Элементы комбинаторики · урок 1 из 6

Правило умножения. Перестановки и факториал

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R02 · VIS9U-004

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R02 «Элементы комбинаторики» (6 ч), урок 1/6, единицы R02.1 «Комбинаторное правило умножения», R02.2 «Перестановки и факториал». Тип урока — Н. Опора: перебор вариантов и дерево (7–8 класс), классическая вероятность, противоположное событие (VIS9U-001…003).
Хронометраж: Теория 14 мин · практика 31 мин (69 %), итого 45 мин.
Теория (14 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (правило умножения и правило сложения) 2 · 6 (упорядоченные наборы) 1,5 · 7 (перестановки, дерево) 1,5 · 8 (вывод $P_{n} = n!$ , индукция) 1 · 10 (факториал и его свойства) 2 · 12 (доказательство тождеств) 2 · 14 (перестановки с условиями, учитель решает сам) 2. Теоретические слайды показываются полностью.
Практика (31 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам: сл. 5 — 2,5, сл. 9 — 2, сл. 11 — 2,5, сл. 13 — 2, сл. 15 — 2, сл. 16 (вероятность) — 2,5 · типичные ошибки (сл. 17) 1,5 · найди ошибку (сл. 18) 2 · самопроверка, база (сл. 19) 2,5 · повышенный уровень и исследование (сл. 20) 2 · ОГЭ (сл. 21) 2 · самостоятельная работа (сл. 22) 4 · итог и ДЗ (сл. 23) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 20 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R02.1 · R02.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать по правилу умножения

упорядоченные пары и тройки, разбирать случаи (ПР-1)

Находить число перестановок

$P_{n} = n!$ — и доказывать эту формулу (ПР-1)

Работать с факториалами

упрощать, решать уравнения, доказывать тождества

Находить вероятности

в опытах со случайным порядком: $P (A) = \frac{m}{n}$ (ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1: «Пользоваться комбинаторным правилом умножения, находить число перестановок, число сочетаний, пользоваться треугольником Паскаля при решении задач, в том числе на вычисление вероятностей событий». Сегодня — первая половина: правило умножения и перестановки; сочетания — на следующем уроке.
Углублённый уровень: каждую формулу доказываем, задачи решаем с полным обоснованием (почему множитель именно такой, почему случаи не пересекаются).

повторение: 8 класс, VIS9U-001…003

Разминка · устно

Варианты и вероятности

Сколько вариантов?

$4$ футболки и $3$ шорт: комплектов $12$
Всех двузначных чисел $90$
Монету бросили $3$ раза: исходов $8$
$1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6$ $720$

Вероятности

Два кубика: исходов $36$
$P (сумма очков 12)$ $\frac{1}{36}$
$P (A) = 0, 15$ ; $P (\overline{A})$ $0, 85$
$A$ , $B$ несовместны: $0, 2$ и $0, 3$ ; $P (A \cup B)$ $0, 5$

R02.1

Теория · комбинаторное правило умножения

Маршрут $A \to B \to C$ : $3 \cdot 2 = 6$

Если выбор делают за $k$ шагов и на $i$ -м шаге при любых предыдущих выборах $n_{i}$ вариантов, то всего $n_{1} \cdot n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ наборов.

$A \to B \to C$ : $3 \cdot 2 = 6$ листья дерева

Правило сложения: если варианты делятся на непересекающиеся группы — числа складывают.

«и потом» — умножаем, «или» (без пересечений) — складываем.

2 мин · теория
Дерево: из A в B — дороги a, b, c; из каждого B в C — дороги x, y. Каждый маршрут — путь от корня к листу, листьев 3 · 2 = 6. Правило умножения — подсчёт листьев без рисования дерева.
Обоснование: дерево состоит из $n_{1}$ одинаковых по размеру поддеревьев, в каждом $n_{2} \cdot \dots \cdot n_{k}$ листьев. Ключевое условие — число вариантов на шаге не зависит от того, что именно выбрано раньше (сами варианты могут быть разными, а их число — одно и то же). Если число меняется — разбиваем на случаи и складываем.
Пример правила сложения: из A в C есть ещё 4 прямых авиарейса — всего маршрутов 6 + 4 = 10 (группы «через B» и «напрямую» не пересекаются).

R02.1

Образец → сам · правило умножения

Начинаем с самого «капризного» места

Образец: трёхзначные числа с различными цифрами

сотни: $9$ любая, кроме $0$

десятки: $9$ $10$ цифр минус занятая

единицы: $8$ заняты две

$9 \cdot 9 \cdot 8$ = $648$ правило умножения

Сам: сколько?

Пятизначных чисел, все цифры нечётные $3125$
Трёхзначных, где есть совпадающие цифры $252$
Номеров: $3$ буквы из $12$ и $3$ цифры $1728000$

R02.1

Теория · упорядоченные наборы

Выбираем $k$ из $n$ по порядку

Пьедестал: $10 \cdot 9 \cdot 8$ = $720$

Без повторений: $n (n - 1) \dots (n - k + 1)$
$k$ множителей, каждый на $1$ меньше

С повторениями: $n \cdot n \cdot \dots \cdot n = n^{k}$

1,5 мин · теория
Упорядоченная тройка (золото; серебро; бронза): на первое место — любой из 10, на второе — любой из оставшихся 9, на третье — из 8. 10 · 9 · 8 = 720.
Общий случай: упорядоченный набор из k различных элементов, взятых из n, — по правилу умножения n(n − 1)…(n − k + 1). Такие наборы называют размещениями, обозначение $A_{n}^{k}$ (сегодня обозначение не обязательно). Если элементы могут повторяться (цифры кода), на каждом шаге снова n вариантов: $n^{k}$ .
Вопрос: что получится при k = n? (Все элементы выстроены в ряд — перестановка, следующий слайд.)

R02.2

Новое понятие · перестановки

Все элементы — в разном порядке

Перестановка из $n$ элементов — упорядоченный набор из всех этих $n$ элементов.

Число перестановок — $P_{n}$

$P_{3} = 3 \cdot 2 \cdot 1$ = $6$

Перестановки отличаются только порядком: ABC и CBA — разные.

R02.2

Теория · число перестановок: доказательство

Почему $P_{n} = n!$

P_{n} = n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1 = n!

Индукция: новый элемент вставляем в одно из

n + 1

мест ряда: $P_{n + 1} = (n + 1) P_{n}$ ,

P_{1} = 1

1 мин · теория
Доказательство 1 (правило умножения): на 1-е место — любой из n элементов, на 2-е — любой из n − 1 оставшихся (при любом выборе первого), …, на последнее — единственный оставшийся.
Доказательство 2 (индукция): каждую перестановку из n + 1 элементов однозначно получаем из перестановки первых n элементов вставкой последнего в одно из n + 1 мест (перед первым, между, после последнего). Значит, $P_{n + 1} = (n + 1) P_{n}$ ; из $P_{1} = 1$ : $P_{2} = 2$ , $P_{3} = 6$ , $P_{4} = 24$ , … $P_{n} = n!$ .

R02.2

Образец → сам · число перестановок

Перестановки с выбором первого места

Образец: «слова» из всех букв слова РЕБУС. Сколько начинается с гласной?

всего: $5! = 120$ $5$ разных букв

1-я буква: Е или У — $2$ ограничение первым

остальные $4$ : $4! = 24$ перестановка

$2 \cdot 24$ = $48$ правило умножения

Сам

Порядок выступлений $8$ участников $40320$
«Слова» из букв КАТЕР: первая и последняя — согласные $36$
Во сколько раз $P_{10}$ больше $P_{8}$ ? в $90$ раз

R02.2

Новое понятие · факториал и его свойства

Факториал: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

$n! = n \cdot (n - 1)!$ $6! = 6 \cdot 5!$

$0! = 1$ чтобы при $n = 1$ было верно

$\frac{n !}{( n - k )!} = n (n - 1) \dots (n - k + 1)$

\frac{8 !}{6 !} = \frac{6 ! \cdot 7 \cdot 8}{6 !} = 56

— сокращаем, не вычисляя

8!

R02.2

Образец → сам · уравнения с факториалами

Сократить — и решить

Образец: решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 42$

$n \geq 1$ , $n$ — натуральное ОДЗ

$n (n + 1) = 42$ $(n + 1)! = (n - 1)! \cdot n (n + 1)$

$n^{2} + n - 42 = 0$ ; $n = 6$ или $- 7$

Ответ: $n = 6$ $- 7$ не натуральное

Сам: решите

$\frac{n !}{( n - 2 )!} = 56$ $n = 8$
$(n + 2)! = 132 \cdot n!$ $n = 10$
$\frac{( 2 n )!}{( 2 n - 2 )!} = 90$ $n = 5$

R02.2

Теория · доказательство тождеств с факториалами

Сумма $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n!$

Лемма: $k \cdot k! = (k + 1)! - k!$

$(k + 1)! - k! = k! (k + 1) - k!$

$= k! (k + 1 - 1) = k \cdot k!$ вынесли $k!$

Проверка,

n = 3

:

1 + 4 + 18 = 23 = 4! - 1

✓

Теорема: сумма $= (n + 1)! - 1$

$1 \cdot 1! = 2! - 1!$

$2 \cdot 2! = 3! - 2!$

$\dots n \cdot n! = (n + 1)! - n!$

сложили: $(n + 1)! - 1! = (n + 1)! - 1$ слагаемые взаимно уничтожились

R02.2

Образец → сам · упрощение и тождества

Приводим к общему факториалу

Образец: упростите $\frac{1}{n !} - \frac{1}{( n + 1 )!}$

общий знаменатель $(n + 1)!$

$= \frac{n + 1}{( n + 1 )!} - \frac{1}{( n + 1 )!}$ $(n + 1)! = (n + 1) n!$

$=$ $\frac{n}{( n + 1 )!}$ проверка $n = 1$ : $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ ✓

Сам

Докажите: $\frac{( n + 1 )!}{n !} - \frac{n !}{( n - 1 )!} = 1$ $(n + 1) - n$
Упростите $\frac{n !}{( n - 1 )!} + \frac{( n - 1 )!}{( n - 2 )!}$ $2 n - 1$
Найдите $\frac{1}{2 !} + \frac{2}{3 !} + \dots + \frac{9}{10 !}$ $1 - \frac{1}{10 !}$

R02.2

Теория · перестановки с условием

6 человек в ряд: Аня и Боря

рядом: $5! \cdot 2! =$ $240$

не рядом: $6! - 240 =$ $480$

Аня левее Бори: $\frac{6 !}{2} =$ $360$

Симметрия: поменяв Аню и Борю местами, получим взаимно однозначное соответствие «левее ↔ правее».

R02.2

Образец → сам · перестановки с ограничениями

Блоки, дополнение, симметрия

Образец: $7$ человек в ряд, трое друзей — подряд (в любом порядке)

блок + $4$ человека: $5!$ 5 объектов

внутри блока: $3!$ порядок друзей

$120 \cdot 6$ = $720$ правило умножения

Сам

$7$ человек, Аня и Боря не рядом $3600$
$6$ человек, А левее Б, а Б левее В $120$
$3$ мальчика и $3$ девочки в ряд, чередуются $72$

R02.2 · ПР-1

Образец → сам · вероятность через перестановки

Все $n!$ порядков равновозможны

Образец: $6$ человек в ряд случайно. $P$ (Аня, Боря, Вера стоят подряд)?

$n = 6! = 720$ все перестановки равновозможны

$m = 4! \cdot 3! = 144$ блок из трёх

$P = \frac{144}{720}$ = $\frac{1}{5} = 0, 2$

Сам: найдите вероятность

Жеребьёвка $8$ участников: А выступит раньше Б $\frac{1}{2}$
Карточки $1$ – $5$ в ряд: число делится на $4$ $\frac{1}{5}$
Две пары друзей на $4$ местах в ряд: каждая пара рядом $\frac{1}{3}$

R02.1 · R02.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«ноль множителей — ноль»	$0! = 0$	$0! = 1$ , так как $1! = 1 \cdot 0!$
«прибавляют» к факториалу	$(n + 1)! = n! + 1$	$(n + 1)! = (n + 1) \cdot n!$
делят числа под знаком $!$	$\frac{6 !}{3 !} = 2!$	$\frac{6 !}{3 !} = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$
порядок не важен, а умножают	$2$ дежурных из $10$ : $10 \cdot 9$	пары без порядка: $\frac{90}{2} = 45$

R02.1 · R02.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Трёхзначные чётные числа с различными цифрами

$9 \cdot 9 \cdot 5 = 405$

на конце $0$ : $9 \cdot 8 = 72$

на конце $2, 4, 6, 8$ : $8 \cdot 8 \cdot 4 = 256$ ; всего $328$

б) Решите $\frac{n !}{( n - 2 )!} = 20$

$n (n - 1) = 20$ ; $n = 5$ или $n = - 4$

$n$ — натуральное, $n \geq 2$

ответ: только $n = 5$

в) $5$ человек в ряд. $P$ (Аня и Боря рядом)

$m = 4! \cdot 2! = 48$ , $n = 4! = 24$ , $P = 2$

$P > 1$ — сигнал ошибки: $n = 5! = 120$

$P = \frac{48}{120} = 0, 4$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Ученик считал, что число вариантов на каждом шаге фиксировано, но для сотен оно зависит от того, занят ли 0 на конце. Разбиение на два непересекающихся случая и правило сложения: 72 + 256 = 328 (проверено перебором).
б) Отрицательный корень посторонний: факториал определён для n ≥ 0. Проверка: 5!/3! = 20 ✓.
в) В знаменателе — число всех перестановок 5 человек, а не 5 объектов «с блоком». Вероятность не может быть больше 1.

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$7!$ $5040$
$\frac{15 !}{13 !}$ $210$
$\frac{8 !}{5 ! \cdot 3 !}$ $56$

Сосчитайте

Кодов из $4$ различных цифр $5040$
«Слов» из всех букв слова ГРАФИК $720$
Староста, зам. и казначей из $25$ учеников $13800$
Цифры $1$ – $6$ в случайном порядке: число чётное $0, 5$

R02.1 · R02.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Обоснуйте каждое число

повыш.Сколько четырёхзначных чётных чисел с различными цифрами? $2296$
доказатьПри $n \geq 2$ число $n! + 1$ не делится ни на одно из чисел $2, 3, \dots, n$ . остаток $1$
исследованиеСколькими нулями оканчивается $25!$ ? $6$
из жизниПароль из $6$ различных латинских букв ( $26$ ). Сколько паролей? $165765600$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Два случая. На конце 0: 9 · 8 · 7 = 504. На конце 2, 4, 6 или 8: 4 варианта последней цифры, первая — не 0 и не последняя: 8, далее 8 и 7: 4 · 8 · 8 · 7 = 1792. Всего 504 + 1792 = 2296 (проверено перебором).
2) Для 2 ≤ k ≤ n число n! делится на k (k — один из множителей), значит, n! + 1 при делении на k даёт остаток 1. Следствие: простой делитель n! + 1 больше n — простых чисел бесконечно много.
3) Нуль в конце даёт пара множителей 2 · 5; двоек больше, чем пятёрок. Кратных 5 до 25: 5 штук, из них 25 = 5 · 5 даёт ещё одну пятёрку: 5 + 1 = 6. Проверено: 25! = 15 511 210 043 330 985 984 000 000.
4) 26 · 25 · 24 · 23 · 22 · 21 = 165 765 600 (упорядоченный набор без повторений).

R02.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В соревновании $20$ спортсменок: $8$ из России, $7$ из США, остальные из Китая. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что первой будет спортсменка из Китая.

$0, 25$

2. Карточки с цифрами $1, 2, 3, 4, 5$ выкладывают в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что получится чётное число.

$0, 4$

3. Четверо друзей, среди них Аня и Боря, садятся на $4$ стула в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что Аня и Боря окажутся рядом.

$0, 5$

В бланк — число без единиц:

0, 25

записывают как 0,25.

R02.1 · R02.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$\frac{8 !}{6 !}$ $56$
Решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 30$ $n = 5$
Трёхзначных чисел из различных нечётных цифр $60$
$6$ человек в ряд случайно. $P$ (А и Б рядом) $\frac{1}{3}$

Вариант 2

$\frac{9 !}{7 !}$ $72$
Решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 56$ $n = 7$
Трёхзначных чисел из различных чётных цифр $48$
$5$ человек в ряд случайно. $P$ (А с краю) $\frac{2}{5}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда работает правило умножения?
Как доказать $P_{n} = n!$ ?
Почему $0! = 1$ ?
Как считать «не рядом»?

Домашнее задание

Найдите $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + 6 \cdot 6!$
Пятизначные числа с различными цифрами, кратные $5$
$7$ человек в ряд: $P$ (трое друзей подряд)
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_perestanovki.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-004 · Правило умножения. Перестановки и факториал

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R02 «Элементы комбинаторики», 6 ч · урок 1/6 · тип Н
Единицы → слайды	R02.1 «Комбинаторное правило умножения» → 2, 4–6, 17–20, 22 · R02.2 «Перестановки и факториал» → 2, 7–16, 17–23 · повторение (классическая вероятность, противоположное событие, правило сложения) → 3
Результаты	ПР-1 (правило умножения, перестановки, вероятности с применением комбинаторики) → 2–23
Вне урока	число сочетаний и треугольник Паскаля — VIS9U-005; свойства чисел сочетаний и бином Ньютона — следующие уроки строки R02
Время	теория 14 мин · практика 31 мин (69 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Правило умножения. Перестановки и факториал

Сегодня вы научитесь

Считать по правилу умножения

Находить число перестановок

Работать с факториалами

Находить вероятности

Варианты и вероятности

Сколько вариантов?

Вероятности

Маршрут A→B→C: 3⋅2=6

Начинаем с самого «капризного» места

Образец: трёхзначные числа с различными цифрами

Сам: сколько?

Выбираем k из n по порядку

Все элементы — в разном порядке

Почему Pn​=n!

Перестановки с выбором первого места

Образец: «слова» из всех букв слова РЕБУС. Сколько начинается с гласной?

Сам

Факториал: n!=1⋅2⋅3⋅…⋅n

Сократить — и решить

Образец: решите (n−1)!(n+1)!​=42

Сам: решите

Сумма 1⋅1!+2⋅2!+…+n⋅n!

Лемма: k⋅k!=(k+1)!−k!

Теорема: сумма =(n+1)!−1

Приводим к общему факториалу

Образец: упростите n!1​−(n+1)!1​

Сам

6 человек в ряд: Аня и Боря

Блоки, дополнение, симметрия

Образец: 7 человек в ряд, трое друзей — подряд (в любом порядке)

Сам

Все n! порядков равновозможны

Образец: 6 человек в ряд случайно. P(Аня, Боря, Вера стоят подряд)?

Сам: найдите вероятность

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Трёхзначные чётные числа с различными цифрами

б) Решите (n−2)!n!​=20

в) 5 человек в ряд. P(Аня и Боря рядом)

Решите и проверьте

Вычислите

Сосчитайте

Обоснуйте каждое число

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-004 · Правило умножения. Перестановки и факториал

Маршрут $A \to B \to C$ : $3 \cdot 2 = 6$

Выбираем $k$ из $n$ по порядку

Почему $P_{n} = n!$

Факториал: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$

Образец: решите $\frac{( n + 1 )!}{( n - 1 )!} = 42$

Сумма $1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + \dots + n \cdot n!$

Лемма: $k \cdot k! = (k + 1)! - k!$

Теорема: сумма $= (n + 1)! - 1$

Образец: упростите $\frac{1}{n !} - \frac{1}{( n + 1 )!}$

Образец: $7$ человек в ряд, трое друзей — подряд (в любом порядке)

Все $n!$ порядков равновозможны

Образец: $6$ человек в ряд случайно. $P$ (Аня, Боря, Вера стоят подряд)?

б) Решите $\frac{n !}{( n - 2 )!} = 20$

в) $5$ человек в ряд. $P$ (Аня и Боря рядом)