Обобщение, контроль · урок 10 из 10

Итоговое обобщение курса: данные, комбинаторика, вероятность

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9-034

1,5 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Обобщение, контроль» (10 ч), урок 10/10 — заключительный урок курса 9 класса; единицы R06.1–R06.4: представление данных, описательная статистика, элементы комбинаторики, случайные величины и распределения. Тип урока — О. Опора: VIS9-025…033 (обобщение по разделам); сегодня — комплексные задачи, где нужно сразу несколько идей курса.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2,5 · 4 (карта курса) 2 · 6 (сводка: комбинаторика) 2 · 8 (сводка: события) 2 · 11 (сводка: серии и случайная величина) 2 · 20 (итоговая сводка правил) 1,5. Тип О — теория только сводками.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 12, 13) по 2,5 · образец → сам (сл. 10) 2 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2,5 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 5 · итог и ДЗ (сл. 21) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 3 сл. 13 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1 · R06.2 · R06.3 · R06.4

Цели урока

Сегодня вы соберёте курс в систему

Данные

читать диаграммы, находить среднее, медиану, размах (ПР-1, ПР-3, ПР-4)

Комбинаторика

выбирать правило: порядок важен или нет (ПР-2)

Вероятность

события, «хотя бы один», геометрическая вероятность (ПР-5)

Серии и величины

Бернулли, $E (X)$ , закон больших чисел в задачах из жизни (ПР-5, ПР-6, ПР-7)

1 мин · теория
ПР-1 (= REQ-5.1): информация из таблиц и диаграмм. ПР-2 (= REQ-5.2): перебор и комбинаторные правила. ПР-3 (= REQ-5.3): средние и меры рассеивания. ПР-4 (= REQ-5.4): частоты. ПР-5 (= REQ-5.5): вероятности, серии до первого успеха и Бернулли. ПР-6 (= REQ-5.6): случайная величина и распределение. ПР-7 (= REQ-5.7): закон больших чисел. Элементы EL-5.1–EL-5.11.
Сказать классу: последний урок курса 9 класса — задачи, где в одном условии встречаются данные, подсчёт вариантов и вероятность; это и формат ОГЭ (линия 10).

повторение: VIS9-025…033

Разминка · устно

По одному вопросу на каждую тему курса

Данные и подсчёт

$5!$ $120$
$C_{5}^{2}$ $10$
Медиана: $3; 8; 1; 6; 4$ $4$
Среднее: $2; 4; 9$ $5$

Вероятность

$P (A) = 0, 35$ . $P (\overline{A})$ $0, 65$
Кубик: $P (чётное число)$ $0, 5$
Монету бросают $3$ раза. Сколько исходов? $8$
$n = 10$ , $p = 0, 5$ : $E (X) = n p$ $5$

R06.1–R06.4

Теория · сводка: карта курса

Четыре темы связаны в один цикл

1. Что дано: набор данных или случайный опыт?

2. Исходы равновозможны? Сколько их — перебор или формула

3. Событие → правило: сложение, умножение, $1 - P$

4. Проверка: $0 \leq P \leq 1$ , сумма распределения $= 1$

2 мин · теория
Карта курса: данные описываем статистикой; частота события из данных — оценка вероятности; вероятности задают распределение случайной величины; а закон больших чисел (ЗБЧ) возвращает нас к данным: при многих опытах среднее и частоты близки к E(X) и p.
Справа — алгоритм решения любой задачи курса; открывать по шагу и на каждом спросить пример из уже решённых задач. Пункт 4 — самопроверка: вероятность больше 1 означает ошибку (к сл. 14–15).

R06.1 · R06.2

Образец → сам · диаграмма и описательная статистика

Сколько книг прочитали за лето $25$ учеников

Образец: найдите медиану и среднее

$3 + 5 + 8 + 6 + 3 = 25$ объём, середина — $13$ -е

$3, 8, 16$ : $13$ -е значение $= 3$ накопленные частоты

$\frac{3 + 10 + 24 + 24 + 15}{25} =$ $3, 04$

Сам

Мода и размах $3$ и $4$
Доля учеников, прочитавших больше $3$ книг $0, 36$
Вероятность, что случайный ученик прочитал не больше $2$ $0, 32$

R06.3

Теория · сводка: как выбрать правило подсчёта

Главный вопрос — важен ли порядок

$n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$ , $0! = 1$

$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$ , $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

Треугольник Паскаля: $C_{n}^{k} = C_{n - 1}^{k - 1} + C_{n - 1}^{k}$

Классическая вероятность:

P (A) = \frac{m}{n}

,

m

и

n

— считаем этими правилами.

R06.3

Образец → сам · сочетания в классической вероятности

Считаем исходы формулой, а не перебором

Образец: из $6$ мальчиков и $4$ девочек выбирают $2$ дежурных. Вероятность, что обе — девочки?

$n = C_{10}^{2} = 45$ все пары, порядок не важен

$m = C_{4}^{2} = 6$ пары из девочек

$P = \frac{6}{45} =$ $\frac{2}{15}$

Сам

Сколькими способами можно рассадить $5$ гостей на $5$ стульев? $120$
Сколькими способами можно выбрать $3$ книги из $7$ ? $35$
Из тех же $10$ человек — $2$ дежурных. $P (мальчик и девочка)$ $\frac{8}{15}$

R06.3 · R06.4

Теория · сводка: операции над событиями

Объединение, пересечение, противоположное

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Независимые: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$ ; «хотя бы один» $= 1 - P (ни одного)$

Геометрическая: $P = \frac{S _{A}}{S}$ , $\frac{l _{A}}{l}$ — доля площади или длины

2 мин · теория
Объединение A ∪ B — «произошло хотя бы одно из событий» (вся закрашенная область), пересечение A ∩ B — «оба сразу» (розовая линза). В сумме P(A) + P(B) линза учтена дважды — поэтому вычитаем P(A ∩ B). Для несовместных событий линзы нет: P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Независимость — не то же, что несовместность: несовместные события с ненулевыми вероятностями всегда зависимы. Геометрическая вероятность — когда исходов бесконечно много (точка на отрезке, в фигуре, на дуге), равновозможность заменяется «доля длины/площади».

R06.4

Образец → сам · дерево и «хотя бы один»

Два стрелка: $0, 8$ и $0, 7$ , стреляют независимо

Образец: мишень поражена хотя бы раз?

$0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 06$ оба промахнулись

$1 - 0, 06 =$ $0, 94$ противоположное

Сам

Ровно одно попадание $0, 38$
Оба попали $0, 56$
Монету бросают $4$ раза. $P (хотя бы один орёл)$ $\frac{15}{16}$

R06.4

Образец → сам · геометрическая вероятность

Доля длины, площади или дуги

Образец: на отрезке $[0; 10]$ случайно выбирают точку. Вероятность, что до ближайшего конца больше $3$ ?

точка в $(3; 7)$ , $l_{A} = 4$ дальше $3$ от обоих концов

$P = \frac{4}{10} =$ $0, 4$

Сам

В квадрате со стороной $10$ — квадрат со стороной $4$ . $P$ попасть в малый $0, 16$
Точка на окружности; дуга $A B$ равна $7 2^{\circ}$ . $P$ попасть на дугу $A B$ $0, 2$
В квадрат со стороной $2$ вписан круг. $P$ попасть в круг $\frac{π}{4} \approx 0, 79$

R06.4

Теория · сводка: серии испытаний и случайная величина

Успех $p$ , неудача $q = 1 - p$

До первого успеха: $P (на k - м) = q^{k - 1} p$

Бернулли: $P (k успехов) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

$E (X) = \sum x_{i} p_{i}$ ; число успехов: $E = n p$ , $D = n pq$

Закон больших чисел: частота $\frac{m}{n} \approx p$ при большом $n$

R06.4

Образец → сам · серии испытаний

Формула Бернулли и первый успех

Образец: монету бросают $4$ раза. Вероятность ровно $2$ орлов?

$n = 4$ , $k = 2$ , $p = q = \frac{1}{2}$ серия Бернулли

$C_{4}^{2} = 6$ где стоят 2 орла

$6 \cdot (\frac{1}{2})^{4} = \frac{6}{16} =$ $0, 375$

Сам

Стрелок попадает с вероятностью $0, 9$ . $3$ выстрела. $P (ровно 2)$ $0, 243$
Кубик бросают до первой «шестёрки». $P (впервые на 3- м броске)$ $\frac{25}{216}$
Тест: $5$ вопросов, по $2$ варианта, ответы наугад. $E$ и $D$ числа верных $2, 5$ и $1, 25$

R06.1 · R06.4

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

От данных — к вероятности и прогнозу

Образец: из $1000$ проверенных лампочек $20$ бракованных. Покупатель берёт $2$ . Вероятность, что обе исправны?

$p_{брак} \approx \frac{20}{1000} = 0, 02$ частота — ЗБЧ

$P (исправна) = 0, 98$ противоположное

$0, 98 \cdot 0, 98 =$ $0, 9604$ независимо

Сам

Сколько бракованных в среднем в коробке из $50$ лампочек? $1$
Из $2$ лампочек ровно одна бракованная $0, 0392$
Из $2$ лампочек хотя бы одна бракованная $0, 0396$

R06.2 · R06.3 · R06.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$2$ дежурных из $10$ : порядок не важен	$10 \cdot 9 = 90$	$C_{10}^{2} = 45$
монету бросают $2$ раза: хотя бы один орёл	$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$	$1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$
медиана ряда $5; 1; 9; 3; 7$ без упорядочивания	$9$	$1; 3; 5; 7; 9 \Rightarrow 5$
$C_{5}^{5}$ при « $0! = 0$ »	«делить на $0$ »	$0! = 1$ , $C_{5}^{5} = 1$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Пара «Аня, Боря» и «Боря, Аня» — одни и те же дежурные; 90 считает каждую пару дважды, 90 : 2 = 45. 2) События «орёл в 1-м броске» и «орёл во 2-м» совместны — складывать нельзя; ответ 1 означал бы «достоверно», а исход РР возможен. Верно: 1 − P(РР) = 3/4.
3) Медиана — середина упорядоченного ряда; 9 стоит посередине только в записи. 4) 0! = 1 по определению; C₅⁵ = 5!/(5! · 0!) = 1 — выбрать все 5 можно одним способом.

R06.2 · R06.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. $P (сумма 4)$ ?

Сумм от $2$ до $12$ — $11$ , $P = \frac{1}{11}$

суммы не равновозможны

$36$ исходов, $(1; 3), (2; 2), (3; 1)$ : $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

б) $A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ ?

$0, 6 + 0, 5 = 1, 1$

вероятность $> 1$ — события совместны

$1, 1 - 0, 6 \cdot 0, 5 = 0, 8$

в) $X$ : $0; 1; 2$ , $p$ : $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . $E (X)$ ?

$\frac{0 + 1 + 2}{3} = 1$

значения взяты без весов $p_{i}$

$0 + 0, 3 + 0, 4 = 0, 7$

R06.1–R06.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Подсчёт и статистика

$C_{6}^{2}$ $15$
$\frac{7 !}{5 !}$ $42$
Медиана: $3; 7; 5; 9; 6$ $6$
Среднее и размах того же ряда $6$ и $6$

Вероятность

$200$ билетов, $8$ выигрышных. $P (не выиграть)$ $0, 96$
$A$ и $B$ несовместны, $P (A) = 0, 3$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ $0, 7$
$n = 8$ , $p = 0, 25$ : $E$ и $D$ числа успехов $2$ и $1, 5$

R06.2 · R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Из $5$ мальчиков и $3$ девочек выбирают троих. $P (ровно одна девочка)$ $\frac{15}{28}$
повыш.Стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ . Сколько выстрелов нужно, чтобы $P (хотя бы одно попадание) > 0, 95$ ? $4$
повыш.Среднее $5$ чисел равно $8$ . Одно число убрали — среднее стало $7$ . Какое число убрали? $12$
из жизниБросают $2$ монеты: два орла — выигрыш $20$ ₽, иначе проигрыш $10$ ₽. Средний выигрыш за игру $- 2, 5$ ₽

R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Классическая вероятность и произведение

1. В таксопарке $40$ машин: $14$ белых, остальные — жёлтые. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет жёлтая машина.

$0, 65$

2. На тарелке $25$ пирожков: $7$ с мясом, $9$ с капустой, остальные — с вишней. Найдите вероятность того, что случайно выбранный пирожок окажется с вишней.

$0, 36$

3. Вероятность того, что новая ручка пишет плохо, равна $0, 1$ . Покупатель берёт $2$ ручки. Найдите вероятность того, что обе пишут хорошо.

$0, 81$

«Остальные» — сначала найдите их число вычитанием.

R06.2 · R06.3 · R06.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$C_{7}^{2}$ $21$
Медиана: $8; 2; 5; 11; 4; 6$ $5, 5$
$30$ билетов, $6$ — по комбинаторике. $P (вытянуть такой)$ $0, 2$
Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ ; $2$ выстрела. $P (хотя бы одно попадание)$ $0, 96$

Вариант 2

$C_{8}^{2}$ $28$
Медиана: $9; 3; 7; 12; 1; 5$ $6$
$40$ билетов, $6$ — по геометрии. $P (вытянуть такой)$ $0, 15$
Стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ ; $2$ выстрела. $P (хотя бы одно попадание)$ $0, 91$

R06.1–R06.4

Теория · итоговая сводка правил

Курс 9 класса на одном слайде

Данные

медиана — по упорядоченному ряду
среднее, размах, дисперсия
частота $\frac{m}{n}$

Подсчёт

порядок важен: $n (n - 1) \dots$ , $n!$
не важен: $C_{n}^{k}$
$0! = 1$

События

$P = \frac{m}{n}$ , $\frac{S _{A}}{S}$
$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$
независимые: $P (A) P (B)$

Серии

$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
$q^{k - 1} p$
$E = n p$ , $D = n pq$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как понять, нужны ли сочетания?
Когда удобно перейти к противоположному событию?
Почему вероятность можно оценить частотой?
Какая тема курса далась труднее всего?

Домашнее задание

Из $6$ мальчиков и $5$ девочек выбирают $2$ . $P (обе — девочки)$
Кубик бросают $3$ раза. $P (хотя бы одна « шестёрка »)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-034 · Итоговое обобщение курса

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Обобщение, контроль», 10 ч · урок 10/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Представление данных» → 4–5, 13 · R06.2 «Описательная статистика» → 3, 5, 14, 16–17, 19 · R06.3 «Элементы комбинаторики» → 6–7, 14, 16–17, 19 · R06.4 «Случайные величины и распределения» → 8–13, 15–19
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 → 5 · ПР-2 / REQ-5.2 → 6–7, 17 · ПР-3 / REQ-5.3 → 5, 16, 19 · ПР-4 / REQ-5.4 → 5, 13 · ПР-5 / REQ-5.5 → 8–12, 18–19 · ПР-6 / REQ-5.6 → 11, 15, 17 · ПР-7 / REQ-5.7 → 11, 13
Вне урока	условная вероятность, непрерывные распределения — курс 10 класса
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Итоговое обобщение курса: данные, комбинаторика, вероятность

Сегодня вы соберёте курс в систему

Данные

Комбинаторика

Вероятность

Серии и величины

По одному вопросу на каждую тему курса

Данные и подсчёт

Вероятность

Четыре темы связаны в один цикл

Сколько книг прочитали за лето 25 учеников

Образец: найдите медиану и среднее

Сам

Главный вопрос — важен ли порядок

Считаем исходы формулой, а не перебором

Образец: из 6 мальчиков и 4 девочек выбирают 2 дежурных. Вероятность, что обе — девочки?

Сам

Объединение, пересечение, противоположное

Два стрелка: 0,8 и 0,7, стреляют независимо

Образец: мишень поражена хотя бы раз?

Сам

Доля длины, площади или дуги

Образец: на отрезке [0; 10] случайно выбирают точку. Вероятность, что до ближайшего конца больше 3?

Сам

Успех p, неудача q=1−p

Формула Бернулли и первый успех

Образец: монету бросают 4 раза. Вероятность ровно 2 орлов?

Сам

От данных — к вероятности и прогнозу

Образец: из 1000 проверенных лампочек 20 бракованных. Покупатель берёт 2. Вероятность, что обе исправны?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают дважды. P(сумма 4)?

б) A и B независимы, P(A)=0,6, P(B)=0,5. P(A∪B)?

в) X: 0; 1; 2, p: 0,5; 0,3; 0,2. E(X)?

Решите и проверьте

Подсчёт и статистика

Вероятность

Подумайте и решите

Классическая вероятность и произведение

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Курс 9 класса на одном слайде

Данные

Подсчёт

События

Серии

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-034 · Итоговое обобщение курса

Сколько книг прочитали за лето $25$ учеников

Образец: из $6$ мальчиков и $4$ девочек выбирают $2$ дежурных. Вероятность, что обе — девочки?

Два стрелка: $0, 8$ и $0, 7$ , стреляют независимо

Образец: на отрезке $[0; 10]$ случайно выбирают точку. Вероятность, что до ближайшего конца больше $3$ ?

Успех $p$ , неудача $q = 1 - p$

Образец: монету бросают $4$ раза. Вероятность ровно $2$ орлов?

Образец: из $1000$ проверенных лампочек $20$ бракованных. Покупатель берёт $2$ . Вероятность, что обе исправны?

а) Кубик бросают дважды. $P (сумма 4)$ ?

б) $A$ и $B$ независимы, $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ ?

в) $X$ : $0; 1; 2$ , $p$ : $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . $E (X)$ ?