Случайная величина · урок 1 из 3 · новый материал

Случайная величина и распределение вероятностей

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9U-019

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (3 ч), урок 1/3, единица R05.1 «Случайная величина и распределение вероятностей». Тип урока — Н. Опора: классическая вероятность, сочетания (VIS9U-005, VIS9U-016), серии испытаний Бернулли (VIS9U-015).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (случайная величина) 3 · 5 (распределение) 3 · 7 (события вида $X \leq a$ ) 2 · 9 (функция от случайной величины) 2 · 13 (сводка) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6 — 2,5; 8 — 2; 10 — 2; 11 — 2,5; 12 — 2,5) · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 3,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать. Математическое ожидание сегодня не вводим — это R06 (VIS9U-022).

R05.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распознавать случайные величины

каждому исходу опыта — число (ПР-4)

Строить распределение

таблица «значение — вероятность», $\sum p_{i} = 1$ (ПР-4)

Находить $P (a \leq X \leq b)$

по таблице распределения (ПР-4)

Переходить к $Y = f (X)$

распределение функции от величины (ПР-1, ПР-4)

1 мин · теория
ПР-4: «Иметь представление о случайных величинах и распознавать случайные величины в явлениях окружающего мира, оперировать понятием «распределение вероятностей». Уметь строить распределения вероятностей значений случайных величин в изученных опытах». ПР-1 — комбинаторика при вычислении вероятностей.
Деятельность по ФРП (строка R05): осваивать понятия случайная величина, значение случайной величины, распределение вероятностей; обсуждать примеры дискретных и непрерывных случайных величин.

повторение: VIS9U-015, VIS9U-016

Разминка · устно

Исходы и вероятности

Монеты и кубики

Монету бросают $3$ раза. Сколько исходов? $8$
Там же: $P (ровно 2 орла)$ $\frac{3}{8}$
Кубик бросают $2$ раза: $P (сумма 7)$ $\frac{1}{6}$
$C_{4}^{2}$ $6$

Урна и правила

$4$ белых и $2$ чёрных; берут $3$ . Сколько наборов? $C_{6}^{3} = 20$
Там же: $P (все белые)$ $0, 2$
$P (A) = 0, 35$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 65$
Может ли вероятность равняться $1, 2$ ? нет, $0 \leq P \leq 1$

R05.1

Теория · случайная величина

Каждому исходу — число

Случайная величина $X$ — числовая величина, значение которой определяется исходом случайного опыта

Монету бросают $3$ раза; $X$ — число орлов: $X \in {0; 1; 2; 3}$

Дискретная — значения можно перечислить; непрерывная — заполняют промежуток (рост, вес, время)

Разные исходы могут давать одно значение

3 мин · теория
Строго: случайная величина — это функция, которая каждому элементарному исходу $ω$ ставит в соответствие число $X (ω)$ . На схеме 8 равновозможных исходов трёх бросков; $X (ООО) = 3$ , $X (ООР) = X (ОРО) = X (РОО) = 2$ и т. д.
Обозначения: случайные величины — заглавные буквы $X, Y, Z$ ; их значения — строчные $x_{1}, x_{2}, \dots$ . Запись ${X = 2}$ — событие «величина приняла значение 2»; оно состоит из трёх исходов.
Примеры дискретных: число очков на кубике, число бракованных деталей в партии, число бросков до первой шестёрки, численность населения города (целое). Непрерывных: рост и вес человека, время ожидания автобуса, стоимость товара часто считают почти непрерывной. Подробнее — VIS9U-020; сегодня — только дискретные.
Вопрос классу: какие значения принимает сумма очков на двух кубиках? ( $2, 3, \dots, 12$ — 11 значений при 36 исходах.)

R05.1

Теория · распределение вероятностей

Значение — вероятность

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

Распределение — все значения $x_{1}, \dots, x_{n}$ и их вероятности $p_{i} = P (X = x_{i})$

p_{i} \geq 0, p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

почему $1$ : события ${X = x_{i}}$ несовместны и вместе дают все исходы

3 мин · теория
Опыт сл. 4: $P (X = k)$ = (число исходов с $k$ орлами) / 8 = $\frac{C _{3}^{k}}{8}$ : $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}$ . Проверка: $\frac{1 + 3 + 3 + 1}{8} = 1$ .
Доказательство свойства: каждый исход даёт ровно одно значение $X$ , поэтому события ${X = x_{1}}, \dots, {X = x_{n}}$ попарно несовместны, а их объединение — всё пространство исходов $Ω$ . По правилу сложения $p_{1} + \dots + p_{n} = P (Ω) = 1$ .
Диаграмма распределения: над каждым значением — столбик высотой $p_{i}$ . Отличие от диаграммы частот: здесь вероятности (теория), там частоты (наблюдения); при многих опытах частоты приближаются к вероятностям (R07).
Обратное верно: любая таблица с $p_{i} \geq 0$ и суммой 1 задаёт распределение некоторой случайной величины.

R05.1

Образец → сам · распределение по опыту

Значения → вероятности → проверка

Образец: $4$ белых и $2$ чёрных шара; наугад берут $3$ . $X$ — число чёрных

$X \in {0; 1; 2}$ , $∣Ω∣ = C_{6}^{3} = 20$

$P (0) = \frac{C _{4}^{3}}{20}, P (1) = \frac{C _{2}^{1} C _{4}^{2}}{20}, P (2) = \frac{C _{2}^{2} C _{4}^{1}}{20}$

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$0, 2$	$0, 6$	$0, 2$

проверка: $0, 2 + 0, 6 + 0, 2 = 1$ ✓

Сам: составьте распределение

Монету бросают $4$ раза; $X$ — число орлов $\frac{1}{16}; \frac{4}{16}; \frac{6}{16}; \frac{4}{16}; \frac{1}{16}$
Кубик бросают до шестёрки, но не более $3$ раз; $X$ — число бросков $\frac{1}{6}; \frac{5}{36}; \frac{25}{36}$
Два стрелка ( $p = 0, 7$ и $0, 6$ ) стреляют по разу; $X$ — число попаданий $0, 12; 0, 46; 0, 42$

2,5 мин · практика
Образец: $C_{4}^{3} = 4$ , $C_{2}^{1} C_{4}^{2} = 2 \cdot 6 = 12$ , $C_{2}^{2} C_{4}^{1} = 4$ ; $\frac{4}{20}, \frac{12}{20}, \frac{4}{20}$ . Модель — выбор из двух групп (VIS9U-016); такое распределение называют гипергеометрическим (название не обязательно).
1) $P (X = k) = \frac{C _{4}^{k}}{16}$ : $\frac{1}{16}, \frac{1}{4}, \frac{3}{8}, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}$ — сумма $\frac{16}{16}$ . 2) $X = 1$ : шестёрка сразу, $\frac{1}{6}$ ; $X = 2$ : $\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$ ; $X = 3$ : первые два не шестёрки, а третий бросок делают в любом случае — $(\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}$ . Сумма $\frac{6 + 5 + 25}{36} = 1$ . Типичная ошибка — написать $P (3) = \frac{25}{216}$ (забыли, что после третьего броска опыт кончается).
3) Независимые выстрелы: $P (0) = 0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 12$ ; $P (1) = 0, 7 \cdot 0, 4 + 0, 3 \cdot 0, 6 = 0, 46$ ; $P (2) = 0, 7 \cdot 0, 6 = 0, 42$ . Сумма 1. Проверено python (fractions, itertools).

R05.1

Теория · события, заданные случайной величиной

Кубик бросают $2$ раза; $X$ — сумма очков

$P (X \in M)$ — сумма $p_{i}$ по всем значениям $x_{i}$ из $M$

$P (X \geq 10) = \frac{3 + 2 + 1}{36} = \frac{1}{6}$

$P (X \leq 4) = \frac{1 + 2 + 3}{36} = \frac{1}{6}$

P (X > a) = 1 - P (X \leq a)

R05.1

Образец → сам · обратная задача: неизвестная вероятность

Сумма вероятностей равна $1$

Образец: найдите $p$ и $P (0 \leq X < 3)$

$X$	$- 1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 1$	$0, 25$	$p$	$0, 2$	$2 p$

$0, 55 + 3 p = 1 \Rightarrow p = 0, 15$ сумма — $1$

$0 \leq X < 3$ : значения $0; 1; 2$ $3$ не входит

$0, 25 + 0, 15 + 0, 2$ = $0, 6$

Сам

$X$ : $1; 2; 3; 4$ , $P$ : $0, 2; 0, 4; 0, 1; ?$ Найдите $P (X > 2)$ $0, 4$
$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $a; 3 a; 4 a$ . Найдите $P (X \geq 1)$ $\frac{7}{8}$
$X$ принимает только $1; 2; 3$ ; $P (X \leq 2) = 0, 7$ , $P (X \geq 2) = 0, 5$ . $P (X = 2)$ $0, 2$

R05.1

Теория · функция от случайной величины

$Y = f (X)$ — тоже случайная величина

Значения $Y$ : $f (x_{i})$ ; совпавшие значения объединяют, их вероятности складывают

$Y$	$0$	$1$	$4$
$P$	$0, 4$	$0, 4$	$0, 2$

Y = a X + b, a \neq = 0

: вероятности те же, значения

a x_{i} + b

R05.1

Образец → сам · распределение функции от величины

Перечислить $f (x_{i})$ и склеить

Образец: $X$ — очки на кубике, $Y = ∣ X - 3∣$ . Распределение $Y$

$X$ : $1, 2, 3, 4, 5, 6 \mapsto Y$ : $2, 1, 0, 1, 2, 3$

$Y = 1$ : $X = 2$ или $4$ ; $Y = 2$ : $X = 1$ или $5$ склеиваем

$Y$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{6}$

Сам: $X$ — число орлов из $3$ (сл. 5)

$Y = 2 X - 3$ (за орла $+ 1$ , за решку $- 1$ ) $- 3; - 1; 1; 3$ с $\frac{1}{8}; \frac{3}{8}; \frac{3}{8}; \frac{1}{8}$
$Y = X (3 - X)$ $0$ : $\frac{1}{4}$ ; $2$ : $\frac{3}{4}$
$X$ : $- 1; 0; 1$ с $0, 3; 0, 4; 0, 3$ . $Y = X^{2}$ $0$ : $0, 4$ ; $1$ : $0, 6$

R05.1

Образец → сам · таблица исходов: наибольшее из двух

Кубик бросают $2$ раза; $X$ — наибольшее число

Образец

$X = 3$ : $5$ клеток из $36$ «уголок»

$X = k$ : $k^{2} - (k - 1)^{2} = 2 k - 1$

$P (X = k) = \frac{2 k - 1}{36}$

$1 + 3 + \dots + 11 = 36$ ✓

Сам

$P (X \leq 4)$ $\frac{4}{9}$
$Y$ — наименьшее. $P (Y = 1)$ $\frac{11}{36}$
$Z = ∣ a - b ∣$ — модуль разности. $P (Z = 0)$ и $P (Z = 1)$ $\frac{1}{6}$ и $\frac{5}{18}$

R05.1

Образец → сам · задача из жизни: лотерея и страхование

Выигрыш — случайная величина

Образец: $100$ билетов по $20$ ₽: $1$ приз $500$ ₽, $4$ по $100$ ₽, $15$ по $20$ ₽. $X$ — чистый выигрыш владельца одного билета

значения: $480; 80; 0; - 20$ приз минус цена

$X$	$480$	$80$	$0$	$- 20$
$P$	$0, 01$	$0, 04$	$0, 15$	$0, 8$

$P (X > 0) = 0, 05$ , $P (X \geq 0) = 0, 2$

Сам

Кубик: за «6» платят $50$ ₽, за «5» — $20$ ₽, иначе игрок платит $10$ ₽. Распределение выигрыша $50; 20; - 10$ с $\frac{1}{6}; \frac{1}{6}; \frac{2}{3}$
Там же: $P (игрок в плюсе)$ $\frac{1}{3}$
Полис стоит $2000$ ₽; с вероятностью $0, 01$ выплата $150000$ ₽. Доход компании с полиса $2000$ с $0, 99$ ; $- 148000$ с $0, 01$

R05.1

Теория · сводка правил

Как работать с распределением

Шаг	Как	Проверка
1. Значения $X$	перечислить все возможные числа	ни одно не пропущено
2. Вероятности	исходы, классика, сочетания, дерево, Бернулли	$p_{i} \geq 0$ , $\sum p_{i} = 1$
3. Событие $X \in M$	сложить $p_{i}$ по нужным значениям	строгий / нестрогий знак
4. $Y = f (X)$	$f (x_{i})$ , равные значения склеить	сумма снова $1$

R05.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
значения считают равновероятными	$2$ монеты: $P (X = 1) = \frac{1}{3}$	$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ (ОР и РО)
не проверили сумму	$P$ : $0, 2; 0, 5; 0, 4$ — распределение	сумма $1, 1 \neq = 1$ — нет
не склеили равные значения $Y$	$X = \pm 1$ по $0, 2$ : $P (Y = 1) = 0, 2$	$0, 2 + 0, 2 = 0, 4$

R05.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают $2$ раза; $X$ — сумма. $P (X = 4)$

$1 + 3$ и $2 + 2$ : $\frac{2}{36}$

забыт исход $(3; 1)$ — порядок важен

$\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

б) $X$ : $1; 2; 3$ с $P$ : $0, 2; 0, 5; 0, 3$ . $P (X \geq 2)$

$P (X \geq 2) = P (X = 2) = 0, 5$

« $\geq 2$ » — это $2$ или $3$

$0, 5 + 0, 3 = 0, 8$

в) $3$ белых и $2$ чёрных; берут $2$ по одному. $X$ — число белых. $P (X = 1)$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$

учтён лишь путь «БЧ», а есть и «ЧБ»

$2 \cdot \frac{3}{10} = \frac{3}{5}$

R05.1

Задания с самопроверкой · база

Распределение и события

Монеты и кубики

Монету бросают $2$ раза; $X$ — число решек. Распределение $\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}$
Кубик; $X = 1$ , если очков чётное число, иначе $0$ $\frac{1}{2}; \frac{1}{2}$
Два кубика; $X$ — сумма. $P (X = 7)$ $\frac{1}{6}$
Там же: $P (X \geq 11)$ $\frac{1}{12}$

$X$ : $0; 1; 2; 3$ , $P$ : $0, 3; 0, 4; ?; 0, 1$

Пропущенная вероятность $0, 2$
$P (X \geq 1)$ $0, 7$
$P (1 \leq X \leq 2)$ $0, 6$
$Y = X - 1$ . $P (Y = 0)$ $0, 4$

R05.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, исследуйте, найдите

доказ. $X$ — число орлов в $n$ бросках. Докажите: $P (X = k) = \frac{C _{n}^{k}}{2 ^{n}}$ и выведите $k = 0 \sum n C_{n}^{k} = 2^{n}$ сумма $P = 1$
повыш. $P (X = k) = c k$ , $k = 1, 2, 3, 4$ . Найдите $c$ и $P (X \geq 3)$ $c = 0, 1$ ; $0, 7$
исслед.Из чисел $1, \dots, 5$ наугад берут два разных; $X$ — большее. Распределение $\frac{k - 1}{10}$ , $k = 2, \dots, 5$
исслед. $3$ броска монеты: $X$ — число орлов, $Y$ — число решек. Распределения равны? А $X = Y$ ? да; никогда

3,5 мин · практика
1) Все $2^{n}$ последовательностей равновозможны; с $k$ орлами — столько, сколькими способами выбрать $k$ мест из $n$ : $C_{n}^{k}$ . События ${X = k}$ несовместны и исчерпывают все исходы — сумма вероятностей 1, умножаем на $2^{n}$ : $\sum C_{n}^{k} = 2^{n}$ (сумма строки треугольника Паскаля, VIS9U-006).
2) $c (1 + 2 + 3 + 4) = 1$ , $c = 0, 1$ ; $P (X \geq 3) = 0, 3 + 0, 4 = 0, 7$ .
3) Пар $C_{5}^{2} = 10$ ; большее равно $k$ , если меньшее — любое из $k - 1$ чисел: $0, 1; 0, 2; 0, 3; 0, 4$ для $k = 2, 3, 4, 5$ ; сумма 1.
4) $Y = 3 - X$ ; $P (Y = k) = P (X = 3 - k)$ — распределение то же ( $\frac{1}{8}, \frac{3}{8}, \frac{3}{8}, \frac{1}{8}$ ), но $X = Y$ означало бы $X = 1, 5$ — невозможно. Вывод: одинаковое распределение не значит «одна и та же величина». Проверено python.

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

$0, 375$

2. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что наибольшее из двух выпавших чисел меньше $4$ .

$0, 25$

3. Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

$0, 0625$

Мысленно: какая здесь случайная величина и какое её значение нужно?

R05.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Монету бросают $3$ раза; $X$ — число решек. $P (X = 2)$ $\frac{3}{8}$
$X$ : $0; 1; 2; 3$ , $P$ : $0, 1; 0, 3; ?; 0, 2$ . Найдите $?$ $0, 4$
Там же: $P (X \geq 2)$ $0, 6$
$3$ белых, $2$ чёрных; берут $2$ . Распределение числа чёрных $0, 3; 0, 6; 0, 1$

Вариант 2

Кубик бросают $2$ раза; $X$ — число шестёрок. $P (X = 1)$ $\frac{5}{18}$
$X$ : $1; 2; 3; 4$ , $P$ : $0, 2; ?; 0, 35; 0, 15$ . Найдите $?$ $0, 3$
Там же: $P (X < 3)$ $0, 5$
$4$ белых, $1$ чёрный; берут $2$ . Распределение числа белых $1$ : $0, 4$ ; $2$ : $0, 6$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое случайная величина?
Почему $\sum p_{i} = 1$ ?
Как найти распределение $Y = f (X)$ ?

Домашнее задание

Таблица распределения суммы очков на двух кубиках; проверьте $\sum p_{i} = 1$
$X$ — число орлов в $4$ бросках; распределение $Y = ∣ X - 2∣$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-019 · Случайная величина и распределение вероятностей

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 3 ч · урок 1/3 · тип Н
Единицы → слайды	R05.1 «Случайная величина и распределение вероятностей» → 2, 4–20 · повторение R04 (серии испытаний, случайный выбор) → 3, 6, 15
Результаты	ПР-4 (случайные величины, распределение вероятностей) → 2, 4–20 · ПР-1 (сочетания при вычислении вероятностей) → 3, 6, 17, 19
Вне урока	примеры дискретных и непрерывных величин — VIS9U-020; геометрическое и биномиальное распределения — VIS9U-021; математическое ожидание — VIS9U-022 (R06)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Случайная величина и распределение вероятностей

Сегодня вы научитесь

Распознавать случайные величины

Строить распределение

Находить P(a≤X≤b)

Переходить к Y=f(X)

Исходы и вероятности

Монеты и кубики

Урна и правила

Каждому исходу — число

Значение — вероятность

Значения → вероятности → проверка

Образец: 4 белых и 2 чёрных шара; наугад берут 3. X — число чёрных

Сам: составьте распределение

Кубик бросают 2 раза; X — сумма очков

Сумма вероятностей равна 1

Образец: найдите p и P(0≤X<3)

Сам

Y=f(X) — тоже случайная величина

Перечислить f(xi​) и склеить

Образец: X — очки на кубике, Y=∣X−3∣. Распределение Y

Сам: X — число орлов из 3 (сл. 5)

Кубик бросают 2 раза; X — наибольшее число

Образец

Сам

Выигрыш — случайная величина

Образец: 100 билетов по 20 ₽: 1 приз 500 ₽, 4 по 100 ₽, 15 по 20 ₽. X — чистый выигрыш владельца одного билета

Сам

Как работать с распределением

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают 2 раза; X — сумма. P(X=4)

б) X: 1;2;3 с P: 0,2;0,5;0,3. P(X≥2)

в) 3 белых и 2 чёрных; берут 2 по одному. X — число белых. P(X=1)

Распределение и события

Монеты и кубики

X: 0;1;2;3, P: 0,3;0,4;?;0,1

Докажите, исследуйте, найдите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-019 · Случайная величина и распределение вероятностей

Находить $P (a \leq X \leq b)$

Переходить к $Y = f (X)$

Образец: $4$ белых и $2$ чёрных шара; наугад берут $3$ . $X$ — число чёрных

Кубик бросают $2$ раза; $X$ — сумма очков

Сумма вероятностей равна $1$

Образец: найдите $p$ и $P (0 \leq X < 3)$

$Y = f (X)$ — тоже случайная величина

Перечислить $f (x_{i})$ и склеить

Образец: $X$ — очки на кубике, $Y = ∣ X - 3∣$ . Распределение $Y$

Сам: $X$ — число орлов из $3$ (сл. 5)

Кубик бросают $2$ раза; $X$ — наибольшее число

Образец: $100$ билетов по $20$ ₽: $1$ приз $500$ ₽, $4$ по $100$ ₽, $15$ по $20$ ₽. $X$ — чистый выигрыш владельца одного билета

а) Кубик бросают $2$ раза; $X$ — сумма. $P (X = 4)$

б) $X$ : $1; 2; 3$ с $P$ : $0, 2; 0, 5; 0, 3$ . $P (X \geq 2)$

в) $3$ белых и $2$ чёрных; берут $2$ по одному. $X$ — число белых. $P (X = 1)$

$X$ : $0; 1; 2; 3$ , $P$ : $0, 3; 0, 4; ?; 0, 1$