Обобщение, контроль · урок 6 из 10

Вероятности событий: правила, дерево, комбинаторика

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9-030

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Обобщение, контроль» (10 ч), урок 6/10, единицы R06.1 «Представление данных», R06.2 «Описательная статистика», R06.3 «Элементы комбинаторики», R06.4 «Случайные величины и распределения». Тип урока — О (обобщение и систематизация). Этот урок — вероятности событий: операции над событиями (8 класс, VIS9-003), опыты без возвращения, вероятность через сочетания (R06.3), серии испытаний и испытания Бернулли (VIS9-013…018) — по характеристике деятельности строки: «вероятностей объединения и пересечения событий, … в опытах с сериями случайных испытаний».
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (правила на кругах Эйлера, учитель разбирает пример сам) 3 · 6 (дерево опыта без возвращения, учитель разбирает сам) 3 · 8 (вероятность через сочетания) 2,5 · 12 (итоговая сводка: как выбрать правило) 2.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · задача из жизни (сл. 18) 2 · самостоятельная (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Новое по сравнению с VIS9-003 (повторение 8 класса): зависимые события в опыте без возвращения, связь дерева и сочетаний, серии испытаний. Если не успеваете: задание 3 сл. 11 и задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.
Титул: дерево «два шара без возвращения» (сл. 6), подсвечены пути «оба красных» и «оба синих».

R06.3 · R06.4

Цели урока

Сегодня вы обобщите и научитесь

Складывать и умножать

вероятности: $A \cup B$ , $A \cap B$ , $\overline{A}$ , независимые события (ПР-5)

Строить дерево

для опыта без возвращения, где вероятности на ветках меняются (ПР-5)

Считать сочетаниями

число исходов при выборе $k$ предметов из $n$ (ПР-2, ПР-5)

Решать серии

«хотя бы один», первый успех, ровно $k$ успехов из $n$ (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-2 (= REQ-5.2): «Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов». ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями, в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли».
Единицы ФРП: R06.3 «Элементы комбинаторики», R06.4 «Случайные величины и распределения» (распределение числа успехов — сл. 11).

повторение: VIS9-003, VIS9-006, VIS9-015

Разминка · устно

Восемь быстрых вопросов

$P (A) = 0, 3$ . $P (\overline{A})$ ? $0, 7$
$5!$ $120$
$C_{5}^{2}$ $10$
$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}$ $0, 3$

$0, 2^{3}$ $0, 008$
Несовместные $0, 2$ и $0, 5$ : $P (A \cup B)$ ? $0, 7$
Монету бросают $3$ раза. Сколько исходов? $8$
Число из $1$ – $10$ простое. $P$ ? $0, 4$

R06.4

Сводка · операции над событиями и правила

Кубик: $A$ — «чётное», $B$ — «больше $3$ »

$P (A) = P (B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

$A \cap B$ $= {4; 6}$ : $P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$

$= \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ ${2; 4; 5; 6}$

$P (\overline{A}) = 1 - P (A) = \frac{1}{2}$ нечётное: $1, 3, 5$

P (A) \cdot P (B) = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{3}

— события зависимы: умножать нельзя.

3 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
Ω = {1, …, 6}, исходы равновозможны. A = {2, 4, 6}, B = {4, 5, 6}. Пересечение («и») — общая часть кругов {4, 6}: 2/6 = 1/3. Объединение («или») — {2, 4, 5, 6}: прямой подсчёт 4/6 = 2/3 совпадает с формулой сложения (4 и 6 посчитаны дважды — вычитаем пересечение). Противоположное событие — всё вне круга A: {1, 3, 5}.
Проверка независимости: P(A)·P(B) = 1/4, а P(A ∩ B) = 1/3 — не равны, значит A и B зависимы; произведение для них дало бы неверный ответ. Правило умножения P(A ∩ B) = P(A)·P(B) — только для независимых.
Вопрос: какое событие несовместно с A? (Например, «выпало 1» или «нечётное» — круги не пересекаются, тогда P(A ∪ B) = P(A) + P(B).)

R06.4

Образец → сам · формула сложения

«Или» — складываем и вычитаем общее

Образец: из чисел $1$ – $30$ выбирают одно. Найдите вероятность, что оно делится на $2$ или на $5$ .

на $2$ : $15$ , на $5$ : $6$ $30 : 2$ , $30 : 5$

на $2$ и на $5$ : $3$ делятся на $10$

$P = \frac{15 + 6 - 3}{30} = \frac{18}{30} = 0, 6$ формула сложения

Сам

Число из $1$ – $20$ делится на $3$ или на $4$ $0, 5$
$P (A) = 0, 4$ , $P (B) = 0, 5$ , $P (A \cap B) = 0, 2$ . $P (A \cup B)$ ? $0, 7$
$P (A \cup B) = 0, 8$ , $P (A) = 0, 5$ , $P (B) = 0, 6$ . $P (A \cap B)$ ? $0, 3$

R06.4

Сводка · дерево опыта без возвращения

В урне $3$ красных и $2$ синих шара, вынимают два

Шар не вернули: на втором уровне вероятности другие — шаров стало $4$

Вдоль пути — умножаем: $\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$

Одного цвета — складываем пути: $\frac{6}{20} + \frac{2}{20} = 0, 4$

Сумма листьев:

\frac{6 + 6 + 6 + 2}{20} = 1

3 мин · теория (учитель разбирает пример сам)
К — красный, С — синий. Первый шар красный с вероятностью 3/5. Если он красный и его не вернули, осталось 2 красных и 2 синих — поэтому 2/4 и 2/4; если первый синий — осталось 3 красных и 1 синий: 3/4 и 1/4. События «2-й красный» и «1-й красный» зависимы.
Листья: КК 3/5·2/4 = 6/20, КС 3/5·2/4 = 6/20, СК 2/5·3/4 = 6/20, СС 2/5·1/4 = 2/20; сумма 1. Одного цвета: КК + СС = 8/20 = 0,4; разного цвета: 12/20 = 0,6 = 1 − 0,4.
Вопрос: что изменится, если шар вернуть? (Ветки второго уровня станут 3/5 и 2/5, P(одного цвета) = 9/25 + 4/25 = 0,52.)

R06.4

Образец → сам · опыт без возвращения

В коробке $6$ ручек, $2$ из них не пишут

Образец: наугад берут две ручки. Найдите вероятность, что обе пишут.

1-я пишет: $\frac{4}{6}$ $4$ пишущих из $6$

2-я пишет: $\frac{3}{5}$ осталось $3$ из $5$

$P = \frac{4}{6} \cdot \frac{3}{5} = \frac{12}{30} = 0, 4$ вдоль пути

Сам: та же коробка

Ровно одна ручка не пишет $\frac{8}{15}$
Хотя бы одна не пишет $0, 6$
Первую ручку вернули в коробку. Обе пишут? $\frac{4}{9}$

R06.3 · R06.4

Сводка · вероятность через сочетания

$5$ мальчиков, $3$ девочки: выбирают двух дежурных

Порядок не важен — число исходов:

$C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

всех пар: $C_{8}^{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$

обе девочки: $P = \frac{C _{3}^{2}}{C _{8}^{2}} = \frac{3}{28}$

по дереву: $\frac{3}{8} \cdot \frac{2}{7} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$ то же

мальчик и девочка: $\frac{C _{5}^{1} \cdot C _{3}^{1}}{28} = \frac{15}{28}$

2,5 мин · теория
Все пары дежурных равновозможны; пара — неупорядоченный выбор 2 из 8, их C₈² = 28. Благоприятные для «обе девочки» — пары из 3 девочек: C₃² = 3. P = 3/28 ≈ 0,107.
Тот же ответ по дереву без возвращения: первая — девочка 3/8, вторая — девочка 2/7. Два способа — проверка друг друга. «Мальчик и девочка»: правило умножения — 5 способов выбрать мальчика и 3 — девочку: 15 пар, P = 15/28. Обе — мальчики: C₅² = 10, 10/28; сумма 3 + 15 + 10 = 28 ✓.
Вопрос: почему не 8 · 7 = 56 исходов? (Тогда пары считаются упорядоченными — и благоприятных тоже нужно считать 3 · 2 = 6; ответ тот же, но смешивать нельзя — сл. 14.)

R06.3 · R06.4

Образец → сам · выбор без порядка

Благоприятные сочетания : все сочетания

Образец: из $10$ лотерейных билетов $3$ выигрышных. Купили $2$ билета. Найдите вероятность, что выиграл ровно один.

всех пар: $C_{10}^{2} = 45$ $10 \cdot 9 : 2$

благоприятных: $3 \cdot 7 = 21$ выигрышный и пустой

$P = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

Сам: из $4$ девочек и $3$ мальчиков выбирают $3$ человек

Все трое — девочки $\frac{4}{35}$
Ровно две девочки $\frac{18}{35}$
Хотя бы один мальчик $\frac{31}{35}$

R06.4

Образец → сам · «хотя бы один» и первый успех

Серия независимых попыток

Образец: автомат выдаёт приз с вероятностью $0, 3$ . Петя играет $3$ раза. Найдите вероятность хотя бы одного приза.

ни одного: $0, 7^{3} = 0, 343$ три неудачи, умножаем

$P = 1 - 0, 343 = 0, 657$ противоположное

Сам

Монету бросают $4$ раза. Хотя бы один орёл? $0, 9375$
Тот же автомат: первый приз — именно в $3$ -й игре? $0, 147$
Кубик бросают дважды. Хотя бы одна шестёрка? $\frac{11}{36}$

R06.3 · R06.4

Образец → сам · испытания Бернулли

Ровно $k$ успехов из $n$ : $P = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

Образец: тот же автомат, $p = 0, 3$ , $3$ игры. Найдите вероятность ровно двух призов.

$q = 1 - 0, 3 = 0, 7$ неудача

$C_{3}^{2} = 3$ ППН, ПНП, НПП

$P = 3 \cdot 0, 3^{2} \cdot 0, 7 = 0, 189$ каждая цепочка $0, 063$

Сам

Монету бросают $4$ раза. Ровно $2$ орла? $0, 375$
Стрелок, $p = 0, 8$ , $3$ выстрела. Ровно $2$ попадания? $0, 384$
Кубик бросают $3$ раза. Ровно одна шестёрка? $\frac{25}{72}$

R06.3 · R06.4

Теория · итоговая сводка правил

Как выбрать правило по словам задачи

В условии	Правило	Когда можно
«или» $A \cup B$	$P (A) + P (B) - P (A \cap B)$	всегда; без вычитания — если несовместны
«и» $A \cap B$	$P (A) \cdot P (B)$	только независимые; иначе — дерево
«не», «хотя бы один»	$1 - P (ни одного)$	всегда
выбор $k$ из $n$	$\frac{благоприятные сочетания}{C _{n}^{k}}$	порядок не важен, исходы равновозможны
ровно $k$ успехов из $n$	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	независимые испытания, $p$ одно и то же

Проверка ответа:

0 \leq P \leq 1

; сумма по всем листьям дерева равна

1

.

R06.3 · R06.4

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Задача	Неверно	Верно
$P (A) = 0, 6$ , $P (B) = 0, 7$ , $P (A \cap B) = 0, 5$ . $P (A \cup B)$ ?	$0, 6 + 0, 7 = 1, 3$ — больше $1$ !	$0, 6 + 0, 7 - 0, 5 = 0, 8$
$3$ красных и $2$ синих, берут два без возвращения: оба красные	$\frac{3}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0, 36$	$\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0, 3$
монету бросают $3$ раза: хотя бы один орёл	$3 \cdot \frac{1}{2} = 1, 5$	$1 - \frac{1}{8} = 0, 875$
выпало $5$ решек подряд: шестой бросок — орёл?	«теперь почти наверняка»	$0, 5$ — броски независимы

1,5 мин · практика
1) События совместны — общую часть посчитали дважды; ответ больше 1 — сигнал ошибки. 2) Шар не вернули — на втором шаге 2 красных из 4; 0,36 было бы при возвращении. 3) Вероятности «орёл в 1-м, 2-м, 3-м» совместны, их нельзя просто сложить; через противоположное: 1 − (1/2)³ = 7/8. 4) Закон больших чисел говорит о частоте в длинной серии, а не о том, что монета «отдаёт долг»: каждый бросок — 0,5.
Ученики называют, какую ошибку делали на сл. 5–11.

R06.3 · R06.4

Найди ошибку

В группе $6$ мальчиков и $4$ девочки, жребием выбирают двоих

1) Всего пар: $10 \cdot 9 = 90$

2) Мальчик и девочка: $6 \cdot 4 = 24$ пары

3) $P (разного пола) = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}$

4) $P (хотя бы одна девочка) = \frac{4}{10} + \frac{4}{10} = 0, 8$

Исправление

1) порядок не важен: $C_{10}^{2} = 45$

3) $P = \frac{24}{45} = \frac{8}{15}$

4) $1 - \frac{C _{6}^{2}}{C _{10}^{2}} = 1 - \frac{15}{45} = \frac{2}{3}$

2 мин · практика
Шаг 2 верен: пара «мальчик + девочка» — 6 · 4 = 24 неупорядоченные пары. Ошибка в шаге 1: 10 · 9 = 90 — упорядоченные пары (каждая посчитана дважды), а благоприятные — неупорядоченные; смешали два способа. Верно 24/45 = 8/15 ≈ 0,53 (или 48/90 при упорядоченных).
Ошибка в шаге 4: сложили вероятности совместных событий «первая — девочка» и «вторая — девочка», да ещё без учёта того, что после первого выбора осталось 9 человек. Верно через противоположное: оба мальчики — C₆² = 15 пар, 15/45 = 1/3; хотя бы одна девочка — 2/3. Проверка: разного пола 24 + две девочки C₄² = 6 → 30/45 = 2/3 ✓.
Сначала 1 минута поиска в парах, затем открыть исправление по клику.

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Сложение и умножение

Кубик: кратное $3$ или чётное $\frac{2}{3}$
$A, B$ несовместны: $0, 45$ и $0, 35$ . $P (A \cup B)$ $0, 8$
$A, B$ независимы: $0, 6$ и $0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 3$
$P (A \cup B) = 0, 9$ , $P (A) = 0, 6$ , $P (A \cap B) = 0, 3$ . $P (B)$ ? $0, 6$

Выбор и серии

Из карточек $1$ – $5$ берут две: обе чётные $0, 1$
$4$ яблока, $1$ червивое; берут два: червивого нет $0, 5$
Монета $3$ раза: ровно $2$ орла $0, 375$
$p = 0, 9$ , два выстрела: оба мимо $0, 01$

R06.3 · R06.4

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

Два кубика: сумма равна $8$ или выпал дубль $\frac{5}{18}$
$4$ белых и $6$ чёрных шаров, вынимают $3$ : все одного цвета $0, 2$
Сколько раз бросить монету, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 95$ ? Наименьшее число $5$
Биатлонист попадает с $p = 0, 8$ . Из $5$ выстрелов не меньше $4$ попаданий $0, 73728$

R06.4 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичная дробь

1. В фирме такси $20$ машин: $9$ чёрных, $4$ жёлтых, остальные зелёные. На вызов выехала случайная машина. Найдите вероятность того, что приедет жёлтое или зелёное такси. $0, 55$

2. На экзамене $25$ билетов, Серёжа не выучил $3$ из них. Найдите вероятность того, что ему попадётся выученный билет. $0, 88$

3. В случайном эксперименте монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно три раза. $0, 25$

«Или» для несовместных — сложение; «не» —

1 - P

; серия — перебор или

C_{n}^{k}

.

R06.4

Задача из жизни · охранная сигнализация

Два независимых датчика: $0, 9$ и $0, 8$

ни один: $0, 1 \cdot 0, 2 = 0, 02$

хотя бы один: $1 - 0, 02 = 0, 98$

иначе: $0, 9 + 0, 8 - 0, 72 = 0, 98$

Третий датчик

0, 7

:

1 - 0, 1 \cdot 0, 2 \cdot 0, 3 = 0, 994

— надёжнее любого одного.

2 мин · практика
«+» — датчик сработал, «−» — нет. Датчики независимы, на ветках второго уровня те же 0,8 и 0,2. Листья: 0,72; 0,18; 0,08; 0,02 — сумма 1.
Тревога сработает, если сработал хотя бы один: 1 − 0,02 = 0,98. Тот же ответ формулой сложения: P(A ∪ B) = 0,9 + 0,8 − 0,9 · 0,8 = 0,98. Ровно один датчик: 0,18 + 0,08 = 0,26. С третьим датчиком (0,7) отказ всех — 0,1 · 0,2 · 0,3 = 0,006, надёжность 0,994.
Вопрос: почему в реальной системе датчики стараются подключать к разным линиям питания? (Чтобы отказы были независимы — иначе умножать нельзя.)

R06.3 · R06.4

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Число из $1$ – $20$ делится на $4$ или на $5$ $0, 4$
$A, B$ независимы: $0, 7$ и $0, 4$ . $P (A \cap B)$ $0, 28$
$3$ белых и $2$ чёрных шара, берут два: оба белые $0, 3$
$p = 0, 6$ , три испытания: хотя бы один успех $0, 936$

Вариант 2

Число из $1$ – $20$ делится на $2$ или на $3$ $0, 65$
$A, B$ независимы: $0, 9$ и $0, 5$ . $P (A \cap B)$ $0, 45$
$2$ белых и $4$ чёрных шара, берут два: оба чёрные $0, 4$
$p = 0, 5$ , три испытания: хотя бы один успех $0, 875$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда вероятности «или» можно просто сложить?
Почему без возвращения ветки дерева меняются?
Как быстрее найти «хотя бы один»?

Домашнее задание

Из $5$ мальчиков и $5$ девочек выбирают $2$ : разного пола?
$p = 0, 7$ , $4$ выстрела: ровно $3$ попадания?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_veroyatnost-oge.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-030 · Обобщение и систематизация: вероятности событий

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Обобщение, контроль», 10 ч · урок 6/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.3 «Элементы комбинаторики» → 3, 8, 9, 11, 12, 14–17, 19 · R06.4 «Случайные величины и распределения» → 4–7, 10–13, 15–20 (распределение числа успехов — 11) · R06.1, R06.2 — VIS9-025, VIS9-026
Результаты	ПР-2 / REQ-5.2 (комбинаторные правила) → 3, 8, 9, 14–16 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности, серии до первого успеха, испытания Бернулли) → 3–20 · ПР-7 / REQ-5.7 (закон больших чисел) → 13
Вне урока	операции над событиями 8 класса — VIS9-003; сочетания — VIS9-006; испытания Бернулли — VIS9-015, VIS9-018; продолжение обобщения — VIS9-031
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Вероятности событий: правила, дерево, комбинаторика

Сегодня вы обобщите и научитесь

Складывать и умножать

Строить дерево

Считать сочетаниями

Решать серии

Восемь быстрых вопросов

Кубик: A — «чётное», B — «больше 3»

«Или» — складываем и вычитаем общее

Образец: из чисел 1–30 выбирают одно. Найдите вероятность, что оно делится на 2 или на 5.

Сам

В урне 3 красных и 2 синих шара, вынимают два

В коробке 6 ручек, 2 из них не пишут

Образец: наугад берут две ручки. Найдите вероятность, что обе пишут.

Сам: та же коробка

5 мальчиков, 3 девочки: выбирают двух дежурных

Благоприятные сочетания : все сочетания

Образец: из 10 лотерейных билетов 3 выигрышных. Купили 2 билета. Найдите вероятность, что выиграл ровно один.

Сам: из 4 девочек и 3 мальчиков выбирают 3 человек

Серия независимых попыток

Образец: автомат выдаёт приз с вероятностью 0,3. Петя играет 3 раза. Найдите вероятность хотя бы одного приза.

Сам

Ровно k успехов из n: P=Cnk​pkqn−k

Образец: тот же автомат, p=0,3, 3 игры. Найдите вероятность ровно двух призов.

Сам

Как выбрать правило по словам задачи

Неверно → почему → верно

В группе 6 мальчиков и 4 девочки, жребием выбирают двоих

Исправление

Решите и проверьте

Сложение и умножение

Выбор и серии

Подумайте и решите

Ответ — десятичная дробь

Два независимых датчика: 0,9 и 0,8

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-030 · Обобщение и систематизация: вероятности событий

Кубик: $A$ — «чётное», $B$ — «больше $3$ »

Образец: из чисел $1$ – $30$ выбирают одно. Найдите вероятность, что оно делится на $2$ или на $5$ .

В урне $3$ красных и $2$ синих шара, вынимают два

В коробке $6$ ручек, $2$ из них не пишут

$5$ мальчиков, $3$ девочки: выбирают двух дежурных

Образец: из $10$ лотерейных билетов $3$ выигрышных. Купили $2$ билета. Найдите вероятность, что выиграл ровно один.

Сам: из $4$ девочек и $3$ мальчиков выбирают $3$ человек

Образец: автомат выдаёт приз с вероятностью $0, 3$ . Петя играет $3$ раза. Найдите вероятность хотя бы одного приза.

Ровно $k$ успехов из $n$ : $P = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

Образец: тот же автомат, $p = 0, 3$ , $3$ игры. Найдите вероятность ровно двух призов.

В группе $6$ мальчиков и $4$ девочки, жребием выбирают двоих

Два независимых датчика: $0, 9$ и $0, 8$