Элементы комбинаторики · урок 3 из 6

Свойства чисел сочетаний. Бином Ньютона

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9U-006

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (6 ч), урок 3/6, единицы R02.4 «Свойства чисел сочетаний», R02.5 «Бином Ньютона». Тип урока — Н. Опора: число сочетаний и треугольник Паскаля (VIS9U-005), формулы сокращённого умножения (алгебра 7).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (симметрия, два доказательства) 2 · 5 (правило Паскаля, доказательство) 2,5 · 7 (сумма строки, «команда с капитаном») 2 · 9 (бином Ньютона, вывод) 2,5 · 10 (общий член, свойства разложения) 1,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 8, 11, 12, 13) 2 + 2 + 2,5 + 2,5 + 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3 · повышенный уровень (сл. 17) 3 · ОГЭ (сл. 18) 2 · исследование (сл. 19) 2,5 · самостоятельная работа (сл. 20) 4 · итог и ДЗ (сл. 21) 1,5.
Если не успеваете: задания 4–5 сл. 17 и задание 3 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.4 · R02.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Применять свойства $C_{n}^{k}$

симметрию, правило Паскаля, сумму строки — для быстрых вычислений (ПР-1)

Доказывать тождества

двумя способами: алгебраически (по формуле) и комбинаторно (подсчётом)

Раскрывать $(a \pm b)^{n}$

по формуле бинома Ньютона и строке треугольника Паскаля

Находить нужный член

и коэффициент разложения; применять бином в вычислениях и вероятностях (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1: «Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число перестановок, число сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля при решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий». Единицы ФРП: R02.4 «Свойства чисел сочетаний», R02.5 «Бином Ньютона». Из характеристики деятельности: «Решать задачи на применение числа сочетаний в алгебре (сокращенное умножение, бином Ньютона)».
Углублённый уровень: свойства не только формулируем, но и доказываем — алгебраически и комбинаторно.

повторение: VIS9U-005

Разминка · устно

Сочетания и треугольник Паскаля

Вычислите

$C_{5}^{2}$ $10$
$C_{6}^{3}$ $20$
$C_{10}^{9}$ $10$
Строка $4$ треугольника $14641$

Вспомните

$(a + b)^{2}$ $a^{2} + 2 ab + b^{2}$
$(a - b)^{2}$ $a^{2} - 2 ab + b^{2}$
Сколько подмножеств у ${a, b, c}$ ? $8$

R02.4

Теория · свойство симметрии

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ — два доказательства

Комбинаторно: каждому набору из $k$ — ровно один «остаток» из $n - k$

Алгебраически:

$C_{n}^{n - k} = \frac{n !}{( n - k )! ( n - ( n - k ) ) !}$

$= \frac{n !}{( n - k )! k !} = C_{n}^{k}$

Считаем по меньшему:

C_{30}^{28} = C_{30}^{2} = 435

2 мин · теория
Комбинаторное доказательство: между наборами «взяли k» и наборами «оставили n − k» — взаимно однозначное соответствие (каждому выбору двух розовых — ровно одна четвёрка бирюзовых и наоборот), значит, их поровну.
Алгебраическое: подставляем n − k вместо k в формулу; множители k! и (n − k)! меняются местами.
Вопрос классу: что видно в треугольнике Паскаля из этого свойства? (Он симметричен относительно вертикальной оси.) $C_{30}^{2} = 30 \cdot 29/2 = 435$ .

R02.4

Теория · правило Паскаля (доказательство)

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$

Алгебраически общий знаменатель $k! (n - k + 1)!$

$\frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k + 1 )!} + \frac{n !}{k ! ( n - k )!} =$

$= \frac{n ! \cdot k + n ! \cdot ( n - k + 1 )}{k ! ( n - k + 1 )!} =$

$= \frac{n ! ( n + 1 )}{k ! ( n + 1 - k )!} = \frac{( n + 1 )!}{k ! ( n + 1 - k )!} = C_{n + 1}^{k}$

Это и есть правило построения треугольника: число = сумма двух над ним.

2,5 мин · теория
Комбинаторно (общий случай): из n + 1 элементов выбираем k; выделим один элемент А. Наборы с А: А уже есть, добираем k − 1 из n — $C_{n}^{k - 1}$ ; наборы без А: все k из n — $C_{n}^{k}$ . Других наборов нет, пересечений нет — по правилу сложения $C_{n + 1}^{k} = C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k}$ . На слайде частный случай n = 4, k = 2: 4 + 6 = 10.
Алгебраически: первую дробь домножаем на k (k! = (k − 1)! · k), вторую — на n − k + 1 ((n − k + 1)! = (n − k)! · (n − k + 1)). В числителе n!(k + n − k + 1) = n!(n + 1) = (n + 1)!.
Ограничения: 1 ≤ k ≤ n. Вопрос: какое доказательство «объясняет», а какое «проверяет»? (Комбинаторное объясняет, почему так; алгебраическое — проверка вычислением.)

R02.4

Образец → сам · применяем свойства

Свернуть сумму — и посчитать

Образец: вычислите $C_{9}^{3} + C_{9}^{4}$

$C_{9}^{3} + C_{9}^{4} = C_{10}^{4}$ правило Паскаля, $n = 9$ , $k = 4$

$= \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 !}$ $4$ множителя сверху

$= \frac{5040}{24}$ = $210$ проверка: $84 + 126$

Сам

Вычислите $C_{50}^{48}$ $1225$
Вычислите $C_{7}^{2} + C_{7}^{3}$ $C_{8}^{3} = 56$
Решите $C_{n}^{n - 2} = 28$ $n = 8$

R02.4

Теория · сумма строки и «команда с капитаном»

Ещё два свойства — подсчётом

C_{n}^{0} + C_{n}^{1} + \dots + C_{n}^{n} = 2^{n}

каждый из $n$ элементов: взять или нет — $2^{n}$ подмножеств

k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}

Команда из

k

и в ней капитан = капитан из

n

, затем

k - 1

из

n - 1

.

2 мин · теория
Сумма строки. Левая часть — число всех подмножеств n-элементного множества, разложенных по числу элементов (на рисунке n = 3: 1 + 3 + 3 + 1). Правая часть — то же число, посчитанное по правилу умножения: для каждого элемента 2 варианта — взять / не взять, $2 \cdot 2 \dots 2 = 2^{n}$ .
«Команда с капитаном»: считаем двумя способами число пар (команда из k человек, капитан в ней). Способ 1: команда — $C_{n}^{k}$ , капитан в ней — k: $k C_{n}^{k}$ . Способ 2: капитан — n способов, остальные k − 1 из n − 1: $n C_{n - 1}^{k - 1}$ . Пример: n = 5, k = 2: 2 · 10 = 5 · 4 = 20.
Это приём «подсчёт двумя способами» — главный в комбинаторных доказательствах.

R02.4

Образец → сам · сумма строки

Сумма — через $2^{n}$ , а не перебором

Образец: вычислите $C_{8}^{1} + C_{8}^{2} + \dots + C_{8}^{7}$

вся строка: $C_{8}^{0} + \dots + C_{8}^{8} = 2^{8} = 256$

не хватает крайних: $C_{8}^{0} = C_{8}^{8} = 1$ их вычтем

$256 - 2$ = $254$

Сам

$C_{6}^{0} + C_{6}^{1} + \dots + C_{6}^{6}$ $64$
Пицца: хотя бы одна начинка из $5$ разных. Сколько вариантов? $31$
Вычислите $\frac{12 C _{11}^{4}}{C _{12}^{5}}$ $5$

R02.5

Новое понятие · бином Ньютона

Откуда в $(a + b)^{n}$ берутся $C_{n}^{k}$

$(a + b)^{n}$ — произведение $n$ скобок

член $a^{n - k} b^{k}$ : $b$ взяли из $k$ скобок

выбрать $k$ скобок из $n$ — $C_{n}^{k}$ способов

(a + b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n - 1} b + \dots + C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k} + \dots + C_{n}^{n} b^{n}

2,5 мин · теория
Вывод на примере n = 3. При раскрытии (a + b)(a + b)(a + b) каждое слагаемое — произведение трёх букв, по одной из каждой скобки. Слагаемое $a b^{2}$ получается, когда b взята из двух скобок, a — из третьей: bba, bab, abb — 3 способа = $C_{3}^{2}$ . Поэтому $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ .
В общем случае: коэффициент при $a^{n - k} b^{k}$ равен числу способов выбрать k скобок из n, из которых берём b, — $C_{n}^{k}$ . Это формула бинома Ньютона; коэффициенты $C_{n}^{k}$ называют биномиальными.
Связь с треугольником Паскаля: коэффициенты $(a + b)^{n}$ — строка n. Другое доказательство — по индукции через правило Паскаля: $(a + b)^{n + 1} = (a + b)^{n} (a + b)$ , коэффициенты складываются попарно (можно упомянуть сильным ученикам).

R02.5

Теория · общий член и свойства разложения

Член с номером $k + 1$

T_{k + 1} = C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}, k = 0, 1, \dots, n

Число слагаемых

$n + 1$ ; степени $a$ и $b$ в сумме дают $n$

Симметрия

коэффициенты, равноудалённые от концов, равны

$(a - b)^{n}$

$b \to - b$ : знаки чередуются, $(- b)^{k}$

Подстановки

$a = b = 1$ : сумма коэффициентов $2^{n}$
$a = 1, b = - 1$ : $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + \dots = 0$

R02.5

Образец → сам · раскрываем скобки

Числа, минусы и строка треугольника

Образец: раскройте $(x - 2)^{4}$

строка $4$ : $1, 4, 6, 4, 1$ ; $b = - 2$ знак — в $b$

$x^{4} + 4 x^{3} (- 2) + 6 x^{2} (- 2)^{2} + 4 x (- 2)^{3} + (- 2)^{4}$

$x^{4} - 8 x^{3} + 24 x^{2} - 32 x + 16$

проверка $x = 1$ : $1 - 8 + 24 - 32 + 16 = 1 = (1 - 2)^{4}$

Сам: раскройте

$(x + 3)^{3}$
$x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$
$(2 x + 1)^{3}$
$8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1$
$(a - b)^{5}$
$a^{5} - 5 a^{4} b + 10 a^{3} b^{2} - 10 a^{2} b^{3} + 5 a b^{4} - b^{5}$

R02.5

Образец → сам · нужный член разложения

Не раскрывая скобки целиком

Образец: коэффициент при $x^{3}$ в $(2 x + 1)^{5}$

$T_{k + 1} = C_{5}^{k} (2 x)^{5 - k} \cdot 1^{k}$ общий член

$5 - k = 3 \Rightarrow k = 2$ степень $x$

$C_{5}^{2} \cdot 2^{3} = 10 \cdot 8$ = $80$ двойка — в степени!

Сам: найдите

коэффициент при $x^{4}$ в $(1 + 2 x)^{6}$ $240$
коэффициент при $x^{2}$ в $(x - 3)^{5}$ $- 270$
член без $x$ в $(x + \frac{1}{x})^{6}$ $20$

R02.5

Образец → сам · бином в вычислениях

Вклад, приближения и делимость

Образец: вклад под $2 %$ в год, $5$ лет. Во сколько раз он вырастет (до $0, 001$ )?

$1, 0 2^{5} = (1 + 0, 02)^{5}$ бином

$= 1 + 5 \cdot 0, 02 + 10 \cdot 0, 0 2^{2} + \dots$ строка $5$

$\approx 1 + 0, 1 + 0, 004 + 0, 00008 \approx$ $1, 104$

Сам

$1, 0 1^{4}$ с точностью до $0, 001$ $1, 041$
$9 9^{3}$ через $(100 - 1)^{3}$ $970299$
Докажите: $1 1^{10} - 1$ делится на $100$ $C_{10}^{1} \cdot 10 = 100$

R02.4 · R02.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$(a - b)^{3}$ : минус — ко всем членам	$a^{3} - 3 a^{2} b - 3 a b^{2} - b^{3}$	$a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
забыли возвести число в степень	при $x^{2}$ в $(3 x + 1)^{4}$ : $C_{4}^{2} = 6$	$C_{4}^{2} \cdot 3^{2} = 54$
номер члена = $k$	$T_{4} = C_{n}^{4} a^{n - 4} b^{4}$	$T_{4} = C_{n}^{3} a^{n - 3} b^{3}$
сумма коэффициентов — всегда $2^{n}$	у $(2 x + 1)^{4}$ сумма $2^{4} = 16$	при $x = 1$ : $3^{4} = 81$

R02.4 · R02.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Вычислите $C_{8}^{5} + C_{8}^{6}$

$= C_{9}^{5} = 126$

в правиле Паскаля сверху — больший индекс: $k = 6$

$C_{9}^{6} = C_{9}^{3} = 84$

б) Раскройте $(x - 1)^{4}$

$x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x - 1$

последний член $(- 1)^{4} = + 1$

$x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1$

в) Коэффициент при $x^{3}$ в $(x + 2)^{5}$

$C_{5}^{3} \cdot 2^{3} = 80$

$x^{5 - k} = x^{3} \Rightarrow k = 2$

$C_{5}^{2} \cdot 2^{2} = 40$

R02.4 · R02.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$C_{25}^{23}$ $300$
$C_{6}^{2} + C_{6}^{3}$ $35$
$C_{5}^{0} + C_{5}^{1} + \dots + C_{5}^{5}$ $32$

Бином

Раскройте $(a + 1)^{4}$
$a^{4} + 4 a^{3} + 6 a^{2} + 4 a + 1$
Коэффициент при $x^{2}$ в $(x + 2)^{4}$ $24$
Сколько слагаемых в разложении $(a + b)^{12}$ ? $13$

R02.4 · R02.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

С обоснованием

повыш.Решите уравнение $C_{n + 1}^{2} = 3 C_{n}^{1}$ $n = 5$
повыш.Член без $x$ в разложении $(x^{2} + \frac{1}{x})^{6}$ $15$
повыш.Сумма биномиальных коэффициентов $(a + b)^{n}$ равна $1024$ . Найдите $n$ . $10$
доказ.Докажите: $C_{n}^{0} - C_{n}^{1} + C_{n}^{2} - \dots + (- 1)^{n} C_{n}^{n} = 0$ , $n \geq 1$ $(1 - 1)^{n} = 0$
из жизни $10000$ ₽ под $3 %$ годовых на $4$ года: оцените сумму по трём членам бинома $\approx 11254$ ₽

R02.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Монета и строка треугольника Паскаля

1. Симметричную монету бросают $3$ раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно $2$ раза.

$0, 375$

2. Симметричную монету бросают $4$ раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно $1$ раз.

$0, 25$

3. Симметричную монету бросают $5$ раз. Найдите вероятность того, что орлов выпадет больше, чем решек.

$0, 5$

Исходов

2^{n}

— сумма строки

n

; с

k

орлами —

C_{n}^{k}

. В бланк: 0,375.

R02.4

Исследование · наибольший коэффициент

Где вершина строки?

$\frac{C _{n}^{k + 1}}{C _{n}^{k}} = \frac{n - k}{k + 1}$

Наибольший коэффициент $(a + b)^{8}$ $C_{8}^{4} = 70$
Наибольший коэффициент $(a + b)^{9}$ $C_{9}^{4} = C_{9}^{5} = 126$
При каких $k$ строка растёт: $C_{n}^{k + 1} > C_{n}^{k}$ ? $k < \frac{n - 1}{2}$

R02.4 · R02.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$C_{30}^{28}$ $435$
$C_{9}^{3} + C_{9}^{4}$ $210$
Раскройте $(x - 1)^{3}$ $x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$
Коэффициент при $x^{2}$ в $(2 x + 1)^{5}$ $40$

Вариант 2

$C_{40}^{38}$ $780$
$C_{8}^{4} + C_{8}^{5}$ $126$
Раскройте $(x + 2)^{3}$ $x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8$
Коэффициент при $x^{3}$ в $(3 x + 1)^{4}$ $108$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как комбинаторно доказать $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ ?
Почему сумма строки $n$ равна $2^{n}$ ?
Откуда в $(a + b)^{n}$ коэффициент $C_{n}^{k}$ ?
Как найти член разложения с $x^{m}$ ?

Домашнее задание

Раскройте $(2 a - b)^{4}$ ; коэффициент при $x^{5}$ в $(x + 2)^{7}$
Докажите $k C_{n}^{k} = n C_{n - 1}^{k - 1}$ алгебраически
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_treugolnik-paskalya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-006 · Свойства чисел сочетаний. Бином Ньютона

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 6 ч · урок 3/6 · тип Н
Единицы → слайды	R02.4 «Свойства чисел сочетаний» → 2–8, 14–16, 18–20 · R02.5 «Бином Ньютона» → 2, 9–17, 20–21 · повторение (число сочетаний, треугольник Паскаля) → 3
Результаты	ПР-1 (число сочетаний, треугольник Паскаля, в том числе для вероятностей) → 3–20
Вне урока	комбинаторные задачи на вероятность — VIS9U-007; практикум по правилу умножения — VIS9U-008; доказательство бинома по индукции — только упоминание в заметках
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Свойства чисел сочетаний. Бином Ньютона

Сегодня вы научитесь

Применять свойства Cnk​

Доказывать тождества

Раскрывать (a±b)n

Находить нужный член

Сочетания и треугольник Паскаля

Вычислите

Вспомните

Cnk​=Cnn−k​ — два доказательства

Cnk−1​+Cnk​=Cn+1k​

Свернуть сумму — и посчитать

Образец: вычислите C93​+C94​

Сам

Ещё два свойства — подсчётом

Сумма — через 2n, а не перебором

Образец: вычислите C81​+C82​+…+C87​

Сам

Откуда в (a+b)n берутся Cnk​

Член с номером k+1

Число слагаемых

Симметрия

(a−b)n

Подстановки

Числа, минусы и строка треугольника

Образец: раскройте (x−2)4

Сам: раскройте

Не раскрывая скобки целиком

Образец: коэффициент при x3 в (2x+1)5

Сам: найдите

Вклад, приближения и делимость

Образец: вклад под 2% в год, 5 лет. Во сколько раз он вырастет (до 0,001)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Вычислите C85​+C86​

б) Раскройте (x−1)4

в) Коэффициент при x3 в (x+2)5

Решите и проверьте

Вычислите

Бином

С обоснованием

Монета и строка треугольника Паскаля

Где вершина строки?

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-006 · Свойства чисел сочетаний. Бином Ньютона

Применять свойства $C_{n}^{k}$

Раскрывать $(a \pm b)^{n}$

$C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$ — два доказательства

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$

Образец: вычислите $C_{9}^{3} + C_{9}^{4}$

Сумма — через $2^{n}$ , а не перебором

Образец: вычислите $C_{8}^{1} + C_{8}^{2} + \dots + C_{8}^{7}$

Откуда в $(a + b)^{n}$ берутся $C_{n}^{k}$

Член с номером $k + 1$

$(a - b)^{n}$

Образец: раскройте $(x - 2)^{4}$

Образец: коэффициент при $x^{3}$ в $(2 x + 1)^{5}$

Образец: вклад под $2 %$ в год, $5$ лет. Во сколько раз он вырастет (до $0, 001$ )?

а) Вычислите $C_{8}^{5} + C_{8}^{6}$

б) Раскройте $(x - 1)^{4}$

в) Коэффициент при $x^{3}$ в $(x + 2)^{5}$