Элементы комбинаторики · урок 5 из 6 · практикум

Практикум: комбинаторное правило умножения

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9U-008

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (6 ч), урок 5/6, единицы R02.1 «Комбинаторное правило умножения», R02.2 «Перестановки и факториал». Тип урока — П (практикум): теория — короткими сводками и двумя демонстрационными примерами, остальное время решают ученики. Опора — VIS9U-004 (правило умножения, перестановки), VIS9U-007 (решение задач с использованием комбинаторики).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: правила умножения и суммы) 3 · 6 (сводка: упорядоченные выборки) 2,5 · 9 (демонстрационный пример: метод промежутков) 2,5 · 12 (демонстрационный пример: число делителей) 2,5.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5) 2,5, (сл. 7, 8, 10, 11, 13) по 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 5 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — дерево выбора: 3 варианта на первом шаге, по 2 — на втором, всего 3 · 2 = 6 листьев. Вопрос для начала урока: сколько листьев будет, если добавить третий шаг с 4 вариантами? (24.)
Если не успеваете: задание 3 сл. 10 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R02.1 · R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Строить выбор по шагам

начинать с самого «ограниченного» места, разбирать случаи (ПР-1)

Различать выборки

с повторением $n^{k}$ и без повторения $\frac{n !}{( n - k )!}$ (ПР-1)

Считать «от противного»

«хотя бы один», «не рядом» — через дополнение и промежутки (ПР-1)

Находить вероятности

число исходов и благоприятных — по правилу умножения (ПР-1)

повторение: VIS9U-004, VIS9U-007

Разминка · устно

Сколько вариантов?

Вычислите

$5!$ $120$
$\frac{8 !}{6 !}$ $56$
$10 \cdot 9 \cdot 8$ — через факториалы $\frac{10 !}{7 !}$
$P (A) = 0, 3$ ; $P (\overline{A})$ $0, 7$

Сколько исходов?

Монету бросают $3$ раза $8$
Бросают кубик и монету $12$
Всего двузначных чисел $90$
$4$ человека встают в очередь $24$

R02.1

Теория · сводка · правила умножения и суммы

Выбор по шагам: «и» — умножаем, «или» — складываем

Правило умножения. Шаг 1 — $m$ способов, шаг 2 — $n$ способов при любом выборе на шаге 1: всего $m \cdot n$ .

Правило суммы. Случаи не пересекаются:

m

или

n

способов — всего

m + n

.

Начинайте с места, где больше всего ограничений

3 мин · теория
Сводка уроков VIS9U-004 и VIS9U-007. Дерево: 3 рубашки (Р1–Р3) и 2 брюк (Б1, Б2) — каждый комплект это путь от корня до листа; листьев 3 · 2 = 6. По клику выделен один путь — исход Р2Б2.
Важное условие правила умножения: число вариантов на втором шаге не зависит от выбора на первом (сами варианты могут быть разными, например «любая цифра, кроме выбранной»). Если зависит — разбиваем на случаи и складываем (правило суммы).
Вопрос классу: шорты или брюки (2 и 3 вида) — сколько способов выбрать что-то одно? (2 + 3 = 5 — «или».) Шорты и футболку (2 и 4)? (2 · 4 = 8 — «и».)

R02.1

Образец → сам · числа с условиями на цифры

Ноль не может стоять первым

Образец: сколько чётных четырёхзначных чисел с различными цифрами?

последняя $0$ : $9 \cdot 8 \cdot 7 = 504$ первые три — из $9$ цифр

последняя $2, 4, 6, 8$ : $4$ способа ограниченное место

первая: $8$ не $0$ и не последняя, далее $8 \cdot 7$

$4 \cdot 8 \cdot 8 \cdot 7 = 1792$ ; $504 + 1792$ = $2296$

Сам: сколько чисел?

Трёхзначных с различными цифрами $648$
Трёхзначных с различными цифрами, делящихся на $5$ $136$
Четырёхзначных, все цифры нечётные $625$

2,5 мин · практика
Образец: число вариантов для первой цифры зависит от того, стоит ли 0 в конце, — поэтому два случая и правило суммы. Случай «0 в конце»: первая — любая из 9 ненулевых, вторая — 8, третья — 7: 504. Случай «2, 4, 6, 8 в конце»: 4 · 8 · 8 · 7 = 1792. Итого 2296 (проверено перебором всех четырёхзначных чисел).
1) 9 · 9 · 8 = 648 (первая — не 0; вторая — любая, кроме первой, в том числе 0; третья — 8). 2) Последняя 0: 9 · 8 = 72; последняя 5: первая — не 0 и не 5 (8 способов), средняя — 8: 64; итого 136. 3) Каждое из 4 мест — любая из 5 нечётных цифр (повторы можно): 5⁴ = 625; ноль здесь не мешает. Все ответы проверены перебором.

R02.1 · R02.2

Теория · сводка · упорядоченные выборки

Выбираем $k$ объектов из $n$ по порядку

n^{k}

с повторением

\frac{n !}{( n - k )!}

без повторения

При

k = n

— все объекты по местам:

\frac{n !}{0 !} = n!

перестановок

2,5 мин · теория
Упорядоченная пара, тройка, …, «слово» длины k. С повторением (код, пароль, броски кубика): на каждом месте n вариантов — n^k. Без повторения (призовые места, должности, рассадка на часть стульев): n(n − 1)…(n − k + 1).
Вывод формулы: n(n − 1)…(n − k + 1) = n!/(n − k)!, потому что n! = n(n − 1)…(n − k + 1) · (n − k)!. При k = n получаем n! — перестановки; поэтому и нужно 0! = 1.
Вопрос-ключ к любой задаче: «Может ли объект повториться? Важен ли порядок?» Если порядок не важен — это сочетания (VIS9U-005), сегодня их не используем.

R02.1 · R02.2

Образец → сам · с повторением и без

Может ли объект повториться?

Образец: $12$ команд; сколько вариантов «золото, серебро, бронза»?

золото: $12$ любая команда

серебро: $11$ , бронза: $10$ повторов нет

$12 \cdot 11 \cdot 10 = \frac{12 !}{9 !}$ = $1320$

Сам: сколько способов?

$4$ разных приза — $10$ участникам; один может получить несколько $10000$
Те же призы; каждому — не больше одного $5040$
$3$ гостя садятся на $7$ свободных стульев $210$

R02.1

Образец → сам · «хотя бы один» через дополнение

Всего минус «ни одного»

Образец: сколько четырёхзначных чисел, в записи которых есть цифра $7$ ?

всего: $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$

без семёрки: $8 \cdot 9^{3} = 5832$ первая — не $0$ и не $7$

$9000 - 5832$ = $3168$ дополнение

Сам: сколько?

Трёхзначных чисел, где есть хотя бы одна чётная цифра $775$
Кодов из $5$ цифр ( $0$ – $9$ ), где хотя бы две цифры совпадают $69760$
Четырёхзначных чисел, где есть одинаковые цифры $4464$

2 мин · практика
Образец: прямой счёт «ровно одна 7, ровно две, …» долог и легко что-то пропустить. Противоположное событие «семёрок нет»: первая — 8 вариантов (1–9 без 7), остальные — по 9 (0–9 без 7). 9000 − 5832 = 3168 (проверено перебором).
1) Всего 900; все цифры нечётные: 5 · 5 · 5 = 125; 900 − 125 = 775. 2) Всего 10⁵ = 100 000; все цифры разные: 10 · 9 · 8 · 7 · 6 = 30 240; 100 000 − 30 240 = 69 760. 3) Всего 9000; все различны: 9 · 9 · 8 · 7 = 4536; 9000 − 4536 = 4464. Все ответы проверены перебором.

R02.1 · R02.2

Теория · демонстрационный пример · метод промежутков

$4$ мальчика и $3$ девочки в ряд; девочки не стоят рядом

Мальчики в ряд: $4! = 24$

Промежутков $5$ ; девочек — в разные: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

Всего: $24 \cdot 60 = 1440$

2,5 мин · теория (учитель показывает и комментирует)
Идея: сначала ставим тех, на кого ограничений нет (мальчики), — между ними и по краям образуется 4 + 1 = 5 промежутков. Девочки «не рядом» ⇔ каждая в своём промежутке. Первая девочка — 5 промежутков, вторая — 4, третья — 3: это упорядоченная выборка без повторения. По клику на чертеже — один из вариантов (промежутки 1, 3, 5).
Проверка «всего минус плохие» здесь неудобна: «плохие» — когда рядом хотя бы две девочки, а это несколько пересекающихся случаев. Метод промежутков обходит это. Ответ 1440 проверен перебором всех 7! = 5040 расстановок.
Вопрос классу: а если бы девочек было 6, а мальчиков 4? (Промежутков 5 — невозможно, 0 способов.)

R02.1 · R02.2

Образец → сам · расстановки с условием

Сначала — без ограничений, потом — «особые»

Образец: $5$ книг по алгебре и $3$ по геометрии (все разные); книги по геометрии не стоят рядом

алгебра: $5! = 120$ промежутков $6$

геометрия: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ в разные

$120 \cdot 120$ = $14400$

Сам: сколько способов?

$5$ мальчиков и $5$ девочек в ряд; никакие две девочки не рядом $86400$
$6$ человек в ряд; Аня не стоит рядом ни с Борей, ни с Витей $288$
$6$ человек за круглым столом; рассадки, отличающиеся поворотом, одинаковы $120$

2 мин · практика
Образец: 5 книг по алгебре — 5! = 120, промежутков 5 + 1 = 6; книги по геометрии — в 3 разных промежутка по порядку: 6 · 5 · 4 = 120; итого 14 400 (проверено перебором).
1) Мальчики 5! = 120, промежутков 6, девочки: 6 · 5 · 4 · 3 · 2 = 720; 120 · 720 = 86 400. 2) Начинаем с Ани — «ограниченное» место. Аня с краю (2 места): единственный сосед — из Г, Д, Е (3 способа), остальные 4 — 4! = 24: 2 · 3 · 24 = 144. Аня внутри (4 места): два соседа из Г, Д, Е — 3 · 2 = 6, остальные 3 — 3! = 6: 4 · 6 · 6 = 144. Итого 288 (проверено перебором 720 расстановок). 3) Фиксируем место первого человека (повороты не различаем), остальные 5 — 5! = 120; иначе: 6!/6 = 120. Задание 3 — повышенное, при нехватке времени — в ДЗ.

R02.1

Образец → сам · правило суммы и правило умножения

Разбиваем на случаи, в каждом — умножаем

Образец: сколько чисел от $1$ до $999$ с различными цифрами?

однозначных: $9$

двузначных: $9 \cdot 9 = 81$ первая — не $0$

трёхзначных: $9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$

$9 + 81 + 648$ = $738$ правило суммы

Сам: сколько?

Паролей длиной от $1$ до $3$ из $26$ латинских букв $18278$
Способов выбрать $2$ книги по разным предметам: $5$ по алгебре, $4$ по геометрии, $3$ по физике $47$
Чётных трёхзначных чисел с различными цифрами $328$

2 мин · практика
Образец: случаи по длине числа не пересекаются — складываем; внутри случая — правило умножения. 9 + 81 + 648 = 738 (проверено перебором).
1) 26 + 26² + 26³ = 26 + 676 + 17 576 = 18 278. 2) Пары предметов: алгебра–геометрия 5 · 4 = 20, алгебра–физика 5 · 3 = 15, геометрия–физика 4 · 3 = 12; 20 + 15 + 12 = 47 (порядок книг в паре не важен — поэтому не умножаем на 2). 3) Последняя 0: 9 · 8 = 72; последняя 2, 4, 6, 8: 4 · 8 · 8 = 256; итого 328 — та же схема, что на сл. 5. Все ответы проверены перебором.

R02.1

Теория · демонстрационный пример · число делителей

Сколько натуральных делителей у числа $360$ ?

360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5

Делитель: $2^{a} \cdot 3^{b} \cdot 5^{c}$ , где
$a \in {0; 1; 2; 3}$ , $b \in {0; 1; 2}$ , $c \in {0; 1}$

Выбор по шагам:

4 \cdot 3 \cdot 2 = 24

делителя

$\cdot$	$2^{0}$	$2^{1}$	$2^{2}$	$2^{3}$
$3^{0}$	$1$	$2$	$4$	$8$
$3^{1}$	$3$	$6$	$12$	$24$
$3^{2}$	$9$	$18$	$36$	$72$

12

делителей без

5

и

12

— умноженных на

5

2,5 мин · теория (учитель показывает и комментирует)
По основной теореме арифметики каждый делитель 360 однозначно записывается как 2^a · 3^b · 5^c с 0 ≤ a ≤ 3, 0 ≤ b ≤ 2, 0 ≤ c ≤ 1. Выбор показателя — три независимых шага: 4 · 3 · 2 = 24.
Таблица — 12 делителей с c = 0 (1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72); умножив каждый на 5, получаем ещё 12 (5, 10, …, 360). Проверено перебором: у 360 ровно 24 делителя.
Общая формула: если n = p^k · q^l · … (p, q, … — разные простые), то число делителей (k + 1)(l + 1)…. Вопрос классу: почему «+1»? (Показатель может быть и нулём.)

R02.1 · ПР-1

Образец → сам · вероятность по правилу умножения

И все исходы, и благоприятные — по шагам

Образец: случайно выбрали трёхзначное число. $P (все цифры различны)$ ?

все исходы: $n = 900$

благоприятные: $m = 9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$

$P = \frac{648}{900}$ = $0, 72$

Сам: найдите вероятность

Код из $4$ цифр ( $0$ – $9$ ) случайный: все цифры различны $0, 504$
$3$ человека независимо выходят на одном из $5$ этажей: все — на разных $0, 48$
Бросают $3$ кубика: выпали три разных числа $\frac{5}{9}$

2 мин · практика
Образец: все трёхзначные числа равновозможны, n = 900; m = 648 (сл. 5). P = 648/900 = 18/25 = 0,72 (проверено перебором).
1) n = 10⁴ = 10 000, m = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040, P = 0,504. 2) n = 5³ = 125 (каждый выбирает этаж), m = 5 · 4 · 3 = 60, P = 60/125 = 0,48. 3) n = 6³ = 216, m = 6 · 5 · 4 = 120, P = 120/216 = 5/9 ≈ 0,56 — бесконечная дробь, ответ записываем дробью. Все ответы проверены перебором.
Важно: в n и в m порядок учитывается одинаково (кубики различимы). Если в n посчитать «наборы» без порядка, а в m — с порядком, получится неверно.

R02.1 · R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
трёхзначные с различными цифрами: забыли, что первая — не $0$	$10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$	$9 \cdot 9 \cdot 8 = 648$
$3$ рубашки и $4$ брюк: сложили вместо умножения	$3 + 4 = 7$	$3 \cdot 4 = 12$
PIN-код из $4$ цифр: запретили повторы, которых нет в условии	$10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7$	$1 0^{4} = 10000$
перепутали $n$ и $m$ — вероятность больше $1$	$P = \frac{900}{648} \approx 1, 39$	$P = \frac{648}{900} = 0, 72$

R02.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Сколько чётных трёхзначных чисел с различными цифрами?

последняя — $5$ способов, первая — $8$ , средняя — $8$ : $5 \cdot 8 \cdot 8 = 320$

при последней $0$ для первой цифры $9$ вариантов, а не $8$ — нужны случаи

$9 \cdot 8 + 4 \cdot 8 \cdot 8 = 328$

б) $3$ разных приза раздают $5$ ученикам; один может получить несколько

$5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$

повторы разрешены: каждый приз — любому из $5$

$5^{3} = 125$

в) Кубик бросают $3$ раза. $P (хотя бы одна шестёрка)$ ?

$3 \cdot \frac{1}{6} = 0, 5$

исходы пересекаются; через дополнение: шестёрок нет — $5^{3}$ из $6^{3}$

$1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Число вариантов для первой цифры зависит от последней: последняя 0 — первая из 9 (1–9), средняя из 8: 72; последняя 2, 4, 6, 8 — первая из 8 (не 0 и не последняя), средняя из 8: 256. Итого 328 (проверено перебором).
б) Выборка с повторением: 1-й приз — 5 вариантов, 2-й — 5, 3-й — 5: 125.
в) Сложение 1/6 + 1/6 + 1/6 считает дважды исходы с двумя шестёрками (и трижды — с тремя); при 6 бросках такой «способ» дал бы 1. Верно: n = 216, без шестёрок 5³ = 125, P = 91/216 ≈ 0,42.

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Сколько?

Исходов: $2$ кубика и монета $72$
Трёхзначных чисел из цифр $1$ – $5$ $125$
То же, цифры различны $60$
Способов выбрать старосту и заместителя из $20$ учеников $380$

Сколько? Вероятность?

Пятизначных чисел, все цифры чётные $2500$
Нечётных четырёхзначных чисел $4500$
Монету бросают $4$ раза: $P (все результаты одинаковы)$ $0, 125$

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько натуральных делителей у числа $720$ ? $30$
повыш.Сколько четырёхзначных чисел с различными цифрами делятся на $5$ ? $952$
из жизниФлаг из $3$ горизонтальных полос; есть $5$ цветов; соседние полосы — разного цвета. Сколько флагов? $80$
из жизниНомер: буква, три цифры, две буквы; букв $12$ , комбинация цифр $000$ запрещена. Сколько номеров? $1726272$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) 720 = 2⁴ · 3² · 5: (4 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 30 (проверено перебором).
2) Последняя 0: 9 · 8 · 7 = 504; последняя 5: первая — не 0 и не 5 (8), далее 8 · 7: 448; итого 952 (проверено перебором).
3) Верхняя полоса — 5 цветов, средняя — 4 (не как верхняя), нижняя — 4 (не как средняя, но может совпасть с верхней): 5 · 4 · 4 = 80. Частая ошибка — 5 · 4 · 3 = 60 (запрещают совпадение верхней и нижней, которого нет в условии).
4) Буквы: 12 · 12 · 12 = 1728; цифры: 10³ − 1 = 999; 1728 · 999 = 1 726 272.

R02.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — десятичную дробь

1. Из всех двузначных чисел случайно выбирают одно. Найдите вероятность того, что оно делится на $5$ .

Ответ: $0, 2$

2. Симметричную монету бросают $3$ раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно $2$ раза.

Ответ: $0, 375$

3. Код из двух цифр (от $00$ до $99$ ) выбран случайно. Найдите вероятность того, что его цифры различны.

Ответ: $0, 9$

R02.1 · R02.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Трёхзначных чисел из цифр $1$ – $6$ $216$
Трёхзначных с различными цифрами из $0, 1, 2, 3, 4$ $48$
Четырёхзначных, где есть хотя бы один $0$ $2439$
Монету бросают $3$ раза: $P (хотя бы один орёл)$ $0, 875$

Вариант 2

Трёхзначных чисел из цифр $1$ – $7$ $343$
Трёхзначных с различными цифрами из $0, 1, 2, 3, 4, 5$ $100$
Трёхзначных, где есть хотя бы одна цифра $5$ $252$
Монету бросают $4$ раза: $P (хотя бы одна решка)$ $0, 9375$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда умножаем, а когда складываем?
Чем $n^{k}$ отличается от $\frac{n !}{( n - k )!}$ ?
Как считать «хотя бы один» и «не рядом»?

Домашнее задание

Нечётных четырёхзначных чисел с различными цифрами
Число натуральных делителей $1000$
$4$ человека выходят на одном из $6$ этажей: $P (все на разных)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_kombinatornye-zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-008 · Практикум: комбинаторное правило умножения

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 6 ч · урок 5/6 · тип П
Единицы → слайды	R02.1 «Комбинаторное правило умножения» → 2–5, 7–18 · R02.2 «Перестановки и факториал» → 3, 6, 7, 9, 10, 16, 19
Результаты	ПР-1 (правило умножения, перестановки, в том числе для вычисления вероятностей) → 3–19
Вне урока	сочетания и треугольник Паскаля — VIS9U-005; бином Ньютона — VIS9U-006; обобщение — VIS9U-009; геометрическая вероятность — VIS9U-010
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: комбинаторное правило умножения

Сегодня вы научитесь

Строить выбор по шагам

Различать выборки

Считать «от противного»

Находить вероятности

Сколько вариантов?

Вычислите

Сколько исходов?

Выбор по шагам: «и» — умножаем, «или» — складываем

Ноль не может стоять первым

Образец: сколько чётных четырёхзначных чисел с различными цифрами?

Сам: сколько чисел?

Выбираем k объектов из n по порядку

Может ли объект повториться?

Образец: 12 команд; сколько вариантов «золото, серебро, бронза»?

Сам: сколько способов?

Всего минус «ни одного»

Образец: сколько четырёхзначных чисел, в записи которых есть цифра 7?

Сам: сколько?

4 мальчика и 3 девочки в ряд; девочки не стоят рядом

Сначала — без ограничений, потом — «особые»

Образец: 5 книг по алгебре и 3 по геометрии (все разные); книги по геометрии не стоят рядом

Сам: сколько способов?

Разбиваем на случаи, в каждом — умножаем

Образец: сколько чисел от 1 до 999 с различными цифрами?

Сам: сколько?

Сколько натуральных делителей у числа 360?

И все исходы, и благоприятные — по шагам

Образец: случайно выбрали трёхзначное число. P(все цифры различны)?

Сам: найдите вероятность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Сколько чётных трёхзначных чисел с различными цифрами?

б) 3 разных приза раздают 5 ученикам; один может получить несколько

в) Кубик бросают 3 раза. P(хотя бы одна шестёрка)?

Решите и проверьте

Сколько?

Сколько? Вероятность?

Подумайте и решите

Запишите ответ — десятичную дробь

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-008 · Практикум: комбинаторное правило умножения

Выбираем $k$ объектов из $n$ по порядку

Образец: $12$ команд; сколько вариантов «золото, серебро, бронза»?

Образец: сколько четырёхзначных чисел, в записи которых есть цифра $7$ ?

$4$ мальчика и $3$ девочки в ряд; девочки не стоят рядом

Образец: $5$ книг по алгебре и $3$ по геометрии (все разные); книги по геометрии не стоят рядом

Образец: сколько чисел от $1$ до $999$ с различными цифрами?

Сколько натуральных делителей у числа $360$ ?

Образец: случайно выбрали трёхзначное число. $P (все цифры различны)$ ?

б) $3$ разных приза раздают $5$ ученикам; один может получить несколько

в) Кубик бросают $3$ раза. $P (хотя бы одна шестёрка)$ ?