Случайная величина · урок 2 из 3 · новый материал

Примеры случайных величин

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9U-020

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (3 ч), урок 2/3, единица R05.2 «Примеры случайных величин». Тип урока — Н. Опора: VIS9U-019 (случайная величина, распределение, $\sum p_{i} = 1$ ), R02 (сочетания), R03 (геометрическая вероятность), R04 (испытания Бернулли, до первого успеха, выбор из конечного множества).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (дискретные и непрерывные) 2 · 6 (величины изученных опытов) 2 · 10 (функция от величины) 2 · 12 (две величины на одном опыте) 2 · 14 (непрерывная: вероятность промежутка) 2 · 16 (сводка) 1. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · распознаём величину (сл. 5) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 9, 11, 13, 15) по 2 · типичные ошибки (сл. 17) 1,5 · найди ошибку (сл. 18) 2 · самопроверка, база (сл. 19) 3 · повышенный (сл. 20) 2,5 · ОГЭ (сл. 21) 1,5 · самостоятельная (сл. 22) 4 · итог (сл. 23) 1.
Картинка на титуле — распределение наибольшего из чисел на двух кубиках: $P (M = k) = \frac{2 k - 1}{36}$ (выводится на сл. 13). Столбики растут — большие значения максимума вероятнее.
Если не успеваете: задание 3 сл. 13, задания 3–4 сл. 20 — в ДЗ; теорию не сокращать. Геометрическое и биномиальное распределения как самостоятельные объекты — следующий урок VIS9U-021; математическое ожидание — строка R06.

R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать величины

дискретные и непрерывные — в опытах и в жизни (ПР-4)

Строить распределения

в изученных опытах: Бернулли, выбор, до первого успеха (ПР-1, ПР-3)

Преобразовывать величины

распределение $f (X)$ , суммы и максимума двух величин (ПР-4)

Работать с промежутками

вероятность для непрерывной величины (ПР-2, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-4: «Иметь представление о случайных величинах и распознавать случайные величины в явлениях окружающего мира, оперировать понятием „распределение вероятностей“. Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах». ПР-1 — число сочетаний для вычисления вероятностей; ПР-2 — геометрическая вероятность (выбор точки из отрезка, фигуры); ПР-3 — испытания до первого успеха и серии Бернулли.
Единица ФРП: R05.2 «Примеры случайных величин». Вид деятельности строки R05: обсуждать примеры дискретных и непрерывных случайных величин (рост и вес человека, численность населения, стоимость товаров и услуг), величин, связанных с изученными опытами.

повторение: R02–R04, VIS9U-019

Разминка · устно

Сочетания, вероятности, распределение

Вычислите

$C_{5}^{2}$ $10$
$0, 2 + 0, 35 + p = 1$ $p = 0, 45$
$0, 4^{2}$ $0, 16$
2 кубика: исходов с суммой $4$ $3$

Найдите вероятность

3 монеты: ровно 2 орла $\frac{3}{8}$
кубик: больше $4$ очков $\frac{1}{3}$
точка на $[0; 10]$ : $X < 2$ $0, 2$
сколько значений у числа орлов при 5 бросках? $6$

R05.2

Теория · дискретные и непрерывные величины

Значения можно перечислить — или нет

Дискретная: значения можно перечислить — $x_{1}, x_{2}, \dots$

Непрерывная: значения заполняют промежуток.

очки, число бракованных, число звонков за час

рост, вес, время ожидания, температура

Цена и численность населения дискретны, но значений так много, что их считают почти непрерывными.

2 мин · теория
Дискретная величина: множество значений конечно или его можно занумеровать (0, 1, 2, … — число бросков до первого орла). Для неё задают таблицу «значение — вероятность».
Непрерывная: рост может быть 172,3 см, 172,31 см, … — любое число из промежутка. Вероятность отдельного значения у неё равна 0, поэтому говорят о вероятности промежутка (сл. 14). Точные модели непрерывных величин — в старших классах.
Стоимость товара — шаг 1 копейка, численность населения — шаг 1 человек: формально дискретны. Но для города в миллион жителей разница в одного человека несущественна — в статистике такие величины описывают как непрерывные (интервалы, гистограммы).
Вопрос классу: число учеников, пришедших сегодня в школу? (дискретная.) Время забега на 100 м? (непрерывная, хотя секундомер округляет до 0,01 с.)

R05.2

Образец → сам · распознаём величину

Какие значения и какой тип?

Образец: в классе 25 учеников, выбирают одного наугад

$X$ — номер в журнале: $1, 2, \dots, 25$ дискретная

$P (X = k) = \frac{1}{25}$ равновозможный выбор

$Y$ — число пятёрок за четверть: $0, 1, 2, \dots$ дискретная

$Z$ — рост, см: любое число из $[140; 200]$ непрерывная

Сам: значения и тип

$T$ — время ожидания автобуса, интервал 10 мин $[0; 10]$ , непрерывная
$N$ — число солнечных дней в мае $0, \dots, 31$ , дискретная
$C$ — цена товара в рублях с копейками шаг $0, 01$ , дискретная

R05.2 · R04

Теория · величины в изученных опытах

Опыт → величина → $P (X = k)$

Опыт	Величина $X$	Распределение
кубик, жребий: $n$ равных исходов	номер исхода	$\frac{1}{n}$ (равномерное)
одно испытание, успех $p$	индикатор успеха	$P (1) = p, P (0) = q$
$n$ испытаний Бернулли	число успехов	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
выбор $m$ из $N$ , среди них $M$ отмеченных	число отмеченных	$\frac{C _{M}^{k} C _{N - M}^{m - k}}{C _{N}^{m}}$
до первого успеха, не более $n$ попыток	число попыток	$q^{k - 1} p$ при $k < n$ ; $q^{n - 1}$ при $k = n$

2 мин · теория
Каждая строка — опыт из R04 и величина, которую мы на нём уже «считали», только теперь сразу для всех значений $k$ . Сумма вероятностей в каждой строке равна 1: для Бернулли — бином Ньютона $(p + q)^{n} = 1$ (VIS9U-006); для выбора — тождество $\sum_{k} C_{M}^{k} C_{N - M}^{m - k} = C_{N}^{m}$ (сочетания из двух групп).
Последняя строка: $X = k < n$ — первые $k - 1$ неудач и успех; $X = n$ — первые $n - 1$ неудач, а $n$ -я попытка делается при любом её исходе. Проверка: $p (1 + q + \dots + q^{n - 2}) + q^{n - 1} = (1 - q^{n - 1}) + q^{n - 1} = 1$ .
Без ограничения $n$ — геометрическое распределение, число успехов Бернулли — биномиальное: подробно на следующем уроке VIS9U-021. Распределение числа отмеченных называют гипергеометрическим (название — для справки).

R05.2 · R04

Образец → сам · число успехов и индикатор

Формула Бернулли для каждого $k$

Образец: 3 выстрела, попадание $p = 0, 7$ ; $X$ — число попаданий

$q = 0, 3$ ; $P (k) = C_{3}^{k} \cdot 0, 7^{k} \cdot 0, 3^{3 - k}$ Бернулли

$P (0) = 0, 027$ , $P (1) = 3 \cdot 0, 7 \cdot 0, 09 = 0, 189$

$P (2) = 3 \cdot 0, 49 \cdot 0, 3 = 0, 441$ , $P (3) = 0, 343$

проверка: сумма $= 1$ $(0, 7 + 0, 3)^{3}$

Сам: распределение

кубик; $I = 1$ , если выпала шестёрка, иначе $0$ $\frac{5}{6}; \frac{1}{6}$
4 броска монеты, $X$ — число орлов $\frac{1}{16}; \frac{4}{16}; \frac{6}{16}; \frac{4}{16}; \frac{1}{16}$
2 выстрела, $p = 0, 9$ ; $X$ — число попаданий $0, 01; 0, 18; 0, 81$

R05.2 · R04 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Выбор без возвращения

Образец: 6 исправных и 4 бракованных детали, берут 3; $X$ — число бракованных

всего наборов $C_{10}^{3} = 120$ равновозможны

$X = 0$ : $C_{6}^{3} = 20$ ; $X = 1$ : $4 \cdot C_{6}^{2} = 60$

$X = 2$ : $C_{4}^{2} \cdot 6 = 36$ ; $X = 3$ : $C_{4}^{3} = 4$

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

Сам

5 мальчиков и 3 девочки, выбирают 2 дежурных; $X$ — число девочек $\frac{10}{28}; \frac{15}{28}; \frac{3}{28}$
из 10 билетов 3 выигрышных, берут 2; $X$ — число выигрышных $\frac{7}{15}; \frac{7}{15}; \frac{1}{15}$
в задаче 1 найдите $P (X \geq 1)$ $\frac{9}{14}$

R05.2 · R04

Образец → сам · попытки до первого успеха, ограниченное число

Последняя попытка — при любом исходе

Образец: стрелок, $p = 0, 6$ , стреляет до попадания, но не более 3 раз; $X$ — число выстрелов

$X = 1$ : попал сразу — $0, 6$

$X = 2$ : промах, попал — $0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 24$

$X = 3$ : два промаха — $0, 4^{2} = 0, 16$ 3-й исход не важен

проверка: $0, 6 + 0, 24 + 0, 16 = 1$

Сам: распределение $X$

монету бросают до орла, но не более 4 раз $\frac{1}{2}; \frac{1}{4}; \frac{1}{8}; \frac{1}{8}$
баскетболист, $p = 0, 8$ , не более 3 бросков $0, 8; 0, 16; 0, 04$
из 4 ключей один подходит; пробуют по очереди, не повторяя все по $\frac{1}{4}$

R05.2

Теория · функция от случайной величины

$Y = f (X)$ — тоже случайная величина

Значение $Y$ — это $f$ от значения $X$ .

P (Y = y) = f (x_{i}) = y \sum p_{i}

Разные

x_{i}

с одним

f (x_{i})

— несовместные события: их вероятности складываются.

Если $f$ разным $x$ даёт разные $y$ (например, $2 X + 1$ ), вероятности не меняются.

R05.2

Образец → сам · распределение функции от величины

Переносим и объединяем

Образец: найдите распределение $Y = X^{2}$

$X$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0, 1$	$0, 2$	$0, 3$	$0, 25$	$0, 15$

$Y$ : $4, 1, 0, 1, 4$ возводим каждое $x$

$P (Y = 0) = 0, 3$ ; $P (Y = 1) = 0, 2 + 0, 25 = 0, 45$

$P (Y = 4) = 0, 1 + 0, 15 = 0, 25$ сумма $= 1$

Сам: распределение $Y$

$X$ : $0; 1; 2$ ( $0, 5; 0, 3; 0, 2$ ), $Y = 2 X + 1$ $1; 3; 5$ — те же
$X$ : $0; 1; 2; 3$ — все по $0, 25$ , $Y = ∣ X - 1∣$ $0, 25; 0, 5; 0, 25$
$X$ — очки кубика, $Y$ — остаток от деления $X$ на $3$ все по $\frac{1}{3}$

R05.2

Теория · две величины на одном опыте

Сумма, разность, максимум

Два кубика: $X$ , $Y$ — очки. Новые величины:

$S = X + Y$ , $R = ∣ X - Y ∣$ , $M = max (X; Y)$

P (M = k) = \frac{число клеток со значением k}{36}

В клетке таблицы — значение

M

. Клеток с

M = 4

— уголок из

7

:

P (M = 4) = \frac{7}{36}

.

2 мин · теория
Опыт один — 36 равновозможных пар; на нём определено сколько угодно величин. Чтобы найти распределение, в каждую клетку пишем значение величины и считаем клетки.
Уголок: клетки, где наибольшее число равно 4, — строка 4 и столбец 4 внутри квадрата 4×4, $4 + 4 - 1 = 7$ . Общий вывод: $M \leq k$ — квадрат $k \times k$ , поэтому $P (M = k) = \frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{36} = \frac{2 k - 1}{36}$ — образец сл. 13.
Сумма $S$ — знакомая таблица из 8 класса: значения 2…12, вероятности 1/36, 2/36, …, 6/36, …, 1/36. Значения $S$ не равновозможны!

R05.2

Образец → сам · максимум и разность двух кубиков

Считаем клетки таблицы исходов

Образец: распределение $M = max (X; Y)$

$M \leq k$ : обе $\leq k$ — $k^{2}$ клеток правило умножения

$M = k$ : $k^{2} - (k - 1)^{2} = 2 k - 1$ клеток

$M$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$36 P$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$	$11$

проверка: $1 + 3 + \dots + 11 = 36$

Сам

$S = X + Y$ : найдите $P (S = 7)$ и $P (S = 4)$ $\frac{1}{6}; \frac{1}{12}$
$R = ∣ X - Y ∣$ : найдите $P (R = 0)$ и $P (R = 1)$ $\frac{1}{6}; \frac{5}{18}$
$m = min (X; Y)$ : найдите $P (m = 1)$ и $P (m = 6)$ $\frac{11}{36}; \frac{1}{36}$

R05.2 · R03

Теория · непрерывная величина: вероятность промежутка

Отдельное значение — вероятность $0$

Точку выбирают на $[0; L]$ равновозможно:

P (a \leq X \leq b) = \frac{b - a}{L}

P (X = a) = 0

Для роста или веса доли промежутков берут из статистики — по гистограмме частот.

2 мин · теория
Это геометрическая вероятность (R03): длина благоприятной части, делённая на длину отрезка. Время ожидания автобуса, идущего каждые 12 мин, при случайном приходе на остановку — равномерно на $[0; 12]$ .
Почему $P (X = a) = 0$ : отрезок нулевой длины. Значит, $P (X < b) = P (X \leq b)$ — для непрерывных величин строгое и нестрогое неравенства дают одно и то же (для дискретных — нет!).
Гистограмма: рост 9-классников, доли интервалов 0,20; 0,45; 0,30; 0,05 (сумма 1). Вероятность, что случайно выбранный ученик выше 170 см, оценивается как $0, 30 + 0, 05 = 0, 35$ . Внутри интервала — снова равномерная модель (линейная интерполяция).

R05.2 · R03 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: время ожидания и рост

Длина промежутка и доли

Образец: автобус ходит каждые 12 мин; $T$ — время ожидания, мин

$T$ равновозможно на $[0; 12]$ приход случаен

$P (T < 3) = \frac{3}{12} = 0, 25$

$P (4 \leq T \leq 10) = \frac{6}{12} = 0, 5$

$P (T = 5) = 0$ отрезок длины $0$

Сам

точку бросают на $[0; 8]$ ; найдите $P (X > 6)$ $0, 25$
рост: $[150; 160)$ — $0, 15$ , $[160; 170)$ — $0, 40$ , $[170; 180)$ — $0, 35$ , $[180; 190]$ — $0, 10$ . Найдите $P (X \geq 170)$ $0, 45$
точка в круге радиуса $1$ ; $R$ — расстояние до центра; $P (R < 0, 5)$ $0, 25$

R05.2

Теория · сводка правил

Как получить распределение

Величина	Как найти вероятности	Пример
дискретная	таблица $x_{i}$ и $p_{i}$ , $\sum p_{i} = 1$	число успехов
$Y = f (X)$	складываем $p_{i}$ с одинаковым $f (x_{i})$	$X^{2}$ , $∣ X - 1∣$
две величины	считаем клетки таблицы исходов	сумма, максимум
непрерывная	только промежутки; $P (X = a) = 0$	время, рост

R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
значения — не исходы	сумма на 2 кубиках: $11$ значений, $P (S = 7) = \frac{1}{11}$	$P (S = 7) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
не склеили значения $f (X)$	$Y = X^{2}$ : $P (Y = 1) = 0, 2$ (только $x = - 1$ )	$0, 2 + 0, 4 = 0, 6$ (и $x = 1$ )
последняя попытка	не более 3 раз: $P (X = 3) = q^{2} p$	$P (X = 3) = q^{2}$
непрерывная величина	$T$ на $[0; 12]$ : $P (T = 5) = \frac{1}{12}$	$P (T = 5) = 0$

R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) 5 исправных и 3 бракованных, берут 2; $X$ — число бракованных

$P (X = 1) = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

учтён только порядок «брак, потом исправная»

$\frac{3 \cdot 5}{C _{8}^{2}} = \frac{15}{28}$

б) $M$ — наибольшее на двух кубиках

$P (M = 6) = \frac{1}{36}$ — только пара $(6; 6)$

$M = 6$ , если хотя бы на одном $6$

$\frac{36 - 25}{36} = \frac{11}{36}$

в) $X$ : $- 1; 0; 1$ ( $0, 3; 0, 3; 0, 4$ ); распределение $Y = ∣ X ∣$

$Y$ : $1; 0; 1$ с вероятностями $0, 3; 0, 3; 0, 4$

значение $1$ записано дважды

$Y$ : $0; 1$ — $0, 3; 0, 7$

R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Дискретные

кубик; $X = 1$ , если больше $4$ очков, иначе $0$ . $P (X = 1)$ $\frac{1}{3}$
3 монеты, $X$ — число решек. $P (X = 2)$ $\frac{3}{8}$
4 красных и 2 синих шара, берут 2; $X$ — число синих. $P (X = 0)$ $\frac{2}{5}$

Функции и промежутки

$X$ : $0; 1; 2$ ( $0, 5; 0, 3; 0, 2$ ), $Y = X - 1$ . $P (Y = 0)$ $0, 3$
точка на $[0; 20]$ . $P (5 \leq X \leq 9)$ $0, 2$
2 кубика, $S$ — сумма. $P (S \leq 3)$ $\frac{1}{12}$

R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $X$ : $- 2; - 1; 0; 1; 2$ — равновероятны. Распределение $Y = X^{2} - 1$ $- 1; 0; 3$ — $0, 2; 0, 4; 0, 4$
повыш.Два кубика, $D = X - Y$ . Найдите $P (D > 0)$ $\frac{5}{12}$
повыш.Стрелок, $p = 0, 6$ , стреляет до попадания, не более 4 раз. $P (X \geq 3)$ $0, 16$
исслед.В квадрате со стороной $2$ выбирают точку; $X$ — расстояние до ближайшей стороны. $P (X \geq 0, 5)$ $0, 25$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $x = \pm 2 \to 3$ , $x = \pm 1 \to 0$ , $x = 0 \to - 1$ : $P (Y = - 1) = 0, 2$ , $P (Y = 0) = 0, 4$ , $P (Y = 3) = 0, 4$ .
2) $P (D = 0) = 6/36$ ; по симметрии $P (D > 0) = P (D < 0) = \frac{30/36}{2} = \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ .
3) $X \geq 3$ ⇔ первые два выстрела — промахи: $0, 4^{2} = 0, 16$ (не нужно складывать $P (3) + P (4) = 0, 096 + 0, 064 = 0, 16$ — ответ тот же).
4) $X \geq 0, 5$ — точка во внутреннем квадрате со стороной $2 - 2 \cdot 0, 5 = 1$ : $\frac{1}{4} = 0, 25$ . Вывод для исследования: $P (X \geq t) = (1 - t)^{2}$ при $0 \leq t \leq 1$ — непрерывная величина на $[0; 1]$ , не равномерная.

R05.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Ответ округлите до сотых.

Ответ: $0, 14$

2. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пирожок окажется с вишней.

Ответ: $0, 25$

3. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Ответ: $0, 375$

R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

4 мальчика и 2 девочки, выбирают двоих; $X$ — число девочек. $P (X = 1)$ $\frac{8}{15}$
2 кубика, $S$ — сумма. $P (S = 5)$ $\frac{1}{9}$
$p = 0, 8$ , до успеха, не более 3 попыток. $P (X = 3)$ $0, 04$
точка на $[0; 10]$ . $P (2 \leq X \leq 5)$ $0, 3$

Вариант 2

3 мальчика и 3 девочки, выбирают двоих; $X$ — число девочек. $P (X = 1)$ $\frac{3}{5}$
2 кубика, $S$ — сумма. $P (S = 10)$ $\frac{1}{12}$
$p = 0, 7$ , до успеха, не более 3 попыток. $P (X = 3)$ $0, 09$
точка на $[0; 8]$ . $P (X \geq 6)$ $0, 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем дискретная величина отличается от непрерывной?
Как найти распределение $f (X)$ ?
Почему $P (T = 5) = 0$ ?

Домашнее задание

Из 7 деталей 2 бракованные, берут 3; распределение числа бракованных
$X$ — очки кубика; распределение $Y = (X - 3)^{2}$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-020 · Примеры случайных величин

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 3 ч · урок 2/3 · тип Н
Единицы → слайды	R05.2 «Примеры случайных величин» → 2, 4–23 · повторение R02–R04 и VIS9U-019 → 3, 6–9, 14
Результаты	ПР-4 (случайные величины в окружающем мире, распределения в изученных опытах) → 4–20, 22 · ПР-1 (сочетания для вероятностей) → 3, 8, 18, 19, 22 · ПР-2 (геометрическая вероятность) → 14, 15, 20, 22 · ПР-3 (до первого успеха, Бернулли) → 6, 7, 9, 20–22
Вне урока	случайная величина и распределение — VIS9U-019; геометрическое и биномиальное распределения — VIS9U-021; математическое ожидание и дисперсия — строка R06
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Примеры случайных величин

Сегодня вы научитесь

Распознавать величины

Строить распределения

Преобразовывать величины

Работать с промежутками

Сочетания, вероятности, распределение

Вычислите

Найдите вероятность

Значения можно перечислить — или нет

Какие значения и какой тип?

Образец: в классе 25 учеников, выбирают одного наугад

Сам: значения и тип

Опыт → величина → P(X=k)

Формула Бернулли для каждого k

Образец: 3 выстрела, попадание p=0,7; X — число попаданий

Сам: распределение

Выбор без возвращения

Образец: 6 исправных и 4 бракованных детали, берут 3; X — число бракованных

Сам

Последняя попытка — при любом исходе

Образец: стрелок, p=0,6, стреляет до попадания, но не более 3 раз; X — число выстрелов

Сам: распределение X

Y=f(X) — тоже случайная величина

Переносим и объединяем

Образец: найдите распределение Y=X2

Сам: распределение Y

Сумма, разность, максимум

Считаем клетки таблицы исходов

Образец: распределение M=max(X;Y)

Сам

Отдельное значение — вероятность 0

Длина промежутка и доли

Образец: автобус ходит каждые 12 мин; T — время ожидания, мин

Сам

Как получить распределение

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 5 исправных и 3 бракованных, берут 2; X — число бракованных

б) M — наибольшее на двух кубиках

в) X: −1; 0; 1 (0,3; 0,3; 0,4); распределение Y=∣X∣

Решите и проверьте

Дискретные

Функции и промежутки

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-020 · Примеры случайных величин

Опыт → величина → $P (X = k)$

Формула Бернулли для каждого $k$

Образец: 3 выстрела, попадание $p = 0, 7$ ; $X$ — число попаданий

Образец: 6 исправных и 4 бракованных детали, берут 3; $X$ — число бракованных

Образец: стрелок, $p = 0, 6$ , стреляет до попадания, но не более 3 раз; $X$ — число выстрелов

Сам: распределение $X$

$Y = f (X)$ — тоже случайная величина

Образец: найдите распределение $Y = X^{2}$

Сам: распределение $Y$

Образец: распределение $M = max (X; Y)$

Отдельное значение — вероятность $0$

Образец: автобус ходит каждые 12 мин; $T$ — время ожидания, мин

а) 5 исправных и 3 бракованных, берут 2; $X$ — число бракованных

б) $M$ — наибольшее на двух кубиках

в) $X$ : $- 1; 0; 1$ ( $0, 3; 0, 3; 0, 4$ ); распределение $Y = ∣ X ∣$