Числовые характеристики случайных величин · урок 2 из 6

Примеры использования математического ожидания

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9U-023

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Числовые характеристики случайных величин» (6 ч), урок 2/6, единица R06.3 «Примеры использования математического ожидания». Тип урока — Н. Опора — VIS9U-022 (определение и физический смысл $E (X)$ ), R04 (испытания Бернулли), R05 (распределения).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (выбор по ожиданию) 2,5 · 6 (страховой взнос) 2,5 · 8 (метод индикаторов с доказательством) 3 · 10 (групповое тестирование) 3,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 12 — по 3; сл. 11 — 2,5) · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 1,5 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — ответ задачи сл. 12: пекарня печёт $n$ тортов, спрос случайный; ожидаемая прибыль при $n = 1, 2, 3, 4$ равна $500, 700, 500, 100$ руб. Выгоднее всего $n = 2$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R06.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Принимать решения

сравнивать игры и стратегии по ожидаемому выигрышу и прибыли (ПР-5)

Лотереи и страхование

находить средний выигрыш, справедливую цену, страховой взнос с надбавкой (ПР-5)

Метод индикаторов

находить ожидание числа наступивших событий без распределения (ПР-4, ПР-5)

Экономия проверок

оценивать среднее число анализов при групповом тестировании (ПР-3, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач». ПР-4: распределения вероятностей в изученных опытах. ПР-3: вероятности в сериях испытаний Бернулли ( $q^{k}$ — «все пробы отрицательны»).
Деятельность по ФРП (R06): «задачи на вычисление математического ожидания … в том числе задач, связанных со страхованием и лотереями».

повторение: VIS9U-022

Разминка · устно

Ожидания и вероятности в уме

Найдите $E (X)$

$X$ : $0$ и $10$ с вероятностями $0, 7$ и $0, 3$ $3$
$X = 1$ , если событие с $P = 0, 3$ наступило, иначе $0$ $0, 3$
число шестёрок за $18$ бросков кубика $3$
брак за смену: $1000$ деталей, $p = 0, 002$ $2$

Вычислите

$0, 9^{2}$ $0, 81$
$1 - 0, 9^{3}$ $0, 271$
$50000 \cdot 0, 004$ $200$
$E (X) = 15$ руб., билет $20$ руб.: $E (X) - 20$ $- 5$ руб.

R06.3

Теория · решение по ожиданию

Какая игра выгоднее «в долгую»?

E (X - c) = E (X) - c

$X$ — выигрыш, $c$ — цена. При многих повторениях выгоднее вариант с бóльшим ожиданием чистого выигрыша.

Игра справедлива, если

E (X) = c

. Риск (разброс) учтём на следующем уроке.

А: кубик, выигрыш $10 k$ руб. за $k$ очков, цена $40$ руб.

$E = 10 \cdot 3, 5 - 40 = - 5$ руб.

Б: две монеты; два орла — $150$ , один — $20$ , цена $45$ руб.

$E = 150 \cdot \frac{1}{4} + 20 \cdot \frac{1}{2} - 45 = 2, 5$ руб.

Выгоднее Б: в среднем

+ 2, 5

руб. за игру.

R06.3 · из жизни

Образец → сам · лотерея и справедливая цена

$2000$ билетов по $100$ рублей

Образец: $1$ выигрыш $50000$ руб., $10$ — по $5000$ , $50$ — по $500$ . Средний чистый выигрыш?

фонд $50000 + 50000 + 25000 = 125000$ все выигрыши

$E (X) = \frac{125 000}{2000} = 62, 5$ руб. фонд на билет

$E (X) - 100$ = $- 37, 5$ руб. сдвиг на цену

Сам

Какую долю сбора лотерея из образца возвращает игрокам? $62, 5 %$
обратнаяСколько выигрышей по $500$ руб. добавить, чтобы лотерея стала справедливой? $150$
Выпало $k$ очков — получаете $k^{2}$ руб.; цена $15$ руб. Средний чистый выигрыш $\frac{1}{6}$ руб.

R06.3 · из жизни

Теория · страховой взнос

Нетто-взнос и страховая надбавка

Нетто-взнос — средняя выплата:

c_{0} = S_{1} p_{1} + S_{2} p_{2}

Взнос с надбавкой

k

:

c = (1 + k) c_{0}

; доход с договора в среднем

c - c_{0} = k c_{0}

.

20000

руб. с

p_{1} = 0, 05

;

300000

с

p_{2} = 0, 005

:

c_{0} = 2500

, при

k = 20 %

c = 3000

руб.

2,5 мин · теория
Выплата $Y$ — случайная величина со значениями $0$ , $S_{1}$ , $S_{2}$ (несовместимые исходы). $E (Y) = 0 \cdot (1 - p_{1} - p_{2}) + S_{1} p_{1} + S_{2} p_{2}$ . Нетто-взнос — «справедливая цена» страховки; надбавка покрывает расходы, прибыль и риск.
Пример: $20000 \cdot 0, 05 + 300000 \cdot 0, 005 = 1000 + 1500 = 2500$ руб.; $c = 1, 2 \cdot 2500 = 3000$ руб.; средний доход $500$ руб. с договора, по $10000$ договоров ≈ $5$ млн руб.
Вопрос: почему компании нужны тысячи договоров, а не десять? (Средний доход по многим договорам близок к ожидаемому — закон больших чисел, VIS9U-028.)

R06.3 · из жизни

Образец → сам · взнос со страховой надбавкой

Страховка дома на год

Образец: пожар — $1000000$ руб. с $p = 0, 001$ , затопление — $100000$ руб. с $p = 0, 01$ . Надбавка $25 %$

$c_{0} = 1000 + 1000 = 2000$ средняя выплата

$c = 1, 25 \cdot 2000$ = $2500$ руб. с надбавкой

средний доход $500$ руб. $c - c_{0}$

Сам

Автомобиль: угон $1500000$ руб. с $p = 0, 002$ , ДТП $50000$ руб. с $p = 0, 06$ . Нетто-взнос $6000$ руб.
То же, но ущерб при ДТП возмещают наполовину $4500$ руб.
обратнаяВзнос $1800$ руб., надбавка $20 %$ , выплата $300000$ руб. Найдите $p$ $0, 005$

R06.3

Теория · метод индикаторов

Ожидание числа наступивших событий

E (I_{1} + \dots + I_{n}) = P (A_{1}) + \dots + P (A_{n})

$P (X = 2) = P (A \cap B)$

$P (X = 1) = P (A) + P (B) - 2 P (A \cap B)$

$E (X) = P (A) + P (B) - 2 P (A \cap B) + 2 P (A \cap B)$

E (X) = P (A) + P (B)

— независимость не нужна.

3 мин · теория (доказательство для двух событий)
Индикатор $I_{A} = 1$ , если $A$ наступило, иначе $0$ ; $E (I_{A}) = P (A)$ . Число наступивших событий $X = I_{A} + I_{B}$ .
Доказательство по кругам Эйлера: $X = 2$ — в пересечении; $X = 1$ — в «полумесяцах»: $P (A) - P (A \cap B)$ и $P (B) - P (A \cap B)$ . Тогда $E (X) = 1 \cdot (P (A) + P (B) - 2 P (A \cap B)) + 2 \cdot P (A \cap B) = P (A) + P (B)$ . Для $n$ событий — так же по индукции (общее свойство $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ докажем на следующем уроке, VIS9U-024).
Пример учителя: $n$ писем случайно разложены по $n$ конвертам, $X$ — число писем в «своём» конверте. $P (A_{i}) = \frac{1}{n}$ , $E (X) = n \cdot \frac{1}{n} = 1$ при любом $n$ . Проверка при $n = 3$ : 6 перестановок, совпадений $3, 1, 1, 1, 0, 0$ ; среднее $\frac{6}{6} = 1$ ✓. Распределение $X$ сложное, а ожидание — в одну строку.
Число успехов в серии Бернулли — частный случай: $E = p + \dots + p = n p$ .

R06.3

Образец → сам · метод индикаторов

Совпадения дней рождения

Образец: $4$ человека; день недели рождения у каждого равновероятен. $X$ — число пар, родившихся в один день недели

пар $C_{4}^{2} = 6$ индикатор на пару

$P (пара совпала) = \frac{1}{7}$ второй — в тот же день

$E (X) = 6 \cdot \frac{1}{7}$ = $\frac{6}{7}$ сумма ожиданий

Сам

Монету бросают $10$ раз. $E$ числа мест, где сразу за орлом — решка $2, 25$
В классе $30$ человек, $365$ дней. $E$ числа пар с общим днём рождения $\frac{87}{73} \approx 1, 19$
повыш.Кубик бросают $6$ раз. $E$ числа граней, которые не выпали ни разу $\approx 2, 01$

R06.3 · из жизни

Теория · групповое тестирование

Как сэкономить анализы

Доля заражённых $p$ , $q = 1 - p$ . Пробы $k$ человек смешивают; при «+» проверяют каждого.

E (Y) = 1 + k (1 - q^{k})

На человека:

\frac{1}{k} + 1 - q^{k}

анализа вместо

1

.

p = 0, 01

,

k = 10

:

0, 1 + 1 - 0, 9 9^{10} \approx 0, 196

— впятеро меньше.

R06.3 · из жизни

Образец → сам · какой размер группы лучше

Доля заражённых $p = 0, 1$

Образец: $k = 4$ . Среднее число анализов на группу и на человека

$q^{4} = 0, 9^{4} = 0, 6561$ все здоровы

$E (Y) = 1 + 4 \cdot 0, 3439 = 2, 3756$

на человека $\approx$ $0, 59$ $2, 3756 : 4$

Сам: на человека

$k = 2$ $0, 69$
$k = 3$ $\approx 0, 60$
$k = 5$ . Какое $k$ из $2$ – $5$ лучше? $k = 4$

R06.3 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: сколько испечь

Торт продают за $1000$ руб., себестоимость $400$ руб.

Образец: спрос $D$ за день; непроданные торты выбрасывают. Сколько печь: $1$ , $2$ или $3$ ?

$D$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 1$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 2$

прибыль $1000 \cdot min (n, D) - 400 n$ продано не больше $n$

$E min (2, D) = 0, 3 + 2 \cdot 0, 6 = 1, 5$

$n = 1, 2, 3$ : $500$ ; $700$ ; $500$ руб. лучше $n = 2$

Сам

Сколько прибыли в среднем при $n = 4$ ? $100$ руб.
Себестоимость $150$ руб. Какое $n$ лучше? $n = 3$
Непроданные уценяют до $300$ руб. (себест. $400$ ). $E$ прибыли при $n = 3$ $890$ руб.

R06.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
прибыль считают при среднем спросе $E (D) = 1, 7$ , $n = 2$ (сл. 12)	$1000 \cdot 1, 7 - 800 = 900$	$1000 \cdot 1, 5 - 800 = 700$
«в группе есть заражённый» при $p = 0, 1$ , $k = 4$	$4 \cdot 0, 1 = 0, 4$	$1 - 0, 9^{4} = 0, 3439$
события зависимы — «складывать ожидания нельзя»	ищут всё распределение	$E (\sum I_{i}) = \sum P (A_{i})$ всегда
надбавку $20 %$ берут от итогового взноса $1800$	$c_{0} = 1440$	$c_{0} = 1800 : 1, 2 = 1500$

R06.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают $3$ раза; $X$ — число пар бросков с равными очками

$E = C_{3}^{2} \cdot (\frac{1}{6})^{2} = \frac{1}{12}$

пара совпала с вероятностью $\frac{1}{6}$ , а не $\frac{1}{36}$

$E = 3 \cdot \frac{1}{6} = 0, 5$

б) $S = 200000$ , $p = 0, 002$ , надбавка $30 %$ . Взнос?

$c_{0} = 400$ , $c = 0, 3 \cdot 400 = 120$ руб.

$120$ руб. — только надбавка

$c = 1, 3 \cdot 400 = 520$ руб.

в) Групповой тест: $p = 0, 2$ , $k = 2$ . Анализов на группу?

$P (+) = 0, 2^{2} = 0, 04$ , $E = 1 + 2 \cdot 0, 04 = 1, 08$

$P (+) = 1 - 0, 8^{2} = 0, 36$

$E = 1, 72$ ; на человека $0, 86$

R06.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Лотерея и страховка

$1000$ билетов: $2$ по $1000$ руб., $20$ по $100$ руб. $E (выигрыша)$ $4$ руб.
Билет стоит $10$ руб. Средний чистый выигрыш $- 6$ руб.
$S = 80000$ , $p = 0, 005$ . Нетто-взнос $400$ руб.
Взнос с надбавкой $15 %$ $460$ руб.

Индикаторы и тесты

Монету бросают $20$ раз. $E$ числа пар «ОО» подряд $4, 75$
Кубик бросают $12$ раз. $E$ числа бросков с $1$ или $6$ $4$
$p = 0, 05$ , $k = 2$ . Анализов на группу $1, 195$

R06.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $p = 0, 01$ . Какое $k$ из $5$ , $10$ , $15$ даёт меньше анализов на человека? $k = 10$
повыш. $5$ писем случайно разложили по $5$ подписанным конвертам. $E$ числа писем в своём конверте $1$
повыш.Монету бросают до первого орла, но не больше $4$ раз. Орёл на $k$ -м броске — выигрыш $2^{k}$ руб., иначе $0$ . Справедливая цена $4$ руб.
из жизниТест: $10$ вопросов по $5$ вариантов, верно — $+ 2$ , неверно — $- 0, 5$ . Знаете $6$ ответов, в остальных исключили по одному варианту и угадываете. $E (баллов)$ $12, 5$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $k = 5$ : $0, 2 + 1 - 0, 9 9^{5} \approx 0, 249$ ; $k = 10$ : $\approx 0, 196$ ; $k = 15$ : $0, 0667 + 1 - 0, 9 9^{15} \approx 0, 207$ . Лучше $k = 10$ .
2) Метод индикаторов: $5 \cdot \frac{1}{5} = 1$ (проверено перебором $120$ перестановок).
3) $P (орёл на k - м) = \frac{1}{2 ^{k}}$ ; $E = \sum_{k = 1}^{4} 2^{k} \cdot \frac{1}{2 ^{k}} = 4$ руб. Если бросать без ограничения — ожидание бесконечно («петербургский парадокс»).
4) Известные: $6 \cdot 2 = 12$ . После исключения остаётся $4$ варианта: $E = 2 \cdot \frac{1}{4} - 0, 5 \cdot \frac{3}{4} = 0, 125$ на вопрос; $E = 12 + 4 \cdot 0, 125 = 12, 5$ . Без исключения (из $5$ ): $2 \cdot 0, 2 - 0, 5 \cdot 0, 8 = 0$ — угадывание ничего не даёт.

R06.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. В лотерее $1000$ билетов, из них $15$ выигрышных. Найдите вероятность того, что купленный билет не выиграет.

Ответ: $0, 985$

2. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл не выпадет ни разу.

Ответ: $0, 0625$

3. Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна $0, 93$ , больше двух лет — $0, 87$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

Ответ: $0, 06$

Из таких вероятностей строят распределения — и ожидание выигрыша, выплаты или числа поломок.

R06.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$500$ билетов по $50$ руб.: $1$ по $5000$ руб., $10$ по $1000$ руб. Средний чистый выигрыш $- 20$ руб.
Пожар — $2000000$ руб. с $p = 0, 0005$ , кража — $100000$ руб. с $p = 0, 004$ . Нетто-взнос $1400$ руб.
Кубик бросают $4$ раза. $E$ числа пар бросков с равными очками $1$
$p = 0, 1$ , $k = 2$ . Анализов на человека $0, 69$

Вариант 2

$400$ билетов по $30$ руб.: $1$ по $4000$ руб., $8$ по $500$ руб. Средний чистый выигрыш $- 10$ руб.
Угон — $1000000$ руб. с $p = 0, 003$ , ДТП — $40000$ руб. с $p = 0, 05$ . Нетто-взнос $5000$ руб.
Монету бросают $9$ раз. $E$ числа мест, где за орлом сразу решка $2$
$p = 0, 2$ , $k = 2$ . Анализов на человека $0, 86$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как по ожиданию выбрать игру или стратегию?
Что такое нетто-взнос и надбавка?
Почему в методе индикаторов независимость не нужна?

Домашнее задание

Групповой тест, $p = 0, 05$ : что лучше — $k = 4$ или $k = 5$ ?
Придумайте справедливую лотерею на $100$ билетов по $20$ руб.
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-023 · Примеры использования математического ожидания

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Числовые характеристики случайных величин», 6 ч · урок 2/6 · тип Н
Единицы → слайды	R06.3 «Примеры использования математического ожидания» → 2–19 · повторение R06.1–R06.2 → 3, 4
Результаты	ПР-5 (математическое ожидание по распределению, применение) → 4–18 · ПР-4 (распределения) → 6, 8, 12 · ПР-3 (серии Бернулли) → 9–11
Вне урока	дисперсия, свойства $E$ и $D$ (VIS9U-024), ожидание и дисперсия изученных распределений, закон больших чисел
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Примеры использования математического ожидания

Сегодня вы научитесь

Принимать решения

Лотереи и страхование

Метод индикаторов

Экономия проверок

Ожидания и вероятности в уме

Найдите E(X)

Вычислите

Какая игра выгоднее «в долгую»?

А: кубик, выигрыш 10k руб. за k очков, цена 40 руб.

Б: две монеты; два орла — 150, один — 20, цена 45 руб.

2000 билетов по 100 рублей

Образец: 1 выигрыш 50000 руб., 10 — по 5000, 50 — по 500. Средний чистый выигрыш?

Сам

Нетто-взнос и страховая надбавка

Страховка дома на год

Образец: пожар — 1000000 руб. с p=0,001, затопление — 100000 руб. с p=0,01. Надбавка 25%

Сам

Ожидание числа наступивших событий

Совпадения дней рождения

Образец: 4 человека; день недели рождения у каждого равновероятен. X — число пар, родившихся в один день недели

Сам

Как сэкономить анализы

Доля заражённых p=0,1

Образец: k=4. Среднее число анализов на группу и на человека

Сам: на человека

Торт продают за 1000 руб., себестоимость 400 руб.

Образец: спрос D за день; непроданные торты выбрасывают. Сколько печь: 1, 2 или 3?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают 3 раза; X — число пар бросков с равными очками

б) S=200000, p=0,002, надбавка 30%. Взнос?

в) Групповой тест: p=0,2, k=2. Анализов на группу?

Решите и проверьте

Лотерея и страховка

Индикаторы и тесты

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-023 · Примеры использования математического ожидания

Найдите $E (X)$

А: кубик, выигрыш $10 k$ руб. за $k$ очков, цена $40$ руб.

Б: две монеты; два орла — $150$ , один — $20$ , цена $45$ руб.

$2000$ билетов по $100$ рублей

Образец: $1$ выигрыш $50000$ руб., $10$ — по $5000$ , $50$ — по $500$ . Средний чистый выигрыш?

Образец: пожар — $1000000$ руб. с $p = 0, 001$ , затопление — $100000$ руб. с $p = 0, 01$ . Надбавка $25 %$

Образец: $4$ человека; день недели рождения у каждого равновероятен. $X$ — число пар, родившихся в один день недели

Доля заражённых $p = 0, 1$

Образец: $k = 4$ . Среднее число анализов на группу и на человека

Торт продают за $1000$ руб., себестоимость $400$ руб.

Образец: спрос $D$ за день; непроданные торты выбрасывают. Сколько печь: $1$ , $2$ или $3$ ?

а) Кубик бросают $3$ раза; $X$ — число пар бросков с равными очками

б) $S = 200000$ , $p = 0, 002$ , надбавка $30 %$ . Взнос?

в) Групповой тест: $p = 0, 2$ , $k = 2$ . Анализов на группу?