Испытания Бернулли · урок 2 из 6

Серия испытаний до первого успеха

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9U-014

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 2/6, единица R04.3 «Серия испытаний до первого успеха». Тип урока — Н. Опора — VIS9U-013 «Испытания; успех и неудача», условная вероятность (8 класс), сумма геометрической прогрессии, в том числе бесконечно убывающей (алгебра 9).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (понятие, X — номер первого успеха) 1 · 5 (дерево, формула) 2 · 7 (хвосты, вывод) 2 · 9 (сумма бесконечной прогрессии) 1,5 · 10 (отсутствие памяти, доказательство) 1,5 · 12 (пример учителя: игра по очереди) 2 · 15 (дополнительно: среднее число испытаний) 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6, 8, 11, 13, 14) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 16) 1,5 · найди ошибку (сл. 17) 2 · самопроверка, база (сл. 18) 3 · повышенный уровень (сл. 19) 2,5 · ОГЭ (сл. 20) 2 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Отличие от базового курса (VIS9-014): все формулы выводятся, добавлены сумма бесконечной прогрессии (полнота распределения), свойство отсутствия памяти (через условную вероятность), игры по очереди в общем виде, обратные задачи и задачи на исследование.
Картинка на титуле — распределение номера первого успеха при p = 1/2: столбики 1/2, 1/4, 1/8, … в сумме дают 1.
Если не успеваете: сл. 15 «Дополнительно» показать за 1 мин или перенести; задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ.

R04.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

$P (X = k) = q^{k - 1} p$ , $P (X > n) = q^{n}$ , $P (m < X \leq n) = q^{m} - q^{n}$ (ПР-3)

Решать обратные задачи

находить $p$ по условию и наименьшее число попыток (ПР-3)

Пользоваться «отсутствием памяти»

условная вероятность после $m$ неудач (ПР-3)

Считать игры по очереди

через бесконечную прогрессию и уравнение (ПР-3)

повторение: VIS9U-013, 8 класс, алгебра 9

Разминка · устно

Успех, неудача, прогрессии

Вероятности

кубик, успех — «шестёрка»: $q$ $\frac{5}{6}$
$p = 0, 35$ : $q$ $0, 65$
$0, 2 \cdot 0, 2 \cdot 0, 8$ $0, 032$
$P (A \cap B) = 0, 12$ , $P (B) = 0, 4$ : $P (A ∣ B)$ $0, 3$

Прогрессии и степени

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ $1$
$1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \dots$ $\frac{3}{2}$
$1 + q^{2} + q^{4} + \dots$ , $∣ q ∣ < 1$ $\frac{1}{1 - q ^{2}}$
наименьшее $n$ : $2^{n} > 100$ $7$

3 мин · практика
Ответы: 1) 1 − 1/6 = 5/6; 2) 1 − 0,35 = 0,65; 3) 0,032 (неудача, неудача, успех при p = 0,8 — это и есть сегодняшняя формула q²p); 4) P(A|B) = P(A∩B)/P(B) = 0,12/0,4 = 0,3 — понадобится для свойства «отсутствия памяти».
5) b₁ = 1/2, знаменатель 1/2: S = (1/2)/(1 − 1/2) = 1. 6) 1/(1 − 1/3) = 3/2. 7) знаменатель q², S = 1/(1 − q²) — понадобится в игре по очереди. 8) 2⁶ = 64, 2⁷ = 128 — n = 7.
Напомнить: S = b₁/(1 − q) для бесконечно убывающей прогрессии (|q| < 1). На уроке буква q — и знаменатель прогрессии, и вероятность неудачи: это совпадение удобно.

R04.3

Новое понятие · серия испытаний до первого успеха

Повторяем испытание, пока не будет успеха

Независимые испытания, в каждом $P (У) = p$ , $P (Н) = q = 1 - p$ , $0 < p < 1$ . Серия заканчивается на первом успехе.

$X$ — номер испытания, в котором впервые наступил успех: $X = 1, 2, 3, \dots$

«До первой неудачи» — то же самое: роли

p

и

q

меняются местами.

1 мин · теория
Элементарные исходы: У, НУ, ННУ, НННУ, … — их бесконечно много; X — число испытаний в серии (номер первого успеха). Это первая «случайная величина» курса; подробно — в R05.
Первая неудача: баскетболист бросает, пока не промахнётся; там «событие, которого ждём» — промах, и его вероятность ставим на место p.
Вопрос классу: может ли серия никогда не закончиться? (Исход «Н всегда» мыслим, но его вероятность 0 — докажем на сл. 9.)

R04.3

Теория · первый успех на k-м испытании

Путь по дереву — произведение вероятностей

$X = k$ ⇔ $k - 1 Н \dots Н У$

независимость → умножаем

P (X = k) = q^{k - 1} p

До первой неудачи:

p^{k - 1} q

.

R04.3

Образец → сам · формула и обратная задача

$P (X = k) = q^{k - 1} p$ — прямо и наоборот

Образец

Баскетболист попадает с вероятностью $0, 9$ и бросает до первого промаха. Найдите вероятность, что первый промах будет при 4-м броске.

ждём промах: $p = 0, 1$ «успех» серии

ПППМ: $0, 9^{3} \cdot 0, 1$ независимость

$= 0, 729 \cdot 0, 1$ = $0, 0729$

Сам

Кубик до первой «шестёрки»: $P (X = 4)$ $\frac{125}{1296}$
Два кубика бросают до первого дубля: $P (X = 2)$ $\frac{5}{36}$
$P (X = 2) = 0, 21$ и $p > 0, 5$ . Найдите $p$ . $0, 7$

R04.3

Теория · хвосты распределения · вывод

Сколько испытаний понадобится?

$X > n$ ⇔ первые $n$ — неудачи: $P (X > n) = q^{n}$

противоположное: $P (X \leq n) = 1 - q^{n}$

${X > m} = {m < X \leq n} \cup {X > n}$ несовместны

P (m < X \leq n) = q^{m} - q^{n}

проверка: $k = m + 1 \sum n q^{k - 1} p = q^{m} p \cdot \frac{1 - q ^{n - m}}{1 - q} = q^{m} - q^{n}$

2 мин · теория
Вывод 1: «понадобится больше n испытаний» = «в первых n успеха не было» = Н…Н (n раз), вероятность qⁿ. Вывод 2: дополнение. Вывод 3: событие X > m разбивается на два несовместных — первый успех с номером от m + 1 до n или позже n; поэтому q^m = P(m < X ≤ n) + qⁿ.
Алгебраическая проверка: прогрессия с первым членом q^m·p, знаменателем q и n − m членами; 1 − q = p сокращается.
Диаграмма: p = 1/2, розовые столбики k = 3, 4, 5: 1/8 + 1/16 + 1/32 = 7/32 = (1/2)² − (1/2)⁵ = 1/4 − 1/32 ✓.

R04.3

Образец → сам · хвосты и наименьшее число попыток

Сколько патронов выдать стрелку?

Образец

$p = 0, 6$ . Какое наименьшее число патронов нужно, чтобы стрелок попал хотя бы раз с вероятностью не меньше $0, 99$ ?

$1 - 0, 4^{n} \geq 0, 99$ ⇔ $0, 4^{n} \leq 0, 01$ хвост

$0, 4^{5} = 0, 01024 > 0, 01$ мало

$0, 4^{6} = 0, 004096 \leq 0, 01$ → $6$ патронов

Сам

$p = 0, 2$ : $P (2 < X \leq 4)$ $0, 2304$
Монета до первого орла: наименьшее $n$ , при котором $P (X \leq n) > 0, 999$ $10$
$P (X > 3) = 0, 343$ . Найдите $p$ . $0, 3$

R04.3

Теория · сумма всех вероятностей

Бесконечная прогрессия даёт $1$

$p + qp + q^{2} p + \dots = \frac{p}{1 - q} = \frac{p}{p} = 1$ $0 < q < 1$

«успеха не будет никогда» ⊂ ${X > n}$ при любом $n$

$0 \leq P \leq q^{n} \to 0$ ⇒ $P = 0$

Серия почти наверное закончится: распределение

X

полное.

1,5 мин · теория
Значения X = 1, 2, 3, … несовместны, их вероятности образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с b₁ = p и знаменателем q; её сумма p/(1 − q) = 1. Значит, на исход «никогда» вероятности не остаётся.
Второе доказательство: событие «успеха нет никогда» входит в каждое событие X > n, поэтому его вероятность не больше qⁿ при любом n, а qⁿ становится сколь угодно малым.
Полоса (p = 1/2): каждый следующий отрезок — половина остатка; после трёх отрезков остаток 1/8 = q³ = P(X > 3).

R04.3

Теория · свойство отсутствия памяти · доказательство

После неудач всё начинается заново

$P (X > m + n ∣ X > m) = \frac{q ^{m + n}}{q ^{m}} = q^{n}$

= P (X > n)

Следствие:

P (X = m + k ∣ X > m) = q^{k - 1} p

— серия «не помнит» прошлых неудач.

R04.3

Образец → сам · условие «уже было m неудач»

Пользуемся отсутствием памяти

Образец

Монету бросают до первого орла. Первые 3 броска — решки. Найдите вероятность, что понадобится больше 5 бросков.

ищем $P (X > 5 ∣ X > 3)$ условие

$= \frac{( 1/2 ) ^{5}}{( 1/2 ) ^{3}} = (\frac{1}{2})^{2}$ $q^{n}$ , $n = 2$

Ответ: $0, 25$

Сам

Кубик; два первых броска — без «шестёрки». $P (X = 4 ∣ X > 2)$ $\frac{5}{36}$
$p = 0, 3$ ; первых 4 испытаний не хватило. $P (X \leq 6)$ при этом условии $0, 51$
$p = 0, 4$ : $P (X > 4 ∣ X > 1)$ $0, 216$

R04.3

Теория · пример учителя · игра по очереди

Аня и Боря бросают кубик по очереди

Первая — Аня; выигрывает, у кого раньше «шестёрка».

Аня: $X = 1, 3, 5, \dots$

$p + q^{2} p + q^{4} p + \dots = \frac{p}{1 - q ^{2}} = \frac{1}{1 + q}$

или: $P = p + q^{2} P$ после НН — заново

$P = \frac{1}{1 + 5/6}$ = $\frac{6}{11}$

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Аня бросает на нечётных шагах, Боря — на чётных. Аня выигрывает, если первый успех на шаге 1, 3, 5, …: сумма прогрессии с b₁ = p и знаменателем q²: p/(1 − q²) = p/((1 − q)(1 + q)) = 1/(1 + q).
Второй способ (по первому шагу): либо Аня сразу выигрывает (p), либо оба промахнулись (q²) — и по свойству отсутствия памяти игра начинается заново: P = p + q²P ⇒ P = p/(1 − q²).
Кубик: 1/(1 + 5/6) = 6/11 ≈ 0,545; Боря: 5/11. Вопрос: выгодно ли бросать первым? (Да, при любом p: 1/(1 + q) > 1/2.)

R04.3

Образец → сам · игра по очереди

Два стрелка — разные вероятности

Образец

Стрелки по очереди стреляют до первого попадания. Первый попадает с вероятностью $0, 4$ , второй — $0, 5$ . Первый начинает. $P (победит первый)$ ?

$P = 0, 4 + 0, 6 \cdot 0, 5 \cdot P$ оба мимо — заново

$0, 7 P = 0, 4$ уравнение

$P =$ $\frac{4}{7}$

Сам

Двое по очереди бросают монету до орла: $P (начинающий)$ $\frac{2}{3}$
Те же стрелки, но начинает второй. $P (победит первый)$ $\frac{2}{7}$
Трое по очереди бросают монету до орла. $P (выиграет третий)$ $\frac{1}{7}$

R04.3

Образец → сам · не больше n попыток

Распределение числа попыток

Образец

Экзамен можно сдавать не больше 3 раз, $p = 0, 7$ при каждой попытке. $X$ — число попыток.

$X$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 7$	$0, 3 \cdot 0, 7 = 0, 21$	$0, 3^{2} = 0, 09$

$X = 3$ : первые две — неудачи 3-я — любая

$P (сдаст) = 1 - 0, 3^{3}$ = $0, 973$

Сам: 5 патронов, $p = 0, 8$

$P (израсходует все 5)$ $0, 0016$
$P (останется хотя бы 2 патрона)$ $0, 992$
$P (не попадёт ни разу)$ $0, 00032$

R04.3 → R05

Дополнительно · среднее число испытаний

Сколько бросков нужно «в среднем»?

первый шаг сделан всегда: $1$ испытание

с вероятностью $q$ — неудача, и всё заново: $E = 1 + q E$

E = \frac{1}{1 - q} = \frac{1}{p}

Кубик до «шестёрки» — в среднем $6$ бросков; монета до орла — $2$ .

Строго — мат. ожидание

E (X)

в R05 (геометрическое распределение).

R04.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли условие: монета, 3 решки уже были, $P (X > 5)$	$(\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$	$(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{4}$
«шансы равны»: двое по очереди, монета, начинающий	$\frac{1}{2}$	$\frac{1/2}{1 - 1/4} = \frac{2}{3}$
сложили $p$ : успех не позже 3-го, $p = 0, 4$	$3 \cdot 0, 4 = 1, 2 > 1$	$1 - 0, 6^{3} = 0, 784$
последняя из $n$ попыток: 3 патрона, $p = 0, 5$ , $P (X = 3)$	$q^{2} p = 0, 125$	$q^{2} = 0, 25$

R04.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $p = 0, 3$ . $P (2 < X \leq 5)$ ?

$0, 7^{3} - 0, 7^{5} = 0, 17493$

$X > 2$ — это $q^{2}$ , а не $q^{3}$

$0, 7^{2} - 0, 7^{5} = 0, 32193$

б) Аня и Боря по очереди бросают монету, Аня первая. $P (Боря)$ ?

$qp = \frac{1}{4}$

учтён только 2-й бросок, а Боря бросает 2-м, 4-м, …

$\frac{qp}{1 - q ^{2}} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$

в) Монета: наименьшее $n$ , при котором $P (X \leq n) \geq 0, 99$

$2^{n} \geq 100$ , $2^{6} = 64 \approx 100$ ⇒ $n = 6$

$64 < 100$ — неравенство не выполнено

$2^{7} = 128 \geq 100$ ⇒ $n = 7$

R04.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По формулам

$p = 0, 25$ : $P (X = 3)$ $0, 140625$
кубик: $P (X > 3)$ $\frac{125}{216}$
$p = 0, 1$ : $P (X \leq 2)$ $0, 19$
монета: $P (3 \leq X \leq 5)$ $\frac{7}{32}$

Разные серии

$P (У) = 0, 8$ , ждём первую неудачу: она при 3-м испытании $0, 128$
$p = 0, 5$ : $P (X > 6 ∣ X > 4)$ $0, 25$
двое по очереди, монета: $P (выиграет второй)$ $\frac{1}{3}$

R04.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите, исследуйте, найдите

доказатьДокажите: $P (X нечётно) = \frac{1}{1 + q}$ . $p (1 + q^{2} + q^{4} + \dots) = \frac{p}{1 - q ^{2}}$
повыш.Кубик до первой «шестёрки»: $P (X чётно)$ $\frac{5}{11}$
исследованиеПри каком $p$ вероятность $P (X = 2)$ наибольшая? Чему она равна? $p = \frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{4}$
повыш.Известно: $P (X \leq 2) = 0, 64$ . Найдите $P (X = 3)$ . $0, 144$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) X нечётно: X = 1, 3, 5, …; сумма p + q²p + q⁴p + … = p/(1 − q²) = p/((1 − q)(1 + q)) = 1/(1 + q), так как 1 − q = p. Это вероятность выигрыша начинающего (сл. 12).
2) 1 − 1/(1 + q) = q/(1 + q) = (5/6)/(11/6) = 5/11.
3) f(p) = p(1 − p) = 1/4 − (p − 1/2)², максимум при p = 1/2, значение 1/4. Смысл: при очень малом p успех редок, при большом — почти всегда наступает сразу.
4) 1 − q² = 0,64 ⇒ q = 0,6 (q > 0), p = 0,4; P(X = 3) = 0,36·0,4 = 0,144.

R04.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Стрелок стреляет до первого попадания, но не более 4 раз. Вероятность попадания $0, 8$ . Найдите вероятность того, что он израсходует ровно 3 патрона.

Ответ: $0, 032$

2. Игральный кубик бросают до первого появления шести очков. Найдите вероятность того, что понадобится больше двух бросков. Ответ округлите до сотых.

Ответ: $0, 69$

3. Баскетболист попадает в кольцо с вероятностью $0, 9$ и бросает до первого промаха. Найдите вероятность того, что он сделает ровно 3 броска.

Ответ: $0, 081$

В бланк — десятичная дробь:

0, 032

, а не

\frac{4}{125}

.

R04.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$p = 0, 4$ : $P (X = 3)$ $0, 144$
$p = 0, 3$ : $P (X > 4)$ $0, 2401$
монета: $P (X > 5 ∣ X > 2)$ $0, 125$
двое по очереди, у каждого $p = 0, 2$ : $P (начинающий)$ $\frac{5}{9}$

Вариант 2

$p = 0, 3$ : $P (X = 3)$ $0, 147$
$p = 0, 6$ : $P (X > 3)$ $0, 064$
кубик: $P (X = 5 ∣ X > 3)$ $\frac{5}{36}$
двое по очереди, у каждого $p = 0, 4$ : $P (начинающий)$ $0, 625$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $P (X > n) = q^{n}$ ?
Что значит «отсутствие памяти»?
Почему начинающему выгоднее?

Домашнее задание

$p = 0, 2$ : $P (2 < X \leq 5)$
Кубик: наименьшее $n$ , при котором $P (X \leq n) \geq 0, 9$
* Трое по очереди бросают кубик до «шестёрки». Найдите вероятность выигрыша каждого.
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-014 · Серия испытаний до первого успеха

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 2/6 · тип Н
Единицы → слайды	R04.3 «Серия испытаний до первого успеха» → 2, 4–22 · опора на R04.1–R04.2 (VIS9U-013) → 3, 4
Результаты	ПР-3 (вероятности в опытах до достижения первого успеха) → 4–21 · деятельность R04: первый успех (неудача), сумма геометрической прогрессии → 3, 7, 9, 12
Дополнительно	среднее число испытаний $1/ p$ (сл. 15) — пропедевтика R05
Вне урока	серия Бернулли, $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — VIS9U-015; математическое ожидание и дисперсия геометрического распределения — R05
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Серия испытаний до первого успеха

Сегодня вы научитесь

Выводить формулы

Решать обратные задачи

Пользоваться «отсутствием памяти»

Считать игры по очереди

Успех, неудача, прогрессии

Вероятности

Прогрессии и степени

Повторяем испытание, пока не будет успеха

Путь по дереву — произведение вероятностей

P(X=k)=qk−1p — прямо и наоборот

Образец

Сам

Сколько испытаний понадобится?

Сколько патронов выдать стрелку?

Образец

Сам

Бесконечная прогрессия даёт 1

После неудач всё начинается заново

Пользуемся отсутствием памяти

Образец

Сам

Аня и Боря бросают кубик по очереди

Два стрелка — разные вероятности

Образец

Сам

Распределение числа попыток

Образец

Сам: 5 патронов, p=0,8

Сколько бросков нужно «в среднем»?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) p=0,3. P(2<X≤5)?

б) Аня и Боря по очереди бросают монету, Аня первая. P(Боря)?

в) Монета: наименьшее n, при котором P(X≤n)≥0,99

Решите и проверьте

По формулам

Разные серии

Докажите, исследуйте, найдите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-014 · Серия испытаний до первого успеха

$P (X = k) = q^{k - 1} p$ — прямо и наоборот

Бесконечная прогрессия даёт $1$

Сам: 5 патронов, $p = 0, 8$

а) $p = 0, 3$ . $P (2 < X \leq 5)$ ?

б) Аня и Боря по очереди бросают монету, Аня первая. $P (Боря)$ ?

в) Монета: наименьшее $n$ , при котором $P (X \leq n) \geq 0, 99$