Испытания Бернулли · урок 1 из 6

Испытания. Успех и неудача

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9U-013

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 1/6, единицы R04.1 «Испытания», R04.2 «Успех и неудача». Тип урока — Н (новый материал). Опора — классическая и геометрическая вероятность (VIS9U-010 … VIS9U-012), сочетания и бином Ньютона (VIS9U-005, VIS9U-006), независимые события (8 класс, R01.3).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (испытание) 3 · 5 (успех и неудача) 2 · 8 (независимые испытания) 2,5 · 9 (вероятность цепочки, доказательство) 2,5 · 14 (сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 3 · образцы → сам (сл. 6, 7, 10–13) 2,5 + 2 + 2,5 + 2 + 2 + 2 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 3 · повышенный уровень (сл. 18) 2,5 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная работа (сл. 20) 4 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Отличие от базового урока VIS9-013: успех определяется в опытах с комбинаторикой и геометрической вероятностью; обратные задачи сводятся к квадратному уравнению; доказывается, что сумма вероятностей всех цепочек равна $(p + q)^{n} = 1$ ; отличаем независимые испытания от выбора без возвращения; находим наименьшее число испытаний; исследуем максимум $2 pq$ .
Картинка на титуле — дерево двух испытаний: розовый путь «успех, затем неудача», его вероятность $pq$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R04.1 · R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Испытание

видеть испытание в любом опыте, находить $p$ и $q = 1 - p$ , в том числе через сочетания и площади (ПР-3, ПР-1, ПР-2)

Обратные задачи

находить $p$ по условию на $p$ и $q$ , в том числе из квадратного уравнения (ПР-3)

Цепочки испытаний

доказывать $\sum = (p + q)^{n} = 1$ и считать вероятность цепочки и «ровно $k$ успехов» (ПР-3, ПР-1)

Хотя бы один успех

считать $1 - q^{n}$ , находить наименьшее $n$ и надёжность систем (ПР-3)

повторение: VIS9U-005 … VIS9U-012, R01.3

Разминка · устно

Вероятность, сочетания, бином, независимость

Одно событие

$x \in [0; 5]$ : $P (x > 4)$ $0, 2$
$C_{5}^{2}$ $10$
Из $5$ шаров $2$ белых, берут $2$ сразу: $P (оба белые)$ $0, 1$
Коэффициенты $(a + b)^{3}$ $1, 3, 3, 1$

Два события

$P (A) = 0, 3$ ; $P (\overline{A})$ $0, 7$
$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ : $P (A \cap B)$ $0, 3$
Те же $A$ , $B$ : $P (A \cup B)$ $0, 8$
Сколько слов из $4$ букв «У» и «Н»? $16$

3 мин · практика
Ответы: 1) длина (4; 5] — 1 из 5: 0,2 (геометрическая вероятность, VIS9U-010). 2) $C_{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ . 3) благоприятна одна пара из $C_{5}^{2} = 10$ : 0,1. 4) строка треугольника Паскаля 1, 3, 3, 1 (бином Ньютона, VIS9U-006). 5) 1 − 0,3 = 0,7. 6) для независимых P(A ∩ B) = 0,6 · 0,5 = 0,3. 7) 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8. 8) $2^{4} = 16$ (правило умножения).
Задания 1–4 понадобятся при выборе «успеха» в сложных опытах и в доказательстве со слайда 9; 5–8 — противоположное событие и умножение для независимых испытаний.

R04.1

Новое понятие · испытание

Важно одно: наступило событие $A$ или нет

Испытание — случайный опыт, в котором следят за одним событием $A$ .

Опыт	Успех	$p$
бросок кубика	шестёрка	$\frac{1}{6}$
две кости	дубль	$\frac{1}{6}$
точка в квадрате	во вписанном круге	$\frac{π}{4}$
$2$ шара из $5$ ( $2$ белых)	оба белые	$\frac{1}{C _{5}^{2}} = 0, 1$

3 мин · теория
Определение (учебник Высоцкого–Ященко): испытание — случайный опыт, в котором нас интересуют только два исхода: событие A наступило (успех) или не наступило (неудача). Сколько бы элементарных исходов ни было у опыта (6 у кубика, 36 у двух костей, бесконечно много у «случайной точки», $C_{5}^{2} = 10$ у выбора двух шаров), как испытание он имеет ровно два исхода.
Строки таблицы: дубль — 6 клеток из 36; вписанный круг квадрата со стороной $2 r$ : $\frac{π r ^{2}}{4 r ^{2}} = \frac{π}{4} \approx 0, 785$ (геометрическая вероятность — VIS9U-010); оба белые — одна пара из десяти.
Вопрос классу: равновозможны ли успех и неудача в этих испытаниях? (Нет; равновозможны лишь иногда — монета.)

R04.2

Теория · успех и неудача

Вероятность успеха $p$ , неудачи $q$

Успех $A$ и неудача $\overline{A}$ — противоположные события: наступает ровно одно.

p + q = 1

0 < p < 1

: при

p = 0

или

p = 1

опыт не случайный.

Успех выбираем сами; поменяли —

p

и

q

меняются местами.

R04.1 · R04.2

Образец → сам · успех в сложном опыте

Назовите успех и найдите $p$ и $q$

Образец: $4$ белых и $6$ чёрных шаров, берут $3$ сразу; успех — хотя бы один белый

исходов $C_{10}^{3} = 120$ выбор без порядка

неудача — все чёрные: $C_{6}^{3} = 20$ проще посчитать

$q = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$ классическая формула

$p = 1 - \frac{1}{6}$ = $\frac{5}{6}$ $p + q = 1$

Сам: найдите $p$ и $q$

Точка на $[0; 10]$ ; успех — до ближайшего конца больше $3$ $0, 4$ ; $0, 6$
Две кости; успех — «сумма не меньше $10$ » $\frac{1}{6}$ ; $\frac{5}{6}$
$6$ мальчиков и $4$ девочки, выбирают $2$ дежурных; успех — оба мальчики $\frac{1}{3}$ ; $\frac{2}{3}$
Точка в круге радиуса $3$ ; успех — в круге радиуса $1$ с тем же центром $\frac{1}{9}$ ; $\frac{8}{9}$

R04.2

Образец → сам · обратная задача: условие на $p$ и $q$

Подставляем $q = 1 - p$ и решаем уравнение

Образец: $pq = 0, 24$ и $p > q$ . Найдите $p$

$p (1 - p) = 0, 24$ $q = 1 - p$

$p^{2} - p + 0, 24 = 0$ квадратное уравнение

$p = 0, 4$ или $p = 0, 6$ $D = 0, 04$

$p > q \Rightarrow p > 0, 5$ : $p = 0, 6$

Сам: найдите $p$

$p - q = 0, 3$ $0, 65$
$p^{2} + q^{2} = 0, 58$ , $p < q$ $0, 3$
$12$ шаров, успех — белый, $q = 2 p$ . Сколько белых? $4$
$p : q = 3 : 2$ $0, 6$

R04.1 · R04.2 · повторение R01.3

Теория · независимые испытания

Испытание повторяют в тех же условиях

Испытания независимы, если исход одних не меняет вероятности успеха в других: в каждом — те же $p$ и $q$ .

С возвращением:

3

белых и

2

чёрных, дважды по шару —

p = \frac{3}{5}

оба раза,

P (ББ) = \frac{9}{25}

.

Без возвращения:

p

меняется —

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}

; это не независимые испытания.

2,5 мин · теория
Два независимых испытания дают 4 цепочки: УУ, УН, НУ, НН. Вероятность цепочки — произведение (правило умножения для независимых событий, 8 класс): $p^{2}$ , $pq$ , $qp$ , $q^{2}$ . Сумма $p^{2} + 2 pq + q^{2} = (p + q)^{2} = 1$ .
Без возвращения второй шар зависит от первого: после белого белых 2 из 4. Вероятность считаем по дереву с условными вероятностями (3/5 · 2/4 = 3/10), а не как $p^{2}$ . В задачах «серия испытаний» всегда проверяем: условия одинаковые, исходы не влияют друг на друга.
Вопрос: независимы ли броски одного стрелка? (В модели — да: принимаем, что p не меняется от выстрела к выстрелу.)

R04.1 · R04.2 · связь с R02.5

Теория · вероятность цепочки и доказательство

Сумма вероятностей всех цепочек равна $1$

успехов	цепочки ( $n = 3$ )	вероятность
$0$	ННН	$q^{3}$
$1$	УНН, НУН, ННУ	$3 p q^{2}$
$2$	УУН, УНУ, НУУ	$3 p^{2} q$
$3$	УУУ	$p^{3}$

P (цепочки) = p^{k} q^{n - k}

Утверждение: сумма по всем $2^{n}$ цепочкам равна $1$

цепочка с $k$ успехами: $p^{k} q^{n - k}$ испытания независимы

$(p + q)^{n} = (p + q) \dots (p + q)$ $n$ скобок

из каждой скобки берём $p$ (У) или $q$ (Н) слагаемое = цепочка

$\sum P = (p + q)^{n} = 1^{n} = 1$ бином Ньютона

цепочек с $k$ успехами $C_{n}^{k}$ места успехов

2,5 мин · теория
Доказательство: при раскрытии произведения $n$ скобок $(p + q)$ каждое слагаемое получается выбором одного множителя из каждой скобки; выбор «p в i-й скобке» соответствует успеху в i-м испытании. Значит, слагаемые взаимно однозначно соответствуют цепочкам, и их сумма — сумма вероятностей всех $2^{n}$ цепочек. Она равна $(p + q)^{n} = 1$ .
Таблица — то же для n = 3: $q^{3} + 3 p q^{2} + 3 p^{2} q + p^{3} = (p + q)^{3}$ , коэффициенты 1, 3, 3, 1 — строка треугольника Паскаля (разминка, задание 4). Число цепочек с k успехами — $C_{n}^{k}$ : выбираем, на каких местах стоят «У».
Формула Бернулли $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ и серия испытаний Бернулли — урок VIS9U-015; сегодня считаем цепочки по дереву и таблице.

R04.2

Образец → сам · три испытания: ровно два успеха

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ , три выстрела

Образец: ровно два попадания

пути УУН, УНУ, НУУ $C_{3}^{2} = 3$

каждый: $0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 128$ вдоль пути

$P = 3 \cdot 0, 128$ = $0, 384$ пути несовместны

Сам

$p = 0, 6$ : $P (УНУ)$ $0, 144$
Монета $4$ раза: ровно один орёл $0, 25$
$p = 0, 7$ : первый успех — в $3$ -м испытании $0, 063$

R04.2

Образец → сам · «хотя бы один» и наименьшее число испытаний

Противоположное событие: ни одного успеха

Образец: $p = 0, 2$ . Сколько нужно испытаний, чтобы $P (хотя бы один успех) \geq 0, 9$ ?

$P = 1 - 0, 8^{n}$ ни одного успеха: $q^{n}$

$1 - 0, 8^{n} \geq 0, 9 ⟺ 0, 8^{n} \leq 0, 1$

$0, 8^{10} \approx 0, 107$ — мало $0, 8^{n}$ убывает

$0, 8^{11} \approx 0, 086 \leq 0, 1$ : $n = 11$

Сам

Кубик $3$ раза: хотя бы одна шестёрка $\frac{91}{216}$
$p = 0, 3$ , два испытания: хотя бы один успех $0, 51$
Монета: наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один орёл) > 0, 99$ $7$

R04.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: надёжность системы

Дублирование: два насоса вместо одного

Образец: насос исправен с вероятностью $0, 9$ ; насосы независимы

параллельно: работает, если исправен хотя бы один

$P = 1 - 0, 1^{2}$ = $0, 99$ оба сломаны: $0, 1 \cdot 0, 1$

последовательно: нужны оба — $0, 9^{2} = 0, 81$

Сам: найдите надёжность

$3$ датчика параллельно, каждый срабатывает с $p = 0, 8$ $0, 992$
$3$ узла последовательно, каждый по $0, 95$ $0, 857375$
Сколько датчиков по $0, 7$ поставить параллельно, чтобы надёжность была не меньше $0, 99$ ? $4$

R04.2 · исследование

Образец → сам · исследование: когда «ровно один успех» вероятнее всего?

Два испытания: наибольшее значение $2 pq$

Образец: докажите, что $2 pq \leq \frac{1}{2}$ . Когда равенство?

$4 pq = (p + q)^{2} - (p - q)^{2}$ формулы сокращённого умножения

$4 pq = 1 - (p - q)^{2} \leq 1$ $p + q = 1$ , квадрат $\geq 0$

$2 pq \leq \frac{1}{2}$ делим на $2$

равенство при $p = q$ = $\frac{1}{2}$

Сам

Может ли $P (ровно один успех из двух) = 0, 6$ ? нет
$2 pq = 0, 42$ , $p > q$ . Найдите $p$ $0, 7$
При каком $p$ «два успеха» и «ровно один успех» из двух равновероятны? $\frac{2}{3}$

R04.1 · R04.2

Теория · сводка правил

Что нужно помнить

Ситуация	Формула	Как проверить
испытание: успех $A$ , неудача $\overline{A}$	$q = 1 - p$	успех назван явно
независимые испытания	$P (УНУ) = p q p$	те же условия, $p$ не меняется
все цепочки из $n$	$(p + q)^{n} = 1$	сумма по листьям $= 1$
ровно $k$ успехов	$C_{n}^{k}$ цепочек по $p^{k} q^{n - k}$	пути складываем
хотя бы один успех из $n$	$1 - q^{n}$	ответ в $[0; 1]$

R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
выбор без возвращения считают независимыми испытаниями: $3$ белых и $2$ чёрных, два белых подряд	$(\frac{3}{5})^{2} = \frac{9}{25}$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$
«хотя бы один»: вычли одну неудачу, а не все: монета $3$ раза	$1 - 0, 5 = 0, 5$	$1 - 0, 5^{3} = 0, 875$
«ровно два из трёх» — только один путь, $p = 0, 8$	$0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 128$	$3 \cdot 0, 128 = 0, 384$
обратная задача: взяли не тот корень, $pq = 0, 24$ , $p > q$	$p = 0, 4$	$p = 0, 6$ — проверить условие

R04.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик $3$ раза. $P (хотя бы одна шестёрка)$ ?

$P = 3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}$

сложили совместные события

$P = 1 - (\frac{5}{6})^{3} = \frac{91}{216}$

б) Монета $3$ раза. $P (ровно два орла)$ ?

орлов $0, 1, 2$ или $3$ — один случай из четырёх: $P = \frac{1}{4}$

исходы не равновозможны

$P = \frac{C _{3}^{2}}{8} = \frac{3}{8}$

в) $p^{2} + q^{2} = 0, 82$ , $p < q$ . Найдите $p$

$p^{2} - p + 0, 09 = 0$ , $p = 0, 9$

$p < q$ значит $p < 0, 5$

$p = 0, 1$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) События «шестёрка в i-м броске» совместны, складывать нельзя (иначе при 6 бросках получилось бы 1). Через противоположное: 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 0,42.
б) Числа орлов 0, 1, 2, 3 получаются 1, 3, 3, 1 способами из 8. Ровно два — 3 цепочки: 3/8 = 0,375.
в) Уравнение верное: $2 p^{2} - 2 p + 1 = 0, 82$ . Корни 0,1 и 0,9; условие p меньше q оставляет 0,1 (проверка: 0,01 + 0,81 = 0,82 ✓).

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Одно испытание

Точка в квадрате $10 \times 10$ ; успех — в квадрате $5 \times 5$ внутри. Найдите $q$ $0, 75$
$5$ мальчиков и $5$ девочек, выбирают двоих; успех — разного пола. Найдите $p$ $\frac{5}{9}$
$p - q = 0, 5$ . Найдите $p$ $0, 75$

Несколько испытаний

$p = 0, 9$ : $P (УУН)$ $0, 081$
$p = 0, 4$ , два испытания: ровно один успех $0, 48$
Кубик $2$ раза: хотя бы раз чётное число $0, 75$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.В двух испытаниях $P (две неудачи) = 0, 16$ . Найдите $P (ровно один успех)$ $0, 48$
повыш. $p^{2} + q^{2} = 0, 82$ , $p > q$ . Найдите $p$ $0, 9$
повыш.Наименьшее число бросков кубика, при котором $P (хотя бы одна шестёрка) > 0, 5$ $4$
из жизниТест: $4$ вопроса по $3$ варианта ответа, верный — один; ответы наугад. $P (хотя бы один верный)$ $\frac{65}{81}$

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0, 06$ . Покупатель берёт две батарейки, батарейки бракуются независимо. Найдите вероятность того, что обе исправны.

Ответ: $0, 8836$

2. Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням, вероятность попадания $0, 8$ . Найдите вероятность того, что первые $3$ раза он попал, а последние $2$ — промахнулся. Результат округлите до сотых.

Ответ: $0, 02$

3. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Ответ: $0, 875$

Сначала: успех — …,

p = \dots

; испытания независимы? В бланк — десятичная дробь.

R04.1 · R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Точка на $[0; 8]$ , успех — $x < 2$ . Найдите $q$ $0, 75$
$pq = 0, 16$ , $p > q$ . Найдите $p$ $0, 8$
$p = 0, 7$ , три испытания: ровно два успеха $0, 441$
$p = 0, 4$ : наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один успех) \geq 0, 9$ $5$

Вариант 2

Две кости, успех — «сумма меньше $5$ ». Найдите $q$ $\frac{5}{6}$
$pq = 0, 21$ , $p < q$ . Найдите $p$ $0, 3$
$p = 0, 6$ , три испытания: ровно один успех $0, 288$
$p = 0, 5$ : наименьшее $n$ , при котором $P (хотя бы один успех) \geq 0, 95$ $5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое испытание, успех и неудача?
Когда испытания независимы?
Почему сумма по всем цепочкам равна $1$ ?

Домашнее задание

Докажите: в трёх испытаниях $P (ровно один) + P (ровно два) = 3 pq$
Насос исправен с $p = 0, 85$ . Сколько насосов нужно параллельно для надёжности $\geq 0, 999$ ?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-013 · Испытания. Успех и неудача

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 1/6 · тип Н
Единицы → слайды	R04.1 «Испытания» → 2, 4, 6, 8–10, 14, 17–20 · R04.2 «Успех и неудача» → 2, 5–7, 9–21 · повторение R01.3, R02.3, R02.5, R03.1 → 3, 6, 8, 9
Результаты	ПР-3 (испытания, серии испытаний) → 4–21 · ПР-1 (сочетания, бином Ньютона в вычислении вероятностей) → 6, 9, 10 · ПР-2 (геометрическая вероятность) → 4, 6, 17, 20
Вне урока	серия испытаний до первого успеха — VIS9U-014; серия испытаний Бернулли и формула $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — VIS9U-015; случайный выбор из конечного множества — VIS9U-016
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Испытания. Успех и неудача

Сегодня вы научитесь

Испытание

Обратные задачи

Цепочки испытаний

Хотя бы один успех

Вероятность, сочетания, бином, независимость

Одно событие

Два события

Важно одно: наступило событие A или нет

Вероятность успеха p, неудачи q

Назовите успех и найдите p и q

Образец: 4 белых и 6 чёрных шаров, берут 3 сразу; успех — хотя бы один белый

Сам: найдите p и q

Подставляем q=1−p и решаем уравнение

Образец: pq=0,24 и p>q. Найдите p

Сам: найдите p

Испытание повторяют в тех же условиях

Сумма вероятностей всех цепочек равна 1

Утверждение: сумма по всем 2n цепочкам равна 1

Стрелок попадает с вероятностью 0,8, три выстрела

Образец: ровно два попадания

Сам

Противоположное событие: ни одного успеха

Образец: p=0,2. Сколько нужно испытаний, чтобы P(хотя бы один успех)≥0,9?

Сам

Дублирование: два насоса вместо одного

Образец: насос исправен с вероятностью 0,9; насосы независимы

Сам: найдите надёжность

Два испытания: наибольшее значение 2pq

Образец: докажите, что 2pq≤21​. Когда равенство?

Сам

Что нужно помнить

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик 3 раза. P(хотя бы одна шестёрка)?

б) Монета 3 раза. P(ровно два орла)?

в) p2+q2=0,82, p<q. Найдите p

Решите и проверьте

Одно испытание

Несколько испытаний

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-013 · Испытания. Успех и неудача

Важно одно: наступило событие $A$ или нет

Вероятность успеха $p$ , неудачи $q$

Назовите успех и найдите $p$ и $q$

Образец: $4$ белых и $6$ чёрных шаров, берут $3$ сразу; успех — хотя бы один белый

Сам: найдите $p$ и $q$

Подставляем $q = 1 - p$ и решаем уравнение

Образец: $pq = 0, 24$ и $p > q$ . Найдите $p$

Сам: найдите $p$

Сумма вероятностей всех цепочек равна $1$

Утверждение: сумма по всем $2^{n}$ цепочкам равна $1$

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ , три выстрела

Образец: $p = 0, 2$ . Сколько нужно испытаний, чтобы $P (хотя бы один успех) \geq 0, 9$ ?

Образец: насос исправен с вероятностью $0, 9$ ; насосы независимы

Два испытания: наибольшее значение $2 pq$

Образец: докажите, что $2 pq \leq \frac{1}{2}$ . Когда равенство?

а) Кубик $3$ раза. $P (хотя бы одна шестёрка)$ ?

б) Монета $3$ раза. $P (ровно два орла)$ ?

в) $p^{2} + q^{2} = 0, 82$ , $p < q$ . Найдите $p$