Элементы комбинаторики · урок 6 из 6 · обобщение

Обобщение: элементы комбинаторики

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9U-009

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (6 ч), урок 6/6, единицы R02.1–R02.6. Тип урока — О (обобщение и систематизация): теория — только короткими сводками и одним демонстрационным доказательством, остальное время решают ученики. Опора — VIS9U-004…VIS9U-008.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: выбор модели) 2,5 · 7 (сводка: треугольник Паскаля и свойства) 2,5 · 9 (сводка: бином Ньютона) 2 · 11 (демонстрационное доказательство тождества) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 12, 13) по 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · лотерея (сл. 19) 2 · самостоятельная работа (сл. 20) 5 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Картинка на титуле — треугольник Паскаля (строки 0–6); выделено правило Паскаля: 10 + 10 = 20, то есть C₅² + C₅³ = C₆³. Вопрос для начала урока: чему равна сумма чисел в строке 6? (64 = 2⁶.)
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и сл. 19 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R02.1 – R02.6

Цели урока

Сегодня вы повторите и свяжете

Выбирать модель

по двум вопросам: важен ли порядок, можно ли повторять (ПР-1)

Находить вероятности

число исходов и благоприятных — через $n!$ и $C_{n}^{k}$ (ПР-1)

Пользоваться треугольником Паскаля

и свойствами $C_{n}^{k}$ — в вычислениях и уравнениях (ПР-1)

Применять бином Ньютона

и доказывать тождества комбинаторно и алгебраически (ПР-1)

повторение: VIS9U-004 – VIS9U-008

Разминка · устно

Факториалы, сочетания, строки

Вычислите

$0! + 1!$ $2$
$C_{7}^{2}$ $21$
$C_{10}^{8}$ $45$
$\frac{6 !}{4 !}$ $30$

Сколько?

Сумма чисел строки $6$ треугольника Паскаля $64$
Слагаемых в разложении $(a + b)^{7}$ $8$
Способов выбрать $2$ дежурных из $6$ $15$
Способов вручить золото и серебро $6$ участникам $30$

R02.1 · R02.2 · R02.3

Теория · сводка · как выбрать формулу

Два вопроса до вычислений

Перестановки ( $k = n$ ): $P_{n} = n!$ , $0! = 1$

С повторяющимися элементами: $\frac{n !}{n _{1} ! n _{2} ! \dots n _{m} !}$

Шаги — умножаем, непересекающиеся случаи — складываем

«Хотя бы один» = все − «ни одного»

2,5 мин · теория
Сводка всей темы. Схема: первый вопрос — важен ли порядок (места, должности, «слово», число) или нет (группа, набор, комиссия). Если не важен — сочетания. Если важен — второй вопрос: можно ли повторять (код, пароль, броски) — n^k; нельзя — n!/(n − k)!, при k = n — перестановки n!.
Связь: C_n^k = (n!/(n − k)!) / k! — упорядоченные выборки, в которых не различаем k! перестановок внутри выбранной группы. Формула для слов с повторяющимися буквами (n_1 + … + n_m = n) — тот же приём «делим на перестановки одинаковых».
Вопрос классу: код домофона из 3 разных цифр — какая ветка? (Порядок важен, повторов нет: 10 · 9 · 8 = 720.)

R02.1 · R02.2 · R02.3

Образец → сам · выбираем модель

Одни и те же $n$ и $k$ — разные ответы

Образец: в классе $25$ учеников. Сколькими способами можно выбрать…

старосту, заместителя и казначея: $25 \cdot 24 \cdot 23 = 13800$ порядок важен

трёх делегатов: $C_{25}^{3} = \frac{13 800}{3 !} = 2300$ не важен

победителей трёх разных конкурсов: $2 5^{3}$ = $15625$ повторы можно

Сам: из цифр $1$ – $7$ сколько…

трёхзначных чисел с различными цифрами $210$
наборов из $3$ разных цифр $35$
трёхзначных чисел, цифры которых убывают слева направо $35$

2 мин · практика
Образец: должности разные — упорядоченная выборка без повторения 25 · 24 · 23 = 13 800. Делегаты равноправны — сочетания: 13 800 / 3! = 2300 = C₂₅³. Один ученик может победить в нескольких конкурсах — выборка с повторением: 25³ = 15 625.
1) 7 · 6 · 5 = 210. 2) C₇³ = 35. 3) 35: каждый набор из трёх разных цифр даёт ровно одно число с убывающими цифрами (цифры ставим по убыванию) — число равно числу наборов. Это неожиданный переход от «порядок важен» к сочетаниям — обсудить. Ответы проверены перебором.

R02.3 · R02.6 · ПР-1

Образец → сам · вероятность через сочетания

$P = \frac{m}{n}$ : обе части — числами сочетаний

Образец: из $12$ билетов $5$ выигрышных. Берут $3$ . $P (ровно 2 выигрышных)$ ?

все исходы: $n = C_{12}^{3} = 220$

$m = C_{5}^{2} \cdot C_{7}^{1} = 10 \cdot 7 = 70$ 2 из 5 и 1 из 7

$P = \frac{70}{220}$ = $\frac{7}{22}$

Сам: найдите вероятность

Те же билеты: хотя бы один выигрышный $\frac{37}{44}$
В классе $15$ учеников, из них $6$ девочек; жребием выбирают $4$ дежурных — все девочки $\frac{1}{91}$
Из колоды в $36$ карт берут $2$ — обе одной масти $\frac{8}{35}$

R02.3 · R02.4

Теория · сводка · треугольник Паскаля и свойства сочетаний

Три свойства — три способа сократить счёт

Симметрия: $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ (ось — пунктир)

Правило Паскаля: $C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$

Сумма строки: $C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}$

2,5 мин · теория
Сводка уроков VIS9U-005 и VIS9U-006. В строке n на месте k (счёт с нуля) стоит C_n^k. Симметрия: выбрать k — то же, что выбрать n − k оставшихся. По клику — правило Паскаля: 10 + 10 = 20, C₅² + C₅³ = C₆³ (комбинаторно: выбираем 3 из 6 — особый элемент либо входит, C₅², либо нет, C₅³).
Сумма строки — число всех подмножеств множества из n элементов: про каждый элемент решаем «брать / не брать», 2^n. Вопрос классу: как получить ту же сумму из бинома? ((1 + 1)^n — сл. 9.)

R02.4

Образец → сам · свойства чисел сочетаний

Уравнения и суммы без громоздкого счёта

Образец: решите уравнение $C_{n + 1}^{3} = 2 C_{n}^{2}$

$\frac{( n + 1 ) n ( n - 1 )}{6} = n (n - 1)$ формула, $n \geq 2$

$n (n - 1) \neq = 0$ : $\frac{n + 1}{6} = 1$ делим

$n$ = $5$ ; проверка: $C_{6}^{3} = 20 = 2 \cdot 10$

Сам

Вычислите $C_{20}^{17}$ $1140$
Решите $C_{n}^{2} + C_{n}^{3} = C_{8}^{3}$ $n = 7$
Вычислите $C_{7}^{0} + C_{7}^{2} + C_{7}^{4} + C_{7}^{6}$ $64$

2 мин · практика
Образец: область — n ≥ 2 (иначе C_n² не определено). Делим обе части на n(n − 1) > 0: n + 1 = 6, n = 5. Проверка: C₆³ = 20, 2 · C₅² = 20.
1) По симметрии C₂₀¹⁷ = C₂₀³ = 20 · 19 · 18 / 6 = 1140. 2) По правилу Паскаля левая часть равна C_{n+1}³, значит C_{n+1}³ = C₈³; число C_m³ растёт с m, поэтому n + 1 = 8, n = 7. 3) Сумма чётных мест строки 7: (1 + 1)⁷ = 128 — сумма всех, (1 − 1)⁷ = 0 — разность чётных и нечётных; значит, чётные дают половину: 64 (проверка: 1 + 21 + 35 + 7 = 64). Все ответы проверены вычислением.

R02.5

Теория · сводка · бином Ньютона

Коэффициенты разложения — строка треугольника

(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}

Общий член

$T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$ ; слагаемых $n + 1$

$(a - b)^{n}$

знаки чередуются: множитель $(- 1)^{k}$

Сумма коэффициентов

многочлена $f (x)$ равна $f (1)$ ; при $a = b = 1$ — это $2^{n}$

R02.5

Образец → сам · нужный член разложения

Общий член → показатель $x$ → $k$

Образец: коэффициент при $x^{2}$ в разложении $(x - \frac{2}{x})^{6}$

$T_{k + 1} = C_{6}^{k} x^{6 - k} (- \frac{2}{x})^{k} = C_{6}^{k} (- 2)^{k} x^{6 - 2 k}$

$6 - 2 k = 2 \Rightarrow k = 2$ нужный показатель

$C_{6}^{2} \cdot (- 2)^{2} = 15 \cdot 4$ = $60$

Сам: найдите

коэффициент при $x^{3}$ в $(1 - x)^{7}$ $- 35$
член без $x$ в $(2 x + \frac{1}{x ^{2}})^{6}$ $240$
сумму коэффициентов многочлена $(3 x - 1)^{5}$ $32$

R02.4 · R02.6

Теория · демонстрационный пример · комбинаторное доказательство

Докажем: $(C_{n}^{0})^{2} + (C_{n}^{1})^{2} + \dots + (C_{n}^{n})^{2} = C_{2 n}^{n}$

$1)$ Из $2 n$ человек выбираем $n$ : всего $C_{2 n}^{n}$ способов правая часть

$2)$ Ровно $k$ девочек: $C_{n}^{k} \cdot C_{n}^{n - k} = (C_{n}^{k})^{2}$ симметрия

$3)$ Случаи $k = 0, 1, \dots, n$ не пересекаются — складываем левая часть

Проверка,

n = 3

:

1 + 9 + 9 + 1 = 20 = C_{6}^{3}

3 мин · теория (учитель доказывает и комментирует)
Приём «посчитать одно и то же двумя способами». Группа: n девочек и n мальчиков. Число способов выбрать n человек — C_{2n}^n. С другой стороны, разобьём выборы по числу k девочек: k девочек из n — C_n^k, остальные n − k — мальчики, C_n^{n−k} = C_n^k. Случаи с разными k не пересекаются и исчерпывают все выборы — по правилу суммы получаем левую часть.
По клику на рисунке — один из выборов при n = 4: 1 девочка и 3 мальчика (C₄¹ · C₄³ = 16 таких выборов). Проверка при n = 3: 20; при n = 5: 252 = C₁₀⁵ (сл. 12, задание 3).
Алгебраический путь (для сильных): коэффициент при x^n в (1 + x)^n · (1 + x)^n = (1 + x)^{2n}.

R02.4 · R02.5

Образец → сам · доказываем тождества

Алгебраически, комбинаторно или через бином

Образец: докажите, что $C_{n}^{2} + C_{n + 1}^{2} = n^{2}$ , $n \geq 2$

$\frac{n ( n - 1 )}{2} + \frac{( n + 1 ) n}{2}$ по формуле

$= \frac{n ( ( n - 1 ) + ( n + 1 ) )}{2}$ выносим $n$

$= \frac{n \cdot 2 n}{2}$ = $n^{2}$ $n = 3$ : $3 + 6 = 9$

Сам: докажите или вычислите

$C_{2 n}^{2} = 2 C_{n}^{2} + n^{2}$ — комбинаторно пары в группах + из разных
$C_{n}^{0} + 2 C_{n}^{1} + 4 C_{n}^{2} + \dots + 2^{n} C_{n}^{n} = 3^{n}$ $(1 + 2)^{n}$
$(C_{5}^{0})^{2} + (C_{5}^{1})^{2} + \dots + (C_{5}^{5})^{2}$ $252$

2 мин · практика
Образец: при n ≥ 2 обе дроби определены; выносим n: n((n − 1) + (n + 1))/2 = n · 2n / 2 = n². Проверка: n = 3 — 3 + 6 = 9; n = 4 — 6 + 10 = 16.
1) 2n человек: n девочек и n мальчиков. Пару из 2n выбираем C_{2n}² способами; иначе — обе девочки (C_n²), оба мальчика (C_n²) или девочка и мальчик (n · n = n²). Случаи не пересекаются — сумма. 2) По биному: (1 + 2)^n = Σ C_n^k 1^{n−k} 2^k = 3^n. 3) По тождеству сл. 11: C₁₀⁵ = 252 (проверка: 1 + 25 + 100 + 100 + 25 + 1 = 252). Все тождества проверены вычислением при n = 1…7.

R02.2 · R02.6 · ПР-1

Образец → сам · вероятность: перестановки и склейка

Все исходы — $n!$ , благоприятные — по приёму

Образец: $5$ человек, среди них Аня и Боря, случайно встают в ряд. $P (Аня и Боря рядом)$ ?

все исходы: $5! = 120$

склейка «АБ» + $3$ : $4! \cdot 2 = 48$ АБ или БА

$P = \frac{48}{120}$ = $0, 4$

Сам: найдите вероятность

$7$ человек случайно встают в ряд: Аня и Боря рядом $\frac{2}{7}$
Из карточек с цифрами $0$ – $9$ вынимают по одной $3$ карточки: цифры идут по возрастанию $\frac{1}{6}$
Монету бросают $6$ раз: орёл ровно $3$ раза $0, 3125$

2 мин · практика
Образец: «склеиваем» Аню и Борю в один блок — объектов 4, перестановок 4! = 24; внутри блока 2 порядка: 48. P = 48/120 = 0,4 (проверено перебором 120 расстановок). Общая формула для n человек: 2(n − 1)!/n! = 2/n.
1) 2 · 6! / 7! = 2/7. 2) Упорядоченных троек 10 · 9 · 8 = 720; возрастающих — столько, сколько наборов: C₁₀³ = 120; P = 120/720 = 1/6 (= 1/3!: из 3! порядков одного набора возрастающий — один). 3) n = 2⁶ = 64, m = C₆³ = 20 — число в середине строки 6 треугольника Паскаля; P = 20/64 = 0,3125. Все ответы проверены перебором.

R02.1 – R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$3$ дежурных из $10$ : учли порядок, которого нет	$10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$	$C_{10}^{3} = 120$
считают $0! = 0$ — «на ноль не делят»	$C_{5}^{5}$ не существует	$0! = 1, C_{5}^{5} = 1$
в $(x - 1)^{3}$ потеряли чередование знаков	$x^{3} - 3 x^{2} - 3 x - 1$	$x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
номер члена спутали с $k$ : шестой член $(a + b)^{8}$	$C_{8}^{6} a^{2} b^{6}$	$T_{6} = C_{8}^{5} a^{3} b^{5} = 56 a^{3} b^{5}$

R02.3 · R02.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Коэффициент при $x^{2}$ в $(2 x - 1)^{4}$

$C_{4}^{2} \cdot 2 \cdot (- 1)^{2} = 12$

в квадрат возводится и $2$ : $(2 x)^{2} = 4 x^{2}$

$C_{4}^{2} \cdot 4 \cdot 1 = 24$

б) Решите $C_{n}^{2} = 21$

$n (n - 1) = 21$ — натуральных корней нет

забыли делитель: $\frac{n ( n - 1 )}{2} = 21$ , $n (n - 1) = 42$

$n = 7$

в) Монету бросают $4$ раза. $P (ровно 2 орла)$ ?

орлов $0, 1, 2, 3, 4$ — $5$ исходов; $P = \frac{1}{5}$

эти исходы не равновозможны; всего $2^{4} = 16$

$P = \frac{C _{4}^{2}}{16} = \frac{6}{16} = 0, 375$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Общий член C₄^k (2x)^{4−k} (−1)^k; x² — при k = 2: 6 · 2² · 1 = 24 (проверено раскрытием: (2x − 1)⁴ = 16x⁴ − 32x³ + 24x² − 8x + 1).
б) C_n² = n(n − 1)/2; n(n − 1) = 42 = 7 · 6, n = 7 (n ≥ 2; второй корень −6 не подходит). Проверка: C₇² = 21.
в) Классическая вероятность требует равновозможных исходов. Равновозможны 16 последовательностей О/Р; ровно 2 орла — C₄² = 6 из них. P = 0,375.

R02.1 – R02.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$C_{12}^{10}$ $66$
$C_{9}^{4} + C_{9}^{5}$ $252$
$C_{8}^{0} + C_{8}^{1} + \dots + C_{8}^{8}$ $256$
Слов из букв слова КАРКАС $180$

Сколько?

Партий в турнире «каждый с каждым» из $10$ участников $45$
Способов разложить $5$ разных писем по $3$ ящикам $243$
Кратчайших путей на сетке $5 \times 3$ $56$

R02.3 – R02.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите с обоснованием

повыш.Решите уравнение $C_{n}^{3} = C_{n}^{5}$ . $n = 8$
повыш.Сколько рациональных членов в разложении $(3 + 32)^{6}$ ? $2$
исслед.Сколько точек пересечения диагоналей у выпуклого $10$ -угольника, если никакие три диагонали не проходят через одну точку? $210$
доказ.Докажите: $C_{n}^{1} + 2 C_{n}^{2} + 3 C_{n}^{3} + \dots + n C_{n}^{n} = n \cdot 2^{n - 1}$ . $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) n ≥ 5. По симметрии C_n³ = C_n^{n−3}; равенство C_n³ = C_n⁵ при 3 ≠ 5 возможно только при 3 + 5 = n (числа строки до середины строго растут, после — убывают): n = 8. Проверка: C₈³ = C₈⁵ = 56.
2) T_{k+1} = C₆^k · 3^{(6−k)/2} · 2^{k/3}: рационален, если 6 − k чётно и k делится на 3 → k = 0 (27) и k = 6 (4). Два члена (проверено раскрытием в sympy: рациональная часть 27 + 4 = 31).
3) Каждая точка пересечения — это пересечение двух диагоналей, концы которых — 4 вершины многоугольника; и наоборот, любые 4 вершины дают ровно одну такую точку (диагонали четырёхугольника). C₁₀⁴ = 210.
4) k · C_n^k = k · n!/(k!(n − k)!) = n · (n − 1)!/((k − 1)!(n − k)!) = n · C_{n−1}^{k−1}; сумма по k = 1…n: n · (C_{n−1}^0 + … + C_{n−1}^{n−1}) = n · 2^{n−1}. Комбинаторно: «команда с капитаном» (капитан — n способов, остальные — любое подмножество из n − 1). Проверено при n = 1…6.

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — десятичную дробь

1. Симметричную монету бросают $5$ раз. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно $2$ раза.

Ответ: $0, 3125$

2. Из $6$ карточек с цифрами $1$ – $6$ наугад берут $2$ . Найдите вероятность того, что обе цифры чётные.

Ответ: $0, 2$

3. Из $5$ учеников жребием выбирают двух дежурных. Найдите вероятность того, что Аня окажется среди дежурных.

Ответ: $0, 4$

R02.3 · R02.6 · ПР-1

Задача из жизни · лотерея «5 из 36»

Отмечаем $5$ чисел из $36$ ; выигрыш — за совпадения

Всех вариантов тиража: $C_{36}^{5} = 376992$ . Найдите вероятность:

Событие	Благоприятных $m$	$P$
угаданы все $5$	$1$	$\approx 0, 0000027$
угаданы ровно $3$	$C_{5}^{3} \cdot C_{31}^{2} = 4650$	$\approx 0, 012$
не угадано ни одного	$C_{31}^{5} = 169911$	$\approx 0, 45$

2 мин · практика
На рисунке — билет с отмеченными числами 5, 12, 18, 24, 31. Тираж — случайный набор 5 чисел из 36, все C₃₆⁵ = 376 992 наборов равновозможны.
Все 5: m = 1, P = 1/376 992 ≈ 0,0000027. Ровно 3: 3 из 5 отмеченных (C₅³ = 10) и 2 из 31 неотмеченного (C₃₁² = 465): 4650, P ≈ 0,0123 — примерно 1 билет из 81. Ни одного: C₃₁⁵ = 169 911, P ≈ 0,4507 — почти половина билетов не угадывает ни одного числа. Все числа проверены вычислением (math.comb, fractions).
Обсудить: шанс угадать все 5 чисел — 1 к 377 тысячам; чтобы перебрать все варианты, пришлось бы купить 376 992 билета. Зато «ни одного совпадения» — почти каждый второй билет. Связь с ПР-6 (закон больших чисел) — в R07.

R02.3 – R02.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$C_{11}^{9}$ $55$
Коэффициент при $x^{2}$ в $(x + 3)^{5}$ $270$
Слов из букв слова АННА $6$
$8$ деталей, $3$ бракованные; берут $3$ . $P (ровно 1 брак .)$ $\frac{15}{28}$

Вариант 2

$C_{13}^{11}$ $78$
Коэффициент при $x^{3}$ в $(x - 2)^{5}$ $40$
Слов из букв слова ОКОЛО $20$
$9$ деталей, $4$ бракованные; берут $3$ . $P (ровно 1 брак .)$ $\frac{10}{21}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие два вопроса задать к задаче о выборе?
Как связаны $C_{n}^{k}$ и строка треугольника Паскаля?
Как найти нужный член бинома?
Что значит «посчитать двумя способами»?

Домашнее задание

Коэффициент при $x^{3}$ в $(2 x - 1)^{6}$
Вычислите $(C_{6}^{0})^{2} + \dots + (C_{6}^{6})^{2}$
Лотерея «6 из 45»: $P (угадано ровно 4)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_kombinatornye-zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-009 · Обобщение и систематизация по теме «Элементы комбинаторики»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 6 ч · урок 6/6 · тип О
Единицы → слайды	R02.1 «Комбинаторное правило умножения» → 3–5, 16 · R02.2 «Перестановки и факториал» → 3–5, 13, 16 · R02.3 «Число сочетаний и треугольник Паскаля» → 4–8, 14–20 · R02.4 «Свойства чисел сочетаний» → 7, 8, 11, 12, 17 · R02.5 «Бином Ньютона» → 9, 10, 12, 14, 15, 20 · R02.6 «Решение задач с использованием комбинаторики» → 6, 11, 13, 16–20
Результаты	ПР-1 (правило умножения, перестановки, сочетания, треугольник Паскаля, в том числе для вычисления вероятностей) → 3–21
Вне урока	геометрическая вероятность — VIS9U-010; формула Бернулли — R04; закон больших чисел — R07
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: элементы комбинаторики

Сегодня вы повторите и свяжете

Выбирать модель

Находить вероятности

Пользоваться треугольником Паскаля

Применять бином Ньютона

Факториалы, сочетания, строки

Вычислите

Сколько?

Два вопроса до вычислений

Одни и те же n и k — разные ответы

Образец: в классе 25 учеников. Сколькими способами можно выбрать…

Сам: из цифр 1–7 сколько…

P=nm​: обе части — числами сочетаний

Образец: из 12 билетов 5 выигрышных. Берут 3. P(ровно 2 выигрышных)?

Сам: найдите вероятность

Три свойства — три способа сократить счёт

Уравнения и суммы без громоздкого счёта

Образец: решите уравнение Cn+13​=2Cn2​

Сам

Коэффициенты разложения — строка треугольника

Общий член

(a−b)n

Сумма коэффициентов

Общий член → показатель x → k

Образец: коэффициент при x2 в разложении (x−x2​)6

Сам: найдите

Докажем: (Cn0​)2+(Cn1​)2+…+(Cnn​)2=C2nn​

Алгебраически, комбинаторно или через бином

Образец: докажите, что Cn2​+Cn+12​=n2, n≥2

Сам: докажите или вычислите

Все исходы — n!, благоприятные — по приёму

Образец: 5 человек, среди них Аня и Боря, случайно встают в ряд. P(Аня и Боря рядом)?

Сам: найдите вероятность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Коэффициент при x2 в (2x−1)4

б) Решите Cn2​=21

в) Монету бросают 4 раза. P(ровно 2 орла)?

Решите и проверьте

Вычислите

Сколько?

Решите с обоснованием

Запишите ответ — десятичную дробь

Отмечаем 5 чисел из 36; выигрыш — за совпадения

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-009 · Обобщение и систематизация по теме «Элементы комбинаторики»

Одни и те же $n$ и $k$ — разные ответы

Образец: в классе $25$ учеников. Сколькими способами можно выбрать…

Сам: из цифр $1$ – $7$ сколько…

$P = \frac{m}{n}$ : обе части — числами сочетаний

Образец: из $12$ билетов $5$ выигрышных. Берут $3$ . $P (ровно 2 выигрышных)$ ?

Образец: решите уравнение $C_{n + 1}^{3} = 2 C_{n}^{2}$

$(a - b)^{n}$

Общий член → показатель $x$ → $k$

Образец: коэффициент при $x^{2}$ в разложении $(x - \frac{2}{x})^{6}$

Докажем: $(C_{n}^{0})^{2} + (C_{n}^{1})^{2} + \dots + (C_{n}^{n})^{2} = C_{2 n}^{n}$

Образец: докажите, что $C_{n}^{2} + C_{n + 1}^{2} = n^{2}$ , $n \geq 2$

Все исходы — $n!$ , благоприятные — по приёму

Образец: $5$ человек, среди них Аня и Боря, случайно встают в ряд. $P (Аня и Боря рядом)$ ?

а) Коэффициент при $x^{2}$ в $(2 x - 1)^{4}$

б) Решите $C_{n}^{2} = 21$

в) Монету бросают $4$ раза. $P (ровно 2 орла)$ ?

Отмечаем $5$ чисел из $36$ ; выигрыш — за совпадения