Геометрическая вероятность · урок 1 из 3

Геометрическая вероятность

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R03 · VIS9U-010

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R03 «Геометрическая вероятность» (3 ч), урок 1/3, единица R03.1 «Геометрическая вероятность». Тип урока — Н. Опора: классическая вероятность, операции над событиями (R01.3), комбинаторика (VIS9U-004 … VIS9U-009), площади и подобие из геометрии.
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (обоснование через сетку) 3 · 5 (определение через меру) 2,5 · 6 (свойства) 2,5 · 9 (подобные фигуры) 1,5 · 11 (неравенства на отрезке) 2.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 7, 8, 10, 12) по 2 · включение-исключение (сл. 13) 2,5 · пара чисел (сл. 14) 3 · Монте-Карло (сл. 15) 2 · типичные ошибки (сл. 16) 1,5 · найди ошибку (сл. 17) 2 · база (сл. 18) 2 · повышенный (сл. 19) 2 · ОГЭ (сл. 20) 1,5 · самостоятельная (сл. 21) 4 · итог (сл. 22) 1.
Картинка на титуле — 110 случайных точек в квадрате; розовые попали в круг. Вопрос в конце урока: какую долю точек мы ожидаем в круге радиуса 0,4 при стороне квадрата 1? ( $π \cdot 0, 16 \approx 0, 50$ .)
Если не успеваете: задачи 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R03.1 · ПР-2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Понятие

объяснять, почему вероятность равна отношению мер $μ (A) : μ (Ω)$ (ПР-2)

Свойства

сложение, дополнение, включение-исключение для фигур (ПР-2)

Фигуры

многоугольники на клетках, круги и кольца, подобные фигуры (ПР-2)

Промежутки

неравенства на отрезке, задачи с параметром, пара случайных чисел (ПР-2)

1 мин · теория
ПР-2: «Использовать понятие геометрической вероятности, находить вероятности событий в опытах, связанных со случайным выбором точек из плоской фигуры, отрезка, длины окружности». Из характеристики деятельности R03: «решать задачи на нахождение вероятностей в опытах, представимых как выбор точек из фигуры на плоскости (многоугольника, круга), из отрезка или дуги окружности, из числового промежутка».
Углублённый уровень: обоснование формулы (оценка сеткой), свойства с доказательством, задачи с параметром и с двумя случайными числами. Дуга окружности и выбор точки с условиями на расстояния — следующий урок VIS9U-011.

повторение: R01.3, R02, геометрия

Разминка · устно

События, площади, неравенства

Вероятность

$C_{6}^{2}$ $15$
$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (A \cup B)$ $0, 7$
Кубик: $P (не шестёрка)$ $\frac{5}{6}$

Геометрия и алгебра

площадь трапеции: основания $3$ и $7$ , высота $4$ $20$
площадь кольца между $r = 2$ и $r = 3$ $5 π$
треугольники подобны, $k = \frac{1}{3}$ . Отношение площадей $\frac{1}{9}$
решите $∣ x - 2∣ \leq 3$ $[- 1; 5]$

R03.1

Новое понятие · почему вероятность — доля площади

Точек бесконечно много: оценим сеткой

Точку бросают в квадрат наугад: равные по площади клетки равновозможны. Квадрат $1 \times 1$ , круг $A$ радиуса $0, 4$ .

Клетки целиком в

A

:

32

из

100

— оценка снизу

P (A) \geq 0, 32

.

Клетки, задевающие

A

:

60

— оценка сверху

P (A) \leq 0, 60

.

Мельче сетка — оценки сходятся к

\frac{S ( A )}{S ( Ω )} = 0, 16 π \approx 0, 503

.

3 мин · теория
Вопрос классу: можно ли применить $P = m / n$ ? (Нет — точек бесконечно много.) Что значит «наугад»? (Равные по площади части равновозможны: ни одна часть не имеет преимущества.)
Обоснование: сетка $n \times n$ даёт $n^{2}$ равновозможных клеток. Если $A$ содержит $m_{1}$ клеток целиком и задевает $m_{2}$ клеток, то $\frac{m _{1}}{n ^{2}} \leq P (A) \leq \frac{m _{2}}{n ^{2}}$ . Числа посчитаны программой: при $n = 10$ : 32 и 60 (0,32 … 0,60); при $n = 20$ : 164 и 224 (0,41 … 0,56); при $n = 40$ : 732 и 856 (0,4575 … 0,535). Обе оценки стремятся к площади круга $π \cdot 0, 4^{2} = 0, 16 π \approx 0, 5027$ .
Так же определяют площадь в геометрии (палетка) — поэтому вероятность совпадает с долей площади. Исторически: Ж. Бюффон (XVIII в.), сейчас — метод Монте-Карло (сл. 15).

R03.1

Теория · определение геометрической вероятности

Вероятность — отношение мер

Точку выбирают случайно из фигуры $Ω$ , $μ (Ω) > 0$ . Вероятность попасть в часть $A \subset Ω$ :

P (A) = \frac{μ ( A )}{μ ( Ω )}

μ

— мера: длина на прямой, площадь на плоскости, объём в пространстве.

Вероятность зависит только от меры

A

— не от формы и положения.

2,5 мин · теория
Определение (учебник Высоцкого–Ященко, углублённый уровень): если точку выбирают случайно (равномерно) из фигуры Ω конечной положительной меры, то вероятность события «точка попала в фигуру A ⊂ Ω» равна $μ (A) / μ (Ω)$ . Мера — длина $L$ , площадь $S$ или объём $V$ , в зависимости от размерности.
Сравнить с классической: $m / n$ — доля числа исходов; $μ (A) / μ (Ω)$ — доля меры. Требование $μ (Ω) > 0$ и конечна: бросить точку «наугад на всю прямую» нельзя — делить не на что.
Вопрос: изменится ли вероятность, если часть A сдвинуть или перекроить, сохранив площадь? (Нет.)

R03.1 · R01.3

Теория · свойства геометрической вероятности

Свойства площади → свойства вероятности

0 \leq P (A) \leq 1

,

P (Ω) = 1

,

P (\overline{A}) = 1 - P (A)

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

; если

S (A \cap B) = 0

— просто сумма.

Точка и линия имеют площадь

0

:

P = 0

, хотя событие возможно. Границы фигур не влияют на ответ.

2,5 мин · теория
Доказательство каждого свойства — делим равенство для площадей на $S (Ω)$ : $0 \leq S (A) \leq S (Ω)$ ; $S (\overline{A}) = S (Ω) - S (A)$ ; $S (A \cup B) = S (A) + S (B) - S (A \cap B)$ (общая часть посчитана дважды). Получаем те же правила, что для классической вероятности (8 класс, R01.3).
Важное отличие от классической модели: событие вероятности 0 не обязательно невозможно (попасть ровно в центр мишени), а вероятности 1 — не обязательно достоверно. Поэтому $P (x < 3) = P (x \leq 3)$ : строгие и нестрогие неравенства дают одинаковый ответ.
Вопрос: когда $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ , хотя фигуры касаются? (Касание по линии — площадь пересечения 0.)

R03.1 · ПР-2

Образец → сам · многоугольник на клетках

Площадь — «достроить и вычесть»

Образец: точку бросают в прямоугольник $8 \times 5$

$S (Ω) = 8 \cdot 5 = 40$ весь прямоугольник

углы: $3 + 4 + 3 + 4 = 14$ четыре прямоугольных треугольника

$S (A) = 40 - 14 = 26$ ; $P = \frac{26}{40}$ = $0, 65$

Сам: $P (в розовую фигуру)$

1) квадрат $4 \times 4$ $\frac{7 , 5}{16} = 0, 46875$

2) прямоугольник $5 \times 4$ $\frac{12}{20} = 0, 6$

3) квадрат $4 \times 4$ $\frac{9}{16} = 0, 5625$

R03.1 · ПР-2

Образец → сам · круг, кольцо, сектор

Мишень радиуса $5$ , попадание — в случайную точку

Образец: попасть в кольцо $3 < r < 4$

$S (Ω) = 25 π$ , $S (A) = 16 π - 9 π = 7 π$ кольцо = круг − круг

$P (A) = \frac{7 π}{25 π}$ = $0, 28$ $π$ сократилось

Сам

круг вписан в квадрат: $P (в круг)$ $\frac{π}{4} \approx 0, 79$
сектор $7 2^{\circ}$ круга $0, 2$
обратнаямишень $R = 10$ делят окружностью на две части равной площади. Радиус окружности? $52$

R03.1

Теория · подобные фигуры

Коэффициент подобия $k$ — вероятность $k^{2}$

Точку выбирают в $△ A BC$ . $△ MBN \sim △ A BC$ с коэффициентом $k$ .

S (MBN) = k^{2} \cdot S (A BC)

— площади подобных фигур.

P (MBN) = k^{2}

,

P (трап .) = 1 - k^{2}

На отрезке подобие даёт

k

, на плоскости

k^{2}

, в пространстве

k^{3}

.

R03.1 · ПР-2

Образец → сам · подобие

Прямая параллельна стороне треугольника

Образец: прямая $∥ A C$ делит высоту $1 : 2$ от вершины $B$ . $P (в трапецию)$

$k = \frac{h}{3 h} = \frac{1}{3}$ высоты подобных треугольников

$P (△) = k^{2} = \frac{1}{9}$ отношение площадей

$P (трап .) = 1 - \frac{1}{9}$ = $\frac{8}{9}$

Сам

Средние линии делят треугольник на $4$ части. $P (в среднюю)$ $0, 25$
Середины сторон квадрата соединили — получили квадрат. $P (в него)$ $0, 5$
обратнаяПрямая $∥ A C$ отсекает $△ MBN$ , $P (в него) = 0, 36$ . Найдите $BM : M A$ $3 : 2$

R03.1

Теория · вероятность через длину

Случайное число из отрезка и неравенство

P (∣ x - 1∣ > 2) = \frac{3 + 3}{10} = 0, 6

$x \in [- 4; 6]$ выбирают случайно. План:

1) решить неравенство:

x < - 1

или

x > 3

2) пересечь с

Ω

:

[- 4; - 1) \cup (3; 6]

3) сложить длины частей и разделить на

L (Ω)

.

R03.1 · ПР-2

Образец → сам · неравенство и параметр

Решить → пересечь с $Ω$ → измерить

Образец: $x \in [0; 5]$ . $P (x^{2} - 5 x + 4 < 0)$

корни $1$ и $4$ : $1 < x < 4$ парабола ветвями вверх

$(1; 4) \subset [0; 5]$ , $L (A) = 3$ целиком внутри $Ω$

$P (A) = \frac{3}{5}$ = $0, 6$

Сам

$x \in [- 2; 4]$ : $P (x^{2} \geq 1)$ $\frac{2}{3}$
$x \in [0; 10]$ : $P (∣ x - 4∣ \leq 3)$ $0, 6$
$x \in [1; 9]$ : $P (x > 2)$ $0, 625$
параметр $x \in [0; a]$ , $a > 0$ , $P (x > 3) = 0, 4$ . Найдите $a$ $5$

R03.1 · R01.3 · ПР-2

Образец → сам · пересекающиеся фигуры

Квадрат $10 \times 10$ , прямоугольники $A$ и $B$

Образец: $P (A \cup B)$

$S (A) = 6 \cdot 4 = 24$

$S (B) = 3 \cdot 8 = 24$

$S (A \cap B) = 2 \cdot 4 = 8$ фиолетовая часть

$\frac{24 + 24 - 8}{100}$ = $0, 4$

Сам (тот же рисунок)

$P (ни в A, ни в B)$ $0, 6$
$P (в A, но не в B)$ $0, 16$
$P (ровно в одну)$ $0, 32$
повыш.Независимы ли $A$ и $B$ ? нет

R03.1 · ПР-2

Образец → сам · два случайных числа

Пара чисел $(x; y)$ — точка квадрата

Образец: $x, y \in [0; 1]$ наугад. $P (x + y < 1, 5)$

$Ω$ — квадрат, $S = 1$ точка $(x; y)$

$\overline{A}$ : $y \geq 1, 5 - x$ треугольник, катеты $0, 5$

$P = 1 - \frac{0 , 5 ^{2}}{2}$ = $0, 875$

Сам: $x, y \in [0; 1]$

$P (y > x)$ $0, 5$
$P (x > 2 y)$ $0, 25$
$P (∣ x - y ∣ < 0, 5)$ $0, 75$

3 мин · практика
Ключевая идея: два независимых случайных числа из [0; 1] — одна случайная точка единичного квадрата. Условие на x и y — область квадрата; рисуем прямую и выбираем полуплоскость.
Образец: прямая x + y = 1,5 отсекает угол (1; 0,5), (1; 1), (0,5; 1) — треугольник площади ½·0,5·0,5 = 0,125. P = 1 − 0,125 = 0,875 (через противоположное событие проще).
1) Выше диагонали y = x — половина: 0,5. 2) Под прямой y = x/2: треугольник (0; 0), (1; 0), (1; 0,5), S = 0,25. 3) Вне полосы — два угловых треугольника с катетами 0,5: 2·0,125 = 0,25; P = 1 − 0,25 = 0,75. Это модель «задачи о встрече» (сл. 19).

R03.1 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: метод Монте-Карло

Площадь по случайным точкам

Образец: озеро на карте — внутри прямоугольника $4 \times 3$ км. Компьютер бросил $2000$ случайных точек, в озеро попало $730$

$P (в озеро) = \frac{S}{12} \approx \frac{730}{2000}$ частота ≈ вероятность

$S \approx 12 \cdot 0, 365$ = $4, 38$ км²

чем больше точек, тем точнее оценка

Сам

В квадрат $[0; 1]^{2}$ бросили $1000$ точек, $787$ — в четверть круга $x^{2} + y^{2} \leq 1$ . Оцените $π$ $3, 148$
Пятно $15$ см² на листе $20 \times 30$ см. Сколько из $4000$ точек ожидаем в пятне? $100$

R03.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
подобие с $k = \frac{1}{2}$ : взяли $k$ , а не $k^{2}$	$P = \frac{1}{2}$	$P = k^{2} = \frac{1}{4}$
пересекающиеся фигуры: сложили площади	$\frac{24 + 24}{100} = 0, 48$	$\frac{24 + 24 - 8}{100} = 0, 4$
$x \in [- 2; 4]$ , $P (x^{2} \geq 1)$ : потеряли часть	$x \geq 1$ : $\frac{3}{6}$	$[- 2; - 1] \cup [1; 4]$ : $\frac{4}{6}$
« $P = 0$ — значит невозможно»	в центр попасть нельзя	возможно, но $P = 0$

R03.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Средняя линия $∥ A C$ . $P (в трапецию)$ ?

$k = \frac{1}{2}$ , $P (△) = \frac{1}{2}$ , $P (трап .) = \frac{1}{2}$

площади: $P (△) = k^{2} = \frac{1}{4}$

$P (трап .) = 1 - \frac{1}{4} = 0, 75$

б) $x \in [- 3; 3]$ . $P (∣ x ∣ > 1)$ ?

$x > 1$ : $L (A) = 2$ , $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

ещё $x < - 1$ : $L (A) = 2 + 2 = 4$

$P = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

в) $x, y \in [0; 1]$ . $P (x + y < 0, 5)$ ?

« $0, 5$ — половина от $1$ », $P = 0, 5$

$A$ — треугольник с катетами $0, 5$

$P = \frac{0 , 5 ^{2}}{2} = 0, 125$

R03.1 · ПР-2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Фигуры

Мишень $r = 10$ . $P (в кольцо 6 < r < 8)$ $0, 28$
Сектор $4 5^{\circ}$ круга. $P (в сектор)$ $0, 125$
Газон $10 \times 10$ , клумбы $2 \times 3$ и $4 \times 4$ не пересекаются. $P (мимо клумб)$ $0, 78$
Прямая $∥$ стороне отсекает треугольник, $k = 0, 4$ . $P (в него)$ $0, 16$

Отрезки

$x \in [- 5; 5]$ : $P (x^{2} > 4)$ $0, 6$
$x \in [0; 8]$ : $P (∣ x - 3∣ < 2)$ $0, 5$
$x \in [- 1; 4]$ : $P (x < 0 или x > 3)$ $0, 4$

R03.1 · ПР-2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и обоснуйте

повыш.Точку выбирают в квадрате со стороной $2$ . $P (до ближайшей вершины меньше 1)$ $\frac{π}{4} \approx 0, 79$
повыш.Точку выбирают в квадрате со стороной $1$ . $P (до центра больше 0, 5)$ $1 - \frac{π}{4} \approx 0, 21$
из жизниАня и Боря приходят в случайный момент от $12 : 00$ до $13 : 00$ и ждут друг друга $15$ минут. $P (встретятся)$ $\frac{7}{16}$
параметр $x \in [0; a]$ , $a > 0$ : $P (x^{2} - 4 x + 3 < 0) = 0, 5$ . Найдите все $a$ $2$ или $4$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задачи 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) У каждой вершины — четверть круга радиуса 1; четверти не пересекаются (сторона 2 = 1 + 1). Вместе — круг площади π; P = π/4 ≈ 0,785.
2) Круг радиуса 0,5 с центром в центре квадрата вписан в квадрат: S = π/4; P(дальше) = 1 − π/4 ≈ 0,215.
3) x, y ∈ [0; 60] мин; встреча ⇔ |x − y| ≤ 15. Вне полосы — два треугольника с катетами 45: 45² = 2025 из 3600; P = 1 − (3/4)² = 7/16 = 0,4375 (проверено и моделированием).
4) $(x - 1) (x - 3) < 0$ ⇔ 1 < x < 3. Если a ≤ 1: P = 0. Если 1 < a < 3: (a − 1)/a = 0,5 ⇒ a = 2 ✓ (подходит, 1 < 2 < 3). Если a ≥ 3: 2/a = 0,5 ⇒ a = 4 ✓. Ответ: a = 2 или a = 4. Проверка: a = 2 — (1; 2), 1/2; a = 4 — (1; 3), 2/4.

R03.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. В квадрат со стороной $10$ случайно бросают точку. Внутри квадрата — прямоугольник $4 \times 5$ . Найдите вероятность того, что точка попадёт в прямоугольник.

Ответ: $0, 2$

2. Из отрезка $[- 2; 8]$ случайно выбирают число $x$ . Найдите вероятность того, что $x > 5$ .

Ответ: $0, 3$

3. Мишень — круг радиуса $10$ , «десятка» — круг радиуса $2$ с тем же центром. Найдите вероятность не попасть в «десятку» при попадании в мишень.

Ответ: $0, 96$

В бланк — десятичная дробь без единиц измерения:

0, 96

.

R03.1 · ПР-2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Квадрат $5 \times 5$ , внутри прямоугольник $2 \times 3$ . $P (в него)$ $0, 24$
Мишень $r = 5$ : $P (2 < r < 3)$ $0, 2$
$x \in [- 3; 5]$ : $P (x^{2} < 4)$ $0, 5$
$x, y \in [0; 1]$ : $P (x + y > 1, 6)$ $0, 08$

Вариант 2

Квадрат $5 \times 5$ , внутри прямоугольник $1 \times 4$ . $P (в него)$ $0, 16$
Мишень $r = 5$ : $P (1 < r < 4)$ $0, 6$
$x \in [- 4; 6]$ : $P (∣ x ∣ > 3)$ $0, 4$
$x, y \in [0; 1]$ : $P (x + y < 0, 8)$ $0, 32$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему вероятность равна доле площади?
Как найти $P (A \cup B)$ для пересекающихся фигур?
Почему $P = 0$ не значит «невозможно»?

Домашнее задание

Квадрат $4 \times 4$ : $P (до каждой стороны больше 1)$
$x \in [- 3; 7]$ : $P (x^{2} - 4 x - 5 \leq 0)$ ; встреча на час с ожиданием $10$ мин
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_geometricheskaya-veroyatnost.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-010 · Геометрическая вероятность

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R03 «Геометрическая вероятность», 3 ч · урок 1/3 · тип Н
Единицы → слайды	R03.1 «Геометрическая вероятность» → 2, 4–22 · повторение R01.3 (операции над событиями) → 3, 6, 13 · R02 → 3
Результаты	ПР-2 (геометрическая вероятность: выбор точек из плоской фигуры, отрезка) → 4–21
Вне урока	дуга окружности, условия на расстояния — VIS9U-011; практикум — VIS9U-012; закон больших чисел (обоснование Монте-Карло) — R07
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Геометрическая вероятность

Сегодня вы научитесь

Понятие

Свойства

Фигуры

Промежутки

События, площади, неравенства

Вероятность

Геометрия и алгебра

Точек бесконечно много: оценим сеткой

Вероятность — отношение мер

Свойства площади → свойства вероятности

Площадь — «достроить и вычесть»

Образец: точку бросают в прямоугольник 8×5

Сам: P(в розовую фигуру)

Мишень радиуса 5, попадание — в случайную точку

Образец: попасть в кольцо 3<r<4

Сам

Коэффициент подобия k — вероятность k2

Прямая параллельна стороне треугольника

Образец: прямая ∥AC делит высоту 1:2 от вершины B. P(в трапецию)

Сам

Случайное число из отрезка и неравенство

Решить → пересечь с Ω → измерить

Образец: x∈[0;5]. P(x2−5x+4<0)

Сам

Квадрат 10×10, прямоугольники A и B

Образец: P(A∪B)

Сам (тот же рисунок)

Пара чисел (x;y) — точка квадрата

Образец: x,y∈[0;1] наугад. P(x+y<1,5)

Сам: x,y∈[0;1]

Площадь по случайным точкам

Образец: озеро на карте — внутри прямоугольника 4×3 км. Компьютер бросил 2000 случайных точек, в озеро попало 730

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Средняя линия ∥AC. P(в трапецию)?

б) x∈[−3;3]. P(∣x∣>1)?

в) x,y∈[0;1]. P(x+y<0,5)?

Решите и проверьте

Фигуры

Отрезки

Подумайте и обоснуйте

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-010 · Геометрическая вероятность

Образец: точку бросают в прямоугольник $8 \times 5$

Сам: $P (в розовую фигуру)$

Мишень радиуса $5$ , попадание — в случайную точку

Образец: попасть в кольцо $3 < r < 4$

Коэффициент подобия $k$ — вероятность $k^{2}$

Образец: прямая $∥ A C$ делит высоту $1 : 2$ от вершины $B$ . $P (в трапецию)$

Решить → пересечь с $Ω$ → измерить

Образец: $x \in [0; 5]$ . $P (x^{2} - 5 x + 4 < 0)$

Квадрат $10 \times 10$ , прямоугольники $A$ и $B$

Образец: $P (A \cup B)$

Пара чисел $(x; y)$ — точка квадрата

Образец: $x, y \in [0; 1]$ наугад. $P (x + y < 1, 5)$

Сам: $x, y \in [0; 1]$

Образец: озеро на карте — внутри прямоугольника $4 \times 3$ км. Компьютер бросил $2000$ случайных точек, в озеро попало $730$

а) Средняя линия $∥ A C$ . $P (в трапецию)$ ?

б) $x \in [- 3; 3]$ . $P (∣ x ∣ > 1)$ ?

в) $x, y \in [0; 1]$ . $P (x + y < 0, 5)$ ?