Элементы комбинаторики · урок 4 из 6

Решение задач с использованием комбинаторики

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9U-007

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (6 ч), урок 4/6, единица R02.6 «Решение задач с использованием комбинаторики». Тип урока — Н. Опора: правило умножения, перестановки, сочетания, треугольник Паскаля, свойства $C_{n}^{k}$ и бином Ньютона (VIS9U-006).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (план решения) 1,5 · 5 (правила сложения и умножения) 1,5 · 7 (метод дополнения) 1,5 · 9 (перестановки с повторениями) 2 · 11 (пути на сетке) 2 · 13 (метод склейки) 1 · 15 (вероятность через комбинаторику, учитель решает сам) 1,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 10, 12, 14, 16) по 2 · типичные ошибки (сл. 17) 1,5 · найди ошибку (сл. 18) 2 · база (сл. 19) 3 · повышенный уровень (сл. 20) 2,5 · задача из жизни (сл. 21) 1,5 · ОГЭ (сл. 22) 2 · самостоятельная (сл. 23) 4 · итог (сл. 24) 1,5.
На титуле — сетка 4×3: в каждом узле число кратчайших путей из левого нижнего угла, это числа треугольника Паскаля; в правом верхнем $C_{7}^{3} = 35$ (сл. 11).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 20 и сл. 21 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выбирать модель

порядок важен или нет, шаги или случаи (ПР-1)

Считать через дополнение

«хотя бы один» $=$ всё $-$ «ни одного» (ПР-1)

Применять новые приёмы

повторы букв, пути на сетке $C_{m + n}^{m}$ , склейка

Находить вероятности

с помощью комбинаторики и обосновывать решение (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1: «Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число перестановок, число сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля при решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий». Единица ФРП: R02.6 «Решение задач с использованием комбинаторики». Из характеристики деятельности: «решать задачи на перечисление комбинаций, количества элементарных событий, нахождение вероятностей событий с применением комбинаторики, в том числе с использованием треугольника Паскаля».
Углублённый уровень: каждое решение — с обоснованием (какая модель, почему умножаем/складываем, нет ли повторов).

повторение: VIS9U-005, VIS9U-006

Разминка · устно

Сочетания, факториалы, треугольник Паскаля

Вычислите

$C_{6}^{2}$ $15$
$C_{9}^{7}$ $36$
$\frac{7 !}{5 !}$ $42$
Сумма чисел строки $5$ $32$

Сколько?

Коэффициент при $a^{2} b^{2}$ в $(a + b)^{4}$ $6$
$3$ человека встают в очередь $6$
Двузначных чисел с разными цифрами $81$
Подмножеств у ${1, 2, 3, 4}$ $16$

R02.6

Теория · план решения комбинаторной задачи

Четыре вопроса до вычислений

1,5 мин · теория
Вопросы задаются по порядку, ответы открываются по клику. 1) Что за объекты и сколько их; есть ли одинаковые (буквы, шары одного цвета). 2) Порядок важен (роли, места, цифры в числе, слово) — правило умножения / перестановки; не важен (группа, набор, «сразу») — $C_{n}^{k}$ . 3) Выбор в несколько последовательных шагов — умножаем; варианты распадаются на непересекающиеся группы — складываем. 4) Если прямых случаев много («хотя бы один», «не рядом») — считаем всё и вычитаем плохое.
Сегодня к этому плану добавятся три приёма: перестановки с повторениями, пути на сетке, склейка.

R02.1 · R02.6

Теория · правило сложения и правило умножения

Шаги — умножаем, случаи — складываем

Правило умножения. Выбор делается в два шага: первый — $m$ способами, второй (при любом первом) — $n$ .

Правило сложения. Все варианты разбиты на группы без общих элементов: складываем.

Случаи не должны пересекаться: «хотя бы

2

девочки»

=

«ровно

2

»

+

«ровно

3

»

+ \dots

1,5 мин · теория
Правило умножения уже знакомо (R02.1). Правило сложения: если множество вариантов разбито на непересекающиеся части, общее число равно сумме чисел в частях. Условие «без общих элементов» обязательно: иначе часть вариантов посчитается дважды (сл. 17).
Типичная схема углублённого уровня: сначала разбили на случаи (сложение), внутри каждого случая — шаги (умножение).
Вопрос классу: сколько трёхзначных чисел с разными цифрами оканчиваются на 0 или на 5? (на 0: 9 · 8 = 72; на 5: 8 · 8 = 64; всего 136 — случаи не пересекаются.)

R02.6

Образец → сам · разбиваем на случаи

«Хотя бы две» — это несколько «ровно»

Образец: $5$ мальчиков и $4$ девочки. Команда из $4$ , в ней хотя бы $2$ девочки

ровно $2$ : $C_{4}^{2} \cdot C_{5}^{2} = 60$ шаги: ×

ровно $3$ : $C_{4}^{3} \cdot C_{5}^{1} = 20$ шаги: ×

ровно $4$ : $C_{4}^{4} = 1$ все девочки

$60 + 20 + 1$ = $81$ случаи не пересекаются: +

Сам

$6$ мальчиков, $4$ девочки; трое на олимпиаду, девочек хотя бы $2$ $40$
Чётные трёхзначные числа с разными цифрами $328$
Числа от $1$ до $999$ с разными цифрами $738$

2 мин · практика
Образец: внутри случая два шага — выбрать девочек и выбрать мальчиков (умножение); случаи «ровно 2/3/4» не пересекаются (сложение). Проверено перебором всех $C_{9}^{4} = 126$ команд: 81.
1) $C_{4}^{2} C_{6}^{1} + C_{4}^{3} = 36 + 4 = 40$ . 2) Случаи по последней цифре: на 0 — 9 · 8 = 72; на 2, 4, 6, 8 — 4 · 8 · 8 = 256 (первая — не 0 и не последняя: 8, средняя — 8); 72 + 256 = 328. Ловушка: без разбиения на случаи нельзя — число способов для первой цифры зависит от того, 0 ли последняя. 3) Однозначные 9, двузначные 9 · 9 = 81, трёхзначные 9 · 9 · 8 = 648; 738. Все проверены перебором.

R02.6

Теория · метод дополнения

Хотя бы одна $=$ все $-$ ни одной

$10$ деталей, $3$ бракованные; берут $4$

все: $C_{10}^{4} = 210$

ни одной: $C_{7}^{4} = 35$ все из годных

хотя бы одна: $175$

Плохое — отрицание «хотя бы одна»: это «ни одной», а не «все бракованные».

R02.6

Образец → сам · «хотя бы один» через дополнение

Считаем то, чего не надо, и вычитаем

Образец: сколько четырёхзначных чисел содержат хотя бы одну цифру $7$ ?

все: $9 \cdot 1 0^{3} = 9000$ первая не $0$

без семёрок: $8 \cdot 9^{3} = 5832$ нет $0$ и $7$ / нет $7$

$9000 - 5832$ = $3168$

Сам

$7$ мальчиков, $5$ девочек; комиссия из $3$ , хотя бы одна девочка $185$
PIN из $4$ цифр, есть хотя бы две одинаковые $4960$
$10$ деталей, $3$ брак, берут $4$ : хотя бы $2$ годные $203$

R02.2 · R02.6

Новое понятие · перестановки с повторениями

Сколько слов из букв слова МАМА?

каждое слово — $2! \cdot 2! = 4$ раза

$\frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6$ убрали повторы

P = \frac{n !}{k _{1} ! k _{2} ! \dots k _{m} !}

n

— всего букв,

k_{i}

— сколько раз повторяется

i

-я буква;

k_{1} + \dots + k_{m} = n

.

2 мин · теория
Вывод: раскрасим одинаковые буквы в разные цвета — получим 4 различных объекта, их 4! = 24 перестановки. Каждое «бесцветное» слово получается из $2! \cdot 2! = 4$ раскрашенных (две М переставляются между собой, две А — между собой). Значит, слов 24 / 4 = 6: ММАА, МАМА, МААМ, АММА, АМАМ, ААММ.
Общая формула: $n$ объектов, среди них $k_{1}$ одинаковых первого вида, …, $k_{m}$ — $m$ -го вида: $\frac{n !}{k _{1} ! \dots k _{m} !}$ .
Связь с сочетаниями: при двух видах $\frac{n !}{k ! ( n - k )!} = C_{n}^{k}$ — выбираем места для букв первого вида. МАМА: $C_{4}^{2} = 6$ ✓.

R02.2 · R02.6

Образец → сам · слова из букв

Повторяющиеся буквы — делим

Образец: сколько «слов» из букв слова КОЛОКОЛ?

$n = 7$ : К — $2$ , О — $3$ , Л — $2$ $2 + 3 + 2 = 7$

$\frac{7 !}{2 ! 3 ! 2 !} = \frac{5040}{24}$ формула

= $210$ слов

Сам

Слов из букв слова ПАПАХА $60$
Слов из букв слова МАТЕМАТИКА $151200$
Шестизначных чисел из трёх единиц и трёх двоек $20$

R02.3 · R02.6

Теория · пути на клетчатой сетке

Из $A$ в $B$ : только вправо и вверх

любой путь: $4$ шага «→» и $3$ шага «↑»

путь — «слово» из $7$ стрелок

места для «↑»: $C_{7}^{3} = 35$

В узле — сумма соседей слева и снизу: это треугольник Паскаля.

сетка

m \times n

:

C_{m + n}^{m}

путей

2 мин · теория
Путь на рисунке: →↑→→↑→↑. Каждому кратчайшему пути соответствует ровно одно «слово» из 4 стрелок «→» и 3 «↑» и наоборот, поэтому путей столько же, сколько таких слов: $\frac{7 !}{4 ! 3 !} = C_{7}^{3} = 35$ .
Числа в узлах (по клику, по диагоналям): в узел можно прийти только слева или снизу, поэтому число путей в узел равно сумме чисел в этих соседях — то же правило, что в треугольнике Паскаля, повёрнутом на 45°. В узле $(i; j)$ стоит $C_{i + j}^{i}$ .
Вопрос классу: почему $C_{7}^{3} = C_{7}^{4}$ ? (Выбрать места для «↑» или для «→» — одно и то же.)

R02.6

Образец → сам · считаем пути

Через точку $C$ : правило умножения

Образец: пути $A \to B$ через $C$

$A \to C$ : $C_{3}^{1} = 3$ $2$ «→», $1$ «↑»

$C \to B$ : $C_{4}^{2} = 6$ $2$ «→», $2$ «↑»

$3 \cdot 6$ = $18$ два шага: ×

Сам

Пути из $A$ в $B$ , не проходящие через $C$ $17$
Пути на сетке $5 \times 5$ $252$
Пути на сетке $6 \times 2$ $28$

R02.2 · R02.6

Теория · метод склейки

$6$ книг на полке, тома А и Б — рядом

$2! \cdot 5! = 2 \cdot 120$ = $240$

«Рядом» — склеиваем в блок и не забываем порядок внутри блока.

«Не рядом» — через дополнение:

6! - 240 = 480

.

R02.2 · R02.6

Образец → сам · «рядом» и «не рядом»

Склейка + дополнение

Образец: $6$ человек встают в ряд. Аня и Боря — не рядом

все: $6! = 720$

рядом: $2! \cdot 5! = 240$ склейка

$720 - 240$ = $480$ дополнение

Сам

$5$ человек в ряд, $A$ и $B$ не рядом $72$
$7$ книг, $3$ тома одного автора стоят вместе $720$
Слова из букв ПРИЗМА, где И и А рядом $240$

R02.6 · ПР-1

Теория · вероятность через комбинаторику

$10$ деталей, $3$ бракованные; наугад берут $4$

все исходы: $C_{10}^{4} = 210$ равновозможны

ровно $1$ брак: $C_{3}^{1} \cdot C_{7}^{3} = 105$

$P = \frac{105}{210} = 0, 5$

P (ровно k) = \frac{C _{M}^{k} \cdot C _{N - M}^{n - k}}{C _{N}^{n}}

1,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Опыт: выбор 4 деталей из 10 «сразу» — порядок не важен, все $C_{10}^{4} = 210$ наборов равновозможны. Благоприятные: 1 бракованная из 3 и 3 годные из 7 — по правилу умножения $3 \cdot 35 = 105$ . $P = 0, 5$ .
Диаграмма: число наборов с 0, 1, 2, 3 бракованными: 35, 105, 63, 7 (сумма 210 ✓). Вероятности: 1/6, 1/2, 3/10, 1/30 — сумма 1. Это распределение числа бракованных (понадобится в разделе «Случайные величины»).
Общая формула: в партии $N$ изделий, $M$ бракованных, берут $n$ ; ровно $k$ бракованных. Не заучивать — выводить по правилу умножения.

R02.6 · ПР-1

Образец → сам · вероятность

Благоприятные и все исходы — комбинаторикой

Образец: в группе $10$ человек, из них $4$ девочки. Наугад выбирают $3$ . $P (ровно 2 девочки)$ ?

все: $C_{10}^{3} = 120$

благоприятные: $C_{4}^{2} \cdot C_{6}^{1} = 36$ ×

$P = \frac{36}{120}$ = $0, 3$

Сам

Та же группа: хотя бы одна девочка $\frac{5}{6}$
Карточки М, А, М, А выкладывают наугад в ряд: получится МАМА $\frac{1}{6}$
Путь из $A$ в $B$ (сл. 12) выбран наугад: он проходит через $C$ $\frac{18}{35}$

R02.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$4$ д., $6$ м., берут $3$ ; хотя бы одна девочка — «одну, потом любых»	$C_{4}^{1} \cdot C_{9}^{2} = 144$	$C_{10}^{3} - C_{6}^{3} = 100$
дополнение не к тому событию	$C_{10}^{3} - C_{4}^{3} = 116$	вычитаем «ни одной»: $100$
склейка без порядка внутри блока	$5! = 120$	$2! \cdot 5! = 240$
повторы букв не учтены: ПАПА	$4! = 24$	$\frac{4 !}{2 ! 2 !} = 6$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) «Сначала одну девочку, потом двоих любых» считает набор с двумя девочками дважды, с тремя — трижды: ровно 1 девочка — 60 наборов × 1, ровно 2 — 36 × 2, ровно 3 — 4 × 3; 60 + 72 + 12 = 144. Верно — 100 (60 + 36 + 4).
2) Отрицание «хотя бы одна девочка» — «ни одной девочки» (все мальчики, $C_{6}^{3} = 20$ ), а не «все девочки» ( $C_{4}^{3} = 4$ ).
3) Тома в блоке можно поставить АБ или БА. 4) Перестановки одинаковых букв не дают новых слов.

R02.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $5$ м., $4$ д.; трое, девочек хотя бы $2$

$C_{4}^{2} \cdot C_{7}^{1} = 42$

« $2$ девочки + любой» — повторы

$C_{4}^{2} C_{5}^{1} + C_{4}^{3} = 34$

б) Слова из букв КОЛОКОЛ

$7! = 5040$

одинаковые буквы

$\frac{7 !}{2 ! 3 ! 2 !} = 210$

в) Пути на сетке $4 \times 3$

$4 \cdot 3 = 12$

путь — выбор мест для «↑»

$C_{7}^{3} = 35$

R02.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$3$ ученика из $8$ на конференцию $56$
Слов из букв слова КАША $12$
Пути на сетке $3 \times 2$ $10$
Пара «мальчик + девочка» из $6$ м. и $5$ д. $30$

$5$ человек в ряд, $A$ и $B$ рядом $48$
Трёхзначные числа из цифр $1$ – $5$ (повторы можно), есть хотя бы одна $5$ $61$
$2$ дежурных из $10$ , Петя — среди них $9$

R02.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Решите с обоснованием

повыш.Сколько прямоугольников (по линиям сетки) на доске $4 \times 4$ ? $100$
повыш.Сколько натуральных делителей у числа $360$ ? $24$
исслед. $5$ одинаковых конфет раздают $3$ детям (кому-то может не достаться). Сколько способов? $21$
исслед.Сколько пятизначных чисел, цифры которых строго возрастают слева направо? $126$

2,5 мин · практика
1) Прямоугольник задаётся парой вертикальных линий из 5 и парой горизонтальных из 5: $C_{5}^{2} \cdot C_{5}^{2} = 100$ .
2) $360 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5$ ; делитель $2^{a} 3^{b} 5^{c}$ : $a$ — 4 способа, $b$ — 3, $c$ — 2: 24 (правило умножения). Проверено перебором.
3) Запишем конфеты «●» и 2 перегородки «|» в ряд из 7 знаков: каждой раздаче — одна запись и наоборот. Выбираем места перегородок: $C_{7}^{2} = 21$ (перестановка с повторениями $\frac{7 !}{5 ! 2 !}$ ). Проверено перебором.
4) Набор из 5 разных цифр однозначно задаёт число (по возрастанию); 0 входить не может (он стоял бы первым). $C_{9}^{5} = 126$ . Проверено перебором.

R02.6 · из жизни

Задача из жизни · турнир

В турнире $8$ команд

1. Каждая команда играет с каждой по одному разу. Сколько матчей?

$28$

2. Сколькими способами могут распределиться золото, серебро и бронза?

$336$

3. Сколькими способами команды можно разбить на две группы по $4$ ?

$35$

R02.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В группе $6$ человек, из них $3$ девочки. Случайным образом выбирают двух дежурных. Найдите вероятность того, что обе дежурные — девочки.

$0, 2$

2. Карточки с цифрами $1, 2, 3, 4$ выкладывают в случайном порядке и получают четырёхзначное число. Найдите вероятность того, что оно чётное.

$0, 5$

3. Из $5$ учеников, среди которых Аня и Боря, случайным образом выбирают троих. Найдите вероятность того, что Аня и Боря оба будут выбраны.

$0, 3$

R02.6

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Слов из букв слова ВАННА $30$
Пути на сетке $5 \times 2$ $21$
$6$ м., $4$ д.; трое, хотя бы одна девочка $100$
$8$ деталей, $3$ брак; берут $2$ . $P (обе годные)$ $\frac{5}{14}$

Вариант 2

Слов из букв слова БАОБАБ $60$
Пути на сетке $4 \times 4$ $70$
$5$ м., $5$ д.; трое, хотя бы один мальчик $110$
$7$ деталей, $2$ брак; берут $2$ . $P (обе годные)$ $\frac{10}{21}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда складывают, а когда умножают?
Что вычитают в задаче «хотя бы один»?
Почему в слове с повторами делят на $k_{1}! \dots k_{m}!$ ?
Почему путей на сетке $C_{m + n}^{m}$ ?

Домашнее задание

Слов из букв ПАРАБОЛА; $7$ человек в ряд, $A$ и $B$ не рядом
Сетка $6 \times 3$ : пути через узел $(3; 1)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_kombinatornye-zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-007 · Решение задач с использованием комбинаторики

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 6 ч · урок 4/6 · тип Н
Единицы → слайды	R02.6 «Решение задач с использованием комбинаторики» → 2, 4–24 · опора R02.1 (правило умножения) → 3, 5, 6, 8 · R02.2 (перестановки) → 9, 10, 13, 14 · R02.3 (сочетания, треугольник Паскаля) → 11, 12, 15, 16
Результаты	ПР-1 (правило умножения, перестановки, сочетания, треугольник Паскаля, в том числе для вероятностей) → 3–24
Вне урока	практикум по правилу умножения — VIS9U-008; распределение числа бракованных как случайная величина — раздел R05
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Решение задач с использованием комбинаторики

Сегодня вы научитесь

Выбирать модель

Считать через дополнение

Применять новые приёмы

Находить вероятности

Сочетания, факториалы, треугольник Паскаля

Вычислите

Сколько?

Четыре вопроса до вычислений

Шаги — умножаем, случаи — складываем

«Хотя бы две» — это несколько «ровно»

Образец: 5 мальчиков и 4 девочки. Команда из 4, в ней хотя бы 2 девочки

Сам

Хотя бы одна = все − ни одной

Считаем то, чего не надо, и вычитаем

Образец: сколько четырёхзначных чисел содержат хотя бы одну цифру 7?

Сам

Сколько слов из букв слова МАМА?

Повторяющиеся буквы — делим

Образец: сколько «слов» из букв слова КОЛОКОЛ?

Сам

Из A в B: только вправо и вверх

Через точку C: правило умножения

Образец: пути A→B через C

Сам

6 книг на полке, тома А и Б — рядом

Склейка + дополнение

Образец: 6 человек встают в ряд. Аня и Боря — не рядом

Сам

10 деталей, 3 бракованные; наугад берут 4

Благоприятные и все исходы — комбинаторикой

Образец: в группе 10 человек, из них 4 девочки. Наугад выбирают 3. P(ровно 2 девочки)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 5 м., 4 д.; трое, девочек хотя бы 2

б) Слова из букв КОЛОКОЛ

в) Пути на сетке 4×3

Решите и проверьте

Решите с обоснованием

В турнире 8 команд

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-007 · Решение задач с использованием комбинаторики

Образец: $5$ мальчиков и $4$ девочки. Команда из $4$ , в ней хотя бы $2$ девочки

Хотя бы одна $=$ все $-$ ни одной

Образец: сколько четырёхзначных чисел содержат хотя бы одну цифру $7$ ?

Из $A$ в $B$ : только вправо и вверх

Через точку $C$ : правило умножения

Образец: пути $A \to B$ через $C$

$6$ книг на полке, тома А и Б — рядом

Образец: $6$ человек встают в ряд. Аня и Боря — не рядом

$10$ деталей, $3$ бракованные; наугад берут $4$

Образец: в группе $10$ человек, из них $4$ девочки. Наугад выбирают $3$ . $P (ровно 2 девочки)$ ?

а) $5$ м., $4$ д.; трое, девочек хотя бы $2$

в) Пути на сетке $4 \times 3$

В турнире $8$ команд