Обобщение, контроль · урок 9 из 10

Вероятности событий: выбираем метод

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9-033

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Обобщение, контроль» (10 ч), урок 9/10, единицы R06.1 «Представление данных», R06.2 «Описательная статистика», R06.3 «Элементы комбинаторики», R06.4 «Случайные величины и распределения». Тип урока — О (обобщение и систематизация). Этот урок — итоговое повторение вычисления вероятностей перед последним уроком строки: как по словам условия выбрать метод (R06.3 — сочетания в подсчёте исходов, R06.4 — серии испытаний, распределение и E(X) числа успехов; R06.1 — таблица исходов и диаграмма распределения).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка «сигнал → метод», учитель решает пример двумя способами) 4 · 6 (действия с событиями, круги Эйлера) 3 · 9 (серии испытаний: до первого успеха и Бернулли) 3,5.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 1,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 8, 10, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 1,5 · задача из жизни (сл. 18) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3 на сл. 11–12 и 3–4 на сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Титул: дерево двух испытаний; путь «успех, успех» выделен — вероятность вдоль пути перемножается: p · p = p².

R06.3 · R06.4

Цели урока

Сегодня вы обобщите и научитесь

Выбирать метод

по словам условия: подсчёт исходов, противоположное событие, дерево, серия испытаний (ПР-5)

Считать исходы

перебором, таблицей и числом сочетаний $C_{n}^{k}$ (ПР-2)

Решать серии

до первого успеха и по формуле Бернулли (ПР-5)

Описывать величину

распределение и $E (X)$ числа успехов; задачи ОГЭ и из жизни (ПР-6, ПР-1)

1 мин · теория
ПР-1 (= REQ-5.1): «Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков…». ПР-2 (= REQ-5.2): «Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов». ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли». ПР-6 (= REQ-5.6): «Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей».
Единицы ФРП: R06.3 «Элементы комбинаторики», R06.4 «Случайные величины и распределения» (с опорой на R06.1 «Представление данных»).

повторение: VIS9-003…VIS9-024

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Кубик: $P (чётное)$ $0, 5$
$P (A) = 0, 3$ . $P (\overline{A})$ $0, 7$
$C_{5}^{2}$ $10$
$4!$ и $0!$ $24; 1$

Монету бросили $3$ раза. Исходов? $8$
$0, 5^{3}$ $0, 125$
$A$ , $B$ независимы: $0, 4$ и $0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 2$
Может ли $P (A) = 1, 2$ ? нет

R06.3 · R06.4

Сводка · как выбрать метод

Слова в условии подсказывают способ

Сигнал в условии	Метод	Формула
«случайно выбирают», исходы равновозможны	подсчёт исходов: перебор, таблица, $C_{n}^{k}$	$P (A) = \frac{m}{n}$
«хотя бы один», «не менее одного»	противоположное событие	$P (A) = 1 - P (\overline{A})$
«или» — несовместимые; «и» — независимые	сложение; умножение	$P (A) + P (B)$ ; $P (A) \cdot P (B)$
опыт из шагов, «без возвращения»	дерево: $\times$ вдоль пути, $+$ по путям	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \dots$
«до первого…», «ровно $k$ из $n$ »	серия испытаний	$q^{k - 1} p$ ; $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
точка на отрезке, в фигуре	геометрическая вероятность	$\frac{мера части}{мера фигуры}$

4 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Учитель открывает третий столбец по строкам и к каждой строке просит назвать задачу из прошлых уроков (R02 — сочетания, R03 — геометрическая вероятность, R04 — серии, R01 — операции над событиями).
Пример учителя, двумя способами: «Монету бросают 2 раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз». Способ 1 — перебор: ОО, ОР, РО, РР; благоприятных 3 из 4, P = 0,75. Способ 2 — противоположное событие «ни одного орла» = РР, P = 0,25; 1 − 0,25 = 0,75. Вывод: разные методы дают один ответ; при 10 бросках перебор (1024 исхода) невозможен, а 1 − 0,5¹⁰ считается сразу.
Строку «мера» пояснить: длина для отрезка и дуги, площадь для фигуры.

R06.3

Образец → сам · равновозможные исходы и сочетания

Порядок не важен — считаем $C_{n}^{k}$

Образец: из карточек $1, 2, 3, 4, 5$ случайно берут две. Найдите вероятность того, что сумма чисел чётная.

$n = C_{5}^{2} = 10$ все пары, порядок не важен

$m = C_{3}^{2} + C_{2}^{2} = 3 + 1 = 4$ оба нечётные или оба чётные

$P = \frac{4}{10} = 0, 4$

Сам

Из карточек $1, \dots, 6$ берут две. $P (обе чётные)$ $0, 2$
$4$ красных и $6$ синих шаров, берут два. $P (оба красные)$ $\frac{2}{15}$
Из $5$ учеников (среди них Аня и Боря) выбирают троих. $P (выбраны оба)$ $0, 3$

R06.4 · повторение R01.3

Сводка · действия с событиями

Противоположное, объединение, пересечение

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

$P (A \cup B) =$
$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

независимые:
$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

$P (A) = 0, 6, P (B) = 0, 5$ , независимы: $P (A \cap B) = 0, 3, P (A \cup B) = 0, 8$

3 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Круги Эйлера: прямоугольник — все исходы опыта. Ā — всё, что вне A (закрашено). A ∪ B — «A или B» (хотя бы одно), A ∩ B — «и A, и B» (общая часть).
Формула сложения: в P(A) + P(B) общая часть посчитана дважды — вычитаем её один раз. Для несовместимых событий P(A ∩ B) = 0 и формула становится простой суммой.
Пример учителя: 0,6 · 0,5 = 0,3; 0,6 + 0,5 − 0,3 = 0,8. Проверка через противоположное: «ни A, ни B» = 0,4 · 0,5 = 0,2; 1 − 0,2 = 0,8 ✓.
Вопрос: почему нельзя просто сложить 0,6 + 0,5? (Получится 1,1 больше 1 — события совместны.)

R06.4

Образец → сам · «хотя бы один» через противоположное

Проще найти, что не произошло ничего

Образец: два стрелка независимо попадают с вероятностями $0, 8$ и $0, 7$ . Найдите вероятность того, что в мишень попадёт хотя бы один.

$\overline{A}$ : оба промахнулись противоположное

$P (\overline{A}) = 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 06$ независимы — умножаем

$P (A) = 1 - 0, 06 = 0, 94$

Сам

Монету бросают $4$ раза. $P (хотя бы один орёл)$ $0, 9375$
Три лампы перегорают за год независимо, каждая — с вероятностью $0, 1$ . $P (хотя бы одна не перегорит)$ $0, 999$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 3$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (A \cup B)$ $0, 6$

R06.4 · повторение R01.3

Образец → сам · дерево: выбор без возвращения

В коробке $3$ белых и $2$ чёрных шара, берут два подряд

Образец: $P (шары одного цвета)$

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} + \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = 0, 3 + 0, 1 = 0, 4$

Сам, по тому же дереву

$P (оба чёрные)$ $0, 1$
$P (шары разного цвета)$ $0, 6$
$P (второй шар белый)$ $0, 6$

2,5 мин · практика
Образец: после белого в коробке 2 белых и 2 чёрных (вероятности 2/4 и 2/4), после чёрного — 3 белых и 1 чёрный (3/4 и 1/4). Вероятности на ветвях из одной вершины в сумме дают 1 — проверка дерева. Путь ББ: 3/5 · 2/4 = 0,3; путь ЧЧ: 2/5 · 1/4 = 0,1; пути несовместимы — складываем: 0,4.
1) 0,1 (путь ЧЧ). 2) Противоположное к «одного цвета»: 1 − 0,4 = 0,6 (или 3/5 · 2/4 + 2/5 · 3/4 = 0,3 + 0,3). 3) Пути ББ и ЧБ: 0,3 + 2/5 · 3/4 = 0,3 + 0,3 = 0,6 — ровно столько же, сколько у первого шара (3/5). Интересный факт для обсуждения.
Ловушка: (2/5)² = 0,16 для «оба чёрные» — шар не вернули, состав коробки изменился.

R06.4 · повторение R04

Сводка · серии испытаний

Успех с вероятностью $p$ , неудача — $q = 1 - p$

До первого успеха: впервые на $k$ -м испытании
$P = q^{k - 1} p$

Бернулли: ровно $k$ успехов из $n$
$P = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

монета $3$ раза, ровно $2$ орла:
$C_{3}^{2} \cdot 0, 5^{2} \cdot 0, 5 = \frac{3}{8} = 0, 375$

Число успехов

X

:

E (X) = n p

,

D (X) = n pq

3,5 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Чертёж: ветка вниз-вправо — неудача (q), вверх — успех (p). Первый успех на 1-м испытании — p, на 2-м — путь «Н, У» = qp, на 3-м — q²p: перед успехом k − 1 неудач.
Формула Бернулли: одна цепочка с k успехами и n − k неудачами имеет вероятность pᵏqⁿ⁻ᵏ, таких цепочек C(n, k) — по числу способов выбрать места успехов. Пример учителя: ОО Р, О Р О, Р ОО — 3 цепочки по 1/8, итого 3/8 = 0,375.
Случайная величина «число успехов» X: значения 0, 1, …, n, вероятности — по формуле Бернулли; теоретическое среднее E(X) = np, дисперсия D(X) = npq (R05). Пример: 3 броска монеты — E(X) = 1,5, D(X) = 0,75.

R06.4

Образец → сам · серия до первого успеха

Сначала неудачи, потом успех

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью $0, 7$ и бросает до первого попадания.

впервые на 3-м: $0, 3^{2} \cdot 0, 7 = 0, 063$ $q^{2} p$

не больше двух бросков: $0, 7 + 0, 3 \cdot 0, 7 = 0, 91$ 1-й или 2-й

проверка: $1 - 0, 3^{2} = 0, 91$ «два промаха» — противоположное

Сам

Кубик бросают до первой шестёрки. $P (впервые на 2- м броске)$ $\frac{5}{36}$
$p = 0, 2$ . $P (первый успех на 3- м испытании)$ $0, 128$
Монету бросают до первого орла. $P (понадобится больше 3 бросков)$ $0, 125$

R06.4

Образец → сам · формула Бернулли

Ровно $k$ успехов: не забыть $C_{n}^{k}$

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ и делает $3$ выстрела. Найдите вероятность ровно $2$ попаданий.

$n = 3, k = 2, p = 0, 8, q = 0, 2$

$C_{3}^{2} = 3$ ППМ, ПМП, МПП

$P = 3 \cdot 0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 384$

Сам

Монету бросают $4$ раза. $P (ровно 2 орла)$ $0, 375$
$p = 0, 9$ , $n = 3$ . $P (все три — успех)$ $0, 729$
Монету бросают $5$ раз. $P (не меньше 4 орлов)$ $0, 1875$

R06.1 · R06.3

Образец → сам · таблица исходов двух кубиков

$36$ равновозможных исходов

Образец: два кубика, $P (сумма = 8)$

$m = 5$ диагональ «8» $P = \frac{5}{36}$

Сам, по таблице

$P (сумма = 10)$ $\frac{1}{12}$
$P (сумма < 5)$ $\frac{1}{6}$
$P (хотя бы одна шестёрка)$ $\frac{11}{36}$

R06.3 · R06.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
хотя бы один из стрелков: $0, 8$ и $0, 7$	$0, 8 + 0, 7 = 1, 5$ — больше $1$ !	$1 - 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 94$
$3$ белых, $2$ чёрных без возвращения: оба чёрные	$(\frac{2}{5})^{2} = 0, 16$	$\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = 0, 1$
$p = 0, 8$ , $3$ выстрела: ровно $2$ попадания	$0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 128$	$C_{3}^{2} \cdot 0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 384$

Проверка ответа:

0 \leq P \leq 1

; события независимы? шар вернули? порядок важен?

R06.4

Найди ошибку

Стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ и стреляет $3$ раза

1) $p = 0, 6$ , $q = 0, 4$

2) Ровно $2$ попадания: $0, 6^{2} \cdot 0, 4 = 0, 144$

3) Ровно $3$ : $0, 6^{3} = 0, 216$

4) Хотя бы $2$ : $0, 144 + 0, 216 = 0, 36$

5) Ни одного попадания: $1 - 0, 36 = 0, 64$

Исправление

2) $C_{3}^{2} \cdot 0, 6^{2} \cdot 0, 4 = 0, 432$

4) $0, 432 + 0, 216 = 0, 648$

5) $0, 4^{3} = 0, 064$ ; $1 - 0, 648$ — это «не больше одного»

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Исходы и события

Кубик: $P (больше 4)$ $\frac{1}{3}$
$500$ билетов, $20$ выигрышных. $P (выигрыш)$ $0, 04$
Независимые: $0, 9$ и $0, 8$ . $P (оба)$ $0, 72$
Из карточек $1, 2, 3, 4$ берут две. $P (сумма = 5)$ $\frac{1}{3}$

Серии и величина

Монета $3$ раза. $P (ровно 1 орёл)$ $0, 375$
$p = 0, 5$ . $P (первый успех на 3- м)$ $0, 125$
$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $0, 2; 0, 5; a$ . Найдите $a$ $0, 3$
$E (X)$ той же величины $1, 1$

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

Из $10$ билетов $3$ выигрышных; берут два. Вероятность, что хотя бы один выигрышный $\frac{8}{15}$
Стрелок попадает с вероятностью $0, 9$ , делает $4$ выстрела. Вероятность не менее $3$ попаданий $0, 9477$
Два кубика. Вероятность, что произведение очков чётное $0, 75$
$X$ — число успехов в $20$ испытаниях Бернулли, $p = 0, 3$ . Найдите $E (X)$ и $D (X)$ $6; 4, 2$

R06.3 · R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Три типа задачи 10

1. В фирме такси $40$ машин: $14$ чёрных, остальные жёлтые. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет жёлтая машина. $0, 65$

2. Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна $0, 95$ , больше двух лет — $0, 87$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет. $0, 08$

3. На соревнованиях $5$ спортсменов из Италии, $6$ из Испании, $3$ из Франции и $6$ из Германии. Порядок выступлений — по жребию. Найдите вероятность того, что первым выступит спортсмен из Испании. $0, 3$

В бланк — десятичная дробь:

\frac{26}{40} = 0, 65

.

R06.1 · R06.4

Задача из жизни · контроль качества

Брак $10 %$ ; контролёр проверяет $3$ детали

все годные: $0, 9^{3} = 0, 729$

ровно одна с браком: $3 \cdot 0, 1 \cdot 0, 81 = 0, 243$

хотя бы одна с браком: $1 - 0, 729 = 0, 271$

$E (X) = n p = 3 \cdot 0, 1 = 0, 3$

Партию бракуют, если найдена хоть одна плохая деталь: так отсеют

27 %

проверок.

R06.3 · R06.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Из $5$ человек (среди них Оля) выбирают двоих. $P (Оля выбрана)$ $0, 4$
Стрелки: $0, 9$ и $0, 6$ , независимо. $P (хотя бы один попал)$ $0, 96$
$p = 0, 4$ . $P (первый успех на 2- м)$ $0, 24$
Монета $3$ раза. $P (ровно 2 орла)$ $0, 375$

Вариант 2

Из $6$ человек (среди них Петя) выбирают двоих. $P (Петя выбран)$ $\frac{1}{3}$
Стрелки: $0, 8$ и $0, 5$ , независимо. $P (хотя бы один попал)$ $0, 9$
$p = 0, 3$ . $P (первый успех на 2- м)$ $0, 21$
$p = 0, 9$ , $2$ выстрела. $P (ровно 1 попадание)$ $0, 18$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие слова условия подсказывают « $1 - P (\overline{A})$ »?
Когда вероятности умножают, а когда складывают?
Зачем в формуле Бернулли множитель $C_{n}^{k}$ ?

Домашнее задание

$4$ белых и $1$ чёрный шар, берут два без возвращения. $P (оба белые)$
$p = 0, 7$ , $n = 3$ : $P (ровно 2 успеха)$ и $E (X)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-033 · Обобщение и систематизация: вероятности событий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Обобщение, контроль», 10 ч · урок 9/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.1 «Представление данных» → 12, 18 · R06.2 «Описательная статистика» → 15 (среднее с весами — E(X)) · R06.3 «Элементы комбинаторики» → 3–5, 12–17, 19 · R06.4 «Случайные величины и распределения» → 6–11, 13–20
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы и диаграммы) → 12, 18 · ПР-2 / REQ-5.2 (перебор и комбинаторика) → 4, 5, 12, 16, 19 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности, серии до первого успеха, Бернулли) → 3–19 · ПР-6 / REQ-5.6 (случайная величина, распределение) → 9, 15, 16, 18
Вне урока	операции над событиями — VIS9-003, VIS9-004; комбинаторика — R02; геометрическая вероятность — R03 (только строка сводки сл. 4); испытания Бернулли — R04; случайная величина — R05; следующий урок — VIS9-034
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вероятности событий: выбираем метод

Сегодня вы обобщите и научитесь

Выбирать метод

Считать исходы

Решать серии

Описывать величину

Восемь быстрых вопросов

Слова в условии подсказывают способ

Порядок не важен — считаем Cnk​

Образец: из карточек 1, 2, 3, 4, 5 случайно берут две. Найдите вероятность того, что сумма чисел чётная.

Сам

Противоположное, объединение, пересечение

Проще найти, что не произошло ничего

Образец: два стрелка независимо попадают с вероятностями 0,8 и 0,7. Найдите вероятность того, что в мишень попадёт хотя бы один.

Сам

В коробке 3 белых и 2 чёрных шара, берут два подряд

Образец: P(шары одного цвета)

Сам, по тому же дереву

Успех с вероятностью p, неудача — q=1−p

Сначала неудачи, потом успех

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью 0,7 и бросает до первого попадания.

Сам

Ровно k успехов: не забыть Cnk​

Образец: стрелок попадает с вероятностью 0,8 и делает 3 выстрела. Найдите вероятность ровно 2 попаданий.

Сам

36 равновозможных исходов

Образец: два кубика, P(сумма=8)

Сам, по таблице

Неверно → почему → верно

Стрелок попадает с вероятностью 0,6 и стреляет 3 раза

Исправление

Решите и проверьте

Исходы и события

Серии и величина

Подумайте и решите

Три типа задачи 10

Брак 10%; контролёр проверяет 3 детали

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-033 · Обобщение и систематизация: вероятности событий

Порядок не важен — считаем $C_{n}^{k}$

Образец: из карточек $1, 2, 3, 4, 5$ случайно берут две. Найдите вероятность того, что сумма чисел чётная.

Образец: два стрелка независимо попадают с вероятностями $0, 8$ и $0, 7$ . Найдите вероятность того, что в мишень попадёт хотя бы один.

В коробке $3$ белых и $2$ чёрных шара, берут два подряд

Образец: $P (шары одного цвета)$

Успех с вероятностью $p$ , неудача — $q = 1 - p$

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью $0, 7$ и бросает до первого попадания.

Ровно $k$ успехов: не забыть $C_{n}^{k}$

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ и делает $3$ выстрела. Найдите вероятность ровно $2$ попаданий.

$36$ равновозможных исходов

Образец: два кубика, $P (сумма = 8)$

Стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ и стреляет $3$ раза

Брак $10 %$ ; контролёр проверяет $3$ детали