Испытания Бернулли · урок 3 из 6

Серия испытаний Бернулли

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9U-015

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 3/6, единицы R04.4 «Серия испытаний Бернулли», R04.5 «Вероятности событий в серии испытаний Бернулли». Тип урока — Н (новый материал). Опора — испытание, успех и неудача (VIS9U-013), серия до первого успеха (VIS9U-014), сочетания, треугольник Паскаля и бином Ньютона (R02).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (определение серии) 2,5 · 6 (вероятность цепочки, дерево) 2,5 · 8 (теорема Бернулли с доказательством) 3,5 · 10 (распределение числа успехов, бином Ньютона, «хотя бы один») 2.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5) 1,5, (сл. 7) 2, (сл. 9) 2,5, (сл. 11) 3 · исследование (сл. 12) 2,5 · задача из жизни (сл. 13) 3 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — распределение числа успехов при $n = 5$ , $p = 0, 4$ : $P (k) = C_{5}^{k} \cdot 0, 4^{k} \cdot 0, 6^{5 - k}$ — $0, 07776$ ; $0, 2592$ ; $0, 3456$ ; $0, 2304$ ; $0, 0768$ ; $0, 01024$ . Самый высокий столбик — $k = 2$ (выделен); почему именно он — исследование на сл. 12.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теоретические слайды и доказательство не сокращать.

R04.4 · R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать схему

отличать серию Бернулли: $n$ независимых испытаний с одной и той же вероятностью успеха $p$ (ПР-3)

Доказать формулу

выводить формулу Бернулли $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ из дерева и правила умножения (ПР-3, ПР-1)

Решать обратные задачи

«хотя бы один», наименьшее число испытаний, неизвестное $p$ (ПР-3)

Исследовать распределение

видеть распределение числа успехов, находить наиболее вероятное число успехов (ПР-4)

1 мин · теория
ПР-3: «Находить вероятности событий в опытах, связанных с испытаниями до достижения первого успеха, в сериях испытаний Бернулли». ПР-1: «Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число … сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля …» — множитель $C_{n}^{k}$ и бином Ньютона. ПР-4: «… оперировать понятием „распределение вероятностей“» — распределение числа успехов (подготовка к R05).
Углублённый уровень: формула Бернулли доказывается, а не только применяется; обратные задачи и исследование наиболее вероятного числа успехов.

повторение: R02, VIS9U-013, VIS9U-014

Разминка · устно

Успех, неудача, сочетания, бином

Вероятности

$p = 0, 35$ . Найдите $q$ $0, 65$
$0, 3^{2} \cdot 0, 7$ $0, 063$
Кубик дважды: ни одной «шестёрки» $\frac{25}{36}$
$p = 0, 2$ : первый успех — в $3$ -м испытании $0, 128$

Комбинаторика

$C_{5}^{2}$ $10$
$C_{6}^{3}$ $20$
$(\frac{1}{2})^{5}$ $\frac{1}{32}$
$(q + p)^{2} = \dots$ $q^{2} + 2 pq + p^{2}$

R04.4

Новое понятие · серия испытаний Бернулли

Одно и то же испытание повторяют $n$ раз

Серия испытаний Бернулли — $n$ испытаний (число $n$ задано заранее), в каждом:

два элементарных события: успех (У) и неудача (Н);
$P (У) = p$ — одна и та же в каждом; $q = 1 - p$ ;
испытания независимы.

Элементарное событие серии — цепочка из

n

букв У и Н. Цепочек

2^{n}

(правило умножения).

Шар из урны с возвращением, $4$ раза; успех — белый: $n = 4$ , $p = 0, 3$

$5$ монет бросают одновременно; успех — орёл: $n = 5$ , $p = \frac{1}{2}$

$3$ карты без возвращения — не серия: $p$ меняется

2,5 мин · теория
Определение (учебник Высоцкого–Ященко, 9 кл.): серия из $n$ одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых два элементарных события — успех и неудача — с вероятностями $p$ и $q = 1 - p$ . Якоб Бернулли (1654–1705), «Искусство предположений» (1713).
Урна: 3 белых и 7 чёрных шаров, шар возвращают — состав не меняется, $p = 0, 3$ в каждом испытании. Одновременный бросок 5 монет — то же, что 5 бросков одной монеты: монеты не влияют друг на друга.
Без возвращения состав меняется: вероятность туза в первой карте $\frac{4}{36}$ , во второй — $\frac{3}{35}$ или $\frac{4}{35}$ , испытания зависимы.
Вопрос: почему при $p \neq = \frac{1}{2}$ цепочки неравновероятны и классическую формулу « $m / N$ » к ним применять нельзя? (ННН вероятнее УУУ при $p < \frac{1}{2}$ .)

R04.4

Образец → сам · узнать серию Бернулли

Найдите $n$ , успех и $p$ — или объясните, почему нет

Образец: в урне $3$ белых и $7$ чёрных шаров. Шар достают $4$ раза, каждый раз возвращая

испытание — выбор шара, $n = 4$ число задано

успех — белый, $p = \frac{3}{10} = 0, 3$ состав прежний

неудача — чёрный, $q = 0, 7$ $q = 1 - p$

выборы независимы — серия Бернулли

Сам: серия Бернулли?

Кубик $6$ раз; успех — число, кратное $3$ да: $n = 6$ , $p = \frac{1}{3}$
Из $36$ карт берут $3$ сразу, считают тузы нет: зависимы
$5$ одинаковых монет бросают одновременно да: $n = 5$ , $p = \frac{1}{2}$
Стреляют до попадания, но не более $4$ раз нет: $n$ случайно

R04.5

Теория · вероятность цепочки в серии

Дерево серии из трёх испытаний

Каждый уровень дерева — одно испытание; листья — $2^{3} = 8$ цепочек.

Испытания независимы — умножаем вдоль пути:

P (НУУ) = q \cdot p \cdot p = p^{2} q

Цепочка с

k

успехами из

n

:

p^{k} q^{n - k}

— от порядка букв не зависит.

2,5 мин · теория
Дерево: от корня 2 ветви (У с вероятностью $p$ , Н — $q$ ), от каждого узла снова 2. Розовым выделен путь Н → У → У. Справа у каждого листа — вероятность цепочки.
Обоснование: события «в $i$ -м испытании успех/неудача» для разных $i$ независимы, поэтому вероятность их пересечения — произведение (правило умножения для независимых событий, 8 кл.).
Проверка: сумма всех восьми вероятностей $p^{3} + 3 p^{2} q + 3 p q^{2} + q^{3} = (p + q)^{3} = 1$ — бином Ньютона. Вопрос: какие цепочки равновероятны? (С одинаковым числом успехов.)

R04.5

Образец → сам · событие из нескольких цепочек

Выписываем подходящие цепочки и складываем

Образец: попадание — $0, 8$ . Четыре выстрела: первые два — попадания, затем два промаха

$p = 0, 8$ , $q = 0, 2$ успех — попадание

одна цепочка УУНН: $p^{2} q^{2}$ независимость

$0, 64 \cdot 0, 04$ = $0, 0256$

Сам

$p = 0, 9$ , $n = 4$ : первый успех — в последнем испытании $0, 0009$
$p = 0, 6$ , $n = 3$ : успехи и неудачи чередуются $0, 24$
$p = 0, 7$ , $n = 4$ : первое и последнее испытания — успехи $0, 49$
подумайМонета: что вероятнее — ОООО или ОРРО? поровну: $\frac{1}{16}$

R04.5

Теория · формула Бернулли и её доказательство

Ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях

P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

1) $A_{k}$ = все цепочки с $k$ буквами У цепочки несовместны → вероятности складываются

2) каждая такая цепочка: $p^{k} q^{n - k}$ $k$ множителей $p$ и $n - k$ множителей $q$ — независимость

3) цепочек $C_{n}^{k}$ цепочка задаётся выбором $k$ мест для У из $n$ мест

4) $P (A_{k}) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ ■ слева: $n = 4$ , $k = 2$ — $C_{4}^{2} = 6$ цепочек по $p^{2} q^{2}$

3,5 мин · теория
Теорема (формула Бернулли): вероятность ровно $k$ успехов в серии из $n$ испытаний Бернулли равна $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ , $k = 0, 1, \dots, n$ .
Доказательство — по шагам на слайде. Ключевой шаг 3: цепочка однозначно определяется множеством номеров испытаний, где стоит У; число $k$ -элементных подмножеств множества ${1, \dots, n}$ равно $C_{n}^{k}$ (R02). Справа на рисунке — все 6 цепочек длины 4 с двумя У: УУНН, УНУН, УННУ, НУУН, НУНУ, ННУУ.
Частные случаи: $k = n$ — $p^{n}$ ; $k = 0$ — $q^{n}$ ( $C_{n}^{0} = 1$ , так как $0! = 1$ ). При $p = \frac{1}{2}$ : $P_{n} (k) = \frac{C _{n}^{k}}{2 ^{n}}$ — классическая вероятность.
Вопрос классу: почему для $n = 4$ , $k = 2$ , $p = 0, 7$ ответ $6 \cdot 0, 49 \cdot 0, 09 = 0, 2646$ , а не $0, 49 \cdot 0, 09$ ?

R04.5

Образец → сам · формула Бернулли

Данные схемы → число цепочек → вероятность цепочки

Образец: покупатель делает покупку с вероятностью $0, 3$ . Пришли $5$ покупателей. $P (ровно 2 покупки)$

$n = 5$ , $k = 2$ , $p = 0, 3$ , $q = 0, 7$ схема Бернулли

$C_{5}^{2} = 10$ число цепочек

$0, 3^{2} \cdot 0, 7^{3} = 0, 09 \cdot 0, 343$ одна цепочка

$P = 10 \cdot 0, 03087$ = $0, 3087$

Сам

Монета $6$ раз: ровно $4$ орла $\frac{15}{64}$
$p = 0, 2$ , $n = 4$ : ровно $1$ успех $0, 4096$
Кубик $4$ раза: ровно две «шестёрки» $\frac{25}{216}$

R04.5 · к R05

Теория · распределение числа успехов

$n = 5$ , $p = 0, 4$ : сколько будет успехов?

Сумма всех

P_{n} (k)

— бином Ньютона:

\sum C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k} = (p + q)^{n} = 1

Хотя бы один успех — противоположно «ни одного»:

P = 1 - q^{n}

«Не меньше

m

» — сумма столбиков

k \geq m

или

1 -

остальные.

R04.5

Образец → сам · обратная задача: сколько нужно испытаний

«Хотя бы один» и наименьшее $n$

Образец: попадание — $0, 3$ . Сколько нужно выстрелов, чтобы $P (хотя бы одно попадание) \geq 0, 9$ ?

$1 - 0, 7^{n} \geq 0, 9 ⟺ 0, 7^{n} \leq 0, 1$ через «ни одного»

$0, 7^{6} \approx 0, 118 > 0, 1$ мало

$0, 7^{7} \approx 0, 082 \leq 0, 1$ $0, 7^{n}$ убывает

наименьшее $n$ = $7$

Сам

$p = 0, 4$ , $n = 4$ : хотя бы один успех $0, 8704$
Монета: наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один орёл) \geq 0, 95$ $5$
$P (хотя бы один успех из 3) = 0, 875$ . Найдите $p$ $0, 5$
Монета $4$ раза: не меньше $2$ орлов $\frac{11}{16}$

R04.5 · исследование

Исследование · наиболее вероятное число успехов

Когда столбики растут, а когда убывают?

Сравним соседние столбики

$\frac{P _{n} ( k + 1 )}{P _{n} ( k )} = \frac{n - k}{k + 1} \cdot \frac{p}{q}$ сократите $C_{n}^{k + 1}$ и $C_{n}^{k}$ — проверьте

$n = 10$ , $p = 0, 3$ : $\frac{( 10 - k ) \cdot 0 , 3}{( k + 1 ) \cdot 0 , 7} > 1 ⟺ k < 2, 3$ растут до $k = 3$ , потом убывают

наиболее вероятное число $k_{0} = 3$ $(n p = 3)$

Найдите $k_{0}$

$n = 6$ , $p = \frac{1}{2}$ $3$
$n = 20$ , $p = 0, 1$ $2$
$n = 7$ , $p = \frac{1}{2}$ $3$ и $4$
Гипотеза: $k_{0}$ лежит между… $n p - q \leq k_{0} \leq n p + p$

2,5 мин · практика (исследование в парах)
Вывод отношения: $\frac{C _{n}^{k + 1}}{C _{n}^{k}} = \frac{n !}{( k + 1 )! ( n - k - 1 )!} \cdot \frac{k ! ( n - k )!}{n !} = \frac{n - k}{k + 1}$ ; степени дают множитель $\frac{p}{q}$ .
Условие роста: $(n - k) p > (k + 1) q ⟺ k < n p - q$ . Для $n = 10$ , $p = 0, 3$ : $k < 2, 3$ , т. е. $P (0) < P (1) < P (2) < P (3)$ , дальше убывание; отношения: $4, 29$ ; $1, 93$ ; $1, 14$ ; $0, 75$ ; … Ответ $k_{0} = 3$ .
1) $n p - q = 2, 5$ , $n p + p = 3, 5$ → $k_{0} = 3$ . 2) $1, 1 \leq k_{0} \leq 2, 1$ → $k_{0} = 2$ . 3) $3 \leq k_{0} \leq 4$ , оба конца целые: $P_{7} (3) = P_{7} (4) = \frac{35}{128}$ — два наиболее вероятных значения. 4) Гипотеза: $n p - q \leq k_{0} \leq n p + p$ (длина отрезка $1$ ). Для сл. 10: $5 \cdot 0, 4 - 0, 6 = 1, 4 \leq k_{0} \leq 2, 4$ → $k_{0} = 2$ .

R04.5 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: матч, тест, надёжность

Волейбол: матч до трёх побед

Образец: команда выигрывает партию с вероятностью $0, 6$ . Матч — до $3$ побед (не больше $5$ партий). $P (команда выиграет матч)$

мысленно доиграем все $5$ партий победитель тот же

нужно $k \geq 3$ : $P_{5} (3) + P_{5} (4) + P_{5} (5)$

$0, 3456 + 0, 2592 + 0, 07776$ формула Бернулли

$= 0, 68256 \approx$ $0, 68$

Сам

Тест: $5$ вопросов по $3$ варианта, наугад. $P (не меньше 4 верных)$ $\frac{11}{243}$
$3$ насоса, каждый исправен с вероятностью $0, 9$ . Станция работает, если исправны хотя бы $2$ $0, 972$
Брак — $2 %$ . $P (в 10 изделиях нет брака)$ , до сотых $0, 82$

3 мин · практика
Образец — приём «доиграть до конца»: команда выигрывает матч до 3 побед тогда и только тогда, когда в 5 воображаемых партиях у неё не меньше 3 побед. Так получаем серию Бернулли с фиксированным $n = 5$ . $10 \cdot 0, 216 \cdot 0, 16 = 0, 3456$ ; $5 \cdot 0, 1296 \cdot 0, 4 = 0, 2592$ ; $0, 6^{5} = 0, 07776$ ; сумма $0, 68256$ . Интересно: команда сильнее в партии ( $0, 6$ ), а матч выигрывает с ещё большей вероятностью.
1) $p = \frac{1}{3}$ : $C_{5}^{4} \cdot \frac{1}{81} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{243} = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243} \approx 0, 045$ . 2) $3 \cdot 0, 81 \cdot 0, 1 + 0, 729 = 0, 243 + 0, 729 = 0, 972$ — резервирование. 3) $0, 9 8^{10} \approx 0, 8171 \approx 0, 82$ (большая партия — выборку считаем серией Бернулли).

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли $C_{n}^{k}$ : монета $3$ раза, ровно $2$ орла	$(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$	$C_{3}^{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
«хотя бы один» как $n \cdot p$ : $p = 0, 6$ , $3$ выстрела	$3 \cdot 0, 6 = 1, 8 > 1$	$1 - 0, 4^{3} = 0, 936$
выбор без возвращения — как Бернулли: $2$ белых и $3$ чёрных, берут $2$ ; ровно $1$ белый	$2 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 48$	$\frac{2 \cdot 3}{C _{5}^{2}} = 0, 6$
степень у $q$ — не $k$ , а $n - k$ : $p = 0, 8$ , $n = 3$ , ровно $1$ успех	$3 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 48$	$3 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2^{2} = 0, 096$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) $\frac{1}{8}$ — одна цепочка, а цепочек с двумя орлами три. 2) События «попал в $i$ -м выстреле» совместны, их вероятности складывать нельзя; $1, 8 > 1$ — сигнал ошибки; верно $0, 936$ .
3) Без возвращения испытания зависимы: второй шар — из 4 оставшихся. Верно классически: благоприятных пар $2 \cdot 3 = 6$ , всех $C_{5}^{2} = 10$ , $P = 0, 6$ (или деревом: $\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{10}$ ). Формула Бернулли дала бы ответ для выбора с возвращением.
4) В цепочке $n$ букв: один успех — две неудачи, множитель $0, 2^{2}$ ; $0, 096$ .

R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик $3$ раза. $P (ровно одна « шестёрка »)$ ?

$C_{3}^{1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

забыт множитель $q^{2} = (\frac{5}{6})^{2}$

$3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{25}{72}$

б) $p = 0, 8$ , $n = 4$ . $P (не больше 3 успехов)$ ?

$C_{4}^{3} \cdot 0, 8^{3} \cdot 0, 2 = 0, 4096$

«не больше $3$ » — это $k = 0, 1, 2, 3$ , а не только $3$

$1 - 0, 8^{4} = 0, 5904$

в) Монета $4$ раза. $P (орлов больше, чем решек)$ ?

по симметрии $P = \frac{1}{2}$

забыт случай «поровну»: $\frac{6}{16}$

$k = 3, 4$ : $\frac{4 + 1}{16} = \frac{5}{16}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) $\frac{1}{2}$ — это сумма «шестёрка в 1-м» + «во 2-м» + «в 3-м», события совместны. Верно: $3 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{25}{36} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72} \approx 0, 35$ .
б) Ученик посчитал «ровно 3». «Не больше 3» противоположно «ровно 4»: $1 - 0, 4096 = 0, 5904$ .
в) Симметрия верна только для пары «орлов больше» / «решек больше»; их вероятности равны, но ещё есть «2 и 2» с вероятностью $\frac{6}{16}$ . Значит, $P = \frac{1 - 6/16}{2} = \frac{5}{16}$ — совпадает с прямым подсчётом.

R04.4 · R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Монета и кубик

Монета $5$ раз: ровно $2$ орла $0, 3125$
Монета $6$ раз: ни одного орла $\frac{1}{64}$
Кубик $3$ раза: ровно две «шестёрки» $\frac{5}{72}$

Любое $p$

$p = 0, 1$ , $n = 3$ : ровно $1$ успех $0, 243$
$p = 0, 6$ , $n = 4$ : ровно $2$ успеха $0, 3456$
$p = 0, 7$ , $n = 3$ : хотя бы одна неудача $0, 657$
Монета $4$ раза: все — орлы $0, 0625$

R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте, решите, докажите

повыш.Монету бросают $n$ раз; $P (ровно 2 орла) = P (ровно 3 орла)$ . Найдите $n$ $n = 5$
повыш.Ничьих нет, соперник равный. Что вероятнее: выиграть $3$ партии из $4$ или $5$ из $8$ ? $3$ из $4$ : $\frac{1}{4} > \frac{7}{32}$
повыш.Сколько раз нужно бросить кубик, чтобы $P (хотя бы одна « шестёрка ») > \frac{1}{2}$ ? $4$
докажи $P (чётное число успехов) = \frac{1 + ( q - p ) ^{n}}{2}$ сложите $(q + p)^{n}$ и $(q - p)^{n}$

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Симметричную монету бросают $4$ раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно $3$ раза.

Ответ: $0, 25$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 9$ . Он стреляет $3$ раза. Найдите вероятность того, что первые два раза он попал, а последний — промахнулся.

Ответ: $0, 081$

3. Симметричную монету бросают $3$ раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет хотя бы один раз.

Ответ: $0, 875$

В бланк — десятичная дробь. Одна цепочка — произведение; «хотя бы один» — через противоположное.

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Монета $5$ раз: ровно $1$ орёл $0, 15625$
$p = 0, 8$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 384$
$p = 0, 2$ , $n = 4$ : хотя бы один успех $0, 5904$
$p = 0, 4$ : наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один успех) > 0, 9$ $5$

Вариант 2

Монета $5$ раз: ровно $4$ орла $0, 15625$
$p = 0, 3$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 189$
Монета $4$ раза: не меньше $3$ орлов $0, 3125$
$p = 0, 2$ : наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один успех) > 0, 5$ $4$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие условия делают серию серией Бернулли?
Откуда в формуле множитель $C_{n}^{k}$ ?
Почему сумма всех $P_{n} (k)$ равна $1$ ?

Домашнее задание

Кубик $4$ раза: ровно одна «шестёрка»
$p = 0, 9$ , $n = 5$ : не меньше $4$ успехов, до сотых
Докажите: при $p = \frac{1}{2}$ верно $P_{n} (k) = P_{n} (n - k)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-015 · Серия испытаний Бернулли; вероятности событий в серии испытаний Бернулли

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 3/6 · тип Н
Единицы → слайды	R04.4 «Серия испытаний Бернулли» → 2, 4, 5, 16 · R04.5 «Вероятности событий в серии испытаний Бернулли» → 2, 6–20 · разминка по R02, R04.1–R04.3 (VIS9U-013, VIS9U-014) → 3
Результаты	ПР-3 (вероятности в сериях испытаний Бернулли) → 4–19 · ПР-1 (сочетания, бином Ньютона) → 8, 10, 12, 17 · ПР-4 (распределение числа успехов) → 10, 12
Вне урока	случайный выбор из конечного множества — VIS9U-016; практикум — VIS9U-017; биномиальное распределение, $E = n p$ , $D = n pq$ — R05
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Серия испытаний Бернулли

Сегодня вы научитесь

Узнавать схему

Доказать формулу

Решать обратные задачи

Исследовать распределение

Успех, неудача, сочетания, бином

Вероятности

Комбинаторика

Одно и то же испытание повторяют n раз

Найдите n, успех и p — или объясните, почему нет

Образец: в урне 3 белых и 7 чёрных шаров. Шар достают 4 раза, каждый раз возвращая

Сам: серия Бернулли?

Дерево серии из трёх испытаний

Выписываем подходящие цепочки и складываем

Образец: попадание — 0,8. Четыре выстрела: первые два — попадания, затем два промаха

Сам

Ровно k успехов в n испытаниях

Данные схемы → число цепочек → вероятность цепочки

Образец: покупатель делает покупку с вероятностью 0,3. Пришли 5 покупателей. P(ровно 2 покупки)

Сам

n=5, p=0,4: сколько будет успехов?

«Хотя бы один» и наименьшее n

Образец: попадание — 0,3. Сколько нужно выстрелов, чтобы P(хотя бы одно попадание)≥0,9?

Сам

Когда столбики растут, а когда убывают?

Сравним соседние столбики

Найдите k0​

Волейбол: матч до трёх побед

Образец: команда выигрывает партию с вероятностью 0,6. Матч — до 3 побед (не больше 5 партий). P(команда выиграет матч)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик 3 раза. P(ровно одна «шестёрка»)?

б) p=0,8, n=4. P(не больше 3 успехов)?

в) Монета 4 раза. P(орлов больше, чем решек)?

Решите и проверьте

Монета и кубик

Любое p

Подумайте, решите, докажите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-015 · Серия испытаний Бернулли; вероятности событий в серии испытаний Бернулли

Одно и то же испытание повторяют $n$ раз

Найдите $n$ , успех и $p$ — или объясните, почему нет

Образец: в урне $3$ белых и $7$ чёрных шаров. Шар достают $4$ раза, каждый раз возвращая

Образец: попадание — $0, 8$ . Четыре выстрела: первые два — попадания, затем два промаха

Ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях

Образец: покупатель делает покупку с вероятностью $0, 3$ . Пришли $5$ покупателей. $P (ровно 2 покупки)$

$n = 5$ , $p = 0, 4$ : сколько будет успехов?

«Хотя бы один» и наименьшее $n$

Образец: попадание — $0, 3$ . Сколько нужно выстрелов, чтобы $P (хотя бы одно попадание) \geq 0, 9$ ?

Найдите $k_{0}$

Образец: команда выигрывает партию с вероятностью $0, 6$ . Матч — до $3$ побед (не больше $5$ партий). $P (команда выиграет матч)$

а) Кубик $3$ раза. $P (ровно одна « шестёрка »)$ ?

б) $p = 0, 8$ , $n = 4$ . $P (не больше 3 успехов)$ ?

в) Монета $4$ раза. $P (орлов больше, чем решек)$ ?

Любое $p$