Геометрическая вероятность · урок 3 из 3 · практикум

Практикум: геометрическая вероятность

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS9U-012

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Геометрическая вероятность» (3 ч), урок 3/3, единица R03.1 «Геометрическая вероятность» (опора на R03.2 — выбор точки из фигуры, отрезка, дуги). Тип урока — П (практикум): теория — короткими сводками и одним демонстрационным примером, остальное время решают ученики. Опора — уроки VIS9U-010 и VIS9U-011.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: три модели и операции) 2,5 · 7 (сводка: пара случайных чисел) 2 · 8 (демонстрационный пример: задача о встрече) 3 · 11 (сводка: дуга, хорда, центральный угол) 2,5.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 9, 10, 12, 13) по 2,5 = 15 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — задача о встрече (сл. 8): точка (x; y) квадрата, розовая полоса |x − y| ≤ 1/3; 70 случайных точек — около 5/9 из них в полосе.
Углублённый уровень: каждое решение — с моделью (что такое Ω, почему выбор равновозможный), чертежом и проверкой 0 ≤ P ≤ 1. Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 4 сл. 12 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R03.1

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Пара чисел — точка

сводить задачу о встрече и о случайных коэффициентах к площади в квадрате (ПР-2)

Дуги и хорды

переводить условие на длину хорды в центральный угол (ПР-2)

Составные фигуры

пересечение и объединение, $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ (ПР-2)

Обосновывать

описывать $Ω$ , строить чертёж, проверять $0 \leq P \leq 1$ и крайние случаи

1 мин · теория
ПР-2 (предметный результат курса, углублённый уровень): «Использовать понятие геометрической вероятности, находить вероятности событий в опытах, связанных со случайным выбором точек из плоской фигуры, отрезка, длины окружности». Элемент «составные фигуры» — опора на операции над событиями (8 класс) и формулу сложения.
Спросить: где в жизни «случайная точка»? (момент прихода, место обрыва кабеля, точка попадания, остановка стрелки часов.)

повторение: VIS9U-010, VIS9U-011

Разминка · устно

Доли площадей, длин и дуг

Найдите вероятность

квадрат $4 \times 4$ , в нём квадрат $2 \times 2$ : попасть в малый $\frac{1}{4}$
$x \in [0; 10]$ : $P (3 < x < 7)$ $0, 4$
точка окружности попала на дугу $9 0^{\circ}$ $\frac{1}{4}$
$x, y \in [0; 1]$ : $P (x < 0, 5 и y < 0, 5)$ $0, 25$

Найдите

площадь четверти круга радиуса $2$ $π$
$P (A) = 0, 35$ ; $P (\overline{A})$ $0, 65$
$x \in [0; 1]$ : $P (x = 0, 5)$ $0$
площадь квадрата, вписанного в окружность $r = 1$ $2$

R03.1 · R03.2

Теория · сводка · три модели и операции

Вероятность — доля «меры»: длины, площади, дуги

Отрезок

P = \frac{L ( A )}{L ( Ω )}

Фигура

P = \frac{S ( A )}{S ( Ω )}

Дуга окружности

P = \frac{α}{36 0 ^{\circ}}

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

точка, линия: мера

0

—

P = 0

2,5 мин · теория
Сводка уроков VIS9U-010/011. Общая схема: 1) описать Ω — из чего выбирают точку; 2) изобразить событие A как часть Ω; 3) найти меру (длину, площадь, градусную меру дуги) A и Ω; 4) разделить и проверить 0 ≤ P ≤ 1.
Условие применимости: выбор «случайный» — вероятность попасть в часть пропорциональна её мере и не зависит от формы и положения части.
Операции над событиями — операции над фигурами: Ā — дополнение до Ω, A ∩ B — общая часть, A ∪ B — объединение; в формуле сложения общую часть вычитаем, потому что она посчитана дважды. Граница фигуры имеет площадь 0, поэтому «<» и «≤» дают одну и ту же вероятность.

R03.1 · R03.2

Образец → сам · расстояние до сторон и вершины

Точку $M$ выбирают в квадрате $5 \times 5$

Образец: расстояние от $M$ до каждой стороны больше $1$

отступаем на $1$ от каждой стороны остаётся квадрат $3 \times 3$

$S (A) = 9$ , $S (Ω) = 25$

$P (A) = \frac{9}{25}$ = $0, 36$

Сам

до ближайшей стороны меньше $1$ $0, 64$
до вершины $A$ меньше $2$ (до сотых) $\frac{π}{25} \approx 0, 13$
при каком $d$ $P (до всех сторон > d) = 0, 64$ ? $d = 0, 5$

2,5 мин · практика
Образец: точки, удалённые от каждой стороны больше чем на 1, образуют внутренний квадрат со стороной 5 − 2·1 = 3 (фиолетовый). P = 9/25 = 0,36.
1) Противоположное событие к образцу: 1 − 0,36 = 0,64 (рамка шириной 1). 2) Множество точек квадрата на расстоянии меньше 2 от вершины A — четверть круга радиуса 2 (розовый пунктир): S = π·4/4 = π; P = π/25 = 0,1256… ≈ 0,13. 3) Обратная задача: (5 − 2d)²/25 = 0,64 ⇒ 5 − 2d = 4 ⇒ d = 0,5 (корень 5 − 2d = −4 не подходит: d > 0 и 5 − 2d > 0).

R03.1

Образец → сам · пересечение и объединение

$x, y \in [0; 1]$ ; $A = {x + y < 1}$ , $B = {x < 0, 5}$

Образец: $P (A \cap B)$ и $P (A \cup B)$

$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 5$ треугольник, полоса

$A \cap B$ — трапеция: $\frac{1 + 0 , 5}{2} \cdot 0, 5 = 0, 375$

$P (A \cup B) = 0, 5 + 0, 5 - 0, 375$ = $0, 625$

Сам

$P (A \cap \overline{B})$ $0, 125$
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ $0, 375$
Независимы ли $A$ и $B$ ? нет: $0, 375 \neq = 0, 25$

2,5 мин · практика
Образец: A — треугольник под прямой x + y = 1 (розовый), S = 0,5; B — левая полоса x < 0,5 (фиолетовая), S = 0,5. A ∩ B — трапеция с основаниями 1 (при x = 0) и 0,5 (при x = 0,5) и высотой 0,5: S = 0,375. По формуле сложения P(A ∪ B) = 0,625; проверка по чертежу: вне объединения — треугольник правее x = 0,5 над прямой, S = 0,5 − 0,125 = 0,375, 1 − 0,375 = 0,625 ✓.
1) A ∩ B̄ — часть треугольника правее x = 0,5: P(A) − P(A ∩ B) = 0,5 − 0,375 = 0,125. 2) Ā ∩ B̄ — дополнение объединения: 1 − 0,625 = 0,375. 3) Независимость: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)? 0,375 ≠ 0,5·0,5 = 0,25 — события зависимы (при x < 0,5 условие x + y < 1 выполняется чаще).

R03.1

Теория · сводка · пара случайных чисел

Два числа выбирают независимо — точка прямоугольника

$x \in [a; b]$ , $y \in [c; d]$ выбраны случайно и независимо $\Rightarrow$ $M (x; y)$ — случайная точка прямоугольника, $S (Ω) = (b - a) (d - c)$ .

Условие на $x$ и $y$ — область: $y < x$ , $x + y < k$ — полуплоскость, $∣ x - y ∣ \leq t$ — полоса.

Сначала единица измерения: время, длину переводим в доли

Ω

2 мин · теория
Почему точка «равномерна» в прямоугольнике: вероятность попасть в прямоугольник [x₁; x₂] × [y₁; y₂] равна произведению долей по каждой оси (независимость) — то есть доле площади; любую фигуру можно приблизить такими прямоугольниками.
Граница y = x — диагональ квадрата; под ней — половина квадрата (бирюзовый треугольник), P(y < x) = 1/2. Задача о встрече и задачи о случайных коэффициентах решаются именно так.
Если Ω — квадрат со стороной не 1 (например, [0; 60] минут), удобно перейти к долям: 20 мин из 60 — это 1/3.

R03.1

Теория · демонстрационный пример · задача о встрече

Встреча с 12:00 до 13:00, каждый ждёт 20 минут

$x, y$ — моменты прихода в часах, $Ω = [0; 1]^{2}$

встреча $⟺ ∣ x - y ∣ \leq \frac{1}{3}$ (20 мин $= \frac{1}{3}$ ч)

вне полосы — два треугольника с катетами $\frac{2}{3}$

$S = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$

$P = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \approx$ $0, 56$

3 мин · теория (учитель решает у доски, класс отвечает на вопросы)
Модель: каждый приходит в случайный момент часа независимо от другого; пришедший первым ждёт 20 минут и уходит. x — момент прихода Ани, y — Бори (в часах после 12:00).
Встреча ⇔ разница моментов не больше 20 минут: |x − y| ≤ 1/3 — полоса вдоль диагонали (розовая). Площадь полосы удобнее найти через дополнение: два угловых треугольника с катетами 1 − 1/3 = 2/3, площадь каждого 2/9.
P = 5/9 = 0,555… ≈ 0,56. Вопросы классу: что будет, если ждать 0 минут? (P = 0.) А 60 минут? (P = 1.) Формула 1 − (1 − t)² даёт оба крайних случая — это проверка.

R03.1

Образец → сам · задача о встрече

Меняем условия встречи

Образец: Аня ждёт $15$ мин, Боря не ждёт

встреча $⟺ x \leq y \leq x + \frac{1}{4}$

$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{4})^{2} = \frac{7}{32}$

$P = \frac{7}{32} \approx$ $0, 22$

Сам: найдите $P (встреча)$

в течение часа, оба ждут $10$ мин $\frac{11}{36} \approx 0, 31$
в течение $2$ ч, оба ждут $30$ мин $\frac{7}{16}$
сколько минут ждать (оба, в течение часа), чтобы $P = 0, 75$ ? $30$ мин

2,5 мин · практика
Образец: Боря, придя раньше Ани, сразу уходит — встреча только если Аня пришла первой (x ≤ y) и Боря пришёл не позже чем через 15 мин = 1/4 ч. Область — полоса над диагональю между y = x и y = x + 1/4: треугольник над диагональю (1/2) минус треугольник над прямой y = x + 1/4 (катеты 3/4, площадь 9/32). P = 16/32 − 9/32 = 7/32 = 0,21875 ≈ 0,22.
1) t = 10/60 = 1/6: 1 − (5/6)² = 11/36 ≈ 0,31. 2) В долях окна: t = 30/120 = 1/4: 1 − (3/4)² = 7/16 = 0,4375. 3) 1 − (1 − t)² = 0,75 ⇒ (1 − t)² = 0,25 ⇒ 1 − t = 0,5 ⇒ t = 0,5 ч = 30 мин.

R03.1

Образец → сам · случайные коэффициенты

$a, b \in (0; 1]$ случайно; корень уравнения $a x = b$

Образец: $P (x \leq \frac{1}{2})$

$x = \frac{b}{a} \leq \frac{1}{2} ⟺ b \leq \frac{a}{2}$ $a > 0$

область — треугольник с катетами $1$ и $\frac{1}{2}$

$P = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{1}{2}$ = $0, 25$

Сам

$P (x > 2)$ $0, 25$
$P (x < 1)$ $0, 5$
$P (\frac{1}{2} \leq x \leq 2)$ $0, 5$

2,5 мин · практика
Образец: точка (a; b) — случайная точка квадрата (a по горизонтали, b по вертикали). Умножать неравенство на a можно, потому что a > 0 (знак не меняется) — это обоснование нужно проговорить. Область b ≤ a/2 — под прямой b = a/2: треугольник с вершинами (0; 0), (1; 0), (1; 1/2), S = 1/4.
1) b > 2a: треугольник с вершинами (0; 0), (0; 1), (1/2; 1), S = 1/4. 2) b < a: под диагональю, 1/2. 3) Противоположное к «x < 1/2 или x > 2»: 1 − 1/4 − 1/4 = 1/2 (события несовместимы). Можно спросить: почему P(x > 2) = P(x < 1/2)? (Симметрия квадрата относительно диагонали: x ↦ 1/x.)

R03.1 · R03.2

Теория · сводка · дуга, хорда, центральный угол

$A$ на окружности закреплена, $B$ выбирают случайно

Длина хорды растёт с центральным углом $φ = ∠ A OB$ $(0^{\circ} \leq φ \leq 18 0^{\circ})$ .

$A B$	$r$	$r 2$	$r 3$	$2 r$
$φ$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$18 0^{\circ}$

Точка

B

— по обе стороны от

A

P (A B > r) = \frac{36 0 ^{\circ} - 2 \cdot 6 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{2}{3}

2,5 мин · теория
Таблица — из геометрии: хорда, стягивающая 60°, равна радиусу (равносторонний треугольник AOB); 90° — гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, r√2; 120° — сторона вписанного правильного треугольника, r√3; 180° — диаметр.
На чертеже: B1 и B2 — точки, для которых AB = r (угол 60° по обе стороны от A). Для всех точек розовой дуги (240°) угол больше 60° и AB > r. P = 240/360 = 2/3.
Главная ошибка — забыть вторую сторону: угол 60° откладываем от OA и вверх, и вниз.

R03.1 · R03.2

Образец → сам · хорды и углы

Окружность радиуса $r$ ; точку $B$ выбирают случайно

Образец: $P (A B > r 3)$

$A B > r 3 ⟺ φ > 12 0^{\circ}$ таблица

дуга: $36 0^{\circ} - 2 \cdot 12 0^{\circ} = 12 0^{\circ}$ обе стороны

$P = \frac{12 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}}$ = $\frac{1}{3}$

Сам

$P (A B < r)$ $\frac{1}{3}$
$P (A B > r 2)$ $\frac{1}{2}$
$A C$ — диаметр: $P (∠ B A C < 3 0^{\circ})$ $\frac{1}{3}$
$P (S_{A OB} > \frac{r ^{2}}{4})$ $\frac{2}{3}$

2,5 мин · практика
Образец: AB = r√3 при φ = 120° (сторона вписанного правильного треугольника). Благоприятна дуга, где φ > 120°, — между B1 и B2 напротив A: 360° − 240° = 120°. P = 1/3.
1) φ < 60° по обе стороны от A: дуга 120°, P = 1/3. 2) φ > 90°: 360° − 180° = 180°, P = 1/2. 3) Вписанный угол BAC равен половине дуги BC: ∠BAC < 30° ⇔ дуга BC < 60° ⇔ B на расстоянии меньше 60° от C по обе стороны: 120°/360° = 1/3. 4) S = ½r² sin φ > r²/4 ⇔ sin φ > 1/2 ⇔ 30° < φ < 150°: две дуги по 120°, P = 240/360 = 2/3.
Задание 4 при нехватке времени — в ДЗ.

R03.1 · R03.2

Образец → сам · пересечение кругов

Точку $M$ выбирают в квадрате $A BC D$ со стороной $2$

Образец: $M A \leq 2$ и $MC \leq 2$

каждое условие — четверть круга, $S = π$

общая часть — два сегмента у $B D$ : $2 (π - 2)$ $π - S_{A B D}$

$P = \frac{2 π - 4}{4} = \frac{π - 2}{2} \approx$ $0, 57$

Сам

$P (M A \leq 2 или MC \leq 2)$ $1$
$P (M A > 2)$ $1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$
$P (M A < MC)$ $\frac{1}{2}$

2,5 мин · практика
Образец: {MA ≤ 2} внутри квадрата — четверть круга с центром A радиуса 2 (фиолетовая), площадь π·4/4 = π; так же {MC ≤ 2} (бирюзовая). Их пересечение (розовое) — два круговых сегмента, отсекаемых диагональю BD: сегмент = четверть круга − треугольник ABD = π − 2. P = 2(π − 2)/4 = (π − 2)/2 = 0,5707… ≈ 0,57.
1) По формуле сложения: π/4 + π/4 − (π − 2)/2 = 1. Значит, каждая точка квадрата ближе чем на 2 к A или к C — проверьте по чертежу: белых мест нет. 2) Противоположное к «MA ≤ 2»: 1 − π/4 = 0,2146… ≈ 0,21. 3) Точки, равноудалённые от A и C, лежат на серединном перпендикуляре к AC — это диагональ BD; ближе к A — треугольник ABD, P = 1/2.

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
встреча, ждут $20$ мин: вычли один угловой треугольник	$1 - \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{2} = \frac{7}{9}$	$1 - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3})^{2} = \frac{5}{9}$
хорда $A B < r$ : дуга только с одной стороны от $A$	$\frac{6 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{1}{6}$	$\frac{2 \cdot 6 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{1}{3}$
сложили пересекающиеся фигуры: $M A \leq 2$ или $MC \leq 2$	$\frac{π}{4} + \frac{π}{4} \approx 1, 57$	$\frac{π}{2} - \frac{π - 2}{2} = 1$
$x, y \in [0; 3]$ , $P (x + y < 2)$ : не разделили на $S (Ω)$	$\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2$	$\frac{2}{9}$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Вне полосы |x − y| ≤ 1/3 два симметричных треугольника — над и под диагональю (один — «первым пришёл Боря», другой — «первой пришла Аня»). 2) При фиксированной A точка B может уйти по окружности в обе стороны; угол 60° по каждую сторону — дуга 120°. 3) Вероятность больше 1 — сигнал, что общая часть посчитана дважды: формула сложения P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). 4) Ω — квадрат 3×3, S = 9; область — треугольник с катетами 2, S = 2; P = 2/9. Получилось «2» — вероятность больше 1, ответ заведомо неверен.

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Приходят с 12:00 до 12:30, ждут $10$ мин. $P (встреча)$ ?

$t = \frac{10}{60} = \frac{1}{6}$ ; $P = 1 - (\frac{5}{6})^{2} = \frac{11}{36}$

окно — $30$ мин: $t = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

$P = 1 - (\frac{2}{3})^{2} = \frac{5}{9}$

б) Окружность $r = 1$ , $A$ закреплена. $P (A B > 1)$ ?

нужно $φ > 6 0^{\circ}$ : $P = \frac{30 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{5}{6}$

исключаем по $6 0^{\circ}$ с обеих сторон от $A$

$P = \frac{36 0 ^{\circ} - 12 0 ^{\circ}}{36 0 ^{\circ}} = \frac{2}{3}$

в) $M$ — случайная точка $△ A BC$ . $P (S_{A BM} < \frac{1}{2} S_{A BC})$ ?

высота $< \frac{1}{2} h$ — половина треугольника, $P = \frac{1}{2}$

над средней линией — треугольник, подобный с $k = \frac{1}{2}$ : доля $\frac{1}{4}$

$P = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ω — квадрат со стороной 30 минут, а не 60: в долях окна время ожидания 1/3. P = 5/9 ≈ 0,56.
б) Ученик исключил только одну дугу 60°. Точки B с φ < 60° лежат по обе стороны от A — дуга 120°; P = 240/360 = 2/3.
в) S(ABM) < ½S(ABC) ⇔ расстояние от M до AB меньше h/2 ⇔ M ниже средней линии. Над средней линией — треугольник, подобный ABC с коэффициентом 1/2, его площадь 1/4 всей; ниже — трапеция, 3/4. Делить «по высоте» нельзя — площадь не пропорциональна высоте полосы.

R03.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Пара чисел $x, y$

$x, y \in [0; 1]$ : $P (∣ x - y ∣ > 0, 5)$ $0, 25$
$x, y \in [0; 1]$ : $P (x > 2 y)$ $0, 25$
$x, y \in [0; 2]$ : $P (x + y > 3)$ $0, 125$

Фигуры и окружность

Квадрат $4 \times 4$ : $P (до центра > 2)$ $1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$
Окружность, $A$ закреплена: $P (A B > r)$ $\frac{2}{3}$
$M$ в $△ A BC$ : $P (S_{A BM} > \frac{1}{3} S_{A BC})$ $\frac{4}{9}$

3 мин · практика
Самостоятельно в тетради, с наброском чертежа; ответ к каждому открывать по клику, класс сверяет.
1) Два угловых треугольника с катетами 0,5: 2·½·0,25 = 0,25. 2) Под прямой y = x/2: треугольник (0; 0), (1; 0), (1; 0,5), S = 0,25. 3) Ω = 4; над прямой x + y = 3 — треугольник с катетами 1, S = 0,5; P = 0,5/4 = 0,125.
4) Внутри — вписанный круг радиуса 2, S = 4π; вне него 16 − 4π; P = 1 − π/4 = 0,2146… ≈ 0,21. 5) φ > 60° — дуга 240°: 2/3 (сводка, сл. 11). 6) Расстояние до AB больше h/3 ⇔ M выше прямой, параллельной AB, на высоте h/3: треугольник, подобный ABC с k = 2/3, доля (2/3)² = 4/9 ≈ 0,44.

R03.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите — с чертежом и обоснованием

из жизниЗа сутки к причалу в случайные моменты подходят два судна. Стоянка первого — $6$ ч, второго — $4$ ч. $P (одному придётся ждать)$ $\frac{107}{288} \approx 0, 37$
повыш.Палочку ломают в двух случайных точках. $P (из трёх частей можно сложить треугольник)$ $\frac{1}{4}$
повыш. $x, y \in [0; 1]$ : $P (min (x, y) < 0, 6)$ $0, 84$
повыш.Квадрат $A BC D$ со стороной $2$ , $O$ — центр. $P (M ближе к O, чем к A)$ $\frac{7}{8}$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) x, y ∈ [0; 24] — моменты прихода первого и второго судна. Ждать не придётся, если второе пришло позже ухода первого (y > x + 6, треугольник ½·18² = 162) или первое — позже ухода второго (x > y + 4, треугольник ½·20² = 200). P(ждать) = 1 − 362/576 = 214/576 = 107/288 = 0,3715… ≈ 0,37.
2) Точки разлома x < y на [0; 1]: части x, y − x, 1 − y. Треугольник ⇔ каждая часть < 1/2 (неравенство треугольника). В треугольнике 0 < x < y < 1 (площадь 1/2) это внутренний треугольник площади 1/8; P = 1/8 : 1/2 = 1/4 (проверено моделированием).
3) Противоположное: min ≥ 0,6 ⇔ оба ≥ 0,6 — квадрат 0,4 × 0,4 = 0,16; P = 0,84.
4) A = (0; 0), O = (1; 1): равноудалённые точки — серединный перпендикуляр к AO, прямая x + y = 1. Ближе к A — треугольник у вершины A с катетами 1, S = 1/2; P = 1 − (1/2)/4 = 7/8 = 0,875.

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. В квадрат со стороной $6$ вписан круг. Найдите вероятность того, что случайная точка квадрата не попадёт в круг. Округлите до сотых.

Ответ: $0, 21$

2. Часы с двенадцатичасовым циферблатом остановились. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки $8$ , но не дойдя до отметки $2$ .

Ответ: $0, 5$

3. Из отрезка $[- 3; 7]$ случайно выбирают число $x$ . Найдите вероятность того, что $x^{2} \leq 4$ .

Ответ: $0, 4$

В бланк — десятичная дробь без единиц измерения:

0, 5

2 мин · практика
1) Круг радиуса 3: 1 − 9π/36 = 1 − π/4 = 0,2146… ≈ 0,21. 2) От 8 до 2 часов по ходу стрелки — 6 «часов» из 12 (8 → 12 → 2): 6/12 = 0,5. Ловушка — посчитать 8 − 2 = 6 «назад»: здесь совпало, но для отметок 9 и 1 ответ 4/12, а не 8/12. 3) x² ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 2, отрезок целиком внутри [−3; 7], L = 4; 4/10 = 0,4.
В ОГЭ линия 10 чаще всего — классическая вероятность; геометрические задачи встречаются в тренировочных вариантах, ответ — конечная десятичная дробь (или округление по условию).

R03.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$x, y \in [0; 1]$ : $P (x + y > 1, 2)$ $0, 32$
Встреча в течение часа, оба ждут $12$ мин. $P (встреча)$ $0, 36$
Окружность, $A$ закреплена: $P (A B < r 2)$ $0, 5$
Квадрат $10 \times 10$ : $P (до каждой стороны > 2)$ $0, 36$

Вариант 2

$x, y \in [0; 1]$ : $P (x + y < 0, 6)$ $0, 18$
Встреча в течение часа, оба ждут $30$ мин. $P (встреча)$ $0, 75$
Окружность, $A$ закреплена: $P (A B > r)$ $\frac{2}{3}$
Квадрат $10 \times 10$ : $P (до каждой стороны > 1)$ $0, 64$

4 мин · практика
Вариант 1: 1) треугольник у вершины (1; 1) с катетами 0,8: ½·0,64 = 0,32. 2) t = 12/60 = 0,2: 1 − 0,8² = 0,36. 3) φ < 90° по обе стороны: 180°/360° = 0,5. 4) внутренний квадрат 6×6: 36/100 = 0,36.
Вариант 2: 1) треугольник у начала координат с катетами 0,6: ½·0,36 = 0,18. 2) t = 0,5: 1 − 0,25 = 0,75. 3) φ > 60°: 240°/360° = 2/3. 4) внутренний квадрат 8×8: 0,64.
3,5 мин на решение, затем обмен тетрадями и проверка по ответам (по клику). Критерий: 4 верно — «5», 3 — «4», 2 — «3»; на углублённом уровне в заданиях 2–3 нужен чертёж.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как два случайных числа превратить в точку?
Почему в задаче о хорде дуг две?
Как проверить ответ: крайние случаи, $0 \leq P \leq 1$ ?

Домашнее задание

Встреча: окно $40$ мин, оба ждут $10$ мин
$P (S_{A OB} > \frac{3}{4} r^{2})$ ; * палочку ломают в двух точках: $P (самая длинная часть > \frac{1}{2})$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_geometricheskaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-012 · Практикум: геометрическая вероятность

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R03 «Геометрическая вероятность», 3 ч · урок 3/3 · тип П
Единицы → слайды	R03.1 «Геометрическая вероятность» → 2–20 · опора на R03.2 «Случайный выбор точки из фигуры на плоскости, из отрезка, из дуги окружности» (VIS9U-011) → 4, 5, 11–13, 16, 18
Результаты	ПР-2 (геометрическая вероятность: выбор точки из плоской фигуры, отрезка, окружности) → 3–19
Вне урока	понятие геометрической вероятности — VIS9U-010; выбор точки из фигуры, отрезка, дуги — VIS9U-011; испытания и серии Бернулли — VIS9U-013 и далее
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: геометрическая вероятность

Сегодня вы научитесь

Пара чисел — точка

Дуги и хорды

Составные фигуры

Обосновывать

Доли площадей, длин и дуг

Найдите вероятность

Найдите

Вероятность — доля «меры»: длины, площади, дуги

Отрезок

Фигура

Дуга окружности

Точку M выбирают в квадрате 5×5

Образец: расстояние от M до каждой стороны больше 1

Сам

x, y∈[0;1]; A={x+y<1}, B={x<0,5}

Образец: P(A∩B) и P(A∪B)

Сам

Два числа выбирают независимо — точка прямоугольника

Встреча с 12:00 до 13:00, каждый ждёт 20 минут

Меняем условия встречи

Образец: Аня ждёт 15 мин, Боря не ждёт

Сам: найдите P(встреча)

a, b∈(0;1] случайно; корень уравнения ax=b

Образец: P(x≤21​)

Сам

A на окружности закреплена, B выбирают случайно

Окружность радиуса r; точку B выбирают случайно

Образец: P(AB>r3​)

Сам

Точку M выбирают в квадрате ABCD со стороной 2

Образец: MA≤2 и MC≤2

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Приходят с 12:00 до 12:30, ждут 10 мин. P(встреча)?

б) Окружность r=1, A закреплена. P(AB>1)?

в) M — случайная точка △ABC. P(SABM​<21​SABC​)?

Решите и проверьте

Пара чисел x, y

Фигуры и окружность

Подумайте и решите — с чертежом и обоснованием

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-012 · Практикум: геометрическая вероятность

Точку $M$ выбирают в квадрате $5 \times 5$

Образец: расстояние от $M$ до каждой стороны больше $1$

$x, y \in [0; 1]$ ; $A = {x + y < 1}$ , $B = {x < 0, 5}$

Образец: $P (A \cap B)$ и $P (A \cup B)$

Образец: Аня ждёт $15$ мин, Боря не ждёт

Сам: найдите $P (встреча)$

$a, b \in (0; 1]$ случайно; корень уравнения $a x = b$

Образец: $P (x \leq \frac{1}{2})$

$A$ на окружности закреплена, $B$ выбирают случайно

Окружность радиуса $r$ ; точку $B$ выбирают случайно

Образец: $P (A B > r 3)$

Точку $M$ выбирают в квадрате $A BC D$ со стороной $2$

Образец: $M A \leq 2$ и $MC \leq 2$

а) Приходят с 12:00 до 12:30, ждут $10$ мин. $P (встреча)$ ?

б) Окружность $r = 1$ , $A$ закреплена. $P (A B > 1)$ ?

в) $M$ — случайная точка $△ A BC$ . $P (S_{A BM} < \frac{1}{2} S_{A BC})$ ?

Пара чисел $x, y$