Обобщение, контроль · урок 3 из 10

Обобщение: элементы комбинаторики

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9-027

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Обобщение, контроль» (10 ч), урок 3/10, тип О. Строка охватывает R06.1 «Представление данных», R06.2 «Описательная статистика», R06.3 «Элементы комбинаторики», R06.4 «Случайные величины и распределения»; сегодня — R06.3 (комбинаторика) и её применение к вероятностям. Опора: VIS9-005…008.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: правило умножения, перестановки) 3,5 · 7 (сводка: сочетания, треугольник Паскаля) 3,5 · 9 (схема выбора формулы) 3. Тип О — теория только сводками.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 10, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4,5 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.3

Цели урока

Сегодня вы закрепите

Правило умножения

считать варианты по шагам и деревом (ПР-2)

Перестановки

$P_{n} = n!$ , перестановки с условием (ПР-2)

Сочетания

$C_{n}^{k}$ и треугольник Паскаля; важен ли порядок (ПР-2)

Вероятность

через число сочетаний и противоположное событие (ПР-5)

1 мин · теория
ПР-2 (= REQ-5.2): «Решать задачи организованным перебором вариантов, а также с использованием комбинаторных правил и методов». ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе в опытах с равновозможными элементарными событиями…». Элементы EL-5.2 «Перестановки и факториал», EL-5.3 «Сочетания и число сочетаний», EL-5.4 «Треугольник Паскаля. Решение задач с использованием комбинаторики».
Сказать классу: главный вопрос урока — какую формулу выбрать; в конце самостоятельная работа.

повторение: VIS9-005…008

Разминка · устно

Факториалы и варианты

Посчитайте

$4!$ $24$
$0!$ $1$
$\frac{6 !}{4 !}$ $30$
$C_{5}^{2}$ $10$

Сколько способов?

$\frac{10 !}{9 !}$ $10$
$3$ рубашки и $4$ брюк — комплектов $12$
$3$ человека на $3$ стула $6$
$C_{8}^{1}$ и $C_{8}^{8}$ $8$ и $1$

R06.3

Теория · сводка: правило умножения и перестановки

Дерево вариантов: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Правило умножения: первый шаг — $m$ способов, второй — $n$ способов при любом первом; вместе — $m \cdot n$

Перестановки $n$ элементов — способы расставить их по $n$ местам: $P_{n} = n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$

$0! = 1$ , $n! = (n - 1)! \cdot n$

$P_{5} = 5! = 120$

3,5 мин · теория
Дерево: три буквы А, Б, В расставляем по трём местам. Первое место — 3 способа, второе — 2 (одна буква занята), третье — 1. Листьев 3 · 2 · 1 = 6: АБВ, АВБ, БАВ, БВА, ВАБ, ВБА. Подсвечен путь Б → В → А (слово БВА).
Правило умножения работает, когда число вариантов на втором шаге не зависит от того, что выбрано на первом (сами варианты могут быть разными — как на дереве).
Вопросы классу: сколькими способами 5 учеников встанут в очередь? (5! = 120.) Почему 0! = 1? (Пустое множество можно «расставить» одним способом; кроме того, 1! = 0! · 1.)

R06.3

Образец → сам · правило умножения

Составляем числа из цифр

Образец

Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр $0, 1, 2, 3, 4$ , если цифры не повторяются?

сотни: $4$ способа $0$ первым быть не может

десятки: $4$ одна цифра занята, $0$ можно

единицы: $3$ заняты две цифры

$4 \cdot 4 \cdot 3 =$ $48$ правило умножения

Сам

Двузначные числа из цифр $1$ – $5$ , цифры могут повторяться $25$
Трёхзначные чётные числа из цифр $1$ – $5$ без повторений $24$
Коды из $4$ цифр от $0$ до $9$ $10000$

R06.3

Образец → сам · перестановки с условием

«Рядом» — склеиваем в блок

Образец

Сколькими способами можно поставить $5$ книг на полку так, чтобы две определённые книги стояли рядом?

блок из двух книг + $3$ книги = $4$ предмета

$P_{4} = 4! = 24$ расставляем предметы

внутри блока $2! = 2$ порядок двух книг

$24 \cdot 2 =$ $48$

Сам

$6$ человек встают в очередь, Аня — первая $120$
$4$ человека садятся в ряд, Аня и Боря рядом $12$
$5$ книг, две определённые не рядом $72$

R06.3

Теория · сводка: сочетания и треугольник Паскаля

Выбираем $k$ из $n$ без учёта порядка

Число сочетаний из $n$ по $k$ : $C_{n}^{k} = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}$

$C_{5}^{2} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 2} = 10$

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ , $C_{n}^{k} = C_{n}^{n - k}$

строка $n$ треугольника: $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, \dots, C_{n}^{n}$ ; $C_{4}^{1} + C_{4}^{2} = C_{5}^{2}$

3,5 мин · теория
Сочетание — выбор k элементов из n, когда порядок выбранных не важен (группа, набор, комиссия). C₅² = 5!/(2! · 3!) = 120/(2 · 6) = 10; удобнее сократить: в числителе k множителей от n вниз, в знаменателе k!.
Треугольник Паскаля: в строке n стоят C_n^0, …, C_n^n (нумерация с нуля). Каждое число — сумма двух над ним: 4 + 6 = 10 (подсвечено). Симметрия строки — это C_n^k = C_n^{n−k}: выбрать 2 из 5 — то же, что выбрать 3, которых не берём.
Вопросы: C₆³? (20, строка 6: 1 6 15 20 15 6 1.) Сумма чисел строки 5? (32 = 2⁵ — число всех подмножеств 5-элементного множества.)

R06.3

Образец → сам · число сочетаний

Выбираем группу

Образец

Из $8$ учеников выбирают $3$ дежурных. Сколькими способами это можно сделать?

порядок не важен все трое — просто дежурные

$C_{8}^{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3}$ три множителя сверху

$= \frac{336}{6} =$ $56$

Сам

$10$ человек пожали руки друг другу. Сколько рукопожатий? $45$
$C_{7}^{5}$ $21$
$6$ точек на окружности. Сколько треугольников с вершинами в них? $20$
$C_{6}^{2}$ по треугольнику Паскаля $15$

R06.3

Теория · сводка: какую формулу выбрать

Два вопроса к задаче

из $5$ выбрать $2$ : с порядком $5 \cdot 4 = 20$ , без порядка $C_{5}^{2} = 10 = 20 : 2!$

3 мин · теория
Первый вопрос: участвуют ли все элементы (очередь, полка, рассадка) — тогда перестановки n!. Второй: если выбираем часть, различаются ли роли/места выбранных. Роли разные (староста и заместитель, 1-е и 2-е место, цифры числа) — правило умножения: n · (n − 1) · … — k множителей. Роли одинаковые (дежурные, команда, набор) — сочетания.
Связь: C_n^k = n(n − 1)…(n − k + 1) / k! — каждую неупорядоченную группу из k можно упорядочить k! способами. 20 : 2 = 10 (сл. 7).
Проверочный вопрос «поменяю двух выбранных местами — получится другой вариант?» Да — порядок важен; нет — не важен.

R06.3

Образец → сам · порядок важен или нет

Одна группа — два вопроса

Образец: в классе $25$ учеников

а) выбрать старосту и его заместителя; б) выбрать двух дежурных.

а) роли разные — порядок важен

$25 \cdot 24 =$ $600$ правило умножения

б) роли одинаковые — не важен

$C_{25}^{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} =$ $300$

Сам

$7$ бегунов: распределить золото, серебро, бронзу $210$
Взять $3$ книги из $7$ в поездку $35$
Флаг из $3$ горизонтальных полос разных цветов, цветов $5$ $60$
Выбрать $2$ пирожных из $6$ разных $15$

R06.3 · вероятность

Образец → сам · вероятность через сочетания

$P (A) = \frac{m}{n}$ : исходы считаем сочетаниями

Образец

В коробке $6$ красных и $4$ синих шара. Наугад берут $3$ . Найдите вероятность того, что красных ровно $2$ .

все исходы: $C_{10}^{3} = 120$

$C_{6}^{2} \cdot C_{4}^{1} = 15 \cdot 4 = 60$ 2 красных и 1 синий

$P = \frac{60}{120} =$ $\frac{1}{2} = 0, 5$

Сам: $5$ мальчиков, $3$ девочки, наугад $2$ дежурных

Обе — девочки $\frac{3}{28}$
Мальчик и девочка $\frac{15}{28}$
Из $10$ билетов $2$ выигрышных, берут $2$ . Оба выигрышные? $\frac{1}{45}$

R06.3 · вероятность

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

«Хотя бы одна» — через противоположное

Образец

В партии $10$ деталей, из них $3$ бракованные. Контролёр берёт наугад $2$ . Найдите вероятность того, что хотя бы одна бракованная.

$\overline{A}$ : обе годные — $C_{7}^{2} = 21$ из $C_{10}^{2} = 45$

$P (\overline{A}) = \frac{21}{45} = \frac{7}{15}$

$P (A) = 1 - \frac{7}{15} =$ $\frac{8}{15}$

Сам

Из $12$ лампочек $2$ перегоревшие; берут $3$ . Хотя бы одна перегоревшая? $\frac{5}{11}$
$6$ учеников (среди них Аня и Боря) случайно встают в очередь. Аня и Боря рядом? $\frac{1}{3}$
Код замка — $3$ цифры от $0$ до $9$ . Угадать с первой попытки? $0, 001$

R06.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
порядок не важен, а считают с порядком	$2$ дежурных из $10$ : $10 \cdot 9 = 90$	$C_{10}^{2} = 45$
сложили вместо умножения	$3$ рубашки, $4$ брюк: $3 + 4 = 7$	$3 \cdot 4 = 12$
«ноль факториал — ноль»	$C_{5}^{5} = \frac{5 !}{5 ! \cdot 0 !}$ — делить на $0$	$0! = 1$ , $C_{5}^{5} = 1$
вероятность больше $1$	$P = \frac{C _{10}^{3}}{C _{6}^{2}} = \frac{120}{15} = 8$	все исходы — в знаменателе: $\frac{15}{120} = \frac{1}{8}$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Два дежурных равноправны: пара (Иванов, Петров) и (Петров, Иванов) — одна и та же; 90 : 2 = 45. 2) Комплект — это пара «рубашка + брюки», выбор по шагам: правило умножения. Сложение — когда выбираем ОДНУ вещь из двух несовместимых групп («рубашку или брюки» — 7 способов).
3) 0! = 1 по определению, иначе формула C_n^n и C_n^0 «ломается». 4) Вероятность всегда от 0 до 1; результат 8 — сигнал, что числитель и знаменатель перепутаны: в знаменателе — число всех исходов (больше благоприятных).

R06.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $4$ человека садятся в ряд; Аня и Боря рядом. Сколько способов?

блок + $2$ человека: $3! = 6$

в блоке ещё $2!$ порядка

$3! \cdot 2! = 12$

б) $6$ мальчиков и $4$ девочки. Выбрать одного мальчика и одну девочку

$6 + 4 = 10$ способов

выбор по шагам — умножаем

$6 \cdot 4 = 24$

в) Из $10$ деталей $3$ бракованные, берут две. Вероятность, что хотя бы одна бракованная?

$\frac{3}{10} + \frac{3}{10} = 0, 6$

события зависимы и совместны

$1 - \frac{C _{7}^{2}}{C _{10}^{2}} = \frac{8}{15}$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Блок «АБ» и «БА» — разные рассадки: 3! · 2! = 12 (как сл. 6, задание 2). б) Пара «мальчик + девочка» выбирается в два шага: 6 · 4 = 24; 10 — это число способов выбрать ОДНОГО человека.
в) Сложили вероятности «первая брак.» и «вторая брак.» — они совместны (обе могут быть бракованными) и зависимы (выбор без возвращения), правило сложения неприменимо. Верно: 1 − 21/45 = 24/45 = 8/15 ≈ 0,533 (сл. 12).

R06.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Вычислите

$5! - 4!$ $96$
$C_{9}^{2}$ $36$
$\frac{8 !}{6 ! \cdot 2 !}$ $28$

Сколько способов?

Расставить $6$ разных книг на полке $720$
Трёхзначные числа из цифр $1, 3, 5, 7$ без повторений $24$
Выбрать $4$ игроков в команду из $9$ $126$
В классе $20$ человек; выбрать старосту и казначея $380$

R06.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько диагоналей у выпуклого десятиугольника? $35$
повыш.Найдите $n$ , если $C_{n}^{2} = 28$ $n = 8$
повыш.Сколько разных «слов» получится, если переставлять буквы слова МАМА? $6$
из жизниВ турнире каждая команда сыграла с каждой один матч, всего $21$ матч. Сколько команд? $7$

2,5 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Отрезков между вершинами C₁₀² = 45, из них 10 — стороны: 45 − 10 = 35. 2) n(n − 1)/2 = 28, n(n − 1) = 56 = 8 · 7, n = 8 (n натуральное, второй корень −7 не подходит).
3) Выбираем 2 места из 4 для букв М (остальные — А): C₄² = 6: ММАА, МАМА, МААМ, АММА, АМАМ, ААММ (перебор подтверждает). Ошибка — ответ 4! = 24: одинаковые буквы при перестановке не дают новых слов.
4) Матч — пара команд: C_n² = 21, n(n − 1) = 42 = 7 · 6, n = 7.

R06.3 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

$0, 375$

2. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон и Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать будет девочка.

$0, 5$

3. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма очков равна $8$ . Ответ округлите до сотых.

$0, 14$

Сначала считаем все равновозможные исходы — правило умножения или

C_{n}^{k}

.

R06.3

Самостоятельная работа · 4,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вычислите $\frac{7 !}{5 !}$ $42$
Сколькими способами $5$ человек могут встать в очередь? $120$
Из $8$ человек выбирают $2$ дежурных. Сколько способов? $28$
$5$ белых и $3$ чёрных шара, наугад берут $2$ . P(оба белые)? $\frac{5}{14}$

Вариант 2

Вычислите $\frac{8 !}{6 !}$ $56$
Сколькими способами можно расставить $4$ вазы на $4$ полки, по одной? $24$
Из $9$ человек выбирают $2$ дежурных. Сколько способов? $36$
$4$ красных и $4$ зелёных яблока, наугад берут $2$ . P(оба красные)? $\frac{3}{14}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда применяют правило умножения?
Чем перестановки отличаются от сочетаний?
Как найти вероятность «хотя бы одного»?

Домашнее задание

Четырёхзначные числа из цифр $0, 1, 2, 3$ без повторений — сколько?
$C_{12}^{3}$ и $C_{12}^{9}$ ; * из $7$ юношей и $5$ девушек наугад $3$ : P(ровно $2$ девушки)
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_kombinatornye-zadachi.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-027 · Обобщение: элементы комбинаторики

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Обобщение, контроль», 10 ч · урок 3/10 · тип О
Единицы → слайды	R06.3 «Элементы комбинаторики» → 2–19 · R06.1 «Представление данных», R06.2 «Описательная статистика» — VIS9-025, VIS9-026 · R06.4 «Случайные величины и распределения» — следующие уроки строки
Результаты	ПР-2 / REQ-5.2 (перебор вариантов, комбинаторные правила) → 3–10, 13–16, 18 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в опытах с равновозможными исходами) → 11, 12, 14, 17, 18
Вне урока	представление данных и описательная статистика — VIS9-025, VIS9-026; вероятности событий, испытания Бернулли, случайные величины — VIS9-028 и далее
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: элементы комбинаторики

Сегодня вы закрепите

Правило умножения

Перестановки

Сочетания

Вероятность

Факториалы и варианты

Посчитайте

Сколько способов?

Дерево вариантов: 3⋅2⋅1=6

Составляем числа из цифр

Образец

Сам

«Рядом» — склеиваем в блок

Образец

Сам

Выбираем k из n без учёта порядка

Выбираем группу

Образец

Сам

Два вопроса к задаче

Одна группа — два вопроса

Образец: в классе 25 учеников

Сам

P(A)=nm​: исходы считаем сочетаниями

Образец

Сам: 5 мальчиков, 3 девочки, наугад 2 дежурных

«Хотя бы одна» — через противоположное

Образец

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 4 человека садятся в ряд; Аня и Боря рядом. Сколько способов?

б) 6 мальчиков и 4 девочки. Выбрать одного мальчика и одну девочку

в) Из 10 деталей 3 бракованные, берут две. Вероятность, что хотя бы одна бракованная?

Решите и проверьте

Вычислите

Сколько способов?

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-027 · Обобщение: элементы комбинаторики

Дерево вариантов: $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Выбираем $k$ из $n$ без учёта порядка

Образец: в классе $25$ учеников

$P (A) = \frac{m}{n}$ : исходы считаем сочетаниями

Сам: $5$ мальчиков, $3$ девочки, наугад $2$ дежурных

а) $4$ человека садятся в ряд; Аня и Боря рядом. Сколько способов?

б) $6$ мальчиков и $4$ девочки. Выбрать одного мальчика и одну девочку

в) Из $10$ деталей $3$ бракованные, берут две. Вероятность, что хотя бы одна бракованная?