Испытания Бернулли · урок 6 из 6

Обобщение: модели испытаний и формула Бернулли

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9U-018

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 6/6 — итоговый, тип О; единицы R04.1–R04.6: испытания, успех и неудача, серия до первого успеха, серия Бернулли, вероятности событий в серии, случайный выбор из конечного множества. Опора: VIS9U-013…017; сегодня — выбор модели, система формул и смешанные задачи с обоснованием.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: какая модель) 3 · 6 (сводка: до первого успеха и k-й успех) 3 · 8 (сводка: распределение числа успехов и бином Ньютона) 3 · 19 (итоговая сводка) 2. Тип О — теория только сводками.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11) по 2,5 · исследование де Мере (сл. 12) 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задание 3 сл. 11 и задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R04.1 · R04.2 · R04.3 · R04.4 · R04.5 · R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать модель

до первого успеха, серия Бернулли или выбор без возвращения (ПР-1, ПР-3)

Серия до успеха

$q^{k - 1} p$ , $q^{n}$ и $k$ -й успех на $n$ -м испытании (ПР-3)

Распределение числа успехов

сумма $= 1$ по биному Ньютона, наиболее вероятное $k$ (ПР-1, ПР-3)

Обосновывать

обратные задачи на $p$ и $n$ , исследование, проверка ответа (ПР-3)

повторение: VIS9U-013…017

Разминка · устно

Сочетания, степени, вероятности

Посчитайте

$C_{6}^{2}$ $15$
$C_{7}^{0} + C_{7}^{7}$ $2$
$0, 4^{2} \cdot 0, 6$ $0, 096$
Сумма коэффициентов $(a + b)^{5}$ $32$

Испытания

$p = 0, 1$ : хотя бы один успех из $2$ $0, 19$
$p = 0, 25$ : две неудачи подряд $\frac{9}{16}$
Монета: первый орёл — при $3$ -м броске $\frac{1}{8}$
$4$ шара, $1$ белый; берут $2$ сразу. Белый среди них $\frac{1}{2}$

R04.1 · R04.3 · R04.4 · R04.6

Теория · сводка: какая модель?

Три модели темы — три формулы

3 мин · теория
Главный вопрос урока: прежде чем считать, определить модель. Три признака: задано ли число испытаний; независимы ли испытания; меняется ли $p$ от испытания к испытанию.
До первого успеха (VIS9U-014): номер первого успеха $X$ ; серия Н…НУ — произведение $q^{k - 1} p$ ; «больше $n$ попыток» — $n$ неудач подряд, $q^{n}$ . Серия Бернулли (VIS9U-015): число успехов из $n$ , формула Бернулли. Выбор без возвращения (VIS9U-016): после каждого вынутого шара состав меняется, $p$ не постоянна — формулу Бернулли применять нельзя.
Вопрос классу: шар вынимают и возвращают — какая модель? (Бернулли: состав не меняется, $p = M / N$ в каждом испытании.)

R04.3 · R04.5

Образец → сам · одна серия — три разных вопроса

Сначала модель, потом формула

Образец: кубик бросают $5$ раз. Найдите вероятности: A — «шестёрка» впервые при третьем броске; B — ровно одна «шестёрка», и она при третьем; C — ровно одна «шестёрка».

$P (A) = (\frac{5}{6})^{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$ броски 4–5 любые

$P (B) = (\frac{5}{6})^{4} \cdot \frac{1}{6} = \frac{625}{7776}$ один путь ННУНН

$P (C) = C_{5}^{1} \cdot \frac{625}{7776}$ = $\frac{3125}{7776}$ 5 путей

Сам: $p = 0, 3$ , $n = 4$

Первый успех — во $2$ -м испытании $0, 21$
Ровно один успех, и он во $2$ -м испытании $0, 1029$
Ровно один успех $0, 4116$

R04.3 · R04.5

Теория · сводка: до первого успеха и k-й успех

Второй успех — при $5$ -м испытании

первый успех на $k$ -м: $q^{k - 1} p$ ; $P (X > n) = q^{n}$

без памяти: $P (X > m + n ∣ X > m) = q^{n}$

$k$ -й успех при $n$ -м испытании:
$C_{n - 1}^{k - 1} p^{k} q^{n - k}$

При

k = 1

:

C_{n - 1}^{0} p q^{n - 1} = q^{n - 1} p

— первый успех.

3 мин · теория
Сводка VIS9U-014 и связь с формулой Бернулли. Событие «второй успех — при 5-м испытании» = «среди первых 4 ровно один успех» и «5-е — успех». Испытания независимы, поэтому перемножаем: $C_{4}^{1} p q^{3} \cdot p = 4 p^{2} q^{3}$ . При $p = 1/2$ : $4/32 = 1/8$ (проверено перебором 32 цепочек).
В общем виде: $k$ -й успех при $n$ -м испытании — среди первых $n - 1$ ровно $k - 1$ успехов (формула Бернулли) и $n$ -е — успех: $C_{n - 1}^{k - 1} p^{k - 1} q^{n - k} \cdot p$ . Частный случай $k = 1$ — уже известная формула $q^{n - 1} p$ .
Отсутствие памяти: если $m$ неудач уже было, дальше всё как сначала: $q^{m + n} / q^{m} = q^{n}$ . Типичная ошибка — ответ $q^{m + n}$ (к сл. 13).

R04.3 · R04.5

Образец → сам · k-й успех при n-м испытании

Последнее испытание — обязательно успех

Образец: баскетболист попадает с вероятностью $0, 6$ . Найдите вероятность того, что второе попадание будет при $4$ -м броске.

первые $3$ : ровно $1$ попадание $C_{3}^{1} \cdot 0, 6 \cdot 0, 4^{2}$

$4$ -й бросок — попадание множитель $0, 6$

$3 \cdot 0, 6^{2} \cdot 0, 4^{2}$ = $0, 1728$

Сам

Монета: третий орёл — при $5$ -м броске $\frac{3}{16}$
Матч до $2$ побед (не больше $3$ партий), партию команда выигрывает с вероятностью $0, 6$ . Она выиграет матч $0, 648$
Тот же матч: понадобится $3$ -я партия $0, 48$

2,5 мин · практика
Образец: $C_{3}^{1} p^{2} q^{2} = 3 \cdot 0, 36 \cdot 0, 16 = 0, 1728$ (проверено fractions: 108/625).
1) Среди первых 4 — ровно 2 орла, 5-й — орёл: $C_{4}^{2} / 2^{5} = 6/32 = 3/16 = 0, 1875$ . 2) Команда выигрывает матч, если её 2-я победа — во 2-й или в 3-й партии: $p^{2} + C_{2}^{1} p^{2} q = 0, 36 + 0, 288 = 0, 648$ . 3) Третья партия нужна, если после двух счёт 1 : 1: $2 pq = 2 \cdot 0, 6 \cdot 0, 4 = 0, 48$ .
Задача из жизни: так считают вероятности в сериях плей-офф. Вопрос: почему в 2) нельзя считать «ровно 2 победы из 3 партий»? (Третья партия после 2 : 0 не играется — надёжнее по номеру второй победы; ответ, впрочем, совпадает с «не менее 2 из 3»: $0, 432 + 0, 216 = 0, 648$ .)

R04.4 · R04.5

Теория · сводка: распределение числа успехов

$n = 5$ , $p = 0, 4$ : сколько успехов?

$P_{5} (k) = C_{5}^{k} \cdot 0, 4^{k} \cdot 0, 6^{5 - k}$

сумма по биному Ньютона:
$k = 0 \sum n C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} = (q + p)^{n} = 1$

наиболее вероятное $k_{0}$ :
$n p - q \leq k_{0} \leq n p + p$

$2 - 0, 6 \leq k_{0} \leq 2 + 0, 4$ $\Rightarrow$ $k_{0} = 2$

3 мин · теория
Значения (проверено math.comb): $P (0) = 0, 6^{5} = 0, 07776$ ; $P (1) = 5 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6^{4} = 0, 2592$ ; $P (2) = 10 \cdot 0, 16 \cdot 0, 216 = 0, 3456$ ; $P (3) = 10 \cdot 0, 064 \cdot 0, 36 = 0, 2304$ ; $P (4) = 5 \cdot 0, 0256 \cdot 0, 6 = 0, 0768$ ; $P (5) = 0, 01024$ . Сумма — ровно 1.
Доказательство суммы: слагаемые $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — это члены разложения $(q + p)^{n}$ по биному Ньютона (VIS9U-007/008), а $q + p = 1$ . Смысл: какое-то число успехов от 0 до $n$ наступит обязательно.
Наиболее вероятное число (исследование VIS9U-015): из отношения $P (k + 1) / P (k) = \frac{( n - k ) p}{( k + 1 ) q}$ — растёт, пока $k < n p - q$ . Если $n p - q$ — целое, наиболее вероятных чисел два: $n p - q$ и $n p + p$ .

R04.5

Образец → сам · «не менее», «не более» и наиболее вероятное число

Складываем столбики или вычитаем из $1$

Образец: $n = 5$ , $p = 0, 4$ (диаграмма). Найдите $P (не менее двух успехов)$ .

противоположное: $0$ или $1$ успех два столбика

$P (0) + P (1) = 0, 07776 + 0, 2592$

$1 - 0, 33696$ = $0, 66304$

Сам

Та же серия: не более $3$ успехов $0, 91296$
$n = 10$ , $p = 0, 3$ : наиболее вероятное число успехов $3$
$n = 11$ , $p = 0, 5$ : наиболее вероятное число успехов $5$ и $6$

R04.5

Образец → сам · обратная задача: найти p или n

Известна вероятность — найдите параметр

Образец: в серии из $3$ испытаний «ровно $2$ успеха» и « $3$ успеха» равновероятны, $0 < p < 1$ . Найдите $p$ .

$C_{3}^{2} p^{2} q = C_{3}^{3} p^{3}$ формула Бернулли

$3 q = p$ делим на $p^{2} \neq = 0$

$3 (1 - p) = p$ $\Rightarrow$ $p = 0, 75$

Сам

$P (хотя бы один успех из 4) = 0, 9984$ . Найдите $p$ $0, 8$
$n = 4$ : «ровно $1$ успех» и «ровно $2$ » равновероятны. Найдите $p$ $0, 4$
Монета: наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы два орла) \geq 0, 9$ $7$

R04.5 · R04.6

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Выбор с возвращением и без

Образец: в партии $20$ деталей, $4$ бракованные. Проверяют $3$ детали. $P (ровно одна бракованная)$ ?

без возвращения: $\frac{C _{4}^{1} C _{16}^{2}}{C _{20}^{3}} = \frac{480}{1140}$ = $\frac{8}{19}$

с возвращением: $C_{3}^{1} \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{2} = 0, 384$ Бернулли

$\frac{8}{19} \approx 0, 421 \neq = 0, 384$ модели разные

Сам

Та же партия, без возвращения: ни одной бракованной $\frac{28}{57}$
Большая партия, брак $10 %$ . Проверяют $5$ деталей; партию принимают, если бракованных не больше одной $0, 91854$
Партия $200$ деталей, $40$ бракованных; проверяют $3$ . Ровно одна бракованная (до тысячных) $0, 387$

2,5 мин · практика
Образец: $C_{16}^{2} = 120$ , $C_{20}^{3} = 1140$ ; $4 \cdot 120/1140 = 8/19 \approx 0, 421$ . С возвращением доля брака каждый раз $4/20 = 0, 2$ — серия Бернулли: $0, 384$ .
1) $C_{16}^{3} / C_{20}^{3} = 560/1140 = 28/57 \approx 0, 491$ (с возвращением было бы $0, 8^{3} = 0, 512$ ). 2) Партия большая — считаем по Бернулли: $0, 9^{5} + 5 \cdot 0, 1 \cdot 0, 9^{4} = 0, 59049 + 0, 32805 = 0, 91854$ . 3) $40 \cdot C_{160}^{2} / C_{200}^{3} = 40 \cdot 12720/1313400 \approx 0, 387$ — уже близко к $0, 384$ (проверено math.comb).
Вывод: при большой партии выбор без возвращения почти не отличается от серии Бернулли — так и оценивают брак на производстве. Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.

R04.5

Образец → сам · исследование: парадокс шевалье де Мере

Что вероятнее? Интуиция против расчёта

Образец (XVII век): что вероятнее — хотя бы одна «шестёрка» при $4$ бросках кубика или хотя бы одна пара «6–6» при $24$ бросках двух кубиков?

$1 - (\frac{5}{6})^{4} \approx 0, 518$ через противоположное

$1 - (\frac{35}{36})^{24} \approx 0, 491$ $p = \frac{1}{36}$

вероятнее первое хотя $4 : 6 = 24 : 36$

Сам

Сколько раз нужно бросить два кубика, чтобы $P (хотя бы одна «6-6») > 0, 5$ ? $25$
Задача Пеписа: что вероятнее — хотя бы одна «шестёрка» при $6$ бросках или хотя бы две при $12$ ? первое: $0, 665$ и $0, 619$

R04.3 · R04.5 · R04.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
монета: второй орёл при $4$ -м броске — забыли, что $4$ -й бросок обязан быть орлом	$C_{4}^{2} \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{8}$	$C_{3}^{1} \cdot \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$
$5$ шаров, $2$ белых, берут $2$ сразу; оба белые — выбор без возвращения считают по Бернулли	$0, 4^{2} = 0, 16$	$\frac{C _{2}^{2}}{C _{5}^{2}} = 0, 1$
монета $3$ раза, «хотя бы два орла» как $1 - P (0)$	$1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$	$1 - \frac{1}{8} - \frac{3}{8} = \frac{1}{2}$
монета до орла; уже $3$ решки — забыли про отсутствие памяти: $P (X > 5 ∣ X > 3)$	$(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$	$(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$

R04.5 · R04.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают $6$ раз. Не менее $5$ орлов

$\frac{C _{6}^{5}}{64} = \frac{6}{64}$

забыт случай « $6$ орлов»

$\frac{C _{6}^{5} + C _{6}^{6}}{64} = \frac{7}{64}$

б) $p = 0, 3$ . Третий успех — при $5$ -м испытании

$C_{5}^{3} \cdot 0, 3^{3} \cdot 0, 7^{2} = 0, 1323$

$5$ -е — успех: $C_{4}^{2}$ , а не $C_{5}^{3}$

$6 \cdot 0, 027 \cdot 0, 49 = 0, 07938$

в) $6$ деталей, $2$ бракованные; берут $2$ . Ровно одна бракованная

$2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$

выбор без возвращения

$\frac{C _{2}^{1} C _{4}^{1}}{C _{6}^{2}} = \frac{8}{15}$

R04.3 · R04.5 · R04.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Серия Бернулли

$p = 0, 2$ , $n = 4$ : ровно $2$ успеха $0, 1536$
Монета $5$ раз: не менее $4$ орлов $\frac{3}{16}$
$p = 0, 9$ , $n = 4$ : хотя бы одна неудача $0, 3439$
$n = 8$ , $p = 0, 25$ : наиболее вероятное число успехов $2$

До успеха и выбор

$p = 0, 4$ : $P (X > 3)$ $0, 216$
Монета: второй орёл — при $3$ -м броске $\frac{1}{4}$
$6$ шаров, $2$ белых; берут $2$ сразу. Оба чёрные $\frac{2}{5}$

R04.3 · R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте, докажите, исследуйте

доказ.Докажите: $P (чётное число успехов из n) = \frac{1 + ( q - p ) ^{n}}{2}$ . Найдите её при $n = 3$ , $p = 0, 3$ $0, 532$
повыш.Двое по очереди стреляют до первого попадания: первый попадает с вероятностью $0, 4$ , второй — $0, 5$ ; начинает первый. $P (победит первый)$ $\frac{4}{7}$
исслед.Монету бросают $10$ раз. Во сколько раз «ровно $5$ орлов» вероятнее, чем «ровно $4$ »? в $1, 2$ раза
из жизниТест: $10$ вопросов по $4$ варианта, ответы наугад; зачёт — от $7$ верных. $P (зачёт)$ (до тысячных) $0, 004$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $(q + p)^{n} = \sum C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} = 1$ , $(q - p)^{n} = \sum (- 1)^{k} C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ ; сумма двух равенств — удвоенная сумма слагаемых с чётным $k$ . При $n = 3$ , $p = 0, 3$ : $(1 + 0, 4^{3}) /2 = 0, 532$ ; проверка: $P (0) + P (2) = 0, 343 + 0, 189 = 0, 532$ .
2) Первый побеждает в 1-м, 3-м, 5-м… выстреле: $0, 4 (1 + 0, 3 + 0, 3^{2} + \dots) = \frac{0 , 4}{1 - 0 , 6 \cdot 0 , 5} = \frac{0 , 4}{0 , 7} = \frac{4}{7}$ . 3) $C_{10}^{5} : C_{10}^{4} = 252 : 210 = 1, 2$ (множители $2^{- 10}$ сокращаются).
4) $\sum_{k = 7}^{10} C_{10}^{k} (1/4)^{k} (3/4)^{10 - k} = (120 \cdot 27 + 45 \cdot 9 + 10 \cdot 3 + 1) / 4^{10} = 3676/1048576 \approx 0, 0035 \approx 0, 004$ — угадать зачёт практически невозможно.

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза.

$0, 25$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 9$ . Он стреляет $4$ раза. Найдите вероятность того, что первые $2$ раза он попал, а последние $2$ промахнулся.

$0, 0081$

3. Стрелок стреляет по мишени $3$ раза, вероятность попадания при каждом выстреле $0, 7$ . Найдите вероятность того, что он попадёт не менее двух раз.

$0, 784$

В бланк — число без единиц:

0, 0081

записывают как 0,0081.

R04.3 · R04.5 · R04.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$p = 0, 6$ , $n = 3$ : ровно $1$ успех $0, 288$
Монета: второй орёл — при $4$ -м броске $\frac{3}{16}$
$5$ шаров, $3$ белых; берут $2$ сразу. Оба белые $0, 3$
$n = 6$ , $p = 0, 4$ : наиболее вероятное число успехов $2$

Вариант 2

$p = 0, 4$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 288$
Монета: второй орёл — при $5$ -м броске $\frac{1}{8}$
$6$ шаров, $4$ белых; берут $2$ сразу. Оба белые $0, 4$
$n = 9$ , $p = 0, 3$ : наиболее вероятное число успехов $2$ и $3$

R04.1–R04.6

Теория · итоговая сводка правил

Испытания Бернулли на одном слайде

До первого успеха

впервые на $k$ -м: $q^{k - 1} p$
больше $n$ попыток: $q^{n}$
без памяти: $q^{n}$ после $m$ неудач
$k$ -й успех на $n$ -м:
$C_{n - 1}^{k - 1} p^{k} q^{n - k}$

Серия из $n$

ровно $k$ : $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
«хотя бы один»: $1 - q^{n}$
сумма всех $P (k)$ :
$(q + p)^{n} = 1$
$n p - q \leq k_{0} \leq n p + p$

Без возвращения

$p$ меняется — не Бернулли
$\frac{C _{M}^{m} C _{N - M}^{k - m}}{C _{N}^{k}}$
большая партия $\approx$ Бернулли с $p = \frac{M}{N}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

По каким признакам выбрать модель?
Почему сумма $P_{n} (k)$ равна $1$ ?
Чем « $k$ -й успех на $n$ -м» отличается от « $k$ успехов из $n$ »?
Когда выбор без возвращения можно считать по Бернулли?

Домашнее задание

$p = 0, 7$ , $n = 4$ : не менее $3$ успехов
Монета: третий орёл — при $6$ -м броске
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-018 · Обобщение по теме «Испытания Бернулли»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 6/6 · тип О
Единицы → слайды	R04.1 «Испытания», R04.2 «Успех и неудача» → 3–5, 19 · R04.3 «Серия испытаний до первого успеха» → 4–7, 13–16, 18 · R04.4 «Серия испытаний Бернулли» → 4, 8 · R04.5 «Вероятности событий в серии испытаний Бернулли» → 5, 7–18 · R04.6 «Случайный выбор из конечного множества» → 4, 11, 13–15, 18
Результаты	ПР-3 (испытания до первого успеха, серии Бернулли) → 3–18 · ПР-1 (число сочетаний, бином Ньютона, в том числе для вычисления вероятностей) → 3, 8, 11, 16
Вне урока	случайная величина и распределение — VIS9U-019; геометрическое и биномиальное распределения, $E$ и $D$ — строки R05–R06
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: модели испытаний и формула Бернулли

Сегодня вы научитесь

Выбирать модель

Серия до успеха

Распределение числа успехов

Обосновывать

Сочетания, степени, вероятности

Посчитайте

Испытания

Три модели темы — три формулы

Сначала модель, потом формула

Образец: кубик бросают 5 раз. Найдите вероятности: A — «шестёрка» впервые при третьем броске; B — ровно одна «шестёрка», и она при третьем; C — ровно одна «шестёрка».

Сам: p=0,3, n=4

Второй успех — при 5-м испытании

Последнее испытание — обязательно успех

Образец: баскетболист попадает с вероятностью 0,6. Найдите вероятность того, что второе попадание будет при 4-м броске.

Сам

n=5, p=0,4: сколько успехов?

Складываем столбики или вычитаем из 1

Образец: n=5, p=0,4 (диаграмма). Найдите P(не менее двух успехов).

Сам

Известна вероятность — найдите параметр

Образец: в серии из 3 испытаний «ровно 2 успеха» и «3 успеха» равновероятны, 0<p<1. Найдите p.

Сам

Выбор с возвращением и без

Образец: в партии 20 деталей, 4 бракованные. Проверяют 3 детали. P(ровно одна бракованная)?

Сам

Что вероятнее? Интуиция против расчёта

Образец (XVII век): что вероятнее — хотя бы одна «шестёрка» при 4 бросках кубика или хотя бы одна пара «6–6» при 24 бросках двух кубиков?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают 6 раз. Не менее 5 орлов

б) p=0,3. Третий успех — при 5-м испытании

в) 6 деталей, 2 бракованные; берут 2. Ровно одна бракованная

Решите и проверьте

Серия Бернулли

До успеха и выбор

Подумайте, докажите, исследуйте

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Испытания Бернулли на одном слайде

До первого успеха

Серия из n

Без возвращения

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-018 · Обобщение по теме «Испытания Бернулли»

Образец: кубик бросают $5$ раз. Найдите вероятности: A — «шестёрка» впервые при третьем броске; B — ровно одна «шестёрка», и она при третьем; C — ровно одна «шестёрка».

Сам: $p = 0, 3$ , $n = 4$

Второй успех — при $5$ -м испытании

Образец: баскетболист попадает с вероятностью $0, 6$ . Найдите вероятность того, что второе попадание будет при $4$ -м броске.

$n = 5$ , $p = 0, 4$ : сколько успехов?

Складываем столбики или вычитаем из $1$

Образец: $n = 5$ , $p = 0, 4$ (диаграмма). Найдите $P (не менее двух успехов)$ .

Образец: в серии из $3$ испытаний «ровно $2$ успеха» и « $3$ успеха» равновероятны, $0 < p < 1$ . Найдите $p$ .

Образец: в партии $20$ деталей, $4$ бракованные. Проверяют $3$ детали. $P (ровно одна бракованная)$ ?

Образец (XVII век): что вероятнее — хотя бы одна «шестёрка» при $4$ бросках кубика или хотя бы одна пара «6–6» при $24$ бросках двух кубиков?

а) Монету бросают $6$ раз. Не менее $5$ орлов

б) $p = 0, 3$ . Третий успех — при $5$ -м испытании

в) $6$ деталей, $2$ бракованные; берут $2$ . Ровно одна бракованная

Серия из $n$