Числовые характеристики случайных величин · урок 1 из 6

Математическое ожидание и его физический смысл

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9U-022

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Числовые характеристики случайных величин» (6 ч), урок 1/6, единицы R06.1 «Математическое ожидание случайной величины» и R06.2 «Физический смысл математического ожидания». Тип урока — Н. Опора — R05 (случайная величина, распределение, геометрическое и биномиальное распределения, VIS9U-019 – VIS9U-021).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение) 3 · 6 (центр масс) 2,5 · 7 (доказательство свойств) 2,5 · 9 (теоретическое среднее) 1,5 · 12 (индикатор, равновозможные значения, симметрия) 2.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 8, 10, 11, 13, 14, 15) по 2 · типичные ошибки (сл. 16) 1,5 · найди ошибку (сл. 17) 2 · самопроверка, база (сл. 18) 2,5 · повышенный уровень (сл. 19) 2,5 · ОГЭ (сл. 20) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 21) 4 · итог и ДЗ (сл. 22) 1.
Картинка на титуле — невесомый стержень, на нём грузы $0, 5$ ; $0, 3$ ; $0, 2$ в точках $1$ , $2$ , $5$ . Он уравновешен в точке $E (X) = 0, 5 + 0, 6 + 1 = 2, 1$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теорию (сл. 4, 6, 7, 12) не сокращать.

R06.1 · R06.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Определение $E (X)$

находить математическое ожидание по распределению, в том числе построенному самостоятельно (ПР-5)

Физический смысл

объяснять $E (X)$ как центр масс и точку равновесия распределения (ПР-5)

Свойства с доказательством

доказывать: $x_{m i n} \leq E (X) \leq x_{m a x}$ , ожидание симметричного распределения (ПР-5, ПР-4)

Обратные задачи

находить неизвестные значения и вероятности по заданному $E (X)$ (ПР-4, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5: «Находить математическое ожидание и дисперсию случайной величины по распределению, применять числовые характеристики изученных распределений при решении задач» — сегодня первая половина: ожидание. ПР-4: «…оперировать понятием „распределение вероятностей“. Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах» — сл. 10, 14. ПР-6 (теоретическое среднее и частоты) — пропедевтика на сл. 9.

повторение: R05

Разминка · устно

Распределения и взвешенные суммы

Вычислите

$0, 3 \cdot 2 + 0, 7 \cdot 4$ $3, 4$
$\frac{1}{8} (1 + 2 + \dots + 8)$ $4, 5$
$0, 1 \cdot (- 5) + 0, 9 \cdot 1$ $0, 4$
среднее ряда $3; 5; 5; 7; 10$ $6$

Найдите вероятность

$P (X = 4)$ , если остальные: $0, 15; 0, 35; 0, 2$ $0, 3$
первый успех во 2-м испытании, $p = 0, 4$ $0, 24$
$0$ успехов в $3$ испытаниях, $p = 0, 5$ $0, 125$
$X$ — очки на кубике: $P (X \geq 5)$ $\frac{1}{3}$

2,5 мин · практика
Ответы: 1) $0, 6 + 2, 8 = 3, 4$ ; 2) $\frac{36}{8} = 4, 5$ ; 3) $- 0, 5 + 0, 9 = 0, 4$ ; 4) $\frac{30}{5} = 6$ ; 5) сумма вероятностей распределения равна 1: $1 - 0, 7 = 0, 3$ ; 6) геометрическое распределение: $q \cdot p = 0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 24$ ; 7) биномиальное: $q^{3} = 0, 125$ ; 8) $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ .
Связь с уроком: 1–3 — это уже математические ожидания (сумма «значение × вероятность»); 4 — среднее арифметическое, его теоретический аналог — $E (X)$ ; 5–7 — построение распределений (VIS9U-019 – VIS9U-021); 8 — индикатор события.
Вопрос: как записать среднее ряда из задания 4 через частоты? ( $\frac{1}{5} \cdot 3 + \frac{2}{5} \cdot 5 + \frac{1}{5} \cdot 7 + \frac{1}{5} \cdot 10$ — частоты играют роль вероятностей.)

R06.1

Теория · определение математического ожидания

Сумма «значение × вероятность»

$X$ принимает значения $x_{1}, \dots, x_{n}$ с вероятностями $p_{1}, \dots, p_{n}$ , $p_{1} + \dots + p_{n} = 1$

E (X) = x_{1} p_{1} + \dots + x_{n} p_{n}

$- 0, 2 + 0 + 0, 8 + 0, 5 = 1, 1$

E (X)

— число в тех же единицах, что и

X

. Значением

X

оно быть не обязано.

3 мин · теория
Определение (учебник Высоцкого–Ященко, углублённый курс): математическим ожиданием случайной величины $X$ с конечным множеством значений называют число $E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ . Другие обозначения в литературе: $MX$ , $M (X)$ .
Пример на рисунке: $X$ принимает $- 1$ ; $0$ ; $2$ ; $5$ с вероятностями $0, 2$ ; $0, 3$ ; $0, 4$ ; $0, 1$ (сумма 1 ✓). $E (X) = - 0, 2 + 0 + 0, 8 + 0, 5 = 1, 1$ — такого значения у $X$ нет.
Порядок вычисления: 1) проверить, что вероятности в сумме дают 1; 2) умножить каждое значение на его вероятность; 3) сложить (отрицательные значения — со знаком).
Вопрос классу: в каких единицах ожидание, если $X$ — время в минутах? выигрыш в рублях? (В тех же: минуты, рубли.)

R06.1

Образец → сам · ожидание по таблице распределения

Прямое применение определения

Образец: найдите $E (X)$

$x$	$1$	$2$	$4$	$8$
$P$	$0, 4$	$0, 3$	$0, 2$	$0, 1$

$0, 4 + 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 1$ распределение задано верно

$E = 1 \cdot 0, 4 + 2 \cdot 0, 3 + 4 \cdot 0, 2 + 8 \cdot 0, 1$ определение

$E = 0, 4 + 0, 6 + 0, 8 + 0, 8$ = $2, 6$

Сам: найдите $E (X)$

$X$ : $0; 5; 10$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$ $3, 5$
$X$ : $- 2; 1; 3$ с вероятностями $0, 25; 0, 5; 0, 25$ $0, 75$
$P (X = k) = \frac{k}{10}$ , $k = 1, 2, 3, 4$ $3$
$X$ : $10; 20; 30$ с вероятностями $\frac{1}{6}; \frac{1}{3}; \frac{1}{2}$ $\frac{70}{3}$

R06.2

Теория · физический смысл: центр масс

Ожидание — точка равновесия

В точках $x_{i}$ невесомого стержня — грузы массой $p_{i}$ . Центр масс:

x_{c} = \frac{\sum p _{i} x _{i}}{\sum p _{i}} = E (X)

Слева:

0, 5 \cdot 1, 1 + 0, 3 \cdot 0, 1 = 0, 58

Справа:

0, 2 \cdot 2, 9 = 0, 58

— моменты равны

2,5 мин · теория
Физика 7 класса: рычаг в равновесии, если сумма моментов сил слева равна сумме справа (момент = вес × плечо). Центр масс системы точек — $x_{c} = \frac{m _{1} x _{1} + \dots + m _{n} x _{n}}{m _{1} + \dots + m _{n}}$ . При $m_{i} = p_{i}$ знаменатель равен 1, и $x_{c} = E (X)$ .
Пример на рисунке: $X$ : $1$ ; $2$ ; $5$ с вероятностями $0, 5$ ; $0, 3$ ; $0, 2$ , $E (X) = 0, 5 + 0, 6 + 1 = 2, 1$ . Плечи: $2, 1 - 1 = 1, 1$ ; $2, 1 - 2 = 0, 1$ ; $5 - 2, 1 = 2, 9$ . Моменты: $0, 55 + 0, 03 = 0, 58$ и $0, 58$ ✓.
Наблюдение: тяжёлый груз «тянет» точку равновесия к себе, далёкий лёгкий груз — тоже (длинное плечо). Поэтому $E (X)$ чувствительно к редким большим значениям (лотереи — следующий урок).

R06.2 · доказательство

Теория · свойства с доказательством

Почему равновесие именно в $E (X)$

Лемма. Для любого числа $a$ : $\sum p_{i} (x_{i} - a) = E (X) - a$

$\sum p_{i} (x_{i} - a) = \sum p_{i} x_{i} - a \sum p_{i}$ раскрыли скобки

$= E (X) - a \cdot 1$ определение, $\sum p_{i} = 1$

1) сумма моментов $= 0 ⟺ a = E (X)$ равновесие

2) $a = x_{m i n}$ : все $x_{i} - a \geq 0 \Rightarrow E (X) \geq x_{m i n}$

3) $a = x_{m a x}$ : все $x_{i} - a \leq 0 \Rightarrow E (X) \leq x_{m a x}$

x_{m i n} \leq E (X) \leq x_{m a x}

Ответ вне

[x_{m i n}; x_{m a x}]

— сигнал ошибки в вычислениях.

2,5 мин · теория (учитель доказывает у доски)
$p_{i} (x_{i} - a)$ — момент груза $p_{i}$ относительно точки $a$ (со знаком: справа «+», слева «−»). Лемма: суммарный момент относительно $a$ равен $E (X) - a$ . Он равен нулю ровно при $a = E (X)$ — это и есть точка равновесия (физический смысл, R06.2).
Следствия 2–3: при $a = x_{m i n}$ все слагаемые неотрицательны, значит, $E (X) - x_{m i n} \geq 0$ ; аналогично при $a = x_{m a x}$ . Равенство $E (X) = x_{m i n}$ возможно, только если $X$ принимает одно значение (все остальные $p_{i} = 0$ ).
Вопрос: может ли $E (X) = 7$ , если $X$ принимает значения $1$ , $3$ , $5$ ? (Нет: $E (X) \leq 5$ .)

R06.2

Образец → сам · точка равновесия

Куда поставить опору?

Образец: $X$ : $0; 4; 10$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$

$E = 0 + 1, 2 + 2 = 3, 2$ определение

моменты: $1, 6$ слева, $0, 24 + 1, 36 = 1, 6$ справа

Сам

Грузы $1$ кг в точке $2$ и $3$ кг в точке $6$ . Центр масс $5$
$X$ : $- 3$ и $1$ с вероятностями $0, 25$ и $0, 75$ . $E (X)$ $0$
обратная $X$ : $0$ и $10$ , опора в точке $4$ . $P (X = 10)$ $0, 4$
Может ли $E (X) = 0$ , если $X \in {1; 3; 5}$ ? нет, $E \geq 1$

R06.2 · частоты

Теория · ожидание как теоретическое среднее

Среднее результатов при многих повторениях

Кубик бросили $N = 600$ раз:

очки	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
раз	$95$	$104$	$98$	$103$	$99$	$101$

$\overset{x}{ˉ} = \frac{2110}{600} \approx 3, 52$ , $E (X) = 3, 5$

\overset{x}{ˉ} = \sum x_{i} \cdot \frac{n _{i}}{N} \approx \sum x_{i} p_{i}

Частота

\frac{n _{i}}{N}

близка к

p_{i}

— среднее близко к

E (X)

.

R06.1 · R05.1

Образец → сам · сначала распределение, потом $E$

Наибольшее из двух чисел на кубиках

Образец: кубик бросают дважды, $X$ — наибольшее из выпавших чисел

$X \leq k$ : $k^{2}$ исходов из $36$ оба числа $\leq k$

$P (X = k) = \frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{36} = \frac{2 k - 1}{36}$

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$36 P$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$

$E = \frac{1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66}{36}$ = $\frac{161}{36} \approx 4, 47$

Сам

Две монеты, $X$ — число орлов $1$
Из чисел $1, \dots, 5$ выбирают два разных, $X$ — меньшее $2$
повыш.Два кубика, $X$ — модуль разности очков $\frac{35}{18}$

R06.1

Образец → сам · обратная задача

Известно ожидание — найдите неизвестное

Образец: $E (X) = 2, 1$ . Найдите $a$ и $b$

$x$	$0$	$2$	$5$
$P$	$a$	$0, 3$	$b$

$a + b = 0, 7$ сумма вероятностей $1$

$0 \cdot a + 0, 6 + 5 b = 2, 1$ определение $E$

$b = 0, 3$ , $a = 0, 4$ $a, b \in [0; 1]$ ✓

проверка: $0, 6 + 1, 5$ = $2, 1$

Сам

$X$ : $1; 3; x$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$ ; $E = 3, 5$ . Найдите $x$ $6$
$X$ : $- 1$ и $2$ , $P (X = 2) = p$ , $E = 0, 8$ . Найдите $p$ $0, 6$
повыш. $X \in {0; 1; 2}$ , $P (X = 1) = 0, 3$ , $E = 1, 5$ . Найдите $P (X = 0)$ $0, 1$

R06.1 · R06.2

Теория · индикатор и симметрия

Ожидание без длинных вычислений

Индикатор события $A$ ( $1$ или $0$ ): $E = 1 \cdot P (A) + 0 = P (A)$

Симметрия. Если $P (X = c - d) = P (X = c + d)$ для всех $d$ , то $E (X) = c$ : моменты пар взаимно уничтожаются

Равновозможные $1, 2, \dots, n$ : центр симметрии, $E = \frac{n + 1}{2}$

2 мин · теория
Доказательство симметрии (по лемме сл. 7 с $a = c$ ): значения разбиваются на пары $c \pm d$ с равными вероятностями; моменты $p (+ d)$ и $p (- d)$ дают в сумме $0$ ; значение $c$ (если есть) даёт момент $0$ . Значит, $E (X) - c = 0$ .
Рисунок: $X$ — число орлов при $6$ бросках монеты, $P (X = k) = \frac{C _{6}^{k}}{64}$ : $1, 6, 15, 20, 15, 6, 1$ . Равенство $C_{6}^{k} = C_{6}^{6 - k}$ — симметрия относительно $3$ , поэтому $E = 3$ без вычислений (проверка: $\frac{6 + 30 + 60 + 60 + 30 + 6}{64} = \frac{192}{64} = 3$ ✓).
Равновозможные значения: $\frac{1 + \dots + n}{n} = \frac{n + 1}{2}$ ; для кубика $3, 5$ . Общая формула $E = n p$ для биномиального распределения и $E = \frac{1}{p}$ для геометрического — на уроке R06.6.

R06.2

Образец → сам · симметрия и индикатор

Сумма очков на двух кубиках

Образец: найдите $E (X)$ , $X$ — сумма очков при броске двух кубиков, не составляя таблицы

замена $k \to 7 - k$ на обоих кубиках — биекция исходов грани $1 \dots 6$

сумма $s \to 14 - s$ , поэтому $P (X = 7 - d) = P (X = 7 + d)$

распределение симметрично относительно $7$ сл. 12

$E (X)$ = $7$

Сам

Число орлов при $9$ бросках монеты $4, 5$
$X = 1$ , если на кубике больше $4$ очков, иначе $0$ $\frac{1}{3}$
$X$ равновозможно принимает значения $3, 4, \dots, 11$ $7$
повыш.Сумма очков на трёх кубиках $10, 5$

R06.1 · R05.3

Образец → сам · комбинированная задача

Вынимаем шары до первого белого

Образец: в урне $2$ белых и $3$ чёрных шара. Вынимают по одному без возвращения до первого белого; $X$ — число вынутых шаров

$P (1) = \frac{2}{5}$ , $P (2) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$ правило умножения

$P (3) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{5}$ , $P (4) = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}$

$0, 4 + 0, 3 + 0, 2 + 0, 1 = 1$ проверка

$E = 0, 4 + 0, 6 + 0, 6 + 0, 4$ = $2$

Сам

Из $4$ ключей подбирают наугад, проверенные откладывают; $X$ — число попыток $2, 5$
Стрелок, $p = 0, 6$ , стреляет до попадания, но не более $3$ раз; $X$ — число выстрелов $1, 56$
повыш. $4$ белых и $2$ чёрных, вынимают $3$ шара; $X$ — число белых $2$

R06.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: выбор маршрута

Каким путём ехать в школу?

Образец: маршрут А — всегда $20$ мин; маршрут Б — $15$ мин с вероятностью $0, 7$ или $30$ мин (пробка)

$T_{Б}$ : $15$ и $30$ с вероятностями $0, 7$ и $0, 3$ сумма $1$

$E (T_{Б}) = 10, 5 + 9 = 19, 5$ мин определение

в среднем Б быстрее на $0, 5$ мин, но А надёжнее

Сам

Маршрут В: $12$ , $18$ или $40$ мин с вероятностями $0, 5; 0, 4; 0, 1$ . $E (T)$ $17, 2$ мин
Автобус — каждые $10$ мин, ждём равновозможно $0, 1, \dots, 9$ мин. Среднее ожидание $4, 5$ мин
Пицца $600$ руб.; при опоздании ( $p = 0, 15$ ) — бесплатно. Средняя выручка с заказа $510$ руб.

R06.1 · R06.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
среднее значений без весов: $X$ : $0$ и $10$ с вероятностями $0, 8$ и $0, 2$	$\frac{0 + 10}{2} = 5$	$10 \cdot 0, 2 = 2$
пропустили значение: $X$ : $1; 2; 3$ , даны только $P = 0, 3$ и $0, 5$	$0, 3 + 1 = 1, 3$	$P (3) = 0, 2$ ; $E = 1, 9$
ожидание — «самое вероятное»: $X$ : $0; 1; 10$ с $0, 1; 0, 6; 0, 3$	$E = 1$	$0, 6 + 3 = 3, 6$
«ожидание должно быть значением»: кубик, $E = 3, 5$	«округлим до $4$ »	$3, 5$ — верный ответ

R06.1 · R06.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Два кубика, $X$ — наибольшее из чисел. $E (X)$ ?

$X$ принимает $1, \dots, 6$ , значит, $E = 3, 5$

значения не равновероятны: $P (X = k) = \frac{2 k - 1}{36}$

$E = \frac{161}{36} \approx 4, 47$

б) $X$ : $- 2; 0; 3$ с вероятностями $0, 3; 0, 3; 0, 4$

$E = 0, 6 + 0 + 1, 2 = 1, 8$

потерян знак: $(- 2) \cdot 0, 3 = - 0, 6$

$E = - 0, 6 + 1, 2 = 0, 6$

в) Груз $0, 6$ в точке $1$ , груз $0, 4$ в точке $6$ . Где опора?

«посередине: $\frac{1 + 6}{2} = 3, 5$ »

опора ближе к тяжёлому грузу

$0, 6 + 2, 4 = 3$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Перечислить значения мало — нужны их вероятности (сл. 10): $\frac{1 + 6 + 15 + 28 + 45 + 66}{36} = \frac{161}{36}$ . Подсказка без вычислений: $E > 3, 5$ , ведь наибольшее из двух чаще большое.
б) $E = - 0, 6 + 0 + 1, 2 = 0, 6$ . Ответ $1, 8$ можно было заподозрить: опора у груза $0, 4$ в точке $3$ и груза $0, 3$ в точке $- 2$ — ближе к середине.
в) Моменты: $0, 6 \cdot (3 - 1) = 1, 2$ и $0, 4 \cdot (6 - 3) = 1, 2$ ✓. При $3, 5$ : $1, 5 \neq = 1$ — стержень наклонится влево.

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По распределению

$X$ : $1$ и $2$ с вероятностями $0, 3$ и $0, 7$ $1, 7$
$X$ : $0; 3; 6$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$ $3, 3$
$X$ : $- 4; 0; 4$ с вероятностями $0, 25; 0, 5; 0, 25$ $0$
$X$ : $2; 5; 8$ с вероятностями $0, 1; 0, 6$ и ? $5, 6$

Индикатор, симметрия, обратная

$X = 1$ , если из $36$ карт вынут туз, иначе $0$ $\frac{1}{9}$
$X$ равновозможно $1, 2, \dots, 20$ $10, 5$
$X$ : $1$ и $5$ , $E = 2$ . Найдите $P (X = 5)$ $0, 25$

R06.1 · R06.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Из чисел $1, \dots, 6$ выбирают два разных; $X$ — большее из них. Найдите $E (X)$ $\frac{14}{3}$
доказ.Докажите: если все значения $X$ положительны, то $E (X) > 0$ $E \geq x_{m i n} > 0$
повыш.Монету бросают до первого орла, но не более $4$ раз; $X$ — число бросков. $E (X)$ $\frac{15}{8}$
повыш. $X \in {1; 2; 3}$ , $P (X = 2) = 0, 2$ , $E (X) = 2, 5$ . Найдите $P (X = 1)$ и $P (X = 3)$ $0, 15$ и $0, 65$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $C_{6}^{2} = 15$ пар; большее равно $k$ в $k - 1$ парах: $E = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 + 4 \cdot 3 + 5 \cdot 4 + 6 \cdot 5}{15} = \frac{70}{15} = \frac{14}{3} \approx 4, 67$ .
2) По сл. 7: $E (X) \geq x_{m i n}$ , а $x_{m i n} > 0$ . Иначе: каждое слагаемое $x_{i} p_{i} \geq 0$ , и хотя бы одно $p_{i} > 0$ , поэтому сумма положительна.
3) $P (1) = \frac{1}{2}$ , $P (2) = \frac{1}{4}$ , $P (3) = \frac{1}{8}$ , $P (4) = \frac{1}{8}$ (три решки — четвёртый бросок в любом случае); $E = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{1}{2} = \frac{15}{8} = 1, 875$ .
4) $P_{1} + P_{3} = 0, 8$ ; $P_{1} + 0, 4 + 3 P_{3} = 2, 5 \Rightarrow P_{1} + 3 P_{3} = 2, 1$ ; $2 P_{3} = 1, 3$ , $P_{3} = 0, 65$ , $P_{1} = 0, 15$ . Проверка: $0, 15 + 0, 4 + 1, 95 = 2, 5$ ✓.

R05 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из выпавших чисел равно $5$ .

Ответ: $0, 25$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 7$ . Найдите вероятность того, что первый промах будет при третьем выстреле.

Ответ: $0, 147$

3. В среднем из $500$ садовых насосов $4$ подтекают. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу насос не подтекает.

Ответ: $0, 992$

Каждый ответ — одна вероятность из распределения: наибольшего числа, номера первого промаха, числа исправных.

R06.1 · R06.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X$ : $1; 4; 6$ с вероятностями $0, 5; 0, 2; 0, 3$ . $E (X)$ $3, 1$
$X$ : $0$ и $5$ , $E (X) = 2$ . Найдите $P (X = 5)$ $0, 4$
$X$ : $2; 5; 8$ с вероятностями $0, 3; 0, 4; 0, 3$ . $E (X)$ без вычислений $5$
Из $5$ ключей подбирают наугад, проверенные откладывают. $E (попыток)$ $3$

Вариант 2

$X$ : $2; 3; 7$ с вероятностями $0, 4; 0, 4; 0, 2$ . $E (X)$ $3, 4$
$X$ : $- 1$ и $4$ , $E (X) = 1, 5$ . Найдите $P (X = 4)$ $0, 5$
$X$ : $- 3; 1; 5$ с вероятностями $0, 2; 0, 6; 0, 2$ . $E (X)$ без вычислений $1$
Из $3$ ключей подбирают наугад, проверенные откладывают. $E (попыток)$ $2$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как найти $E (X)$ по распределению?
Какой физический смысл у $E (X)$ ?
Почему $x_{m i n} \leq E (X) \leq x_{m a x}$ ?

Домашнее задание

$X$ : $1; 2; 3; 6$ с вероятностями $0, 1; 0, 4; 0, 3; 0, 2$ — найдите $E (X)$ и проверьте моментами
Докажите: симметричное относительно $c$ распределение имеет $E (X) = c$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Ответы ДЗ: 1) $0, 1 + 0, 8 + 0, 9 + 1, 2 = 3$ ; моменты относительно $3$ : слева $0, 1 \cdot 2 + 0, 4 \cdot 1 = 0, 6$ , справа $0, 2 \cdot 3 = 0, 6$ ✓. 2) Доказательство — по лемме сл. 7 с $a = c$ : пары $c \pm d$ с равными вероятностями дают нулевой суммарный момент (сл. 12).
Дополнительно (по желанию): придумать распределение с $E (X) = 3$ , в котором значение $3$ не встречается, и несимметричное.
Следующий урок — «Примеры использования математического ожидания» (VIS9U-023): лотереи, страхование, справедливая игра.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-022 · Математическое ожидание и его физический смысл

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Числовые характеристики случайных величин», 6 ч · урок 1/6 · тип Н
Единицы → слайды	R06.1 «Математическое ожидание случайной величины» → 2–5, 10, 11, 14, 16–21 · R06.2 «Физический смысл математического ожидания» → 6–9, 12, 13, 15, 17 · повторение R05 → 3, 10, 14, 20
Результаты	ПР-5 (математическое ожидание по распределению) → 4–21 · ПР-4 (распределения в изученных опытах) → 3, 10, 14 · ПР-6 (частота и вероятность, пропедевтика) → 9
Вне урока	лотереи и страхование — VIS9U-023; дисперсия — R06.4; свойства $E$ и $D$ — R06.5; $E = n p$ , $E = \frac{1}{p}$ — R06.6; закон больших чисел — R07
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Математическое ожидание и его физический смысл

Сегодня вы научитесь

Определение E(X)

Физический смысл

Свойства с доказательством

Обратные задачи

Распределения и взвешенные суммы

Вычислите

Найдите вероятность

Сумма «значение × вероятность»

Прямое применение определения

Образец: найдите E(X)

Сам: найдите E(X)

Ожидание — точка равновесия

Почему равновесие именно в E(X)

Куда поставить опору?

Образец: X: 0; 4; 10 с вероятностями 0,5; 0,3; 0,2

Сам

Среднее результатов при многих повторениях

Наибольшее из двух чисел на кубиках

Образец: кубик бросают дважды, X — наибольшее из выпавших чисел

Сам

Известно ожидание — найдите неизвестное

Образец: E(X)=2,1. Найдите a и b

Сам

Ожидание без длинных вычислений

Сумма очков на двух кубиках

Образец: найдите E(X), X — сумма очков при броске двух кубиков, не составляя таблицы

Сам

Вынимаем шары до первого белого

Образец: в урне 2 белых и 3 чёрных шара. Вынимают по одному без возвращения до первого белого; X — число вынутых шаров

Сам

Каким путём ехать в школу?

Образец: маршрут А — всегда 20 мин; маршрут Б — 15 мин с вероятностью 0,7 или 30 мин (пробка)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Два кубика, X — наибольшее из чисел. E(X)?

б) X: −2; 0; 3 с вероятностями 0,3; 0,3; 0,4

в) Груз 0,6 в точке 1, груз 0,4 в точке 6. Где опора?

Решите и проверьте

По распределению

Индикатор, симметрия, обратная

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-022 · Математическое ожидание и его физический смысл

Определение $E (X)$

Образец: найдите $E (X)$

Сам: найдите $E (X)$

Почему равновесие именно в $E (X)$

Образец: $X$ : $0; 4; 10$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$

Образец: кубик бросают дважды, $X$ — наибольшее из выпавших чисел

Образец: $E (X) = 2, 1$ . Найдите $a$ и $b$

Образец: найдите $E (X)$ , $X$ — сумма очков при броске двух кубиков, не составляя таблицы

Образец: в урне $2$ белых и $3$ чёрных шара. Вынимают по одному без возвращения до первого белого; $X$ — число вынутых шаров

Образец: маршрут А — всегда $20$ мин; маршрут Б — $15$ мин с вероятностью $0, 7$ или $30$ мин (пробка)

а) Два кубика, $X$ — наибольшее из чисел. $E (X)$ ?

б) $X$ : $- 2; 0; 3$ с вероятностями $0, 3; 0, 3; 0, 4$

в) Груз $0, 6$ в точке $1$ , груз $0, 4$ в точке $6$ . Где опора?