула дисперсии · вывод

$D (X) = E (X^{2}) - (EX)^{2}$

Пусть $EX = μ$ . Тогда

$(x_{i} - μ)^{2} = x_{i}^{2} - 2 μ x_{i} + μ^{2}$ квадрат разности

$D = \sum x_{i}^{2} p_{i} - 2 μ \sum x_{i} p_{i} + μ^{2} \sum p_{i}$ умножили на $p_{i}$ , сложили

$= E (X^{2}) - 2 μ \cdot μ + μ^{2} \cdot 1$ $\sum x_{i} p_{i} = μ$ , $\sum p_{i} = 1$

$= E (X^{2}) - μ^{2}$ ∎

Учитель: кубик

$E (X^{2}) = \frac{1 + 4 + \dots + 36}{6} = \frac{91}{6}$

$EX = \frac{7}{2}$

$D = \frac{91}{6} - \frac{49}{4} = \frac{35}{12} \approx 2, 92$

E (X^{2}) \geq (EX)^{2}

, потому что

D \geq 0

.

2,5 мин · теория (вывод у доски; пример с кубиком учитель решает сам)
$E (X^{2}) = \sum x_{i}^{2} p_{i}$ — мат. ожидание величины $X^{2}$ (значения возводим в квадрат, вероятности те же).
Кубик: $91/6 - 49/4 = (182 - 147) /12 = 35/12$ , $σ \approx 1, 71$ . По определению — 6 отклонений $\pm 2, 5; \pm 1, 5; \pm 0, 5$ с дробями; формула короче, когда $E$ — «некрасивое» число.
Следствие $E (X^{2}) \geq (EX)^{2}$ (равенство — только у постоянной величины) — неравенство о среднем квадратичном и среднем арифметическом в вероятностной форме.

R06.4

Образец → сам · дисперсия через $E (X^{2})$

Два ожидания — и разность

Образец: монету бросают 3 раза, $X$ — число орлов

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

$EX = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = 1, 5$ симметрия

$E (X^{2}) = \frac{0 + 3 + 12 + 9}{8} = 3$ квадраты значений

$D = 3 - 1, 5^{2}$ = $0, 75$ , $σ \approx 0, 87$

Сам

$X$ : $1; 3$ , $P$ : $0, 5; 0, 5$ . Найдите $E (X^{2})$ и $D$ $5; 1$
$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $0, 2; 0, 5; 0, 3$ . Найдите $D$ и $σ$ $0, 49; 0, 7$
Обратная: $EX = 2$ , $D (X) = 3$ . Найдите $E (X^{2})$ $7$

R06.5

Теория · свойства математического ожидания

Ожидание «линейно»

E (c) = c

,

E (a X + b) = a EX + b

$E (a X + b) = \sum (a x_{i} + b) p_{i}$ значения $a x_{i} + b$

$= a \sum x_{i} p_{i} + b \sum p_{i} = a EX + b$ ∎

E (X + Y) = EX + E Y

— для любых

X

,

Y

Два кубика:

E (X_{1} + X_{2}) = 3, 5 + 3, 5 = 7

— без таблицы из 36 клеток.

R06.5

Теория · свойства дисперсии · доказательство

Сдвиг не меняет разброс, растяжение — в квадрате

D (a X + b) = a^{2} D (X)

,

σ (a X + b) = ∣ a ∣ σ (X)

$Y = a X + b$ , $E Y = a EX + b$ сл. 8

$Y - E Y = a (X - EX)$ $b$ сократилось

$D (Y) = E (a^{2} (X - EX)^{2}) = a^{2} D (X)$ ∎

$D (c) = 0$ , $D (X + b) = D (X)$

$X$ , $Y$ независимы: $D (X + Y) = D (X) + D (Y)$

и даже $D (X - Y) = D (X) + D (Y)$

R06.5

Образец → сам · линейное преобразование $a X + b$

Перевод единиц и пересчёт

Образец: температура $C$ (°C): $EC = 20$ , $σ (C) = 5$ . Найдите $E$ и $σ$ в °F: $F = 1, 8 C + 32$

$EF = 1, 8 \cdot 20 + 32$ = $68$ $E (a X + b)$

$D (F) = 1, 8^{2} \cdot 25 = 81$ $a^{2} D$ , сдвиг не влияет

$σ (F) = 81$ = $9$ или $1, 8 \cdot 5$

Сам: $EX = 3$ , $D (X) = 2$

$E (2 X - 5)$ и $D (2 X - 5)$ $1; 8$
$E (1 - 3 X)$ и $D (1 - 3 X)$ $- 8; 18$
Зарплата $Z$ : $E = 50$ тыс. р., $σ = 8$ тыс. р.; всем +10 %. Новые $E$ и $σ$ $55; 8, 8$

R06.5

Образец → сам · сумма независимых величин

Складываем ожидания и дисперсии

Образец: бросают 2 кубика, $S$ — сумма очков. Найдите $ES$ и $D (S)$

$S = X_{1} + X_{2}$ , $X_{1}$ и $X_{2}$ независимы разные кубики

$ES = 3, 5 + 3, 5$ = $7$ сл. 8

$D (S) = \frac{35}{12} + \frac{35}{12}$ = $\frac{35}{6}$ $\approx 5, 83$ сл. 6, 9

Сам

$X$ , $Y$ независимы; $EX = 2$ , $D (X) = 1$ , $E Y = 5$ , $D (Y) = 4$ . $E$ и $D$ суммы $7; 5$
Те же $X$ , $Y$ : $E (X - Y)$ и $D (X - Y)$ $- 3; 5$
Монету бросают 10 раз; $X$ — число орлов (сумма индикаторов). $EX$ и $D (X)$ $5; 2, 5$

R06.4 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: кто стабильнее?

Одинаковое среднее — смотрим на $σ$

Образец: очки за выстрел у двух стрелков

А	$8$ ( $0, 2$ )	$9$ ( $0, 5$ )	$10$ ( $0, 3$ )
Б	$7$ ( $0, 3$ )	—	$10$ ( $0, 7$ )

$E_{А} = 1, 6 + 4, 5 + 3 = 9, 1$ ; $E_{Б} = 2, 1 + 7 = 9, 1$

$D_{А} = 83, 3 - 82, 81 = 0, 49$ , $σ_{А} = 0, 7$

$D_{Б} = 84, 7 - 82, 81 = 1, 89$ , $σ_{Б} \approx 1, 37$

стабильнее стрелок А

Сам

Доставка (дни): у поставщика 1 — $2$ или $4$ , у поставщика 2 — $1$ или $5$ , равновероятно. Найдите $σ$ $1; 2$
Чей срок предсказуемее? поставщика 1
Стрелок А делает 4 независимых выстрела. $E$ и $σ$ суммы очков $36, 4; 1, 4$

R06.4 · R06.5

Теория · сводка правил

Дисперсия и свойства $E$ , $D$

Что	Формула	Условие / смысл
дисперсия	$D = E (X - EX)^{2} = E (X^{2}) - (EX)^{2}$	средний квадрат отклонения
станд. отклонение	$σ = D (X)$	в единицах $X$
линейное преобразование	$E (a X + b) = a EX + b$ $D (a X + b) = a^{2} D (X)$	всегда
сумма: ожидание	$E (X + Y) = EX + E Y$	всегда
сумма: дисперсия	$D (X \pm Y) = D (X) + D (Y)$	$X$ , $Y$ независимы

R06.4 · R06.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
множитель выносят без квадрата	$D (- 2 X) = - 2 D (X)$	$D (- 2 X) = 4 D (X)$
сдвиг меняет разброс	$D (X + 5) = D (X) + 5$	$D (X + 5) = D (X)$
дисперсии вычитают	$D (X - Y) = D (X) - D (Y)$	$D (X) + D (Y)$ (независимы)
забыт квадрат у $EX$	$D = E (X^{2}) - EX$	$D = E (X^{2}) - (EX)^{2}$

R06.4 · R06.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $EX = 2$ , $D (X) = 3$ . Найдите $D (3 X - 1)$

$D (3 X - 1) = 3 \cdot 3 - 1 = 8$

сдвиг $- 1$ не влияет, множитель — в квадрате

$D = 3^{2} \cdot 3 = 27$

б) $X$ : $0; 2$ , $P$ : $0, 5; 0, 5$ . Найдите $D (X)$

$EX = 1$ , $E (X^{2}) = (EX)^{2} = 1$ , $D = 1 - 1 = 0$

$E (X^{2}) \neq = (EX)^{2}$

$E (X^{2}) = 4 \cdot 0, 5 = 2$

$D = 2 - 1 = 1$

в) $X$ , $Y$ независимы, $σ (X) = 3$ , $σ (Y) = 4$ . Найдите $σ (X + Y)$

$σ (X + Y) = 3 + 4 = 7$

складываются дисперсии: $9 + 16 = 25$

$σ = 25 = 5$

R06.4 · R06.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По таблице найдите

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0, 1$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 2$

$EX$ $2, 7$
$E (X^{2})$ $8, 1$
$D (X)$ и $σ (X)$ $0, 81; 0, 9$

$EX = 4$ , $D (X) = 9$ . Найдите

$E (2 X + 1)$ и $D (2 X + 1)$ $9; 36$
$σ (7 - X)$ $3$
$E (X^{2})$ $25$

R06.4 · R06.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $X$ принимает значения $0$ и $a > 0$ с вероятностями $0, 75$ и $0, 25$ ; $D (X) = 12$ . Найдите $a$ $a = 8$
повыш. $X$ : $- 1; 0; 1$ с вероятностями $p; 1 - 2 p; p$ . При каком $p$ $D (X) = 0, 5$ ? $p = 0, 25$
повыш. $X$ , $Y$ независимы, $D (X) = D (Y) = 1$ . Сравните $D (X + Y)$ и $D (2 X)$ $2 < 4$
из жизниМонету бросают 4 раза; $X$ — число орлов. Выигрыш $W = 100 X - 200$ р. Найдите $E W$ и $σ (W)$ $0; 100$ р.

3 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $EX = 0, 25 a$ , $E (X^{2}) = 0, 25 a^{2}$ , $D = 0, 25 a^{2} - 0, 0625 a^{2} = \frac{3}{16} a^{2} = 12$ , $a^{2} = 64$ , $a = 8$ .
2) По симметрии $EX = 0$ ; $D = E (X^{2}) = p + p = 2 p = 0, 5$ , $p = 0, 25$ ; проверка: $1 - 2 p = 0, 5 \geq 0$ — допустимо (вообще $0 \leq p \leq 0, 5$ ).
3) $D (X + Y) = 2$ , $D (2 X) = 4$ : сумма двух независимых «разных» величин разбросана меньше, чем удвоенная одна — на этом основано «не клади все яйца в одну корзину».
4) $X$ — сумма 4 индикаторов: $EX = 2$ , $D (X) = 4 \cdot 0, 25 = 1$ ; $E W = 200 - 200 = 0$ (игра справедливая), $D (W) = 10 0^{2} \cdot 1$ , $σ (W) = 100$ р.

R06 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 8$ . Он стреляет 2 раза. Найдите вероятность того, что он попадёт ровно один раз.

Ответ: $0, 32$

2. Бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков равна 7. Результат округлите до сотых.

Ответ: $0, 17$

3. Вероятность того, что чайник прослужит больше года, равна $0, 93$ , а больше двух лет — $0, 87$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

Ответ: $0, 06$

R06.4 · R06.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 3$

Найдите $EX$ $1$
Найдите $D (X)$ $0, 6$
Найдите $D (3 X + 2)$ $5, 4$
$Y$ не зависит от $X$ , $D (Y) = 0, 4$ . Найдите $D (X - Y)$ $1$

Вариант 2

$X$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 2$	$0, 5$	$0, 3$

Найдите $EX$ $2, 1$
Найдите $D (X)$ $0, 49$
Найдите $D (1 - 2 X)$ $1, 96$
$Y$ не зависит от $X$ , $D (Y) = 0, 51$ . Найдите $D (X + Y)$ $1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что показывают $D (X)$ и $σ (X)$ ?
Почему $D (X + b) = D (X)$ , а $D (a X) = a^{2} D (X)$ ?
Когда дисперсии складываются?

Домашнее задание

$X$ : $- 2; 0; 1; 3$ , $P$ : $0, 2; 0, 3; 0, 4; 0, 1$ . Найдите $E$ и $D$ двумя способами
$EX = - 1$ , $D (X) = 4$ : найдите $E (5 - 2 X)$ и $σ (5 - 2 X)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-024 · Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства E и D

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Числовые характеристики случайных величин», 6 ч · урок 3/6 · тип Н
Единицы → слайды	R06.4 «Дисперсия и стандартное отклонение случайной величины» → 2, 4–7, 12–19 · R06.5 «Свойства математического ожидания и дисперсии» → 2, 6, 8–11, 13–19 · повторение R06.1–R06.3 → 3
Результаты	ПР-5 (мат. ожидание и дисперсия по распределению, применение) → 3–17, 19, 20 · ПР-4 (распределение вероятностей) → 7, 12, 18
Вне урока	примеры использования мат. ожидания — VIS9U-023; $E$ и $D$ изученных распределений (биномиальное, геометрическое) — VIS9U-025; неравенство Чебышева и закон больших чисел — строка R07
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства E и D

Сегодня вы научитесь

Находить D(X) и σ

Доказывать свойства

Складывать величины

Сравнивать по разбросу

Ожидание, среднее, квадраты

Найдите E(X)

Вычислите

Мера разброса вокруг E(X)

E → отклонения → квадраты → с весами

Образец: найдите D(X) и σ(X)

Сам: найдите E и D

D(X)=E(X2)−(EX)2

Два ожидания — и разность

Образец: монету бросают 3 раза, X — число орлов

Сам

Ожидание «линейно»

Сдвиг не меняет разброс, растяжение — в квадрате

Перевод единиц и пересчёт

Образец: температура C (°C): EC=20, σ(C)=5. Найдите E и σ в °F: F=1,8C+32

Сам: EX=3, D(X)=2

Складываем ожидания и дисперсии

Образец: бросают 2 кубика, S — сумма очков. Найдите ES и D(S)

Сам

Одинаковое среднее — смотрим на σ

Образец: очки за выстрел у двух стрелков

Сам

Дисперсия и свойства E, D

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) EX=2, D(X)=3. Найдите D(3X−1)

б) X: 0; 2, P: 0,5; 0,5. Найдите D(X)

в) X, Y независимы, σ(X)=3, σ(Y)=4. Найдите σ(X+Y)

Решите и проверьте

По таблице найдите

EX=4, D(X)=9. Найдите

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-024 · Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства E и D

Дисперсия и стандартное отклонение. Свойства $E$ и $D$

Находить $D (X)$ и $σ$

Найдите $E (X)$

Мера разброса вокруг $E (X)$

$E$ → отклонения → квадраты → с весами

Образец: найдите $D (X)$ и $σ (X)$

Сам: найдите $E$ и $D$

$D (X) = E (X^{2}) - (EX)^{2}$

Образец: монету бросают 3 раза, $X$ — число орлов

Образец: температура $C$ (°C): $EC = 20$ , $σ (C) = 5$ . Найдите $E$ и $σ$ в °F: $F = 1, 8 C + 32$

Сам: $EX = 3$ , $D (X) = 2$

Образец: бросают 2 кубика, $S$ — сумма очков. Найдите $ES$ и $D (S)$

Одинаковое среднее — смотрим на $σ$

Дисперсия и свойства $E$ , $D$

а) $EX = 2$ , $D (X) = 3$ . Найдите $D (3 X - 1)$

б) $X$ : $0; 2$ , $P$ : $0, 5; 0, 5$ . Найдите $D (X)$

в) $X$ , $Y$ независимы, $σ (X) = 3$ , $σ (Y) = 4$ . Найдите $σ (X + Y)$

$EX = 4$ , $D (X) = 9$ . Найдите