Повторение курса 8 класса · урок 3 из 3

Графы, деревья и независимость событий

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS9U-003

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 8 класса» (3 ч), урок 3/3, тип О (обобщение и систематизация). Фокус третьего урока — единица R01.4 «Деревья и плоские графы» и из характеристики деятельности строки «дерево случайного опыта, независимость событий»; операции над событиями (R01.3) — в смешанных задачах. Уроки 1–2 строки — представление данных и описательная статистика; следующий урок VIS9U-004 — комбинаторное правило умножения, перестановки и факториал.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1 — 1 · сл. 2 (цели) 1,5 · сл. 4 (графы, степени, эйлеров путь) 3 · сл. 6 (деревья, формула Эйлера) 3 · сл. 8 (дерево опыта, условная вероятность, независимость — учитель решает сам) 4.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11) по 2,5, сл. 12 — 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задание 3 сл. 12 и задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки правил не сокращать.

R01.4 · R01.3

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Рассуждать о графах

степени вершин, эйлеров путь, свойства деревьев, формула Эйлера

Строить дерево опыта

и считать по нему, в том числе выбор без возвращения

Проверять независимость

по определению $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Решать задачи ОГЭ

«хотя бы один», надёжность, полная вероятность (линия 10)

1,5 мин · теория
Единица ФРП R01.4 «Деревья и плоские графы»; из характеристики деятельности строки R01: «решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том числе независимых, с использованием графических представлений и дерева случайного опыта. Независимость событий».
Опора на результаты курса: ПР-1 (правило умножения — дерево как способ перебора), ПР-3 (испытания до первого успеха, серии испытаний — следующий шаг после дерева с независимыми ветвями). Повторяем материал 8 класса углублённого уровня (R05 «Введение в теорию графов», R07–R08 «Операции над событиями», «Условная вероятность, независимые события»).

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Графы и вероятности за минуту

Графы

Степени вершин: $2, 2, 3, 3, 4$ . Сколько рёбер? $7$
Дерево с $12$ вершинами — сколько рёбер? $11$
Может ли у графа быть ровно $3$ нечётные вершины? нет
Монету бросают $3$ раза: сколько листьев у дерева? $8$

Вероятности

$P (A) = 0, 27$ . $P (\overline{A})$ $0, 73$
Независимы, $0, 3$ и $0, 5$ : $P (A \cap B)$ $0, 15$
Несовместны, $0, 3$ и $0, 5$ : $P (A \cup B)$ $0, 8$
$0, 6 \cdot 0, 5 + 0, 4 \cdot 0, 25$ $0, 4$

R01.4

Сводка · графы и степени вершин

Сумма степеней = удвоенное число рёбер

Степень вершины — число рёбер, выходящих из неё

$2 + 4 + 2 + 3 + 3 + 2 = 16 = 2 \cdot 8$ — каждое ребро имеет два конца

Число нечётных вершин всегда чётно (здесь $D$ и $E$ )

Эйлеров путь есть в связном графе, если нечётных вершин $0$ или $2$ : $D - C - B - A - F - E - D - B - E$

3 мин · теория
Граф: 6 вершин, 8 рёбер (AB, AF, BC, BE, BD, CD, DE, EF). Степени (по клику, розовым): A 2, B 4, C 2, D 3, E 3, F 2. Сумма 16 = 2 · 8 — «лемма о рукопожатиях»: каждое ребро добавляет по единице к степеням двух вершин.
Следствие: сумма степеней нечётных вершин чётна, значит, их количество чётно. Нечётные вершины D и E подсвечены.
Эйлеров путь (проходит по каждому ребру ровно один раз) в связном графе существует тогда и только тогда, когда нечётных вершин 0 (путь замкнутый — эйлеров цикл) или 2 (путь начинается в одной нечётной и заканчивается в другой). Предложенный путь D–C–B–A–F–E–D–B–E проходит все 8 рёбер ровно по разу — проверить с классом по рисунку.
Вопрос: можно ли обойти граф, вернувшись в начало? (Нет — есть нечётные вершины.)

R01.4

Образец → сам · степени вершин

Лемма о рукопожатиях в задачах

Образец: в турнире $7$ команд. Могла ли каждая сыграть ровно $3$ матча?

команды — вершины, матчи — рёбра модель

сумма степеней $7 \cdot 3 = 21$ нечётна

но она равна $2 \cdot (число рёбер)$ лемма

противоречие: не могла

Сам

$10$ вершин, у каждой степень $4$ . Сколько рёбер? $20$
В классе $15$ учеников. Может ли у каждого быть ровно $5$ друзей в классе? нет
Каждые две из $8$ вершин соединены ребром. Сколько рёбер? $28$

R01.4

Сводка · деревья и плоские графы

Дерево: рёбер на одно меньше, чем вершин

Дерево — связный граф без циклов

В дереве с $n$ вершинами ровно $n - 1$ ребро; любые две вершины соединяет единственный путь

Плоский граф (рёбра не пересекаются), связный: $В - Р + Г = 2$

3 мин · теория
Дерево: связный граф без циклов. Свойства: удаление любого ребра нарушает связность; добавление любого ребра создаёт цикл; между любыми двумя вершинами ровно один путь (по клику подсвечен путь между крайними листьями); при n вершинах — n − 1 ребро (доказательство индукцией: у дерева есть висячая вершина, удаляем её вместе с ребром).
Плоский граф — нарисован без пересечений рёбер. Формула Эйлера для связного плоского графа: В − Р + Г = 2, где Г считает и внешнюю (бесконечную) грань. «Домик»: В = 5, Р = 6, грани — треугольник (1), квадрат (2), внешняя (3): 5 − 6 + 3 = 2.
Связь: дерево — плоский граф с одной гранью: n − (n − 1) + 1 = 2.

R01.4

Образец → сам · деревья и формула Эйлера

Считаем вершины, рёбра и грани

Образец: связный граф — $12$ вершин, $20$ рёбер. Сколько рёбер нужно удалить, чтобы получилось дерево?

дерево на $12$ вершинах: $11$ рёбер $n - 1$

удаляем по ребру из циклов связность сохраняется

$20 - 11$ = $9$ рёбер

Сам

Плоский связный граф: $8$ вершин, $12$ рёбер. Сколько граней? $6$
Граф без циклов: $15$ вершин, $3$ компоненты связности. Сколько рёбер? $12$
В дереве $4$ вершины степени $3$ , остальные — висячие. Сколько висячих? $6$

R01.3 · R01.4

Сводка · дерево опыта и независимость

$4$ белых и $2$ чёрных шара, вынимают $2$ без возвращения

На ребре — условная вероятность: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

Второй белый: $\frac{12}{30} + \frac{8}{30} = \frac{2}{3}$ — как и первый

Независимы, если $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$ . Здесь $\frac{2}{5} \neq = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3}$ — зависимы

4 мин · теория (учитель решает пример сам)
Первый шар белый с вероятностью 4/6. Если он белый, в урне 3 белых и 2 чёрных — вероятность второго белого 3/5: это условная вероятность P(Б2 | Б1). Вдоль пути умножаем: P(ББ) = 4/6 · 3/5 = 12/30 = 2/5; БЧ = 4/6 · 2/5 = 8/30; ЧБ = 2/6 · 4/5 = 8/30; ЧЧ = 2/6 · 1/5 = 2/30. Сумма листьев 30/30 = 1 — проверка.
Событие «второй шар белый» = {ББ, ЧБ} (подсвечены): 12/30 + 8/30 = 20/30 = 2/3 — столько же, сколько у первого шара (на вопрос «важна ли очередь при жеребьёвке?» — нет).
Независимость по определению: P(Б1 ∩ Б2) = 2/5 = 0,4, а P(Б1) · P(Б2) = 4/9 ≈ 0,44 — не равны, события зависимы. Эквивалентно: P(B | A) = P(B) — первый шар меняет состав урны. С возвращением события были бы независимы (на втором уровне снова 4/6 и 2/6).
Ответы проверены кодом (fractions).

R01.3 · R01.4

Образец → сам · выбор без возвращения

Два пути — два слагаемых

Образец: в коробке $5$ исправных и $3$ бракованные лампы, берут $2$ . $P (ровно одна бракованная)$ ?

путь И → Б: $\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$

путь Б → И: $\frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$

$\frac{15}{56} + \frac{15}{56}$ = $\frac{15}{28}$ несовместные пути

Сам

Та же коробка: обе бракованные $\frac{3}{28}$
Та же коробка: хотя бы одна исправна $\frac{25}{28}$
$10$ мальчиков и $15$ девочек, жребием выбирают двух дежурных: обе — девочки $0, 35$

R01.3

Образец → сам · проверка независимости

Независимость проверяют вычислением

Образец: бросают кубик. $A$ — «чётное», $B$ — «не больше $4$ ». Независимы ли $A$ и $B$ ?

$P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$A \cap B = {2; 4}$ : $P (A \cap B) = \frac{1}{3}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ — независимы

Сам: независимы ли?

Кубик: «чётное» и «больше $3$ » нет
Две монеты: «первая — орёл» и «монеты разные» да
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 7$ да

R01.3 · R01.4

Образец → сам · задача из жизни

Медицинский тест: дерево с разными ветками

Образец: болеют $2 %$ людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0, 9$ , у здорового — $0, 05$ . $P (тест положителен)$ ?

болен → «+»: $0, 02 \cdot 0, 9 = 0, 018$

здоров → «+»: $0, 98 \cdot 0, 05 = 0, 049$

$0, 018 + 0, 049$ = $0, 067$ разные пути

Сам

Дождь утром — с вероятностью $0, 3$ . В дождь автобус опаздывает с вероятностью $0, 4$ , без дождя — $0, 1$ . $P (опоздает)$ $0, 19$
Тест из образца: $P (отрицателен)$ $0, 933$
Тест положителен. $P (болен)$ ? $\approx 0, 27$

R01.3 · R01.4

Образец → сам · надёжность системы

Параллельно — «хотя бы один», последовательно — «все»

Образец: два насоса (каждый отказывает с вероятностью $0, 1$ ) и клапан (отказ $0, 05$ ), всё независимо. $P (система работает)$ ?

насосы: $1 - 0, 1^{2} = 0, 99$ хотя бы один

$0, 99 \cdot 0, 95$ = $0, 9405$ и насосы, и клапан

Сам

$3$ фонаря параллельно, каждый гаснет с вероятностью $0, 2$ : светло $0, 992$
$2$ элемента последовательно, надёжность $0, 9$ и $0, 8$ $0, 72$
Сколько резервных серверов (отказ $0, 3$ ) нужно, чтобы надёжность была $\geq 0, 99$ ? $4$

R01.3 · R01.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
без возвращения взяли ту же вероятность на 2-м шаге	$\frac{4}{6} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{9}$	$\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$
вдоль пути дерева сложили, а не умножили	$0, 02 + 0, 9 = 0, 92$	$0, 02 \cdot 0, 9 = 0, 018$
в дереве рёбер столько же, сколько вершин	$10$ вершин → $10$ рёбер	$10 - 1 = 9$ рёбер

R01.3 · R01.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $9$ вершин, у каждой степень $3$ . Есть ли такой граф?

рёбер $27 : 2 \approx 13$ — есть

сумма степеней $27$ нечётна

такого графа нет

б) $4$ белых и $2$ чёрных, берут $2$ . $P (разного цвета)$

$\frac{4}{6} \cdot \frac{2}{5} = \frac{4}{15}$

забыт путь Ч → Б: $\frac{4}{15}$

$\frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

в) $A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 4$ . Независимы?

да, $P (A \cap B) = 0, 12$

несовместны: $P (A \cap B) = 0$

$0 \neq = 0, 12$ — зависимы

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Число рёбер обязано быть целым: 2 · Р = 27 невозможно. Округлять число рёбер нельзя — это сигнал противоречия.
б) «Разного цвета» = {БЧ, ЧБ}: 8/30 + 8/30 = 16/30 = 8/15 (сл. 8). Проверка: 1 − P(ББ) − P(ЧЧ) = 1 − 12/30 − 2/30 = 16/30 ✓.
в) Путают «несовместны» и «независимы». Несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы: если наступило A, то B уже точно не наступит.

R01.3 · R01.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Графы

Степени: $1, 2, 2, 3, 3, 5$ . Сколько рёбер? $8$
В дереве $20$ рёбер. Сколько вершин? $21$
Плоский связный граф: $6$ вершин, $9$ рёбер. Граней? $5$

Вероятности

Независимы, $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 2$ . $P (A \cap B)$ $0, 14$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B ∣ A) = 0, 4$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$
$3$ белых и $3$ чёрных, берут $2$ : оба белые $0, 2$
Три стрелка ( $0, 5$ ; $0, 6$ ; $0, 8$ ) по разу: хотя бы одно попадание $0, 96$

R01.3 · R01.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Докажите и решите

докажитеВ любом графе число вершин нечётной степени чётно сумма степеней $= 2 \cdot Р$ чётна
повыш.Связный граф, степени вершин $3, 3, 2, 2$ . Есть ли эйлеров путь? Откуда начать? да, из вершины степени $3$
докажитеЕсли $A$ и $B$ независимы, то $A$ и $\overline{B}$ тоже независимы $P (A) - P (A) P (B) = P (A) P (\overline{B})$
из жизниШахматист выигрывает партию с вероятностью $0, 6$ ; матч — до двух побед, ничьих нет. $P (выиграет матч)$ $0, 648$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Сумма степеней равна 2Р — чётна. Сумма чётных степеней чётна, значит, сумма нечётных степеней тоже чётна; сумма нечётных чисел чётна только при чётном их количестве.
2) Нечётных вершин ровно две — эйлеров путь есть; он начинается в одной вершине степени 3 и заканчивается в другой. Пример: вершины a, b степени 3 соединены ребром и обе соединены с c и d (степени 2) — путь a–b–c–a–d–b.
3) A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ не B) — несовместные, поэтому P(A ∩ не B) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(A)P(B) = P(A)(1 − P(B)) = P(A)P(не B).
4) Победы: ВВ — 0,36; ВПВ и ПВВ — по 0,6^2 · 0,4 = 0,144. Итого 0,36 + 0,288 = 0,648.

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В среднем из $1600$ пакетов молока $80$ протекают. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пакет не протекает.

$0, 95$

2. В магазине два платёжных автомата. Каждый неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

$0, 9975$

3. Из $10$ ружей в тире $4$ пристреляны. Из пристрелянного стрелок попадает с вероятностью $0, 9$ , из непристрелянного — $0, 2$ . Он берёт ружьё наугад и стреляет. Найдите вероятность промаха.

$0, 52$

«Хотя бы один» — через противоположное, «разные случаи» — дерево и сумма путей.

R01.3 · R01.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Степени: $1, 1, 2, 2, 3, 3, 4$ . Сколько рёбер? $8$
Плоский связный граф: $7$ вершин, $10$ рёбер. Граней? $5$
$5$ белых и $3$ чёрных, берут $2$ : оба чёрные $\frac{3}{28}$
Независимы, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 6$ . $P (A \cup B)$ $0, 72$

Вариант 2

Степени: $2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4$ . Сколько рёбер? $11$
Плоский связный граф: $9$ вершин, $12$ рёбер. Граней? $5$
$4$ белых и $4$ чёрных, берут $2$ : оба белые $\frac{3}{14}$
Независимы, $P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 7$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему сумма степеней чётна?
Сколько рёбер у дерева с $n$ вершинами?
Что стоит на рёбрах дерева опыта?
Как проверить независимость?

Домашнее задание

Плоский связный граф, все грани (и внешняя) — треугольники, $6$ вершин. Сколько рёбер и граней?
$6$ белых и $4$ чёрных, берут $3$ : $P (хотя бы один чёрный)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-003 · Графы, деревья и независимость событий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 8 класса», 3 ч · урок 3/3 · тип О
Единицы → слайды	R01.4 «Деревья и плоские графы» → 2–7, 13–19 · R01.3 «Операции над событиями», дерево опыта и независимость (характеристика деятельности) → 3, 8–19
Результаты	ПР-1 (правило умножения, дерево перебора) → 5, 9 · ПР-3 (серии независимых испытаний — подготовка) → 12, 16
Вне урока	представление данных и описательная статистика — VIS9U-001, VIS9U-002; комбинаторика — VIS9U-004 и далее
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Графы, деревья и независимость событий

Сегодня вы повторите и научитесь

Рассуждать о графах

Строить дерево опыта

Проверять независимость

Решать задачи ОГЭ

Графы и вероятности за минуту

Графы

Вероятности

Сумма степеней = удвоенное число рёбер

Лемма о рукопожатиях в задачах

Образец: в турнире 7 команд. Могла ли каждая сыграть ровно 3 матча?

Сам

Дерево: рёбер на одно меньше, чем вершин

Считаем вершины, рёбра и грани

Образец: связный граф — 12 вершин, 20 рёбер. Сколько рёбер нужно удалить, чтобы получилось дерево?

Сам

4 белых и 2 чёрных шара, вынимают 2 без возвращения

Два пути — два слагаемых

Образец: в коробке 5 исправных и 3 бракованные лампы, берут 2. P(ровно одна бракованная)?

Сам

Независимость проверяют вычислением

Образец: бросают кубик. A — «чётное», B — «не больше 4». Независимы ли A и B?

Сам: независимы ли?

Медицинский тест: дерево с разными ветками

Образец: болеют 2% людей. Тест положителен у больного с вероятностью 0,9, у здорового — 0,05. P(тест положителен)?

Сам

Параллельно — «хотя бы один», последовательно — «все»

Образец: два насоса (каждый отказывает с вероятностью 0,1) и клапан (отказ 0,05), всё независимо. P(система работает)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 9 вершин, у каждой степень 3. Есть ли такой граф?

б) 4 белых и 2 чёрных, берут 2. P(разного цвета)

в) A, B несовместны, P(A)=0,3, P(B)=0,4. Независимы?

Решите и проверьте

Графы

Вероятности

Докажите и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-003 · Графы, деревья и независимость событий

Образец: в турнире $7$ команд. Могла ли каждая сыграть ровно $3$ матча?

Образец: связный граф — $12$ вершин, $20$ рёбер. Сколько рёбер нужно удалить, чтобы получилось дерево?

$4$ белых и $2$ чёрных шара, вынимают $2$ без возвращения

Образец: в коробке $5$ исправных и $3$ бракованные лампы, берут $2$ . $P (ровно одна бракованная)$ ?

Образец: бросают кубик. $A$ — «чётное», $B$ — «не больше $4$ ». Независимы ли $A$ и $B$ ?

Образец: болеют $2 %$ людей. Тест положителен у больного с вероятностью $0, 9$ , у здорового — $0, 05$ . $P (тест положителен)$ ?

Образец: два насоса (каждый отказывает с вероятностью $0, 1$ ) и клапан (отказ $0, 05$ ), всё независимо. $P (система работает)$ ?

а) $9$ вершин, у каждой степень $3$ . Есть ли такой граф?

б) $4$ белых и $2$ чёрных, берут $2$ . $P (разного цвета)$

в) $A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 4$ . Независимы?