Элементы комбинаторики · урок 2 из 6

Число сочетаний и треугольник Паскаля

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9U-005

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (6 ч), урок 2/6, единица R02.3 «Число сочетаний и треугольник Паскаля». Тип урока — Н. Опора: правило умножения, перестановки и факториал (VIS9U-004), классическая вероятность.
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (порядок важен / не важен) 1,5 · 5 (определение, вывод формулы $C_{n}^{k}$ ) 2,5 · 8 (схема выбора формулы) 1,5 · 11 (треугольник Паскаля) 2 · 12 (доказательство правила Паскаля) 2 · 15 (вероятность «ровно $m$ », учитель решает сам) 1,5. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 13, 14, 16) по 2 · типичные ошибки (сл. 17) 1,5 · найди ошибку (сл. 18) 2 · самопроверка, база (сл. 19) 2,5 · повышенный уровень (сл. 20) 2,5 · ОГЭ (сл. 21) 2 · самостоятельная работа (сл. 22) 4 · итог и ДЗ (сл. 23) 1,5.
Не путать с уроком 3/6 (VIS9U-006): свойства чисел сочетаний (симметрия, сумма строки) и бином Ньютона — там. Сегодня из свойств — только правило Паскаля, оно нужно для построения треугольника.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 20 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу $C_{n}^{k}$

числа сочетаний и решать с ней уравнения (ПР-1)

Выбирать модель

с повторениями, упорядоченный выбор или сочетания (ПР-1)

Строить треугольник Паскаля

доказывать его правило и считать пути по сетке (ПР-1)

Находить вероятности

событий «ровно $m$ », «хотя бы один» через сочетания (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1 (углублённый уровень, 9 класс): «Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число перестановок, число сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля при решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий». Единица ФРП: R02.3 «Число сочетаний и треугольник Паскаля». Из характеристики деятельности строки R02: «Осваивать понятия … сочетание, число сочетаний, треугольник Паскаля. Решать задачи на перечисление комбинаций, … нахождение вероятностей событий с применением комбинаторики, в том числе с использованием треугольника Паскаля».

повторение: VIS9U-004

Разминка · устно

Правило умножения и факториал

Вычислите

$5!$ $120$
$\frac{8 !}{6 !}$ $56$
$\frac{( n + 1 )!}{n !}$ $n + 1$
$\frac{7 !}{3 ! \cdot 4 !}$ $35$

Сколько способов?

Трёхзначные числа из цифр $1, 2, 3, 4$ без повторов $24$
Переставить буквы слова ЛУЧ $6$
Председатель и секретарь из $6$ $30$
Код из $3$ цифр, повторы можно $1000$

R02.3

Теория · порядок важен или нет

Выбираем троих из четырёх: A, B, C, D

С порядком: $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$

Один состав — $3! = 6$ троек

Без порядка: $\frac{24}{3 !}$ = $4$

Без порядка важен только состав:

{A, B, C}

.

1,5 мин · теория
Слева 24 упорядоченные тройки (правило умножения: 4 · 3 · 2). Они разбиваются на 4 строки по 6 — в каждой строке перестановки одного и того же состава. По клику каждая строка «склеивается» в один набор: {A,B,C}, {A,B,D}, {A,C,D}, {B,C,D}.
Вопрос классу: почему в каждой строке ровно 6? (Три элемента переставляются 3! = 6 способами.) Отсюда общий приём: число наборов = число упорядоченных выборов / k!.
Проверка в задачах: «если поменять выбранных местами — получится другой вариант?» Да — порядок важен; нет — не важен.

R02.3

Новое понятие · число сочетаний

Сочетания из $n$ по $k$

Сочетание из $n$ элементов по $k$ — любое подмножество из $k$ элементов данного множества из $n$ элементов, порядок не учитывается.

1) упорядоченно: $\frac{n !}{( n - k )!}$ правило умножения

2) каждое подмножество — $k!$ раз перестановки

3) $C_{n}^{k} \cdot k! = \frac{n !}{( n - k )!}$ делим на $k!$

C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

C_{n}^{k} = \frac{n ( n - 1 ) \dots ( n - k + 1 )}{k !}

C_{4}^{3} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 !} = 4

— как на прошлом слайде.

2,5 мин · теория
Вывод (полностью, это главная теорема урока). Посчитаем упорядоченные выборки k элементов из n двумя способами. Способ 1 — правило умножения: n(n − 1)…(n − k + 1) = n!/(n − k)!. Способ 2 — сначала выбираем подмножество ( $C_{n}^{k}$ способов), затем упорядочиваем его (k! способов): всего $C_{n}^{k} \cdot k!$ . Приравниваем и делим на k!.
Это приём «двойного подсчёта» — им сегодня докажем и правило Паскаля. Вторая форма (k множителей сверху, k! снизу) удобна для счёта и для уравнений: $C_{n}^{2} = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ , $C_{n}^{3} = \frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6}$ .
Договорённость 0! = 1 даёт $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ — «пустое множество» и «всё множество» выбираются одним способом.

R02.3

Образец → сам · вычисляем число сочетаний

$k$ множителей сверху, $k!$ снизу

Образец: вычислите $C_{9}^{4}$

$C_{9}^{4} = \frac{9 !}{4 ! \cdot 5 !}$ формула, $n - k = 5$

$= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{4 !}$ сократили $5!$

$= \frac{3024}{24}$ = $126$ $4! = 24$

Сам

$C_{12}^{3}$ $220$
$C_{10}^{5}$ $252$
Запишите многочленом $C_{n + 1}^{2}$ $\frac{n ^{2} + n}{2}$

R02.3

Образец → сам · уравнения с числом сочетаний

Найти $n$ по значению $C_{n}^{k}$

Образец: решите уравнение $C_{n}^{2} = 45$

$n \in N, n \geq 2$ область допустимых $n$

$\frac{n ( n - 1 )}{2} = 45$ формула для $k = 2$

$n^{2} - n - 90 = 0$ , $n = 10$ или $n = - 9$

Ответ: $n = 10$ $- 9$ не подходит

Сам: решите уравнение

$C_{n}^{2} = 66$ $12$
$C_{n}^{3} = 4 C_{n}^{2}$ $14$
$C_{n + 2}^{n} = 15$ $4$

R02.1 · R02.2 · R02.3

Теория · какую формулу выбрать

Два вопроса к задаче о выборе $k$ из $n$

1,5 мин · теория
Вопрос 1: можно ли брать один элемент несколько раз (цифры кода, буквы номера)? Да — $n^{k}$ по правилу умножения. Вопрос 2 (без повторений): различаются ли выборы, отличающиеся только порядком (места, роли, позиции в числе)? Да — упорядоченный выбор $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$ , при k = n это перестановки n!; нет (комиссия, набор, «вынули сразу») — сочетания.
Примеры: пароль из 4 цифр — $1 0^{4}$ ; первые три места в забеге 8 бегунов — 8 · 7 · 6 = 336; 3 вопроса из 10 на зачёт — $C_{10}^{3} = 120$ .

R02.1 · R02.3

Образец → сам · выбираем модель

Повторы? Порядок?

Образец: $9$ разных книг, берут $3$

а) на полку по порядку порядок важен

$9 \cdot 8 \cdot 7$ = $504$

б) в рюкзак порядок не важен

$C_{9}^{3} = \frac{504}{3 !}$ = $84$

Сам: $7$ цветов краски

Флаг из $3$ горизонтальных полос разных цветов $210$
Набор из $3$ разных красок в подарок $35$
Флаг из $3$ полос, цвета могут повторяться $343$

R02.3

Образец → сам · «хотя бы одна», «ровно», «не более»

$6$ мальчиков и $4$ девочки, выбирают $3$

Образец: хотя бы одна девочка

все тройки: $C_{10}^{3} = 120$ без ограничений

без девочек: $C_{6}^{3} = 20$ противоположное

$120 - 20$ = $100$ вычитаем «плохие»

Сам: сколько троек, если

ровно $2$ девочки $36$
не более одной девочки $80$
$5$ мальч. и $3$ дев., четвёрка, хотя бы одна девочка $65$

R02.3

Новое понятие · треугольник Паскаля

Каждое число — сумма двух над ним

по краям: $C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$

$4 + 6 = 10$ строка $4$ → строка $5$

строка $n$ : $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$

C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}

Строки и места в строке нумеруют с нуля.

2 мин · теория
Строки 0–4 даны (слева — номера строк). По клику строится строка 5: 1, 1 + 4 = 5, 4 + 6 = 10 (подсвечено), 6 + 4 = 10, 4 + 1 = 5, 1; затем строка 6: 1 6 15 20 15 6 1.
Утверждение: k-е число строки n (счёт с нуля) равно $C_{n}^{k}$ . Проверка: строка 5, место 2 — $C_{5}^{2} = 10$ ✓; строка 6, место 3 — $C_{6}^{3} = 20$ ✓. Доказательство — на следующем слайде: края равны 1, а $C_{n}^{k}$ подчиняется тому же правилу сложения, поэтому совпадают все числа (индукция по строкам).
Симметрию строк и сумму строки ( $2^{n}$ ) не доказываем — это урок 3/6 (VIS9U-006); можно только заметить.

R02.3

Теория · доказательство правила Паскаля

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$ , $1 \leq k \leq n$

Способ 1 · комбинаторно

Выбираем $k$ из $n + 1$ элементов; один из них отмечен: $X$ .

С $X$ : ещё $k - 1$ из $n$ → $C_{n}^{k - 1}$

Без $X$ : все $k$ из $n$ → $C_{n}^{k}$

Других нет, общих нет: все наборы из $k$ элементов разбиты на две группы.

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$ ∎

Способ 2 · алгебраически

$\frac{n !}{( k - 1 )! ( n - k + 1 )!} + \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

$= \frac{n ! ( k + ( n - k + 1 ) )}{k ! ( n - k + 1 )!}$ общий знаменатель

$= \frac{( n + 1 )!}{k ! ( n + 1 - k )!} = C_{n + 1}^{k}$ ∎

R02.3

Образец → сам · пути по сетке

Только вправо (П) и вверх (В)

Образец: сколько путей из $A$ в $B$ ?

путь = слово из $3$ П и $2$ В ПВПВП

места для В: $C_{5}^{2}$ = $10$ числа в узлах — Паскаль

Сам: число кратчайших путей

Сетка $4 \times 3$ $35$
Сетка $4 \times 4$ $70$
Сетка $4 \times 3$ через узел $(2; 1)$ $18$

2 мин · практика
Образец: каждый кратчайший путь — 3 шага вправо и 2 вверх в каком-то порядке, т. е. слово длины 5 с двумя буквами В; путь задаётся выбором мест для В: $C_{5}^{2} = 10$ . Второй способ — числа в узлах: в узел можно прийти слева или снизу, поэтому число путей в узел = сумма соседних — это правило Паскаля (треугольник, повёрнутый на 45°).
Сетка «a × b» — a клеток вправо, b вверх. 1) $C_{7}^{3} = 35$ . 2) $C_{8}^{4} = 70$ . 3) До узла (2; 1): $C_{3}^{1} = 3$ ; от него до B — 2 вправо, 2 вверх: $C_{4}^{2} = 6$ ; 3 · 6 = 18. Проверено перебором путей.

R02.3

Образец → сам · по правилу Паскаля

Сумма соседей — число строкой ниже

Образец: вычислите $C_{8}^{3} + C_{8}^{4}$

соседи в строке $8$ $k - 1 = 3, k = 4$

$= C_{9}^{4}$ правило Паскаля

$= \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{24}$ = $126$

Сам

$C_{6}^{2} + C_{6}^{3}$ $35$
$C_{10}^{4} + C_{10}^{5}$ $462$
Строка $7$ из строки $6$ $172135352171$

R02.3 · ПР-1

Теория · вероятность через сочетания

$10$ деталей, $3$ бракованные; берут $4$ наугад

$A$ = «ровно $1$ бракованная»

$n = C_{10}^{4} = 210$ все четвёрки

$m = C_{3}^{1} \cdot C_{7}^{3} = 105$ правило умножения

$P (A) = \frac{105}{210} = 0, 5$

P = \frac{C _{M}^{m} \cdot C _{N - M}^{k - m}}{C _{N}^{k}}

1,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Все четвёрки деталей равновозможны, их $C_{10}^{4} = 210$ . Благоприятная четвёрка = 1 бракованная из 3 и 3 годные из 7; выборы независимы — умножаем: 3 · 35 = 105. P = 0,5. Проверено перебором (itertools).
Общая схема: из N предметов M «отмеченных», берут k; вероятность, что отмеченных ровно m, — формула в рамке (в старших классах это гипергеометрическое распределение; название не требуем).
Вопрос: какова вероятность «ни одной бракованной»? ( $C_{7}^{4} /210 = 35/210 = 1/6$ .)

R02.3 · ПР-1

Образец → сам · вероятность через сочетания

Контроль качества, урна, карты

Образец: $10$ лампочек, $4$ неисправны. Берут $3$ . $P (ровно одна неисправна)$ ?

$n = C_{10}^{3} = 120$ все тройки

$m = C_{4}^{1} \cdot C_{6}^{2} = 60$ 1 из 4 и 2 из 6

$P = \frac{60}{120}$ = $0, 5$

Сам: найдите вероятность

$6$ белых и $4$ чёрных шара, вынули $2$ — разного цвета $\frac{8}{15}$
Те же шары, вынули $3$ — хотя бы один чёрный $\frac{5}{6}$
Из колоды в $36$ карт взяли $2$ — оба туза $\frac{1}{105}$

R02.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
порядок не важен, а не поделили на $k!$	$C_{6}^{3} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$	$\frac{120}{3 !} = 20$
«хотя бы одна девочка» ( $6$ м., $4$ д., тройка): одну «закрепили»	$C_{4}^{1} \cdot C_{9}^{2} = 144$	$C_{10}^{3} - C_{6}^{3} = 100$
выбор из двух групп — сложили	$C_{5}^{2} + C_{4}^{1} = 14$	$C_{5}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 40$
правило Паскаля: сложили и низы, и верхи	$C_{7}^{2} + C_{7}^{3} = C_{14}^{5}$	$= C_{8}^{3} = 56$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) 6 · 5 · 4 — упорядоченные тройки; каждая посчитана 3! = 6 раз. 2) Тройку с двумя девочками (Аня, Вера, мальчик) посчитали дважды: «закреплена Аня» и «закреплена Вера»; с тремя девочками — трижды. 144 − 100 = 44 = 36 + 2 · 4 — ровно лишние повторы. 3) Мальчиков и девочку выбирают последовательно — правило умножения. 4) Правило складывает соседей одной строки: номер строки +1, верхний индекс — больший из двух: $C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$ . Проверено: 21 + 35 = 56.

R02.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Решите $C_{n}^{2} = 28$

$n (n - 1) = 28$ , $n^{2} - n - 28 = 0$ — целых корней нет, решений нет

потеряно деление на $2!$

$n (n - 1) = 56$ , $n = 8$

б) $6$ деталей, $2$ брак., берут $2$ . $P (ровно 1 брак .)$

$m = C_{2}^{1} = 2$ , $P = \frac{2}{15}$

вторая деталь — годная: $C_{4}^{1}$

$m = 2 \cdot 4 = 8$ , $P = \frac{8}{15}$

в) Решите $C_{n}^{3} = 4 C_{n}^{2}$

$\frac{n ( n - 1 ) ( n - 2 )}{6} = 2 n (n - 1)$

$n - 2 = 2$ , $n = 4$

делили на $6$ не ту часть: $n - 2 = 12$

$n = 14$ ; проверка: $364 = 4 \cdot 91$

R02.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$C_{8}^{2}$ $28$
$C_{11}^{3}$ $165$
$C_{9}^{9} + C_{9}^{1}$ $10$
$C_{5}^{2} + C_{5}^{3}$ $20$

Сосчитайте

Треугольники с вершинами в $7$ точках окружности $35$
$2$ гласные из $5$ и $3$ согласные из $6$ $200$
Кратчайшие пути на сетке $3 \times 3$ $20$

R02.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Решите уравнение $C_{n}^{2} + C_{n}^{1} = 15$ $n = 5$
повыш.У выпуклого многоугольника $20$ диагоналей. Сколько у него сторон? $8$
повыш.Решите неравенство $C_{n}^{2} < 10$ $n \in {2; 3; 4}$
из жизниТурнир в один круг: сыграно $66$ партий. Сколько участников? $12$

R02.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В классе $25$ учащихся, среди них Петя. Случайным образом выбирают двух дежурных. Найдите вероятность того, что Петя окажется среди дежурных.

$0, 08$

2. В вазе $16$ конфет, из них $10$ шоколадных. Наугад берут $2$ конфеты. Найдите вероятность того, что обе окажутся шоколадными.

$0, 375$

3. Из $6$ учеников, среди которых Аня и Боря, случайным образом выбирают $3$ дежурных. Найдите вероятность того, что дежурить будут и Аня, и Боря.

$0, 2$

В бланк — число без единиц:

0, 375

записывают как 0,375.

R02.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$C_{9}^{2}$ $36$
Решите $C_{n}^{2} = 55$ $11$
$2$ мальчика из $7$ и $2$ девочки из $5$ $210$
$6$ белых, $4$ чёрных шара, вынули $2$ . $P (оба чёрные)$ $\frac{2}{15}$

Вариант 2

$C_{10}^{3}$ $120$
Решите $C_{n}^{2} = 36$ $9$
$3$ мальчика из $6$ и $1$ девочка из $4$ $80$
$5$ белых, $5$ чёрных шаров, вынули $2$ . $P (оба белые)$ $\frac{2}{9}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему в формуле $C_{n}^{k}$ делят на $k!$ ?
Какие два вопроса задать к задаче о выборе?
Как доказать правило Паскаля без формул?
Почему число путей по сетке — $C_{n}^{k}$ ?

Домашнее задание

Вычислите $C_{14}^{3}$ ; решите $C_{n}^{3} = 20$
Пути на сетке $5 \times 3$ ; $P$ : $12$ деталей, $3$ брак., берут $3$ — ровно $1$ брак.
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sochetaniya.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-005 · Число сочетаний и треугольник Паскаля

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 6 ч · урок 2/6 · тип Н
Единицы → слайды	R02.3 «Число сочетаний и треугольник Паскаля» → 2, 4–23 · повторение R02.1–R02.2 (правило умножения, перестановки, факториал) → 3, 8–9
Результаты	ПР-1 (правило умножения, перестановки, число сочетаний, треугольник Паскаля, в том числе для вычисления вероятностей) → 3–23
Вне урока	свойства чисел сочетаний и бином Ньютона — VIS9U-006; решение задач с комбинаторикой — VIS9U-007; практикум — VIS9U-008
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Число сочетаний и треугольник Паскаля

Сегодня вы научитесь

Выводить формулу Cnk​

Выбирать модель

Строить треугольник Паскаля

Находить вероятности

Правило умножения и факториал

Вычислите

Сколько способов?

Выбираем троих из четырёх: A, B, C, D

Сочетания из n по k

k множителей сверху, k! снизу

Образец: вычислите C94​

Сам

Найти n по значению Cnk​

Образец: решите уравнение Cn2​=45

Сам: решите уравнение

Два вопроса к задаче о выборе k из n

Повторы? Порядок?

Образец: 9 разных книг, берут 3

Сам: 7 цветов краски

6 мальчиков и 4 девочки, выбирают 3

Образец: хотя бы одна девочка

Сам: сколько троек, если

Каждое число — сумма двух над ним

Cnk−1​+Cnk​=Cn+1k​, 1≤k≤n

Способ 1 · комбинаторно

Способ 2 · алгебраически

Только вправо (П) и вверх (В)

Образец: сколько путей из A в B?

Сам: число кратчайших путей

Сумма соседей — число строкой ниже

Образец: вычислите C83​+C84​

Сам

10 деталей, 3 бракованные; берут 4 наугад

Контроль качества, урна, карты

Образец: 10 лампочек, 4 неисправны. Берут 3. P(ровно одна неисправна)?

Сам: найдите вероятность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Решите Cn2​=28

б) 6 деталей, 2 брак., берут 2. P(ровно 1 брак.)

в) Решите Cn3​=4Cn2​

Решите и проверьте

Вычислите

Сосчитайте

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-005 · Число сочетаний и треугольник Паскаля

Выводить формулу $C_{n}^{k}$

Сочетания из $n$ по $k$

$k$ множителей сверху, $k!$ снизу

Образец: вычислите $C_{9}^{4}$

Найти $n$ по значению $C_{n}^{k}$

Образец: решите уравнение $C_{n}^{2} = 45$

Два вопроса к задаче о выборе $k$ из $n$

Образец: $9$ разных книг, берут $3$

Сам: $7$ цветов краски

$6$ мальчиков и $4$ девочки, выбирают $3$

$C_{n}^{k - 1} + C_{n}^{k} = C_{n + 1}^{k}$ , $1 \leq k \leq n$

Образец: сколько путей из $A$ в $B$ ?

Образец: вычислите $C_{8}^{3} + C_{8}^{4}$

$10$ деталей, $3$ бракованные; берут $4$ наугад

Образец: $10$ лампочек, $4$ неисправны. Берут $3$ . $P (ровно одна неисправна)$ ?

а) Решите $C_{n}^{2} = 28$

б) $6$ деталей, $2$ брак., берут $2$ . $P (ровно 1 брак .)$

в) Решите $C_{n}^{3} = 4 C_{n}^{2}$