Обобщение, контроль · урок 8 из 10

Вероятности сложных событий: «или», «и», «не», дерево

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9-032

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Обобщение, контроль» (10 ч), урок 8/10, тип О (обобщение и систематизация). Сегодня — вероятности событий в опытах с равновозможными исходами, объединение и пересечение событий, независимые события и серии испытаний (деятельность R06: «вероятностей объединения и пересечения событий, вычислять вероятности в опытах с сериями случайных испытаний»); единицы R06.3 (комбинаторика при подсчёте исходов) и R06.4 (опыты и распределения).
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: операции над событиями и формула сложения) 4 · 7 (сводка: правило умножения и дерево, учитель решает пример сам) 4,5 · 18 (итоговая сводка правил) 2. Урок обобщения: теория — только сводки, показывать целиком.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 10, 11) по 2,5 = 15 · типичные ошибки (сл. 12) 1,5 · найди ошибку (сл. 13) 2 · самопроверка, база (сл. 14) 2,5 · повышенный уровень (сл. 15) 1,5 · ОГЭ (сл. 16) 2,5 · самостоятельная (сл. 17) 4 · итог (сл. 19) 1.
Отличие от VIS9-001…003 (повторение 8 класса) и VIS9-027/028: здесь все правила сложных событий в одной системе — «или» (сложение), «и» (умножение), «не» (противоположное), дерево с зависимыми и независимыми ветвями, «хотя бы один» в сериях; задачи из жизни (контроль качества, жребий, лотерея).
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 15 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.3 · R06.4

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Различать «или», «и», «не»

объединение, пересечение и противоположное событие на кругах Эйлера (ПР-5)

Применять формулу сложения

для совместных и несовместных событий, по таблице исходов (ПР-2, ПР-5)

Строить дерево опыта

умножать вдоль пути, складывать пути; зависимые и независимые события (ПР-5)

Решать задачи серий

«хотя бы один» через противоположное, задачи из жизни (ПР-2, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли». ПР-2 (= REQ-5.2): «Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов» — таблица исходов двух кубиков (сл. 6), число сочетаний (сл. 11).
Деятельность по ФРП (R06): «Повторять изученное и выстраивать систему знаний… Решать задачи на нахождение вероятностей событий, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, вероятностей объединения и пересечения событий, вычислять вероятности в опытах с сериями случайных испытаний».

повторение: вероятность события

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

Одно событие

$P (A) = 0, 3$ . Чему равна $P (\overline{A})$ ? $0, 7$
Кубик: $P (чётное число)$ $0, 5$
Монету бросили дважды: $P (два орла)$ $0, 25$
Сколько исходов у броска двух кубиков? $36$

Два события

Несовместные: $0, 2$ и $0, 5$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 7$
Независимые: $0, 5$ и $0, 4$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 2$
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 7$ . Могут ли $A$ и $B$ быть несовместными? нет
$0, 1 \cdot 0, 1 \cdot 0, 1$ $0, 001$

R06.4 · ПР-5

Теория · сводка: операции над событиями

«Или», «и», «не» — и формула сложения

Противоположное: $P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

Сложение:
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

Несовместные ( $A \cap B = \emptyset$ ):
$P (A \cup B) = P (A) + P (B)$

Всегда

0 \leq P \leq 1

: ответ больше

1

— ошибка.

4 мин · теория
Объединение A ∪ B — «наступило A или B (хотя бы одно)»; пересечение A ∩ B — «наступили оба»; противоположное $\overline{A}$ — «A не наступило»: на кругах закрашено всё, кроме A. Несовместные события не пересекаются.
Почему вычитаем P(A ∩ B): в P(A) + P(B) общая часть посчитана дважды. Для несовместных общей части нет — формула превращается в простую сумму.
Вопросы классу: «на кубике выпало чётное» и «выпало 6» — совместны? (Да: 6 — чётное.) «Выпало 1» и «выпало 6»? (Несовместны.) Какое событие противоположно «хотя бы один орёл в двух бросках»? («Ни одного орла» = «две решки».)

R06.4 · ПР-5

Образец → сам · формула сложения

$40$ учеников: бассейн — $22$ , шахматы — $15$ , оба кружка — $7$

Образец: $P$ (ученик ходит хотя бы в один кружок)

$22 + 15 - 7 = 30$ общая часть — один раз

$P = \frac{30}{40}$ = $0, 75$ равновозможный выбор

Сам

$P$ (ни в одном кружке) $0, 25$
$P$ (только шахматы) $0, 2$
обратная $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cup B) = 0, 9$ . Найдите $P (A \cap B)$ $0, 2$

R06.3 · ПР-2

Образец → сам · таблица исходов двух кубиков

Бросают два кубика: $36$ равновозможных исходов

Образец: $P$ (сумма $8$ или дубль)

сумма $8$ : $5$ клеток; дубль: $6$ считаем по таблице

оба сразу: $(4; 4)$ — $1$ клетка пересечение

$\frac{5 + 6 - 1}{36} = \frac{10}{36}$ = $\frac{5}{18}$

$P$ (сумма $7$ или дубль) $\frac{1}{3}$
$P$ (хотя бы одна шестёрка) $\frac{11}{36}$
$P$ (сумма $8$ и дубль) $\frac{1}{36}$

R06.4 · ПР-5

Теория · сводка: правило умножения и дерево

В урне $3$ красных и $2$ синих шара, вынимают два

Вдоль пути — умножаем

Нужные пути — складываем

Из узла — сумма вероятностей $= 1$

$P (одного цвета) = \frac{6}{20} + \frac{2}{20} = 0, 4$

Независимые:

P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)

— ветви не меняются (с возвращением)

4,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Без возвращения: после красного в урне 4 шара, из них 2 красных — ветвь 2/4; после синего — 3 красных и 1 синий: 3/4 и 1/4. Поэтому второе извлечение зависит от первого.
Пути (по клику): КК 3/5 · 2/4 = 6/20; КС 3/5 · 2/4 = 6/20; СК 2/5 · 3/4 = 6/20; СС 2/5 · 1/4 = 2/20. Проверка: 6 + 6 + 6 + 2 = 20, сумма 1.
«Одного цвета» = КК или СС (подсвечены): 6/20 + 2/20 = 8/20 = 0,4. «Разного цвета» — противоположное: 1 − 0,4 = 0,6 (это КС + СК = 12/20).
Если шар возвращают, на втором шаге снова 3/5 и 2/5 — события независимы, P(КК) = 3/5 · 3/5 = 9/25 = 0,36.

R06.4 · ПР-5

Образец → сам · независимые события

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ , два выстрела

Образец: $P$ (ровно одно попадание)

ПН: $0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 16$ выстрелы независимы

НП: $0, 2 \cdot 0, 8 = 0, 16$ второй путь

$0, 16 + 0, 16$ = $0, 32$ складываем пути

$P$ (оба промаха) $0, 04$
Две лампы исправны с вероятностями $0, 9$ и $0, 7$ независимо. $P$ (обе исправны)? $0, 63$
… $P$ (исправна ровно одна)? $0, 34$

R06.4 · ПР-5

Образец → сам · дерево: контроль качества

Цех 1 даёт $60 %$ деталей (брак $2 %$ ), цех 2 — $40 %$ (брак $5 %$ )

Образец: $P$ (случайная деталь — брак)

путь «1 → Б»: $0, 6 \cdot 0, 02 = 0, 012$

путь «2 → Б»: $0, 4 \cdot 0, 05 = 0, 02$

$P$ = $0, 032$ сумма путей

$P$ (деталь из цеха 2 и годная) $0, 38$
$P$ (деталь годная) $0, 968$
В урне $4$ белых и $2$ чёрных, вынимают два без возвращения. $P$ (оба белые)? $0, 4$

R06.4 · ПР-5

Образец → сам · «хотя бы один» через противоположное

Три независимых выстрела, попадание с вероятностью $0, 7$

Образец: $P$ (хотя бы одно попадание)

противоположное — «три промаха» один путь вместо семи

$P (ННН) = 0, 3^{3} = 0, 027$ независимые

$P = 1 - 0, 027$ = $0, 973$

P (хотя бы один) = 1 - P (ни одного)

Сам

Монету бросают $4$ раза. $P$ (хотя бы один орёл)? $0, 9375$
Три лампы, каждая перегорает с вероятностью $0, 1$ независимо. $P$ (горит хотя бы одна)? $0, 999$
Кубик бросают дважды. $P$ (хотя бы одна шестёрка)? $\frac{11}{36}$

R06.3 · ПР-2 · ПР-5

Образец → сам · задача из жизни: жребий и лотерея

В классе $25$ учеников: $10$ мальчиков, $15$ девочек. Двух дежурных выбирают жребием

Образец: $P$ (обе дежурные — девочки)

сочетания: $\frac{C _{15}^{2}}{C _{25}^{2}} = \frac{105}{300} = 0, 35$

дерево: $\frac{15}{25} \cdot \frac{14}{24} = \frac{210}{600} = 0, 35$

Ответ: $0, 35$ два способа сошлись

Сам

$P$ (оба — мальчики) $0, 15$
$P$ (мальчик и девочка) $0, 5$
лотереяИз $10$ билетов $2$ выигрышных; купили $2$ . $P$ (хотя бы один выигрыш)? $\frac{17}{45}$

R06.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили совместные: $P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 7$ , $P (A \cap B) = 0, 4$	$P (A \cup B) = 1, 3$	$0, 6 + 0, 7 - 0, 4 = 0, 9$
без возвращения: $4$ белых, $2$ чёрных, оба белые	$(\frac{4}{6})^{2} \approx 0, 44$	$\frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = 0, 4$
«хотя бы одно» из двух при $p = 0, 7$	$0, 7 + 0, 7 = 1, 4$	$1 - 0, 3^{2} = 0, 91$
спутали несовместные и независимые	«не пересекаются — значит, $P (A) \cdot P (B)$ »	несовместные: $P (A \cap B) = 0$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Ответ больше 1 — сигнал ошибки: для совместных событий вычитаем пересечение: 0,9. 2) После первого белого в урне 5 шаров, из них 3 белых — вторая вероятность 3/5; $(4/6)^{2} \approx 0, 444$ — это опыт с возвращением. 3) «Хотя бы одно» — через противоположное: 1 − 0,3 · 0,3 = 0,91; проверка суммой путей: 0,49 + 0,21 + 0,21 = 0,91. 4) Несовместные события (P > 0 у каждого) никогда не независимы: если A наступило, B уже точно не наступит.

R06.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают $3$ раза. $P$ (хотя бы один орёл)

$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

«ни одного орла» — это три решки подряд

$1 - (\frac{1}{2})^{3} = \frac{7}{8}$

б) Два кубика. $P$ (сумма $8$ или дубль)

$\frac{5}{36} + \frac{6}{36} = \frac{11}{36}$

исход $(4; 4)$ посчитан дважды

$\frac{5 + 6 - 1}{36} = \frac{5}{18}$

в) $3$ красных, $2$ синих, два без возвращения. $P$ (разного цвета)

$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0, 3$

забыт путь «синий → красный»

$0, 3 + \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} = 0, 6$

R06.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Сложение и противоположное

$P (A) = 0, 35$ . $P (\overline{A})$ ? $0, 65$
Несовместные: $P (A) = 0, 25$ , $P (B) = 0, 4$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 65$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 3$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 8$

Умножение

Независимые: $0, 3$ и $0, 5$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 15$
Монету бросают $3$ раза. $P$ (три решки)? $0, 125$
Кубик дважды. $P$ (обе «единицы»)? $\frac{1}{36}$
Попадание $0, 9$ , два выстрела. $P$ (два промаха)? $0, 01$

R06.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш. $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ , $P (A \cup B) = 0, 8$ . Найдите $P (A \cap B)$ и $P$ (наступило только $A$ ). $0, 3$ ; $0, 2$
повыш.Два стрелка попадают с вероятностями $0, 8$ и $0, 6$ , стреляют по разу. $P$ (мишень поражена)? $0, 92$
из жизниБолеют $2 %$ людей. Тест находит болезнь у больного с вероятностью $0, 9$ , у здорового ошибочно даёт «+» с вероятностью $0, 05$ . $P$ (тест «+»)? $0, 067$
повыш.Какое наименьшее число раз нужно бросить монету, чтобы $P$ (хотя бы один орёл) была больше $0, 95$ ? $5$

R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Сложные события в задачах ОГЭ

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

$0, 875$

2. Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна $0, 93$ , больше двух лет — $0, 87$ . Найдите вероятность того, что он прослужит больше года, но меньше двух лет.

$0, 06$

3. В магазине два платёжных автомата. Каждый неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один автомат исправен.

$0, 9975$

В бланк — десятичная дробь:

\frac{7}{8}

записывают как 0,875.

R06.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$P (A) = 0, 15$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 85$
$P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 4$ , $P (A \cap B) = 0, 1$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 8$
Попадание $0, 6$ , два выстрела. $P$ (оба попадания)? $0, 36$
Монету бросают $2$ раза. $P$ (хотя бы один орёл)? $0, 75$

Вариант 2

$P (A) = 0, 42$ . Найдите $P (\overline{A})$ $0, 58$
Несовместные: $P (A) = 0, 35$ , $P (B) = 0, 25$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 6$
Лампы исправны с вероятностями $0, 7$ и $0, 4$ независимо. $P$ (обе)? $0, 28$
Попадание $0, 5$ , три выстрела. $P$ (хотя бы одно)? $0, 875$

R06.4

Теория · итоговая сводка правил

Четыре правила сложных событий

«Не»

$P (\overline{A}) = 1 - P (A)$

«Или»

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ ; несовместные — без вычитания

«И» для независимых

$P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

Дерево

вдоль пути — умножаем, нужные пути — складываем

«Хотя бы один»

= 1 - P (ни одного)

· проверка:

0 \leq P \leq 1

, сумма всех путей

= 1

.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда в формуле сложения вычитают $P (A \cap B)$ ?
Чем независимые события отличаются от несовместных?
Что делают вдоль пути дерева и с разными путями?
Как удобнее найти $P$ (хотя бы один)?

Домашнее задание

Два кубика: $P$ (хотя бы одна «единица» или сумма $12$ )
$5$ белых и $3$ чёрных шара, вынимают два без возвращения: $P$ (разного цвета) — по дереву
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-032 · Обобщение: вероятности сложных событий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Обобщение, контроль», 10 ч · урок 8/10 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Обобщение, контроль“»
Единицы → слайды	R06.4 «Случайные величины и распределения» (опыты, события, серии испытаний) → 2–5, 7–10, 12–18 · R06.3 «Элементы комбинаторики» (подсчёт исходов, число сочетаний) → 6, 11 · R06.1, R06.2 — уроки VIS9-025, 026
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности событий, серии испытаний) → 3–19 · ПР-2 / REQ-5.2 (перебор, комбинаторные правила) → 6, 11
Вне урока	случайная величина, математическое ожидание, дисперсия — VIS9-033; формула Бернулли — повторение в VIS9-028
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вероятности сложных событий: «или», «и», «не», дерево

Сегодня вы повторите и научитесь

Различать «или», «и», «не»

Применять формулу сложения

Строить дерево опыта

Решать задачи серий

Восемь быстрых вопросов

Одно событие

Два события

«Или», «и», «не» — и формула сложения

40 учеников: бассейн — 22, шахматы — 15, оба кружка — 7

Образец: P(ученик ходит хотя бы в один кружок)

Сам

Бросают два кубика: 36 равновозможных исходов

Образец: P(сумма 8 или дубль)

В урне 3 красных и 2 синих шара, вынимают два

Стрелок попадает с вероятностью 0,8, два выстрела

Образец: P(ровно одно попадание)

Цех 1 даёт 60% деталей (брак 2%), цех 2 — 40% (брак 5%)

Образец: P(случайная деталь — брак)

Три независимых выстрела, попадание с вероятностью 0,7

Образец: P(хотя бы одно попадание)

Сам

В классе 25 учеников: 10 мальчиков, 15 девочек. Двух дежурных выбирают жребием

Образец: P(обе дежурные — девочки)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Монету бросают 3 раза. P(хотя бы один орёл)

б) Два кубика. P(сумма 8 или дубль)

в) 3 красных, 2 синих, два без возвращения. P(разного цвета)

Решите и проверьте

Сложение и противоположное

Умножение

Подумайте и решите

Сложные события в задачах ОГЭ

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Четыре правила сложных событий

«Не»

«Или»

«И» для независимых

Дерево

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-032 · Обобщение: вероятности сложных событий

$40$ учеников: бассейн — $22$ , шахматы — $15$ , оба кружка — $7$

Образец: $P$ (ученик ходит хотя бы в один кружок)

Бросают два кубика: $36$ равновозможных исходов

Образец: $P$ (сумма $8$ или дубль)

В урне $3$ красных и $2$ синих шара, вынимают два

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ , два выстрела

Образец: $P$ (ровно одно попадание)

Цех 1 даёт $60 %$ деталей (брак $2 %$ ), цех 2 — $40 %$ (брак $5 %$ )

Образец: $P$ (случайная деталь — брак)

Три независимых выстрела, попадание с вероятностью $0, 7$

Образец: $P$ (хотя бы одно попадание)

В классе $25$ учеников: $10$ мальчиков, $15$ девочек. Двух дежурных выбирают жребием

Образец: $P$ (обе дежурные — девочки)

а) Монету бросают $3$ раза. $P$ (хотя бы один орёл)

б) Два кубика. $P$ (сумма $8$ или дубль)

в) $3$ красных, $2$ синих, два без возвращения. $P$ (разного цвета)