Обобщение, контроль · урок 7 из 10

Обобщение: серии испытаний — до первого успеха и по схеме Бернулли

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9-031

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Обобщение, контроль» (10 ч), урок 7/10, тип О. Единицы R06.3 «Элементы комбинаторики» (число сочетаний в формуле Бернулли) и R06.4 «Случайные величины и распределения» (число успехов, его распределение и ожидание). Опора: R04 «Испытания Бернулли» (VIS9-013…018) и R05 (VIS9-019…024). Сегодня — система правил и смешанные задачи на серии испытаний.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: до первого успеха) 2,5 · 7 (сводка: формула Бернулли) 3 · 11 (сводка: число успехов) 2,5 · 19 (итоговая сводка) 2. Тип О — теория только сводками.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 10) по 2,5 · образец → сам (сл. 12) 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 5 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 3 сл. 10 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.3 · R06.4

Цели урока

Сегодня вы закрепите

До первого успеха

находить вероятность, что первый успех будет на $k$ -м испытании или не позже него (ПР-5)

Формула Бернулли

считать вероятность ровно $k$ успехов из $n$ с помощью $C_{n}^{k}$ (ПР-2, ПР-5)

«Хотя бы» и «не менее»

переходить к противоположному событию и складывать нужные $P_{n} (k)$ (ПР-5)

Число успехов

составлять распределение числа успехов, находить $E = n p$ (ПР-6)

повторение: VIS9-013…018

Разминка · устно

Степени, сочетания, противоположные события

Посчитайте

$0, 3^{2}$ $0, 09$
$0, 5^{4}$ $0, 0625$
$C_{4}^{2}$ $6$
$1 - 0, 2^{3}$ $0, 992$

Случайные опыты

Стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ . Вероятность промаха $0, 3$
Кубик: $P (не « шестёрка »)$ $\frac{5}{6}$
Монету бросили дважды. $P (два орла)$ $0, 25$
Сколькими способами выбрать $1$ бросок из $5$ ? $C_{5}^{1} = 5$

R06.4

Теория · сводка: серия испытаний до первого успеха

Испытываем, пока не наступит успех

Успех — $p$ , неудача — $q = 1 - p$ ; испытания независимы

Первый успех на $k$ -м: $q^{k - 1} p$

Успех не позже $k$ -го: $1 - q^{k}$

p + qp + \dots + q^{k - 1} p = 1 - q^{k}

— сумма геометрической прогрессии.

2,5 мин · теория
Дерево: из каждой неудачи — снова два исхода. Путь «Н, Н, У» (подсвечен) имеет вероятность q · q · p = q²p — правило умножения для независимых испытаний.
«Не позже k-го» — противоположно «первые k испытаний — неудачи», вероятность которого qᵏ. Проверка через прогрессию с первым членом p и знаменателем q: p(1 − qᵏ)/(1 − q) = 1 − qᵏ, так как 1 − q = p.
Вопрос классу: почему при p = 0 формулы теряют смысл? (Успех никогда не наступит.)

R06.4

Образец → сам · первый успех на $k$ -м испытании

Сначала $k - 1$ неудача, потом успех

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, $p = 0, 6$ . Найдите вероятность, что первое попадание — третьим выстрелом.

$q = 1 - 0, 6 = 0, 4$ вероятность промаха

Н, Н, У: $0, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6$ независимы — умножаем

$= 0, 16 \cdot 0, 6 =$ $0, 096$

Сам

Монету бросают до первого орла. Орёл впервые на $4$ -м броске $\frac{1}{16}$
Кубик бросают до первой «шестёрки». Она впервые на $2$ -м броске $\frac{5}{36}$
Первый успех на $2$ -м испытании — с вероятностью $0, 21$ , $p < 0, 5$ . Найдите $p$ $0, 3$

R06.4

Образец → сам · успех не позже $k$ -го испытания

Через противоположное событие

Образец: баскетболист бросает до первого попадания, но не больше $3$ раз, $p = 0, 8$ . Вероятность, что он попадёт?

$\overline{A}$ : три промаха подряд противоположное

$P (\overline{A}) = 0, 2^{3} = 0, 008$

$P (A) = 1 - 0, 008 =$ $0, 992$

проверка: $0, 8 + 0, 16 + 0, 032 = 0, 992$

Сам

Монету бросают не больше $4$ раз до орла. $P (орёл выпадет)$ $\frac{15}{16}$
$p = 0, 3$ . Вероятность, что понадобится больше $2$ попыток $0, 49$
Сколько раз бросить монету, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 95$ ? $5$

R06.3 · R06.4

Теория · сводка: формула Бернулли

$n = 3$ : ровно два успеха

Каждый путь с $k$ успехами: $p^{k} q^{n - k}$

Таких путей $C_{n}^{k}$ — выбираем места успехов

$P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

$P_{3} (2) = C_{3}^{2} p^{2} q = 3 p^{2} q$

3 мин · теория
Дерево трёх испытаний: 8 путей. Ровно два успеха — пути УУН, УНУ, НУУ (подсвечены), у каждого вероятность p · p · q. Путей три, потому что место единственной неудачи можно выбрать $C_{3}^{2} = C_{3}^{1} = 3$ способами — строка 1, 3, 3, 1 треугольника Паскаля.
Общая формула: P = C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ. Условия серии Бернулли: испытания независимы, в каждом два исхода, вероятность успеха одна и та же.
Вслух: «вверх — успех с вероятностью p, вниз — неудача с вероятностью q»; на каждом уровне так же, подписаны только первые две ветви.

R06.3 · R06.4

Образец → сам · ровно $k$ успехов

Сочетание × вероятность одного пути

Образец: монету бросают $4$ раза. Найдите вероятность, что орёл выпадет ровно $2$ раза.

$n = 4$ , $k = 2$ , $p = q = 0, 5$

$C_{4}^{2} = 6$ места двух орлов

$6 \cdot 0, 5^{2} \cdot 0, 5^{2} = \frac{6}{16} =$ $0, 375$

Сам

$p = 0, 8$ , $3$ выстрела. Ровно $2$ попадания $0, 384$
Кубик бросают $3$ раза. Ровно одна «шестёрка» $\frac{25}{72}$
Монету бросают $5$ раз. Ровно $3$ орла $0, 3125$

R06.4

Образец → сам · «не менее» и «хотя бы один»

Складываем нужные $P_{n} (k)$ или берём дополнение

Образец: $p = 0, 7$ , $3$ выстрела. Вероятность не менее $2$ попаданий?

$P_{3} (2) + P_{3} (3)$ несовместные — складываем

$3 \cdot 0, 49 \cdot 0, 3 = 0, 441$ ; $0, 7^{3} = 0, 343$

$0, 441 + 0, 343 =$ $0, 784$

Сам

$p = 0, 7$ , $3$ выстрела. Хотя бы одно попадание $0, 973$
Монету бросают $4$ раза. Не менее $3$ орлов $\frac{5}{16}$
Монету бросают $5$ раз. Не больше одного орла $\frac{3}{16}$

R06.4

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Примут ли партию?

Образец: брак — $10 %$ . Проверяют $5$ изделий; партию принимают, если бракованных не больше одного. $P (примут)$ ?

$p = 0, 1$ — брак, $q = 0, 9$

$P_{5} (0) = 0, 9^{5} = 0, 59049$

$P_{5} (1) = 5 \cdot 0, 1 \cdot 0, 9^{4} = 0, 32805$

сумма $\approx$ $0, 919$ $0, 91854$

Сам

Тест: $3$ вопроса по $4$ варианта, отвечают наугад. Все верны $\frac{1}{64}$
Тот же тест: хотя бы один верный $\frac{37}{64}$
В семье $3$ ребёнка, $P (девочка) = 0, 5$ . Ровно $2$ девочки $0, 375$

R06.4

Теория · сводка: число успехов — случайная величина

$n = 4$ , $p = 0, 5$ : распределение числа орлов

$X$ — число успехов; значения $0, 1, \dots, n$ , вероятности $P_{n} (k)$

Числители $1, 4, 6, 4, 1$ — строка треугольника Паскаля

$E (X) = n p$ , $D (X) = n pq$

$D = 4 \cdot 0, 5 \cdot 0, 5 = 1$

R06.4

Образец → сам · распределение числа успехов

Таблица, сумма $= 1$ , ожидание

Образец: $n = 3$ , $p = 0, 4$ . Распределение числа успехов $X$ и $E (X)$

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 216$	$0, 432$	$0, 288$	$0, 064$

сумма $= 1$ таблица верна

$E = 0, 432 + 0, 576 + 0, 192 =$ $1, 2$ $= n p$

Сам

$n = 2$ , $p = 0, 5$ : $P (0); P (1); P (2)$ $0, 25; 0, 5; 0, 25$
$n = 10$ , $p = 0, 3$ : $E$ и $D$ $3$ и $2, 1$
$n = 3$ , $p = 0, 4$ : $P (X \geq 1)$ $0, 784$

R06.3 · R06.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли $C_{n}^{k}$ : монету бросают $3$ раза, ровно $2$ орла	$0, 5^{3} = 0, 125$	$3 \cdot 0, 125 = 0, 375$
«хотя бы один» сложением: $3$ броска монеты	$0, 5 \cdot 3 = 1, 5$	$1 - 0, 5^{3} = 0, 875$
первый успех на $3$ -м, $p = 0, 2$ : забыли неудачи	$0, 2^{3} = 0, 008$	$0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 128$
вместо $q$ взяли $p$ : $p = 0, 3$ , $n = 2$ , ровно $1$ успех	$2 \cdot 0, 3 \cdot 0, 3 = 0, 18$	$2 \cdot 0, 3 \cdot 0, 7 = 0, 42$

R06.3 · R06.4

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают $3$ раза. Ровно одна «шестёрка»

$\frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{216}$

не умножили на $C_{3}^{1} = 3$

$3 \cdot \frac{25}{216} = \frac{25}{72}$

б) $p = 0, 9$ , $4$ выстрела. Хотя бы один промах

$0, 1 \cdot 4 = 0, 4$

совместные события сложили

$1 - 0, 9^{4} = 0, 3439$

в) До первого успеха, $p = 0, 25$ . Успех впервые на $4$ -м

$0, 7 5^{4} \approx 0, 316$

четвёртое — успех, а не неудача

$0, 7 5^{3} \cdot 0, 25 = \frac{27}{256}$

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

До первого успеха

$p = 0, 4$ : первый успех на $2$ -м испытании $0, 24$
$p = 0, 5$ : первый успех на $3$ -м $0, 125$
$p = 0, 2$ , не больше $2$ попыток. $P (успех будет)$ $0, 36$

Серия Бернулли

$C_{5}^{2}$ $10$
$n = 3$ , $p = 0, 5$ : ровно $1$ успех $0, 375$
$n = 4$ , $p = 0, 5$ : ровно $4$ успеха $0, 0625$
$n = 20$ , $p = 0, 25$ : $E (X)$ $5$

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Кубик бросают до первой «шестёрки». Найдите вероятность, что понадобится не более $3$ бросков $\frac{91}{216}$
повыш.Монету бросают $6$ раз. Найдите вероятность, что орлов выпадет больше, чем решек $\frac{11}{32}$
из жизниЛампа проработает год с вероятностью $0, 9$ . В люстре $3$ лампы. Вероятность, что через год работают хотя бы $2$ $0, 972$
из жизниСколько раз нужно бросить кубик, чтобы хотя бы одна «шестёрка» выпала с вероятностью больше $0, 5$ ? $4$

R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Независимые испытания в задачах ОГЭ

1. Стрелок $4$ раза стреляет по мишеням. Вероятность попадания при одном выстреле равна $0, 7$ . Найдите вероятность того, что стрелок первые $3$ раза попал, а последний раз промахнулся.

$0, 1029$

2. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

$0, 375$

3. В магазине два платёжных терминала. Каждый неисправен с вероятностью $0, 05$ независимо от другого. Найдите вероятность того, что хотя бы один терминал исправен.

$0, 9975$

Порядок задан («первые три — попал») —

C_{n}^{k}

не нужен: это один путь дерева.

R06.3 · R06.4

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$p = 0, 3$ : первый успех на $2$ -м испытании $0, 21$
Монету бросают $3$ раза. Хотя бы один орёл $0, 875$
$n = 4$ , $p = 0, 5$ : ровно $1$ успех $0, 25$
$n = 3$ , $p = 0, 8$ : ровно $2$ успеха $0, 384$

Вариант 2

$p = 0, 6$ : первый успех на $2$ -м испытании $0, 24$
Кубик бросают $2$ раза. Хотя бы одна «шестёрка» $\frac{11}{36}$
$n = 4$ , $p = 0, 5$ : ровно $3$ успеха $0, 25$
$n = 3$ , $p = 0, 9$ : ровно $2$ успеха $0, 243$

R06.3 · R06.4

Теория · итоговая сводка правил

Серии испытаний на одном слайде

До первого успеха

на $k$ -м: $q^{k - 1} p$
не позже $k$ -го: $1 - q^{k}$
больше $k$ попыток: $q^{k}$

Бернулли

$P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
порядок задан — без $C_{n}^{k}$
«хотя бы один»: $1 - q^{n}$

Число успехов

значения $0 \dots n$
$\sum P_{n} (k) = 1$
$E = n p$ , $D = n pq$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему вероятности испытаний перемножают?
Откуда в формуле Бернулли $C_{n}^{k}$ ?
Когда удобнее противоположное событие?
Чему равно $E$ числа успехов?

Домашнее задание

$p = 0, 1$ : первый успех на $3$ -м испытании
Монету бросают $5$ раз: не менее $2$ орлов
Тренажёры: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm и …/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-031 · Обобщение: серии случайных испытаний

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Обобщение, контроль», 10 ч · урок 7/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.3 «Элементы комбинаторики» → 3, 7–9, 13–17 (число сочетаний $C_{n}^{k}$ в формуле Бернулли, треугольник Паскаля) · R06.4 «Случайные величины и распределения» → 4–6, 9–12, 15–19 · R06.1, R06.2 — на других уроках строки (VIS9-025, 026)
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (серии до первого успеха, серии Бернулли) → 4–10, 13–18 · ПР-2 / REQ-5.2 (комбинаторные правила) → 7–8, 14 · ПР-6 / REQ-5.6 (распределение) → 11–12
Вне урока	дисперсия числа успехов — только формула (подробно VIS9-023, 024); геометрическая вероятность и операции над событиями — другие уроки строки R06
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: серии испытаний — до первого успеха и по схеме Бернулли

Сегодня вы закрепите

До первого успеха

Формула Бернулли

«Хотя бы» и «не менее»

Число успехов

Степени, сочетания, противоположные события

Посчитайте

Случайные опыты

Испытываем, пока не наступит успех

Сначала k−1 неудача, потом успех

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, p=0,6. Найдите вероятность, что первое попадание — третьим выстрелом.

Сам

Через противоположное событие

Образец: баскетболист бросает до первого попадания, но не больше 3 раз, p=0,8. Вероятность, что он попадёт?

Сам

n=3: ровно два успеха

Сочетание × вероятность одного пути

Образец: монету бросают 4 раза. Найдите вероятность, что орёл выпадет ровно 2 раза.

Сам

Складываем нужные Pn​(k) или берём дополнение

Образец: p=0,7, 3 выстрела. Вероятность не менее 2 попаданий?

Сам

Примут ли партию?

Образец: брак — 10%. Проверяют 5 изделий; партию принимают, если бракованных не больше одного. P(примут)?

Сам

n=4, p=0,5: распределение числа орлов

Таблица, сумма =1, ожидание

Образец: n=3, p=0,4. Распределение числа успехов X и E(X)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают 3 раза. Ровно одна «шестёрка»

б) p=0,9, 4 выстрела. Хотя бы один промах

в) До первого успеха, p=0,25. Успех впервые на 4-м

Решите и проверьте

До первого успеха

Серия Бернулли

Подумайте и решите

Независимые испытания в задачах ОГЭ

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Серии испытаний на одном слайде

До первого успеха

Бернулли

Число успехов

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-031 · Обобщение: серии случайных испытаний

Сначала $k - 1$ неудача, потом успех

Образец: стрелок стреляет до первого попадания, $p = 0, 6$ . Найдите вероятность, что первое попадание — третьим выстрелом.

Образец: баскетболист бросает до первого попадания, но не больше $3$ раз, $p = 0, 8$ . Вероятность, что он попадёт?

$n = 3$ : ровно два успеха

Образец: монету бросают $4$ раза. Найдите вероятность, что орёл выпадет ровно $2$ раза.

Складываем нужные $P_{n} (k)$ или берём дополнение

Образец: $p = 0, 7$ , $3$ выстрела. Вероятность не менее $2$ попаданий?

Образец: брак — $10 %$ . Проверяют $5$ изделий; партию принимают, если бракованных не больше одного. $P (примут)$ ?

$n = 4$ , $p = 0, 5$ : распределение числа орлов

Таблица, сумма $= 1$ , ожидание

Образец: $n = 3$ , $p = 0, 4$ . Распределение числа успехов $X$ и $E (X)$

а) Кубик бросают $3$ раза. Ровно одна «шестёрка»

б) $p = 0, 9$ , $4$ выстрела. Хотя бы один промах

в) До первого успеха, $p = 0, 25$ . Успех впервые на $4$ -м