Случайная величина · урок 3 из 3

Геометрическое и биномиальное распределения

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9U-021

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (3 ч), урок 3/3, единица R05.3 «Важные распределения – число попыток в серии испытаний до первого успеха и число успехов в серии испытаний Бернулли (геометрическое и биномиальное распределения)». Тип урока — Н. Опора: серия испытаний до первого успеха (VIS9U-014), формула Бернулли (VIS9U-015), бином Ньютона (R02), случайная величина и распределение (VIS9U-019, VIS9U-020).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (геометрическое распределение, вывод формулы) 3,5 · 5 (свойства: прогрессия, сумма, хвост) 2,5 · 8 (биномиальное распределение, бином Ньютона) 3,5 · 13 (сводка) 1,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10) по 2,5 · сл. 11, 12 по 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — геометрическое распределение номера первого орла: $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$ — каждый столбик вдвое ниже предыдущего, значений бесконечно много.
Если не успеваете: задание 3 сл. 11 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Геометрическое

распределение номера первого успеха: $P (X = k) = q^{k - 1} p$ (ПР-3, ПР-4)

Биномиальное

распределение числа успехов: $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ (ПР-3, ПР-4)

Обосновывать

почему сумма вероятностей равна $1$ : прогрессия и бином Ньютона (ПР-1, ПР-4)

Выбирать модель

и решать задачи из жизни: «до первого успеха» или «из $n$ попыток» (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-3: «Находить вероятности событий в опытах, связанных с испытаниями до достижения первого успеха, в сериях испытаний Бернулли». ПР-4: «Иметь представление о случайных величинах… оперировать понятием «распределение вероятностей». Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах». ПР-1: число сочетаний, треугольник Паскаля (бином Ньютона).
Единица ФРП: R05.3. Деятельность по ФРП (строка R05): осваивать понятия случайная величина, значение случайной величины, распределение вероятностей; обсуждать примеры случайных величин, связанных с изученными случайными опытами.

повторение: R02, R04

Разминка · устно

Испытания Бернулли и сочетания

Вычислите

$p = 0, 3$ , найдите $q$ $0, 7$
$C_{4}^{2}$ $6$
$0, 5^{3}$ $0, 125$
$(p + q)^{2} = \dots$ $p^{2} + 2 pq + q^{2}$

Найдите вероятность

монета: первый орёл — на 2-м броске $0, 25$
3 броска кубика: ни одной шестёрки $\frac{125}{216}$
2 броска монеты: ровно один орёл $0, 5$
$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots = ?$ $1$

R05.3

Новое понятие · геометрическое распределение

Номер первого успеха

Испытания Бернулли повторяют до первого успеха; $X$ — номер испытания с первым успехом.

значения: $X \in {1; 2; 3; \dots}$ бесконечно много

$X = k$ : $k - 1$ неудача, потом успех испытания независимы

P (X = k) = q^{k - 1} p

3,5 мин · теория
Вывод: событие « $X = k$ » наступает ровно тогда, когда первые $k - 1$ испытаний — неудачи, а $k$ -е — успех. Цепочка одна, испытания независимы, поэтому вероятности перемножаются: $k - 1 q \cdot q \dots q \cdot p$ . На схеме цепочки для $k = 1, 2, 3, 4$ .
Название: вероятности $p, qp, q^{2} p, \dots$ образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q$ .
Вопросы классу: какие значения принимает $X$ , если монету бросают до первого орла? (1, 2, 3, … — любое натуральное.) Может ли $X = 0$ ? (Нет: хотя бы одно испытание проводится.) Чем отличается от опыта VIS9U-014? (Там считали вероятности отдельных событий, сегодня — всё распределение сразу.)
Замечание: иногда за $X$ берут число неудач до первого успеха (значения 0, 1, 2, …; $P = q^{k} p$ ). В нашем курсе — номер попытки с первым успехом.

R05.3

Новое понятие · свойства геометрического распределения

Прогрессия, сумма и «хвост»

$P (X = k + 1) = q \cdot P (X = k)$ столбики убывают

$p (1 + q + q^{2} + \dots) = \frac{p}{1 - q} = 1$ сумма прогрессии

P (X > k) = q^{k}

«Больше

k

попыток» — значит, первые

k

попыток неудачны.

R05.3

Образец → сам · геометрическое распределение по формуле

Стреляем до первого попадания

Образец: попадание с вероятностью $0, 8$ ; $X$ — число выстрелов до первого попадания (включительно)

$p = 0, 8$ , $q = 0, 2$ успех — попадание

$P (X = 1) = 0, 8$ ; $P (X = 2) = 0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$

$P (X = 3) = 0, 2^{2} \cdot 0, 8$ = $0, 032$ $q^{k - 1} p$

$X$	$1$	$2$	$3$	$k$
$P$	$0, 8$	$0, 16$	$0, 032$	$0, 2^{k - 1} \cdot 0, 8$

Сам: найдите вероятность

кубик бросают до первой шестёрки; $P (X = 2)$ $\frac{5}{36}$
монету бросают до первого орла; $P (X = 4)$ $0, 0625$
$p = 0, 4$ ; $P (X = 3)$ $0, 144$

R05.3

Образец → сам · хвост и обратная задача

Хвост $P (X > k) = q^{k}$

Образец: баскетболист попадает с вероятностью $0, 6$ и бросает до первого попадания. Найдите $P (X > 3)$ и $P (X \leq 3)$

$q = 0, 4$ промах

$P (X > 3) = 0, 4^{3} = 0, 064$ 3 промаха подряд

$P (X \leq 3) = 1 - 0, 064$ = $0, 936$ дополнение

Сам

кубик до первой шестёрки: $P (X > 2)$ $\frac{25}{36}$
монета до первого орла: $P (X \leq 4)$ $\frac{15}{16}$
$p = 0, 5$ . Наименьшее $n$ , при котором $P (X \leq n) \geq 0, 95$ $n = 5$

R05.3

Новое понятие · биномиальное распределение

Число успехов в $n$ испытаниях

Серия из $n$ испытаний Бернулли; $X$ — число успехов, $X \in {0; 1; \dots; n}$ .

P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

$p^{k} q^{n - k}$ — одна цепочка с $k$ успехами

$C_{n}^{k}$ — число таких цепочек места успехов

$k = 0 \sum n C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} = (p + q)^{n} = 1$ бином Ньютона

3,5 мин · теория
Вывод (повтор формулы Бернулли VIS9U-015): исход серии — цепочка из У и Н длины $n$ . Цепочка с $k$ успехами имеет вероятность $p^{k} q^{n - k}$ (независимость). Таких цепочек $C_{n}^{k}$ — столько способов выбрать $k$ мест под успехи из $n$ . Цепочки несовместны — складываем.
Название: вероятности — слагаемые разложения $(q + p)^{n}$ по формуле бинома Ньютона, поэтому их сумма равна $(p + q)^{n} = 1^{n} = 1$ .
Диаграмма при $n = 4$ , $p = \frac{1}{2}$ : $C_{4}^{k} /16 = 1, 4, 6, 4, 1$ (шестнадцатых) — строка треугольника Паскаля. При $p = \frac{1}{2}$ распределение симметрично; при $p \neq = \frac{1}{2}$ «горб» сдвигается к $n p$ .
Вопрос классу: как называют распределение при $n = 1$ ? (Значения 0 и 1 с вероятностями $q$ и $p$ — «индикатор успеха», распределение Бернулли.)

R05.3

Образец → сам · строим биномиальное распределение

Таблица по формуле Бернулли

Образец: $n = 3$ , $p = 0, 2$ . Постройте распределение числа успехов

$q = 0, 8$ ; $C_{3}^{k}$ : $1; 3; 3; 1$ треугольник Паскаля

$P (0) = 0, 8^{3} = 0, 512$

$P (1) = 3 \cdot 0, 2 \cdot 0, 64 = 0, 384$

$P (2) = 3 \cdot 0, 04 \cdot 0, 8 = 0, 096$ ; $P (3) = 0, 008$

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 512$	$0, 384$	$0, 096$	$0, 008$

проверка: сумма $= 1$ ✓

Сам

$n = 2$ , $p = 0, 4$ : распределение $0, 36; 0, 48; 0, 16$
$n = 4$ , $p = \frac{1}{2}$ : $P (X = 2)$ $0, 375$
$n = 5$ , $p = 0, 1$ : $P (X = 1)$ $0, 32805$

R05.3

Образец → сам · «хотя бы один» и «не более»

Через дополнение и сумму значений

Образец: брак — с вероятностью $0, 1$ ; берут 4 детали

хотя бы одна плохая: $1 - P (X = 0)$ дополнение

$= 1 - 0, 9^{4} = 1 - 0, 6561$ = $0, 3439$

не более одной: $P (0) + P (1)$ несовместные

$= 0, 6561 + 4 \cdot 0, 1 \cdot 0, 729$ = $0, 9477$

Сам

монету бросают 5 раз: хотя бы один орёл $\frac{31}{32}$
$n = 3$ , $p = 0, 3$ : не менее двух успехов $0, 216$
Сколько раз бросить кубик, чтобы $P (хотя бы одна шестёрка) > 0, 5$ ? $4$

R05.3 · исследование

Образец → сам · наиболее вероятное число успехов

Где вершина «горба»?

Образец: $n = 5$ , $p = 0, 3$ . Какое $k$ вероятнее всего?

$\frac{P ( k + 1 )}{P ( k )} = \frac{( n - k ) p}{( k + 1 ) q}$ сократили $C_{n}^{k}$

$k = 0$ : $\frac{5 \cdot 0 , 3}{1 \cdot 0 , 7} > 1$ — растёт; $k = 1$ : $\frac{4 \cdot 0 , 3}{2 \cdot 0 , 7} < 1$

вершина — $k = 1$ дальше убывает

Правило: целое

k

из отрезка

[n p - q; n p + p]

Сам: наиболее вероятное $k$

$n = 10$ , $p = 0, 5$ $5$
$n = 20$ , $p = 0, 15$ $3$
$n = 9$ , $p = 0, 2$ $1$ и $2$

R05.3 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: какое распределение?

«До первого успеха» или «из $n$ попыток»

Образец: оператор дозванивается с вероятностью $0, 3$

геом.звонит до первого ответа; $P (X = 3)$

$0, 7^{2} \cdot 0, 3$ = $0, 147$

бином.сделал 5 звонков; ровно 2 ответа

$C_{5}^{2} \cdot 0, 3^{2} \cdot 0, 7^{3}$ = $0, 3087$

Сам: модель и ответ

Команда выигрывает матч с вероятностью $0, 6$ ; сыграно 3 матча. Ровно 2 победы? бином., $0, 432$
Билет выигрывает с вероятностью $0, 1$ ; билет — каждую неделю до выигрыша. Выигрыш на 3-й неделе? геом., $0, 081$
За проект $30 %$ жителей; опрошено 4. Все против? бином., $0, 2401$

R05.3

Теория · сводка правил

Два важных распределения

	геометрическое	биномиальное
опыт	испытания до первого успеха	$n$ испытаний Бернулли
$X$ и значения	номер первого успеха: $1; 2; \dots$	число успехов: $0; 1; \dots; n$
$P (X = k)$	$q^{k - 1} p$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
сумма $= 1$	геометрическая прогрессия	бином Ньютона $(p + q)^{n}$
полезно	$P (X > k) = q^{k}$	$P (X \geq 1) = 1 - q^{n}$

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
степень в геометрическом	$P (X = 3) = q^{3} p$	$q^{2} p$ : неудач на одну меньше
забыли $C_{n}^{k}$	3 броска, 1 орёл: $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$	$C_{3}^{1} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
«хотя бы один» $= n p$	5 бросков кубика: $5 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$	$1 - (\frac{5}{6})^{5} \approx 0, 598$
спутали модели	первый успех на 3-м: $C_{3}^{1} p q^{2}$	$q^{2} p$ — цепочка одна: ННУ

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $p = 0, 2$ , до первого успеха. Найдите $P (X = 4)$

$P = 0, 2^{3} \cdot 0, 8 = 0, 0064$

перепутаны $p$ и $q$ : неудача — $0, 8$

$0, 8^{3} \cdot 0, 2 = 0, 1024$

б) $n = 4$ , $p = 0, 5$ . Найдите $P (X \geq 1)$

$P = 1 - 0, 5 = 0, 5$

дополнение — « $X = 0$ », его вероятность $0, 5^{4}$

$1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

в) $n = 5$ , $p = 0, 4$ . Найдите $P (X = 2)$

$C_{5}^{2} \cdot 0, 4^{2} \cdot 0, 6^{2} = 0, 576$

степень $q$ — $n - k = 3$

$10 \cdot 0, 16 \cdot 0, 216 = 0, 3456$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Успех $p = 0, 2$ , неудача $q = 0, 8$ ; $X = 4$ : три неудачи и успех, $0, 512 \cdot 0, 2 = 0, 1024$ . Признак ошибки: при $p = 0, 2$ первый успех на 4-м броске не может быть таким маловероятным.
б) $1 - 0, 5$ — это «не провал в первом испытании»; дополнение к «хотя бы один» — «ни одного из четырёх». $\frac{15}{16} = 0, 9375$ .
в) Показатели должны давать в сумме $n$ : $2 + 3 = 5$ . $10 \cdot 0, 16 \cdot 0, 216 = 0, 3456$ . Проверка «на глаз»: сумма степеней $2 + 2 = 4 \neq = 5$ .

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

До первого успеха, $p = 0, 25$

$P (X = 1)$ $0, 25$
$P (X = 3)$ $\frac{9}{64}$
$P (X > 2)$ $0, 5625$

$n = 4$ , $p = 0, 2$

$P (X = 0)$ $0, 4096$
$P (X = 1)$ $0, 4096$
$P (X \geq 2)$ $0, 1808$

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и обоснуйте

повыш.Монету бросают до первого орла. Первые 3 броска — решки. Найдите вероятность, что понадобится ещё больше 2 бросков $0, 25$
повыш. $n = 6$ , $p = \frac{1}{2}$ . Найдите $P (X чётно)$ $\frac{1}{2}$
повыш. $n = 2$ , $P (X = 1) = 0, 48$ , $p > 0, 5$ . Найдите $p$ $0, 6$
из жизниБрак — $5 %$ . Проверяют 10 деталей; партию бракуют, если плохих не менее двух. Вероятность забраковать? $\approx 0, 086$

R05.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Ответ: $0, 375$

2. Стрелок попадает с вероятностью $0, 9$ . Найдите вероятность того, что он первые два раза промахнётся, а в третий раз попадёт.

Ответ: $0, 009$

3. Биатлонист попадает с вероятностью $0, 8$ и стреляет 5 раз. Найдите вероятность того, что первые 3 раза он попал, а последние 2 промахнулся.

Ответ: $0, 02048$

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · $p = 0, 3$

до первого успеха: $P (X = 2)$ $0, 21$
до первого успеха: $P (X > 3)$ $0, 343$
$n = 3$ : $P (X = 1)$ $0, 441$
$n = 3$ : $P (X \geq 1)$ $0, 657$

Вариант 2 · $p = 0, 4$

до первого успеха: $P (X = 2)$ $0, 24$
до первого успеха: $P (X > 3)$ $0, 216$
$n = 3$ : $P (X = 1)$ $0, 432$
$n = 3$ : $P (X \geq 1)$ $0, 784$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем геометрическое распределение отличается от биномиального?
Почему сумма вероятностей в каждом равна $1$ ?
Как найти $P (X > k)$ без суммы?

Домашнее задание

Монету бросают до первого орла. Докажите, что $P (X чётно) = \frac{1}{3}$
$n = 5$ , $p = \frac{1}{2}$ : распределение и наиболее вероятное $k$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-021 · Геометрическое и биномиальное распределения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 3 ч · урок 3/3 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Важные распределения – число попыток в серии испытаний до первого успеха и число успехов в серии испытаний Бернулли (геометрическое и биномиальное распределения)» → 2, 4–19 · повторение R02, R04 → 3
Результаты	ПР-3 (испытания до первого успеха, серии Бернулли) → 4–7, 9–12, 14–19 · ПР-4 (распределение вероятностей, построение распределений) → 4, 5, 8, 9, 11, 13 · ПР-1 (сочетания, треугольник Паскаля, бином Ньютона) → 3, 8, 9, 17
Вне урока	математическое ожидание и его физический смысл — VIS9U-022; $E$ и $D$ геометрического и биномиального распределений — R06.6
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Геометрическое и биномиальное распределения

Сегодня вы научитесь

Геометрическое

Биномиальное

Обосновывать

Выбирать модель

Испытания Бернулли и сочетания

Вычислите

Найдите вероятность

Номер первого успеха

Прогрессия, сумма и «хвост»

Стреляем до первого попадания

Образец: попадание с вероятностью 0,8; X — число выстрелов до первого попадания (включительно)

Сам: найдите вероятность

Хвост P(X>k)=qk

Образец: баскетболист попадает с вероятностью 0,6 и бросает до первого попадания. Найдите P(X>3) и P(X≤3)

Сам

Число успехов в n испытаниях

Таблица по формуле Бернулли

Образец: n=3, p=0,2. Постройте распределение числа успехов

Сам

Через дополнение и сумму значений

Образец: брак — с вероятностью 0,1; берут 4 детали

Сам

Где вершина «горба»?

Образец: n=5, p=0,3. Какое k вероятнее всего?

Сам: наиболее вероятное k

«До первого успеха» или «из n попыток»

Образец: оператор дозванивается с вероятностью 0,3

Сам: модель и ответ

Два важных распределения

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) p=0,2, до первого успеха. Найдите P(X=4)

б) n=4, p=0,5. Найдите P(X≥1)

в) n=5, p=0,4. Найдите P(X=2)

Решите и проверьте

До первого успеха, p=0,25

n=4, p=0,2

Подумайте и обоснуйте

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1 · p=0,3

Вариант 2 · p=0,4

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-021 · Геометрическое и биномиальное распределения

Образец: попадание с вероятностью $0, 8$ ; $X$ — число выстрелов до первого попадания (включительно)

Хвост $P (X > k) = q^{k}$

Образец: баскетболист попадает с вероятностью $0, 6$ и бросает до первого попадания. Найдите $P (X > 3)$ и $P (X \leq 3)$

Число успехов в $n$ испытаниях

Образец: $n = 3$ , $p = 0, 2$ . Постройте распределение числа успехов

Образец: брак — с вероятностью $0, 1$ ; берут 4 детали

Образец: $n = 5$ , $p = 0, 3$ . Какое $k$ вероятнее всего?

Сам: наиболее вероятное $k$

«До первого успеха» или «из $n$ попыток»

Образец: оператор дозванивается с вероятностью $0, 3$

а) $p = 0, 2$ , до первого успеха. Найдите $P (X = 4)$

б) $n = 4$ , $p = 0, 5$ . Найдите $P (X \geq 1)$

в) $n = 5$ , $p = 0, 4$ . Найдите $P (X = 2)$

До первого успеха, $p = 0, 25$

$n = 4$ , $p = 0, 2$

Вариант 1 · $p = 0, 3$

Вариант 2 · $p = 0, 4$