Испытания Бернулли · урок 5 из 6 · практикум

Практикум: испытания

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9U-017

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 5/6, единицы R04.1 «Испытания», R04.2 «Успех и неудача». Тип урока — П (практикум): теория — короткие сводки, основное время — решение задач с обоснованием. Опора — VIS9U-013 … VIS9U-016.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: испытание, успех, неудача) 3,5 · 7 (сводка формул для серии) 3,5 · 11 (пример учителя: разные вероятности) 2,5 · 13 (план решения) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 10, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — дерево двух испытаний; выделены цепочки УН и НУ («ровно один успех»), их вероятность $2 pq$ .
Отличие от VIS9U-013: там понятия вводились; здесь — моделирование (что назвать испытанием и успехом), обратные задачи, ограниченные серии, испытания с разными $p$ .

R04.1 · R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Модель

сводить опыт к испытанию: выбирать успех, находить $p$ и $q$ (ПР-3)

Обратные задачи

находить $p$ по вероятности события в серии (ПР-3)

Серии

считать первый и второй успех, «не меньше $k$ » успехов с обоснованием (ПР-1, ПР-3)

Разные $p$

решать задачи об испытаниях с разными вероятностями и о надёжности (ПР-3)

повторение: VIS9U-013 … VIS9U-016

Разминка · устно

Дополнение, степени, сочетания

Вычислите

$1 - 0, 15$ $0, 85$
$0, 2^{2} \cdot 0, 8$ $0, 032$
$1 - 0, 9^{2}$ $0, 19$
$0, 5^{6}$ $\frac{1}{64}$

Найдите

$C_{5}^{3}$ $10$
$C_{6}^{2}$ $15$
$\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}$ $\frac{25}{216}$
$p + q = 1$ , $p = 3 q$ : $p$ $0, 75$

R04.1 · R04.2

Теория · сводка: испытание, успех и неудача

Любой опыт можно свести к испытанию

Испытание — опыт, где важно одно: наступило событие $A$ (успех) или нет (неудача).

p + q = 1

Серия Бернулли: испытания независимы, и

p

в каждом одно и то же.

Если

p

меняется от испытания к испытанию — дерево, а не

C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

.

3,5 мин · теория
Сводка VIS9U-013: испытание — опыт с двумя элементарными событиями: успех (событие $A$ , вероятность $p$ ) и неудача ( $\overline{A}$ , вероятность $q = 1 - p$ ). Сложный опыт (две кости, выбор точки, выбор пары карточек) становится испытанием, как только выбрано событие-успех.
Серия испытаний Бернулли (VIS9U-015): испытания независимы и одинаковы. Если вероятности на шагах разные (два разных стрелка) — это тоже испытания, но вероятность ровно $k$ успехов считают по дереву (слайд 11).
Вопрос классу: выбор двух шаров без возвращения — это серия Бернулли? (Нет: после первого шара состав урны меняется, испытания зависимы — VIS9U-016.)

R04.1 · R04.2

Образец → сам · свести опыт к испытанию

Назовите успех и найдите $p$ и $q$

Образец: бросают две кости. Успех — произведение очков чётно

неудача: оба числа нечётные нет чётного множителя

$q = \frac{3}{6} \cdot \frac{3}{6} = \frac{1}{4}$ кости независимы

$p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ через дополнение

проверка перебором: $\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$ $36 - 9 = 27$ исходов

Сам: найдите $p$ и $q$

Монету бросают $3$ раза; успех — орлов больше, чем решек $0, 5$ ; $0, 5$
Точка на отрезке $[0; 12]$ ; успех — она ближе к $0$ , чем к $9$ $0, 375$ ; $0, 625$
Из карточек $1, 2, \dots, 7$ берут две; успех — сумма чётна $\frac{3}{7}$ ; $\frac{4}{7}$
обратнаяВ урне $20$ шаров, успех — белый, $p - q = 0, 4$ . Сколько белых? $14$

2,5 мин · практика
Образец: произведение нечётно только при двух нечётных числах: $9$ исходов из $36$ , $q = \frac{1}{4}$ , $p = \frac{3}{4}$ .
1) Орлов 2 или 3: $\frac{3 + 1}{8} = 0, 5$ (симметрия: «больше орлов» и «больше решек» равновероятны, ничьей нет). 2) Ближе к 0, чем к 9: $x < 4, 5$ ; $p = \frac{4 , 5}{12} = 0, 375$ , $q = 0, 625$ . 3) Пар $C_{7}^{2} = 21$ ; сумма чётна — обе чётные $C_{3}^{2} = 3$ или обе нечётные $C_{4}^{2} = 6$ ; $p = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$ , $q = \frac{4}{7}$ . 4) $p + q = 1$ , $p - q = 0, 4$ ⇒ $p = 0, 7$ ; белых $0, 7 \cdot 20 = 14$ .
Важно: в задачах 2–3 опыт сам по себе не «двухисходный» — испытанием его делает выбор события-успеха.

R04.2

Образец → сам · обратная задача: p из условия на серию

Сначала найти $p$ , потом — то, что спрашивают

Образец: серия из $3$ испытаний, $P (ни одного успеха) = 0, 064$ . Найдите $P (ровно два успеха)$

$q^{3} = 0, 064$ ⇒ $q = 0, 4$ одна цепочка ННН

$p = 1 - 0, 4 = 0, 6$

$P = C_{3}^{2} p^{2} q = 3 \cdot 0, 36 \cdot 0, 4$ формула Бернулли

$P =$ $0, 432$

Сам: найдите $p$ (испытания одинаковы)

$P (хотя бы один успех из 2) = 0, 91$ $0, 7$
$P (первый успех — во 2- м) = 0, 21$ , $p > q$ $0, 7$
$P (3 успеха из 3) = 0, 343$ . Найдите и $P (хотя бы одна неудача)$ $0, 7$ ; $0, 657$
повыш.В трёх испытаниях «ровно один успех» и «ровно два успеха» равновероятны $0, 5$

R04.3 · R04.5 (повторение)

Теория · сводка: события в серии из n испытаний

Формулы — следствия дерева

Событие	Вероятность	Пример: $p = 0, 4$ , $n = 3$
одна цепочка с $k$ У и $n - k$ Н	$p^{k} q^{n - k}$	УНУ: $0, 096$
ни одного успеха = понадобится больше $n$ попыток	$q^{n}$	$0, 216$
хотя бы один успех	$1 - q^{n}$	$0, 784$
первый успех — в $k$ -м испытании	$q^{k - 1} p$	$k = 2$ : $0, 24$
ровно $k$ успехов	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	$k = 2$ : $0, 288$

R04.3

Образец → сам · до первого успеха, но не больше n попыток

Курьер звонит в домофон не больше $3$ раз

Образец: дверь открывают с $p = 0, 7$ при каждом звонке. $P (курьер позвонит ровно 3 раза)$

3-й звонок будет, если первые два — неудачи исход 3-го не важен

$P = 0, 3 \cdot 0, 3 =$ $0, 09$ $= 0, 063 + 0, 027$

Сам

Тот же курьер: дверь так и не откроют $0, 027$
Дверь откроют, но не с первого звонка $0, 273$
Кубик бросают до шестёрки, но не больше $4$ раз. $P (бросков ровно 4)$ $\frac{125}{216}$
обратнаяСтреляют до попадания; $P (нужно больше 2 выстрелов) = 0, 36$ . Найдите $p$ $0, 4$

R04.5

Образец → сам · «не меньше k» успехов

Тест наугад: $4$ вопроса, по $4$ варианта

Образец: зачёт — не меньше $3$ верных ответов. $P (зачёт)$

$n = 4$ , $p = \frac{1}{4}$ , $q = \frac{3}{4}$ успех — верный ответ

«не меньше 3» = «ровно 3» или «ровно 4» несовместны

$C_{4}^{3} (\frac{1}{4})^{3} \frac{3}{4} = \frac{12}{256}$ , $(\frac{1}{4})^{4} = \frac{1}{256}$

$P = \frac{13}{256} \approx$ $0, 05$ угадать почти нельзя

Сам

$p = 0, 9$ , $n = 4$ : ровно $3$ успеха $0, 2916$
Монету бросают $6$ раз: не меньше $5$ орлов $\frac{7}{64}$
$p = 0, 5$ , $n = 5$ : не больше $1$ успеха $\frac{3}{16}$

R04.3 · R04.5

Образец → сам · исследование: второй успех на k-м испытании

Монету бросают, пока не выпадут два орла

Образец: $P (второй орёл — при 4- м броске)$

среди первых $3$ бросков ровно один О: $C_{3}^{1} \cdot 0, 5^{3}$

4-й бросок — О: $\times 0, 5$ независимость

$P = \frac{3}{16}$ ; в общем виде $(k - 1) p^{2} q^{k - 2}$

Сам

$p = 0, 6$ : второй успех — в $3$ -м испытании $0, 288$
Монета: второй орёл — при $5$ -м броске $0, 125$
исследуйтеМонета: при каком $k$ вероятность «второй орёл — при $k$ -м броске» наибольшая? $k = 2$ и $k = 3$

R04.1 · R04.2

Теория · пример учителя · испытания с разными вероятностями

Стрелки А и Б стреляют по одному разу

А попадает с $p_{1} = 0, 8$ , Б — с $p_{2} = 0, 6$ . Это два испытания, но не серия Бернулли.

Ровно одно попадание:

0, 32 + 0, 12 = 0, 44

Хотя бы одно:

1 - 0, 2 \cdot 0, 4 = 0, 92

2,5 мин · теория (учитель решает у доски)
Каждый выстрел — испытание со своим $p$ . Испытания независимы, поэтому вероятность цепочки — произведение: УН $= 0, 8 \cdot 0, 4 = 0, 32$ , НУ $= 0, 2 \cdot 0, 6 = 0, 12$ , УУ $= 0, 48$ , НН $= 0, 08$ ; сумма $1$ .
Ровно одно попадание — две цепочки: $0, 44$ . Формула Бернулли с «средним» $p = 0, 7$ дала бы $2 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 42$ — неверно. Хотя бы одно попадание — через дополнение НН: $1 - 0, 08 = 0, 92$ .
Вопрос: что общего у этой задачи и надёжности прибора из нескольких блоков? (Каждый блок — испытание «работает / отказал» со своим $p$ .)

R04.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: надёжность схемы

Блоки работают независимо

Образец: $A$ и $B$ дублируют друг друга, $C$ — последовательно. $P (схема работает)$

$A$ или $B$ : $1 - 0, 1 \cdot 0, 1 = 0, 99$ отказ — оба

и $C$ : $P = 0, 99 \cdot 0, 95 =$ $0, 9405$ умножение

Сам

Цепочка из двух блоков по $0, 9$ , параллельно ей блок $0, 8$ $0, 962$
Три параллельных блока по $0, 7$ $0, 973$
обратнаяСколько параллельных блоков по $0, 6$ нужно для надёжности не меньше $0, 99$ ? $6$

R04.1 · R04.2

Теория · сводка: план решения

Четыре вопроса к любой задаче

1. Что испытание?

Что назвать успехом и чему равно $p$

2. Какая серия?

одинаковые $p$ → Бернулли; разные → дерево

3. Какие цепочки?

Выписать или сосчитать: $C_{n}^{k}$ , последний успех

4. Проще дополнение?

«хотя бы один» → $1 - q^{n}$ ; ответ в $[0; 1]$

R04.1 · R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
разные $p$ ( $0, 8$ и $0, 6$ ) — по формуле Бернулли: ровно одно попадание	$2 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 42$	$0, 32 + 0, 12 = 0, 44$
«понадобится ровно $3$ попытки» из $3$ возможных ( $p = 0, 7$ )	$0, 3^{2} \cdot 0, 7 = 0, 063$	$0, 3^{2} = 0, 09$
«не меньше $3$ из $4$ » — посчитали только «ровно $3$ »	$\frac{12}{256}$	$\frac{12 + 1}{256} = \frac{13}{256}$
брак $3 %$ : все $5$ деталей исправны — перепутали успех	$0, 0 3^{5}$	$0, 9 7^{5} \approx 0, 86$

R04.1 · R04.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $p = 0, 3$ , $4$ испытания. $P (хотя бы два успеха)$ ?

$P = 1 - 0, 7^{4} = 0, 7599$

вычли только «ни одного»; нужно вычесть и «ровно один»

$1 - 0, 2401 - 0, 4116 = 0, 3483$

б) Монету бросают до второго орла. Вероятность, что он выпадет при 3-м броске?

$P = 0, 5 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 125$ (ОРО)

забыта цепочка РОО

$P = 2 \cdot 0, 125 = 0, 25$

в) Стрелки ( $0, 7$ и $0, 5$ ) по разу. $P (хотя бы одно попадание)$ ?

$P = 0, 7 + 0, 5 = 1, 2$

события совместны; $1, 2 > 1$ — сигнал ошибки

$P = 1 - 0, 3 \cdot 0, 5 = 0, 85$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Испытание и цепочки

Кубик; успех — число, кратное $3$ . Найдите $q$ $\frac{2}{3}$
$p = 0, 8$ : вероятность цепочки УНН $0, 032$
$p = 0, 25$ : первый успех — в $3$ -м испытании $\frac{9}{64}$
Стрелки ( $0, 9$ и $0, 7$ ) по разу: оба промахнулись $0, 03$

Серии

$p = 0, 6$ , $n = 4$ : ни одного успеха $0, 0256$
$p = 0, 1$ , $n = 4$ : хотя бы один успех $0, 3439$
$p = 0, 3$ , $n = 4$ : ровно $2$ успеха $0, 2646$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, исследуйте, найдите

докажиИспытание повторяют до первого успеха. Докажите: $P (первый успех — в нечётном испытании) = \frac{1}{1 + q}$ $p (1 + q^{2} + q^{4} + \dots)$
повыш. $p = 0, 2$ . При каком $n$ события «ни одного успеха» и «ровно один успех» в серии из $n$ испытаний равновероятны? $n = 4$
калькуляторЗадача де Мере: сколько раз нужно бросить две кости, чтобы $P (хотя бы раз две шестёрки) > 0, 5$ ? $25$
из жизниФутболист бьёт пенальти, пока не промахнётся; забивает с $p = 0, 8$ . $P (забьёт ровно 3)$ $0, 1024$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задание 3 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Первый успех в испытании $2 m + 1$ : $q^{2 m} p$ . Сумма бесконечной геометрической прогрессии (VIS9U-014): $p \cdot \frac{1}{1 - q ^{2}} = \frac{p}{( 1 - q ) ( 1 + q )} = \frac{1}{1 + q}$ , так как $1 - q = p$ . При монете: $\frac{2}{3}$ — тот, кто бросает первым, выигрывает вдвое чаще.
2) $q^{n} = n p q^{n - 1}$ ⇒ $q = n p$ ⇒ $0, 8 = 0, 2 n$ , $n = 4$ . Проверка: $0, 8^{4} = 0, 4096$ и $4 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8^{3} = 0, 4096$ ✓.
3) $p = \frac{1}{36}$ ; нужно $(\frac{35}{36})^{n} < 0, 5$ : $n = 24$ — $0, 5086$ (мало), $n = 25$ — $0, 4945$ . Ответ $25$ (исторический спор шевалье де Мере с Паскалем, 1654 г.).
4) Цепочка УУУН: $0, 8^{3} \cdot 0, 2 = 0, 1024$ — «успехом» здесь удобно считать промах: первый промах на 4-м ударе.

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Вероятность того, что новая батарейка бракованная, равна $0, 06$ . Покупатель выбирает две батарейки. Найдите вероятность того, что обе исправны.

Ответ: $0, 8836$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 9$ . Он стреляет $4$ раза. Найдите вероятность того, что первые три раза он попал, а последний — промахнулся.

Ответ: $0, 0729$

3. Вероятность того, что ручка пишет плохо, равна $0, 1$ . Ручки проверяют по одной, пока не найдут хорошую. Найдите вероятность того, что хорошей окажется третья ручка.

Ответ: $0, 009$

R04.1 · R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Кубик; успех — не меньше $5$ очков. Найдите $q$ $\frac{2}{3}$
$p = 0, 9$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 243$
Стрелок ( $p = 0, 8$ ) стреляет до попадания, не больше $3$ раз: сделает ровно $3$ выстрела $0, 04$
Блоки $0, 9$ и $0, 8$ параллельно: надёжность $0, 98$

Вариант 2

Кубик; успех — простое число очков. Найдите $q$ $\frac{1}{2}$
$p = 0, 2$ , $n = 3$ : ровно $1$ успех $0, 384$
Монету бросают до орла, не больше $4$ раз: бросков будет ровно $4$ $0, 125$
Блоки $0, 9$ и $0, 8$ последовательно: надёжность $0, 72$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как сделать испытанием опыт с многими исходами?
Когда нельзя применять формулу Бернулли?
Почему при «не больше $n$ попыток» исход последней не важен?

Домашнее задание

$p = 0, 4$ , $n = 4$ : не меньше $3$ успехов
Стрелки ( $0, 9$ ; $0, 8$ ; $0, 7$ ) по разу: ровно $2$ попадания
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-017 · Практикум: испытания

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 5/6 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.1 «Испытания» → 2, 4, 5, 11, 13–19 · R04.2 «Успех и неудача» → 4–6, 11–19 · повторение R04.3 (первый успех) → 7, 8, 10 · R04.5 (формула Бернулли) → 6, 7, 9, 10
Результаты	ПР-3 (испытания до первого успеха, серии Бернулли) → 4–19 · ПР-1 (число цепочек $C_{n}^{k}$ ) → 6, 7, 9, 10
Вне урока	обобщение по R04 — VIS9U-018; геометрическое и биномиальное распределения, их $E$ и $D$ — строки R05, R06
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: испытания

Сегодня вы научитесь

Модель

Обратные задачи

Серии

Разные p

Дополнение, степени, сочетания

Вычислите

Найдите

Любой опыт можно свести к испытанию

Назовите успех и найдите p и q

Образец: бросают две кости. Успех — произведение очков чётно

Сам: найдите p и q

Сначала найти p, потом — то, что спрашивают

Образец: серия из 3 испытаний, P(ни одного успеха)=0,064. Найдите P(ровно два успеха)

Сам: найдите p (испытания одинаковы)

Формулы — следствия дерева

Курьер звонит в домофон не больше 3 раз

Образец: дверь открывают с p=0,7 при каждом звонке. P(курьер позвонит ровно 3 раза)

Сам

Тест наугад: 4 вопроса, по 4 варианта

Образец: зачёт — не меньше 3 верных ответов. P(зачёт)

Сам

Монету бросают, пока не выпадут два орла

Образец: P(второй орёл — при 4-м броске)

Сам

Стрелки А и Б стреляют по одному разу

Блоки работают независимо

Образец: A и B дублируют друг друга, C — последовательно. P(схема работает)

Сам

Четыре вопроса к любой задаче

1. Что испытание?

2. Какая серия?

3. Какие цепочки?

4. Проще дополнение?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) p=0,3, 4 испытания. P(хотя бы два успеха)?

б) Монету бросают до второго орла. Вероятность, что он выпадет при 3-м броске?

в) Стрелки (0,7 и 0,5) по разу. P(хотя бы одно попадание)?

Решите и проверьте

Испытание и цепочки

Серии

Докажите, исследуйте, найдите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-017 · Практикум: испытания

Разные $p$

Назовите успех и найдите $p$ и $q$

Сам: найдите $p$ и $q$

Сначала найти $p$ , потом — то, что спрашивают

Образец: серия из $3$ испытаний, $P (ни одного успеха) = 0, 064$ . Найдите $P (ровно два успеха)$

Сам: найдите $p$ (испытания одинаковы)

Курьер звонит в домофон не больше $3$ раз

Образец: дверь открывают с $p = 0, 7$ при каждом звонке. $P (курьер позвонит ровно 3 раза)$

Тест наугад: $4$ вопроса, по $4$ варианта

Образец: зачёт — не меньше $3$ верных ответов. $P (зачёт)$

Образец: $P (второй орёл — при 4- м броске)$

Образец: $A$ и $B$ дублируют друг друга, $C$ — последовательно. $P (схема работает)$

а) $p = 0, 3$ , $4$ испытания. $P (хотя бы два успеха)$ ?

в) Стрелки ( $0, 7$ и $0, 5$ ) по разу. $P (хотя бы одно попадание)$ ?