Испытания Бернулли · урок 4 из 6 · новый материал

Случайный выбор из конечного множества

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9U-016

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 4/6, единица R04.6 «Случайный выбор из конечного множества». Тип урока — Н. Опора: число сочетаний $C_{n}^{k}$ (VIS9U-005), правило умножения (VIS9U-004, VIS9U-008), формула Бернулли (VIS9U-015).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (равновозможные наборы) 3 · 6 (выбор из двух групп, вывод формулы) 3,5 · 8 (последовательный выбор, дерево) 2,5 · 10 (с возвращением и без) 2,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11 — по 2; сл. 12 — 2,5) · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 3,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 5 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Описывать случайный выбор

все $C_{N}^{k}$ наборов равновозможны (ПР-1)

Считать выбор из двух групп

$\frac{C _{M}^{m} \cdot C _{N - M}^{k - m}}{C _{N}^{k}}$ — и выводить формулу (ПР-1)

Решать через дерево

выбор по одному без возвращения (ПР-3)

Сравнивать со схемой Бернулли

выбор с возвращением и без (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-1: «Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число перестановок, число сочетаний … при решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий». ПР-3: «Находить вероятности событий в опытах, связанных с испытаниями до достижения первого успеха, в сериях испытаний Бернулли».
Единица ФРП: R04.6 «Случайный выбор из конечного множества». Деятельность по ФРП (строка R04): осваивать понятия испытание, серия испытаний, серия испытаний Бернулли; решать задачи на вероятности в сериях испытаний.

повторение: VIS9U-005, VIS9U-015

Разминка · устно

Сочетания и вероятности

Вычислите

$C_{5}^{2}$ $10$
$C_{6}^{3}$ $20$
$C_{10}^{2}$ $45$
$C_{n}^{k} = C_{n}^{?}$ $C_{n}^{n - k}$

Ответьте

Сколькими способами выбрать $2$ дежурных из $10$ ? $45$
В урне $3$ белых и $5$ чёрных. Вынули один шар. $P (белый)$ $0, 375$
$3$ белых из $5$ ; вынимают $2$ раза с возвращением. $P (оба белые)$ $0, 36$
Важен ли порядок в наборе дежурных? нет — сочетания

R04.6

Теория · случайный выбор k элементов из N

Элементарное событие — весь набор

Случайный выбор $k$ из $N$ : все наборы по $k$ элементов равновозможны

$∣Ω∣ = C_{N}^{k}$

$P (A) = \frac{N ( A )}{C _{N}^{k}}$ , где $N (A)$ — число наборов, благоприятствующих $A$

«Наугад», «случайным образом» — значит равновозможно

3 мин · теория
Опыт «случайный выбор $k$ элементов из множества из $N$ элементов» (без возвращения, порядок не важен). Элементарное событие — неупорядоченный набор (подмножество) из $k$ элементов; их $C_{N}^{k}$ , и при случайном выборе все они равновозможны. Поэтому вероятность считается по классической формуле.
Пример на рисунке: из 5 букв A–E выбирают 2. Всего $C_{5}^{2} = 10$ пар; букву A содержат 4 пары (AB, AC, AD, AE): $P = \frac{4}{10} = 0, 4$ . Заметьте: $0, 4 = \frac{2}{5} = \frac{k}{N}$ — к этому вернёмся на сл. 16.
Вопрос классу: можно ли считать упорядоченные пары ( $5 \cdot 4 = 20$ )? Можно, но тогда и благоприятные считать упорядоченными ( $4 \cdot 2 = 8$ ): $\frac{8}{20} = 0, 4$ . Главное — одинаковый способ в числителе и знаменателе.

R04.6

Образец → сам · все выбранные — одного вида

Благоприятные наборы — внутри одной группы

Образец: в коробке $10$ ручек, $6$ из них синие. Наугад берут $2$ . $P (обе синие)$

$∣Ω∣ = C_{10}^{2} = 45$ все пары равновозможны

$N (A) = C_{6}^{2} = 15$ пары только из синих

$P = \frac{15}{45}$ = $\frac{1}{3}$ классическая формула

Сам

$10$ ручек, $4$ красные; берут $3$ . Все красные $\frac{1}{30}$
$8$ билетов, $2$ выигрышных; берут $2$ . Оба выигрышные $\frac{1}{28}$
Обратная: из $N$ карточек берут $2$ ; $P (две заданные) = \frac{1}{45}$ . Найдите $N$ $N = 10$

R04.6

Теория · выбор из двух групп · вывод формулы

$10$ деталей, $3$ бракованные; берут $4$

$m$ из $M$ отмеченных — $C_{M}^{m}$ способов; $k - m$ из остальных — $C_{N - M}^{k - m}$

Правило умножения:
$N (A) = C_{M}^{m} \cdot C_{N - M}^{k - m}$

P = \frac{C _{M}^{m} \cdot C _{N - M}^{k - m}}{C _{N}^{k}}

3,5 мин · теория (вывод)
Общая задача: в множестве $N$ элементов, из них $M$ «отмеченных» (бракованные детали, девочки, выигрышные билеты). Наугад выбирают $k$ . Событие $A$ — «среди выбранных ровно $m$ отмеченных».
Вывод: каждый благоприятный набор однозначно задаётся парой «какие $m$ отмеченных» и «какие $k - m$ остальных». Первую часть можно выбрать $C_{M}^{m}$ способами, вторую — $C_{N - M}^{k - m}$ , независимо — правило умножения. Делим на число всех наборов $C_{N}^{k}$ .
Пример на рисунке: $N = 10$ , $M = 3$ , $k = 4$ , $m = 1$ : $C_{3}^{1} = 3$ , $C_{7}^{3} = 35$ , $C_{10}^{4} = 210$ , $P = \frac{105}{210} = \frac{1}{2}$ .
Условия применимости: $0 \leq m \leq M$ и $0 \leq k - m \leq N - M$ ; иначе событие невозможно (например, ровно 4 бракованных из 3 — $P = 0$ ).

R04.6

Образец → сам · ровно m отмеченных

Два множителя в числителе

Образец: из $6$ девочек и $4$ мальчиков выбирают $3$ человек. $P (ровно 2 девочки)$

$N = 10, M = 6, k = 3, m = 2$

$N (A) = C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 15 \cdot 4 = 60$ правило умножения

$P = \frac{60}{C _{10}^{3}} = \frac{60}{120}$ = $0, 5$

Сам

$10$ деталей, $3$ бракованные; берут $4$ . Ровно $2$ бракованные $0, 3$
Колода $36$ карт ( $4$ туза); берут $2$ . Ровно один туз $\frac{64}{315} \approx 0, 203$
Тот же класс: ровно $3$ девочки $\frac{1}{6}$

R04.6

Теория · выбор по одному без возвращения · дерево

$5$ белых и $3$ чёрных; вынимают $2$ шара

После каждого шага состав урны меняется: вероятности на рёбрах — условные

$P (ББ) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{14}$

$\frac{C _{5}^{2}}{C _{8}^{2}} = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$ тот же ответ

Выбор «сразу» и «по одному» — одна и та же модель

2,5 мин · теория
Шары вынимают по одному и не возвращают. Первый белый с вероятностью $\frac{5}{8}$ ; если он белый, в урне осталось 4 белых из 7 — $\frac{4}{7}$ . Вероятность пути — произведение вероятностей на рёбрах (VIS9U-003, деревья).
$P (ББ) = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$ совпадает с $\frac{C _{5}^{2}}{C _{8}^{2}}$ . «Шары разного цвета»: $\frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{15}{28} = \frac{C _{5}^{1} C _{3}^{1}}{C _{8}^{2}}$ . Сумма листьев: $\frac{20 + 15 + 15 + 6}{56} = 1$ .
Вывод: дерево удобно, когда важен порядок («первый белый, второй чёрный»), формула с сочетаниями — когда порядок не важен.

R04.6

Образец → сам · «хотя бы один» через дополнение

Проще посчитать «ни одного»

Образец: из $10$ ручек $3$ не пишут. Берут $3$ . $P (хотя бы одна не пишет)$

$\overline{A}$ : все три пишут противоположное

$P (\overline{A}) = \frac{C _{7}^{3}}{C _{10}^{3}} = \frac{35}{120} = \frac{7}{24}$

$P (A) = 1 - \frac{7}{24}$ = $\frac{17}{24} \approx 0, 708$

Сам

$8$ билетов, $2$ выигрышных; берут $3$ . Хотя бы один выигрышный $\frac{9}{14}$
$5$ мальчиков и $5$ девочек; выбирают $4$ . Хотя бы одна девочка $\frac{41}{42}$
Деревом: $4$ белых и $2$ чёрных; вынимают по одному. Первый белый, второй чёрный $\frac{4}{15}$

R04.5 · R04.6

Теория · выбор с возвращением и без возвращения

$10$ шаров, $4$ белых; вынимают $3$ . Число белых $m$

Без возвращения: $\frac{C _{4}^{m} \cdot C _{6}^{3 - m}}{C _{10}^{3}}$

С возвращением — схема Бернулли, $p = \frac{M}{N} = 0, 4$ : $C_{3}^{m} p^{m} q^{3 - m}$

При большом

N

и малом

k

результаты почти совпадают

2,5 мин · теория
Без возвращения: $P (0) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} \approx 0, 167$ ; $P (1) = \frac{4 \cdot 15}{120} = 0, 5$ ; $P (2) = \frac{6 \cdot 6}{120} = 0, 3$ ; $P (3) = \frac{4}{120} = \frac{1}{30} \approx 0, 033$ .
С возвращением (испытания независимы, $p = 0, 4$ ): $0, 216$ ; $0, 432$ ; $0, 288$ ; $0, 064$ . Без возвращения распределение «сжато» к середине: вынув белый, мы уменьшаем шанс следующего белого.
Если урна огромная (например, 1000 деталей, 100 бракованных), то после одного вынутого шара состав почти не меняется — выбор без возвращения можно приближённо считать серией испытаний Бернулли (так считают выборочный контроль и опросы). Число на сл. 11, задание 3.

R04.5 · R04.6

Образец → сам · с возвращением и без

Одна урна — два опыта

Образец: $3$ белых и $2$ чёрных. Вынимают $2$ шара. $P (оба белые)$

с возвращением: $0, 6 \cdot 0, 6 = 0, 36$ независимы

без: $\frac{C _{3}^{2}}{C _{5}^{2}} = \frac{3}{10} = 0, 3$ сочетания

или $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0, 3$ дерево

Ответ: $0, 36$ и $0, 3$

Сам: с возвращением / без

$4$ белых и $4$ чёрных; $2$ шара. Оба белые $0, 25$ и $\frac{3}{14}$
$10$ ламп, $2$ перегорели; берут $2$ . Обе исправны $0, 64$ и $\frac{28}{45}$
$1000$ деталей, $100$ бракованных; берут $2$ . Обе исправны $0, 81$ и $\approx 0, 810$

R04.6

Образец → сам · задача из жизни: лотерея «4 из 12»

Выигрышные $4$ номера из $12$ ; игрок отмечает $4$

Образец: $P (угадано ровно 3)$

$∣Ω∣ = C_{12}^{4} = 495$ наборы выигрышных номеров

$N (A) = C_{4}^{3} \cdot C_{8}^{1} = 4 \cdot 8 = 32$ $3$ угаданных, $1$ нет

$P = \frac{32}{495}$ $\approx 0, 065$

Сам

Угаданы все $4$ $\frac{1}{495} \approx 0, 002$
Угадано ровно $2$ $\frac{56}{165} \approx 0, 339$
Не угадано ни одного $\frac{14}{99} \approx 0, 141$

R04.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили вместо умножения	$\frac{C _{3}^{1} + C _{7}^{3}}{C _{10}^{4}} = \frac{38}{210}$	$\frac{C _{3}^{1} \cdot C _{7}^{3}}{C _{10}^{4}} = \frac{105}{210} = 0, 5$
«хотя бы одна» = «ровно одна»	$\frac{C _{3}^{1} \cdot C _{7}^{3}}{C _{10}^{4}} = 0, 5$	$1 - \frac{C _{7}^{4}}{C _{10}^{4}} = \frac{5}{6}$
без возвращения считают как с ним	$10$ ручек, $6$ синих: $0, 6^{2} = 0, 36$	$\frac{C _{6}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{1}{3}$

R04.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $8$ билетов, $3$ выигрышных; берут $2$ . Ровно один выигрышный

$\frac{C _{3}^{1}}{C _{8}^{2}} = \frac{3}{28}$

забыт множитель $C_{5}^{1}$ — второй билет

$\frac{3 \cdot 5}{28} = \frac{15}{28}$

б) $6$ мальчиков и $4$ девочки; выбирают $2$ . Мальчик и девочка

$\frac{6 \cdot 4}{10 \cdot 9} = \frac{24}{90}$

в знаменателе упорядоченные пары, в числителе — нет

$\frac{24}{C _{10}^{2}} = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

в) $5$ белых и $3$ чёрных; вынимают $3$ без возвращения. Все белые

$(\frac{5}{8})^{3} \approx 0, 244$

это с возвращением: состав урны меняется

$\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{5}{28}$

R04.6

Задания с самопроверкой · база

Модель — сочетания — ответ

Шары и ручки

$6$ учеников, $2$ отличника; выбирают $2$ . Оба отличники $\frac{1}{15}$
$7$ красных и $3$ синих шара; берут $2$ . Оба красные $\frac{7}{15}$
Те же шары: ровно один синий $\frac{7}{15}$
$5$ ручек, $1$ не пишет; берут $2$ . Неисправная среди них $0, 4$

Экзамен: $12$ вопросов, ученик знает $9$

В билете $2$ случайных вопроса. Знает оба $\frac{6}{11}$
Знает хотя бы один $\frac{21}{22}$
Знает ровно один $\frac{9}{22}$

R04.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, исследуйте, найдите

доказ.Из $N$ выбирают $k$ . Докажите: $P (заданный элемент выбран) = \frac{k}{N}$ $\frac{C _{N - 1}^{k - 1}}{C _{N}^{k}} = \frac{k}{N}$
доказ.Объясните, почему $m \sum C_{M}^{m} \cdot C_{N - M}^{k - m} = C_{N}^{k}$ сумма всех $P (m)$ равна $1$
повыш. $10$ шаров, часть белые. $P (два вынутых — белые) = \frac{1}{3}$ . Сколько белых? $6$
исслед. $10$ деталей, $3$ бракованные. Сколько взять, чтобы $P (хотя бы одна брак .) > 0, 9$ ? не менее $5$

3,5 мин · практика
1) Наборы с заданным элементом: остальные $k - 1$ из $N - 1$ . $\frac{C _{N - 1}^{k - 1}}{C _{N}^{k}} = \frac{( N - 1 )!}{( k - 1 )! ( N - k )!} \cdot \frac{k ! ( N - k )!}{N !} = \frac{k}{N}$ . Пример: сл. 4 — $\frac{2}{5}$ ; ОГЭ: «дежурные» $\frac{2}{10}$ .
2) Комбинаторно: каждый $k$ -набор содержит какое-то число $m$ отмеченных — наборы разбиваются на группы по $m$ , в группе $C_{M}^{m} C_{N - M}^{k - m}$ наборов (тождество Вандермонда). Вероятностно: события «ровно $m$ » несовместны и исчерпывают все исходы — сумма $P (m) = 1$ , умножаем на $C_{N}^{k}$ .
3) $\frac{C _{M}^{2}}{45} = \frac{1}{3} \Rightarrow C_{M}^{2} = 15 \Rightarrow M (M - 1) = 30 \Rightarrow M = 6$ .
4) $1 - \frac{C _{7}^{k}}{C _{10}^{k}}$ : $k = 4$ — $1 - \frac{35}{210} \approx 0, 833$ ; $k = 5$ — $1 - \frac{21}{252} = \frac{11}{12} \approx 0, 917 > 0, 9$ . Ответ: 5. Проверено python.

R04.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В группе $10$ туристов. Случайным образом выбирают двух дежурных. Найдите вероятность того, что турист Д. будет дежурным.

$0, 2$

2. В коробке $5$ фломастеров, $3$ из них красные. Наугад берут $2$ . Найдите вероятность того, что оба красные.

$0, 3$

3. Из $20$ билетов $4$ — по геометрии. Ученик тянет один билет. Найдите вероятность того, что он не по геометрии.

$0, 8$

В бланк — число без единиц:

0, 3

записывают как 0,3.

R04.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$8$ шаров, $5$ белых; берут $2$ . Оба белые $\frac{5}{14}$
$10$ деталей, $2$ брак.; берут $3$ . Ровно $1$ брак. $\frac{7}{15}$
Те же: хотя бы $1$ бракованная $\frac{8}{15}$
Из $15$ выбирают $3$ дежурных. $P (Петя дежурит)$ $0, 2$

Вариант 2

$8$ шаров, $3$ белых; берут $2$ . Оба белые $\frac{3}{28}$
$10$ деталей, $3$ брак.; берут $3$ . Ровно $1$ брак. $0, 525$
Те же: хотя бы $1$ бракованная $\frac{17}{24}$
Из $20$ выбирают $5$ дежурных. $P (Оля дежурит)$ $0, 25$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое элементарное событие при выборе $k$ из $N$ ?
Откуда в формуле произведение $C_{M}^{m} \cdot C_{N - M}^{k - m}$ ?
Когда выбор без возвращения близок к схеме Бернулли?

Домашнее задание

$12$ учеников, $5$ девочек; выбирают $3$ : ровно $2$ девочки и хотя бы одна
Докажите $\frac{C _{N - 1}^{k - 1}}{C _{N}^{k}} = \frac{k}{N}$ через дерево
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sochetaniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-016 · Случайный выбор из конечного множества

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 4/6 · тип Н
Единицы → слайды	R04.6 «Случайный выбор из конечного множества» → 2, 4–19 · повторение R04.4–R04.5 (серия испытаний Бернулли) → 3, 10, 11
Результаты	ПР-1 (число сочетаний, в том числе для вычисления вероятностей) → 3–9, 12–18 · ПР-3 (серии испытаний Бернулли) → 3, 10, 11
Вне урока	формула Бернулли — VIS9U-015; практикум «Испытания» — VIS9U-017; обобщение — VIS9U-018; распределения случайных величин (в т. ч. гипергеометрическое как пример) — строка R05
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Случайный выбор из конечного множества

Сегодня вы научитесь

Описывать случайный выбор

Считать выбор из двух групп

Решать через дерево

Сравнивать со схемой Бернулли

Сочетания и вероятности

Вычислите

Ответьте

Элементарное событие — весь набор

Благоприятные наборы — внутри одной группы

Образец: в коробке 10 ручек, 6 из них синие. Наугад берут 2. P(обе синие)

Сам

10 деталей, 3 бракованные; берут 4

Два множителя в числителе

Образец: из 6 девочек и 4 мальчиков выбирают 3 человек. P(ровно 2 девочки)

Сам

5 белых и 3 чёрных; вынимают 2 шара

Проще посчитать «ни одного»

Образец: из 10 ручек 3 не пишут. Берут 3. P(хотя бы одна не пишет)

Сам

10 шаров, 4 белых; вынимают 3. Число белых m

Одна урна — два опыта

Образец: 3 белых и 2 чёрных. Вынимают 2 шара. P(оба белые)

Сам: с возвращением / без

Выигрышные 4 номера из 12; игрок отмечает 4

Образец: P(угадано ровно 3)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 8 билетов, 3 выигрышных; берут 2. Ровно один выигрышный

б) 6 мальчиков и 4 девочки; выбирают 2. Мальчик и девочка

в) 5 белых и 3 чёрных; вынимают 3 без возвращения. Все белые

Модель — сочетания — ответ

Шары и ручки

Экзамен: 12 вопросов, ученик знает 9

Докажите, исследуйте, найдите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-016 · Случайный выбор из конечного множества

Образец: в коробке $10$ ручек, $6$ из них синие. Наугад берут $2$ . $P (обе синие)$

$10$ деталей, $3$ бракованные; берут $4$

Образец: из $6$ девочек и $4$ мальчиков выбирают $3$ человек. $P (ровно 2 девочки)$

$5$ белых и $3$ чёрных; вынимают $2$ шара

Образец: из $10$ ручек $3$ не пишут. Берут $3$ . $P (хотя бы одна не пишет)$

$10$ шаров, $4$ белых; вынимают $3$ . Число белых $m$

Образец: $3$ белых и $2$ чёрных. Вынимают $2$ шара. $P (оба белые)$

Выигрышные $4$ номера из $12$ ; игрок отмечает $4$

Образец: $P (угадано ровно 3)$

а) $8$ билетов, $3$ выигрышных; берут $2$ . Ровно один выигрышный

б) $6$ мальчиков и $4$ девочки; выбирают $2$ . Мальчик и девочка

в) $5$ белых и $3$ чёрных; вынимают $3$ без возвращения. Все белые

Экзамен: $12$ вопросов, ученик знает $9$