Повторение курса 8 класса · урок 2 из 3

Операции над событиями и независимость

Вероятность и статистика · 9 класс · углублённый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R01 · VIS9U-002

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R01 «Повторение курса 8 класса» (3 ч), урок 2/3, фокус — единица R01.3 «Операции над событиями» и независимость событий (из характеристики деятельности строки). Тип урока — О: теория только сводкой правил 8 класса (углублённый курс: формула включения-исключения, условная вероятность, независимость), основное время — задачи с обоснованием. Урок 1 (VIS9U-001) — представление данных и описательная статистика (R01.1–R01.2); урок 3 (VIS9U-003) — деревья и плоские графы (R01.4), поэтому дерево случайного опыта сегодня почти не используем — считаем по кругам Эйлера и таблице исходов.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (операции, законы де Моргана) 3 · 5 (сводка формул) 3 · 8 (условная вероятность на таблице, учитель решает сам) 2,5 · 11 (доказательство свойства независимости) 2.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 10, 12, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3 на сл. 12 и 13 и задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; сводку правил и доказательство не сокращать.

R01.3

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Переводить слова в операции

$A \cup B$ , $A \cap B$ , $\overline{A}$ , законы де Моргана — на кругах Эйлера

Считать вероятность «или»

формула сложения и включения-исключения для трёх событий

Находить условную вероятность

по таблице исходов и по формуле; проверять независимость (R01)

Обосновывать и решать ОГЭ

доказывать свойства, «хотя бы один» через противоположное (линия 10)

1 мин · теория
Единица ФРП R01.3 «Операции над событиями»; характеристика деятельности строки R01: «Решать задачи на нахождение вероятностей объединения и пересечения событий, в том числе независимых, с использованием графических представлений… Независимость событий». Готовим базу к ПР-1 (вероятности событий с применением комбинаторики) и ПР-3 (серии испытаний Бернулли — там независимость испытаний обязательна).
Углублённый уровень: каждое решение — с обоснованием (какое правило и почему его можно применить: несовместность, независимость).

повторение: 8 класс

Разминка · устно

Вспоминаем правила

Вероятности

$A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
Для них же $P (\overline{A \cup B})$ $0, 2$
$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 3$
Две монеты: хотя бы один орёл $\frac{3}{4}$

События и счёт

Кубик: «чётное» $\cap$ «больше $4$ » ${6}$
«Ни $A$ , ни $B$ » — как записать? $\overline{A} \cap \overline{B}$
$1 - 0, 1^{3}$ $0, 999$
Два кубика: сколько исходов с суммой $4$ ? $3$

R01.3

Сводка · операции над событиями

Объединение, пересечение, разность, «ни одно»

Законы де Моргана:

\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}

,

\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}

3 мин · теория
Ω — множество всех элементарных исходов; событие — его подмножество; закрашены исходы, благоприятствующие новому событию. Объединение — «хотя бы одно из», пересечение — «оба», A ∩ (не B) — «A, но не B» (разность A \ B), последняя картинка — «ни одно не наступило».
Законы де Моргана (8 класс, логика и множества): «не (A или B)» = «не A и не B»; «не (A и B)» = «не A или не B». Проверить на кубике: A = {2, 4, 6}, B = {5, 6}: A ∪ B = {2, 4, 5, 6}, дополнение {1, 3}; не A = {1, 3, 5}, не B = {1, 2, 3, 4}, их пересечение {1, 3} ✓.
Вопрос классу: какое событие противоположно событию «хотя бы один попал»? («Ни один не попал» — по де Моргану, «все промахнулись».)

R01.3

Сводка · правила вычисления вероятностей

Пять формул, которые нужны сегодня

Сложение: $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Ни одно: $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - P (A \cup B)$

Условная: $P (B ∣ A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}$ , $P (A) > 0$

Умножение: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B ∣ A)$

Независимость: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

3 мин · теория
Пример на кругах: P(A) = 0,5, P(B) = 0,3, P(A ∩ B) = 0,2. Тогда «только A» 0,5 − 0,2 = 0,3, «только B» 0,3 − 0,2 = 0,1, вне кругов 1 − 0,3 − 0,2 − 0,1 = 0,4. P(A ∪ B) = 0,5 + 0,3 − 0,2 = 0,6 = 1 − 0,4. Условная P(B | A) — доля пересечения внутри круга A: 0,2 / 0,5 = 0,4 («знаем, что A наступило, — Ω сжимается до A»).
Умножение — та же формула условной вероятности, записанная иначе. Независимость: P(B | A) = P(B), то есть знание о A не меняет шансы B; эквивалентно P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Здесь 0,5 · 0,3 = 0,15 ≠ 0,2 — события зависимы.
Вопрос: чем несовместные отличаются от независимых? (Несовместные: P(A ∩ B) = 0; независимые: P(A ∩ B) = P(A) · P(B). При P(A), P(B) > 0 это разные условия — вернёмся на сл. 15.)

R01.3

Образец → сам · формула сложения и законы де Моргана

«Ни одно» → объединение → пересечение

Образец: $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 45$ , $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 15$ . Найдите $P (A \cap B)$ .

$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$ де Морган

$P (A \cup B) = 1 - 0, 15 = 0, 85$ противоположное

$P (A \cap B) = 0, 6 + 0, 45 - 0, 85$ = $0, 2$

Сам

$P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 3$ . $P (\overline{A} \cap \overline{B})$ $0, 2$
$P (A) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (A \cap \overline{B})$ $0, 3$
$P (\overline{A} \cup \overline{B}) = 0, 9$ . Найдите $P (A \cap B)$ $0, 1$

R01.3

Образец → сам · включение-исключение для трёх событий

Три события: вычесть пары, вернуть тройку

$P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C) - P (A \cap B) - P (A \cap C) - P (B \cap C) + P (A \cap B \cap C)$

Образец: из чисел $1$ – $100$ выбирают одно. $P (кратно 2, 3 или 5)$ ?

$50 + 33 + 20$ кратных 2, 3, 5

$- 16 - 10 - 6$ кратных 6, 10, 15

$+ 3$ кратных 30

$\frac{74}{100}$ = $0, 74$

Сам

Числа $1$ – $60$ : кратно $3$ , $4$ или $5$ $0, 6$
$30$ учеников: футбол $15$ , шахматы $12$ , плавание $10$ ; пар: ф+ш $5$ , ф+п $4$ , ш+п $3$ ; все три $2$ . $P (ни в одной секции)$ $0, 1$
$P (A) = P (B) = P (C) = 0, 4$ , каждое попарное пересечение $0, 15$ , тройное $0, 05$ . $P (A \cup B \cup C)$ $0, 8$

2,5 мин · практика
Формула включения-исключения (8 класс, углублённый курс, R02 «Множества»): каждое число из попарного пересечения вошло дважды — вычитаем; число из тройного пересечения вошло 3 раза, вычлось 3 раза — возвращаем один раз.
Образец: ⌊100/2⌋ = 50, ⌊100/3⌋ = 33, ⌊100/5⌋ = 20, ⌊100/6⌋ = 16, ⌊100/10⌋ = 10, ⌊100/15⌋ = 6, ⌊100/30⌋ = 3; 103 − 32 + 3 = 74. Проверено перебором кодом.
1) 20 + 15 + 12 − 5 − 4 − 3 + 1 = 36; 36/60 = 0,6. 2) хотя бы в одной: 15 + 12 + 10 − 5 − 4 − 3 + 2 = 27, ни в одной 3; 3/30 = 0,1. 3) 1,2 − 0,45 + 0,05 = 0,8.

R01.3

Сводка · условная вероятность

Известно, что сумма равна $8$ . Каковы шансы, что на 1-м больше $4$ ?

$B$ = «на 1-м больше $4$ »: $\frac{12}{36}$

$A$ = «сумма $8$ »: $5$ исходов — новое $Ω$

$A \cap B$ = ${(5; 3), (6; 2)}$

$P (B ∣ A) = \frac{2}{5}$ $= \frac{2/36}{5/36}$

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Столбец — очки на первом кубике, строка — на втором, в клетке — сумма; 36 равновозможных исходов. B — два правых столбца (бирюзовые, 12 клеток), P(B) = 1/3. A — диагональ «сумма 8» (розовые): (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2).
«Известно, что A наступило» — остаются только 5 клеток A, они равновозможны. Из них B благоприятны 2 (фиолетовая рамка). P(B | A) = 2/5 = 0,4, по формуле (2/36)/(5/36) — то же. Условие изменило вероятность: 0,4 ≠ 1/3, значит, A и B зависимы.
Вопрос: а P(A | B)? (Среди 12 клеток B сумма 8 — в двух: 2/12 = 1/6.) P(B | A) и P(A | B) — разные числа.

R01.3

Образец → сам · условная вероятность

Сужаем $Ω$ до того, что известно

Образец: в классе $25$ учеников, отличников $10$ : $6$ девочек и $4$ мальчика. Выбрали отличника. $P (девочка)$ ?

$A$ = «отличник»: $10$ исходов новое Ω

$A \cap B$ = «отличница»: $6$

$P (B ∣ A) = \frac{6}{10}$ = $0, 6$

Сам

Два кубика, сумма $6$ . $P (на 1- м выпала 1)$ $0, 2$
$P (A) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 15$ . $P (B ∣ A)$ $0, 3$
Урна: $4$ красных, $3$ синих; вынули $2$ без возвращения. $P (оба красные)$ $\frac{2}{7}$

R01.3

Образец → сам · проверка независимости

Независимость проверяют вычислением, а не «на глаз»

Образец: кубик. $A$ = «чётное», $B$ = «не больше $2$ ». Независимы ли $A$ и $B$ ?

$P (A) = \frac{1}{2}$ , $P (B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$A \cap B = {2}$ : $P (A \cap B) = \frac{1}{6}$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ → независимы

Сам: независимы?

Кубик: $A$ = «чётное», $C$ = «не больше $3$ » нет
Две монеты: $A$ = «1-я — орёл», $B$ = «монеты выпали по-разному» да
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 7$ да

R01.3

Теория · доказательство свойства независимости

Если $A$ и $B$ независимы, то $A$ и $\overline{B}$ тоже

$P (A) = P (A \cap B) + P (A \cap \overline{B})$ части несовместны

$P (A \cap \overline{B}) = P (A) - P (A) P (B)$ $A$ , $B$ независимы

$= P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (\overline{B})$ противоположное

Следствие:

\overline{A}

,

\overline{B}

независимы, и

P (хотя бы одно) = 1 - P (\overline{A}) P (\overline{B})

2 мин · теория (учитель доказывает у доски)
Шаг 1: круг A разбит на «A и B» (фиолетовая часть) и «A, но не B» (розовая) — несовместные события, поэтому вероятности складываются. Шаг 2: по независимости P(A ∩ B) = P(A) · P(B). Шаг 3: выносим P(A) за скобки, 1 − P(B) = P(не B). Получили определение независимости для A и не B. ∎
Применяя теорему дважды (к паре A, не B, затем к паре не B, A), получаем: не A и не B независимы. Отсюда формула «хотя бы одно»: P(A ∪ B) = 1 − P(не A ∩ не B) = 1 − P(не A) · P(не B) — её используем на сл. 12.
Вопрос: где в доказательстве использована независимость? (Только в шаге 2.) Без неё формула «1 − произведение» неверна.

R01.3

Образец → сам · «хотя бы один» и обратная задача

Сколько попыток нужно?

Образец: $P (попадание) = 0, 6$ , выстрелы независимы. Сколько выстрелов нужно, чтобы $P (хотя бы одно попадание) > 0, 95$ ?

$1 - 0, 4^{n} > 0, 95 ⟺ 0, 4^{n} < 0, 05$ противоп.

$0, 4^{3} = 0, 064$ , $0, 4^{4} = 0, 0256$ перебор

наименьшее $n = 4$

Сам

Три стрелка попадают с вероятностями $0, 5$ ; $0, 6$ ; $0, 8$ . $P (хотя бы один попал)$ $0, 96$
Те же стрелки: ровно один попал $0, 26$
Наименьшее $n$ : при $n$ бросках монеты $P (хотя бы одна решка) > 0, 99$ $7$

R01.3

Образец → сам · задача из жизни

Надёжность: последовательно — «и», параллельно — «или»

Образец: фильтр Ф ( $0, 95$ ) и два насоса Н ( $0, 9$ ) работают независимо. $P (вода идёт)$ ?

насосы: $1 - 0, 1^{2} = 0, 99$ хотя бы один

$0, 95 \cdot 0, 99$ = $0, 9405$ и Ф, и насосы

Сам (элементы независимы)

Два элемента последовательно: $0, 9$ и $0, 8$ $0, 72$
Те же параллельно $0, 98$
Три одинаковых параллельно, каждый $0, 7$ $0, 973$

R01.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
независимые сложили как несовместные: $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$	$0, 5 + 0, 4 = 0, 9$	$0, 9 - 0, 5 \cdot 0, 4 = 0, 7$
в $P (B ∣ A)$ разделили не на то: $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cap B) = 0, 15$	$\frac{0 , 15}{0 , 3} = 0, 5$	$\frac{0 , 15}{0 , 5} = 0, 3$
три события: забыли вернуть $P (A \cap B \cap C)$	$\frac{103 - 32}{100} = 0, 71$	$\frac{103 - 32 + 3}{100} = 0, 74$

R01.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 4$ . Найдите $P (A \cap B)$

«несовместные — значит, независимые»: $0, 3 \cdot 0, 4 = 0, 12$

несовместные: $A \cap B = \emptyset$

$P (A \cap B) = 0$ , события зависимы

б) Два кубика, выпала хотя бы одна $6$ . $P (дубль)$

«дублей $6$ из $36$ »: $\frac{1}{6}$

новое $Ω$ : $11$ исходов с шестёркой

дубль только $(6; 6)$ : $\frac{1}{11}$

в) Числа $1$ – $30$ : $P (кратно 2, 3 или 5)$

$\frac{31 - 5 - 3 - 2}{30} = 0, 7$

не возвращено число $30$ : $+ 1$

$\frac{22}{30} = \frac{11}{15}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Путают «несовместные» и «независимые». Несовместные — общих исходов нет, P(A ∩ B) = 0, а P(A) · P(B) = 0,12 ≠ 0 — значит, зависимы: если A наступило, B уже невозможно.
б) Условная вероятность: исходов «хотя бы одна 6» — 11 (6 + 6 − 1), дубль среди них один: 1/11 ≈ 0,09. Ученик не учёл условие.
в) 31 = 15 + 10 + 6 (кратных 2, 3, 5), вычтены кратные 6, 10, 15 — но включение-исключение без последнего слагаемого: 30 делится на 2, 3 и 5 — +1. Верно 22/30 = 11/15 ≈ 0,73. Проверено перебором кодом.

R01.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$P (A) = 0, 35$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 15$

$P (A \cup B)$ $0, 6$
$P (\overline{A} \cap \overline{B})$ $0, 4$
$P (B ∣ A)$ $\frac{3}{7}$

В опытах

$A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 2$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ $0, 6$
Числа $1$ – $40$ : кратно $4$ или $6$ $0, 325$
Два кубика, на 1-м выпала $5$ . $P (сумма 9)$ $\frac{1}{6}$
Кубик: «чётное» и «кратно $3$ » — независимы? да

R01.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и обоснуйте

повыш. $P (A) = 0, 7$ , $P (B) = 0, 6$ . В каких границах лежит $P (A \cap B)$ ? $0, 3 \leq P (A \cap B) \leq 0, 6$
доказатьДля любых событий $P (A \cup B) \leq P (A) + P (B)$ так как $P (A \cap B) \geq 0$
повыш. $A$ , $B$ независимы, $P (A) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 8$ . Найдите $P (B)$ $0, 6$
из жизниБросают три кубика. $P (хотя бы одна шестёрка)$ , до сотых $\frac{91}{216} \approx 0, 42$

R01.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В кафе два кофейных автомата. Вероятность того, что к вечеру кофе закончится в автомате, равна $0, 3$ ; в обоих — $0, 12$ . Найдите вероятность того, что к вечеру кофе останется в обоих автоматах.

$0, 52$

2. Вероятность того, что ученик верно решит больше $11$ задач теста, равна $0, 67$ ; больше $10$ задач — $0, 74$ . Найдите вероятность того, что он верно решит ровно $11$ задач.

$0, 07$

3. В фонаре три лампы, каждая перегорает в течение года с вероятностью $0, 3$ независимо от других. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

$0, 973$

R01.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
Для них же $P (A ∣ B)$ $0, 25$
Числа $1$ – $60$ : кратно $2$ , $3$ или $5$ $\frac{11}{15}$
Три независимых стрелка: $0, 9$ ; $0, 8$ ; $0, 7$ . Хотя бы один попал $0, 994$

Вариант 2

$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (A \cup B)$ $0, 7$
Для них же $P (B ∣ A)$ $\frac{1}{3}$
Числа $1$ – $80$ : кратно $2$ , $3$ или $5$ $0, 725$
Три независимых стрелка: $0, 6$ ; $0, 5$ ; $0, 8$ . Хотя бы один попал $0, 96$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что противоположно «хотя бы одно»?
Почему в формуле для трёх событий $+ P (A \cap B \cap C)$ ?
Что стоит в знаменателе $P (B ∣ A)$ ?
Несовместные — значит независимые?

Домашнее задание

Числа $1$ – $120$ : $P (кратно 3, 4 или 5)$
Два кубика, сумма не меньше $10$ : $P (дубль)$
Докажите: если $A$ , $B$ независимы, то $\overline{A}$ , $\overline{B}$ независимы
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

1 мин · практика (рефлексия, запись ДЗ)
Рефлексия: «ни одно» (де Морган); числа из тройного пересечения трижды прибавлены и трижды вычтены; вероятность условия P(A); нет — несовместные с ненулевыми вероятностями всегда зависимы.
Ответы ДЗ: 1) 40 + 30 + 24 − 10 − 8 − 6 + 2 = 72; 72/120 = 0,6. 2) Сумма ≥ 10: (4; 6), (5; 5), (6; 4), (5; 6), (6; 5), (6; 6) — 6 исходов, дублей 2: 1/3. 3) По теореме сл. 11 A и не B независимы; применяем её к паре (не B, A): не B и не A независимы. Проверено кодом.
Тренажёров углублённого уровня нет — базовый тренажёр по вероятностям ОГЭ (/9/veroyatnost/). Следующий урок — VIS9U-003: деревья и плоские графы, дерево случайного опыта, формула полной вероятности.

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9U-002 · Операции над событиями и независимость

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (углублённый уровень), 7–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R01 «Повторение курса 8 класса», 3 ч · урок 2/3 · тип О
Единицы → слайды	R01.3 «Операции над событиями» (в т. ч. независимость событий из характеристики деятельности) → 2, 4–20 · повторение 8 класса (логика, включение-исключение, условная вероятность) → 3, 4, 7, 8
Результаты	подготовка к ПР-1 (вероятности событий с комбинаторикой) и ПР-3 (независимые испытания) → 7, 9, 12, 13
Вне урока	представление данных и описательная статистика (R01.1–R01.2) — VIS9U-001; деревья и плоские графы (R01.4) — VIS9U-003
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Операции над событиями и независимость

Сегодня вы повторите и научитесь

Переводить слова в операции

Считать вероятность «или»

Находить условную вероятность

Обосновывать и решать ОГЭ

Вспоминаем правила

Вероятности

События и счёт

Объединение, пересечение, разность, «ни одно»

Пять формул, которые нужны сегодня

«Ни одно» → объединение → пересечение

Образец: P(A)=0,6, P(B)=0,45, P(A∩B)=0,15. Найдите P(A∩B).

Сам

Три события: вычесть пары, вернуть тройку

Образец: из чисел 1–100 выбирают одно. P(кратно 2, 3 или 5)?

Сам

Известно, что сумма равна 8. Каковы шансы, что на 1-м больше 4?

Сужаем Ω до того, что известно

Образец: в классе 25 учеников, отличников 10: 6 девочек и 4 мальчика. Выбрали отличника. P(девочка)?

Сам

Независимость проверяют вычислением, а не «на глаз»

Образец: кубик. A = «чётное», B = «не больше 2». Независимы ли A и B?

Сам: независимы?

Если A и B независимы, то A и B тоже

Сколько попыток нужно?

Образец: P(попадание)=0,6, выстрелы независимы. Сколько выстрелов нужно, чтобы P(хотя бы одно попадание)>0,95?

Сам

Надёжность: последовательно — «и», параллельно — «или»

Образец: фильтр Ф (0,95) и два насоса Н (0,9) работают независимо. P(вода идёт)?

Сам (элементы независимы)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) A, B несовместны, P(A)=0,3, P(B)=0,4. Найдите P(A∩B)

б) Два кубика, выпала хотя бы одна 6. P(дубль)

в) Числа 1–30: P(кратно 2, 3 или 5)

Решите и проверьте

P(A)=0,35, P(B)=0,4, P(A∩B)=0,15

В опытах

Подумайте и обоснуйте

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9U-002 · Операции над событиями и независимость

Образец: $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 45$ , $P (\overline{A} \cap \overline{B}) = 0, 15$ . Найдите $P (A \cap B)$ .

Образец: из чисел $1$ – $100$ выбирают одно. $P (кратно 2, 3 или 5)$ ?

Известно, что сумма равна $8$ . Каковы шансы, что на 1-м больше $4$ ?

Сужаем $Ω$ до того, что известно

Образец: в классе $25$ учеников, отличников $10$ : $6$ девочек и $4$ мальчика. Выбрали отличника. $P (девочка)$ ?

Образец: кубик. $A$ = «чётное», $B$ = «не больше $2$ ». Независимы ли $A$ и $B$ ?

Если $A$ и $B$ независимы, то $A$ и $\overline{B}$ тоже

Образец: $P (попадание) = 0, 6$ , выстрелы независимы. Сколько выстрелов нужно, чтобы $P (хотя бы одно попадание) > 0, 95$ ?

Образец: фильтр Ф ( $0, 95$ ) и два насоса Н ( $0, 9$ ) работают независимо. $P (вода идёт)$ ?

а) $A$ , $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 4$ . Найдите $P (A \cap B)$

б) Два кубика, выпала хотя бы одна $6$ . $P (дубль)$

в) Числа $1$ – $30$ : $P (кратно 2, 3 или 5)$

$P (A) = 0, 35$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 15$