Обобщение, контроль · урок 1 из 10

Представление данных: таблицы, диаграммы, графики

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R06 · VIS9-025

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R06 «Обобщение, контроль» (10 ч), урок 1/10, тип О (обобщение и систематизация). Сегодня — единица R06.1 «Представление данных» на материале всего курса 7–9 классов; R06.2 «Описательная статистика», R06.3 «Элементы комбинаторики», R06.4 «Случайные величины и распределения» — уроки VIS9-026…034.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: какую форму выбрать) 3 · 8 (группировка и гистограмма, учитель решает сам) 3,5 · 10 (чтение линейного графика, учитель решает сам) 2 · 19 (итоговая сводка правил) 2. Урок обобщения: теория — только сводки, их показывать целиком.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 6, 7, 9, 11) по 2,5 · от частоты к вероятности (сл. 12) 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 2,5 · самостоятельная (сл. 18) 4 · итог (сл. 20) 1.
Отличие от VIS9-001 (повторение 8 класса в начале года): здесь таблицы с двумя признаками, сгруппированные диаграммы, гистограммы и процентное изменение по графику; связь «частота → вероятность».
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R06.1

Цели урока

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать таблицы

с двумя признаками и итогами, переводить в доли и проценты (ПР-1)

Строить диаграммы

столбиковые и круговые: от чисел к процентам и градусам (ПР-1)

Группировать данные

в интервалы, читать гистограммы и частоты (ПР-1, ПР-4)

Делать выводы

по графикам: изменение в процентах, вероятность по частоте (ПР-1, ПР-5)

1 мин · теория
ПР-1 (= REQ-5.1): «Извлекать и преобразовывать информацию, представленную в различных источниках в виде таблиц, диаграмм, графиков, представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков». ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить частоты значений и частоты события…». ПР-5 (= REQ-5.5): вероятности в опытах с равновозможными исходами — здесь через относительную частоту. Элемент содержания EL-5.1.
Деятельность по ФРП (R06): «Повторять изученное и выстраивать систему знаний. Решать задачи на представление и описание данных».

повторение: доли и проценты

Разминка · устно

Доли, проценты, градусы

Часть и целое

$30 %$ от $60$ $18$
$12$ из $48$ — сколько процентов? $25 %$
Частота $7$ из $20$ — десятичной дробью $0, 35$
$\frac{1}{8}$ круга — сколько градусов? $4 5^{\circ}$

Сектор и изменение

Доля $0, 15$ — угол сектора? $5 4^{\circ}$
Сектор $18 0^{\circ}$ — сколько процентов? $50 %$
Было $40$ , стало $50$ . Рост в процентах? $25 %$
Было $50$ , стало $40$ . Спад в процентах? $20 %$

R06.1

Теория · сводка: формы представления данных

Какой вопрос — такая форма

Таблица — точные значения, итоги по строкам и столбцам

Столбиковая — сравнить величины

Круговая — доли одного целого: $доля \cdot 36 0^{\circ}$

Линейный график — изменение во времени

Гистограмма — сколько значений в каждом интервале

3 мин · теория
Сводка всего курса 7–9 классов. Каждую форму назвать и спросить, на какой вопрос она отвечает лучше всего.
Вопросы классу: «Расходы семьи по статьям» — круговая (части одного бюджета). «Число посетителей музея по кварталам двух лет» — столбиковая с двумя рядами (сравнение). «Температура по дням» — линейный график. «Рост учеников класса» — значений много и они разные, поэтому группируем в интервалы — гистограмма. Чем гистограмма отличается от столбиковой? (Столбики стоят вплотную: по горизонтали — числовая ось, интервалы идут подряд.)
Когда круговая не подходит: если один объект попадает в несколько групп (сумма долей больше 100 %) или нужно сравнить два разных целых.

R06.1

Образец → сам · таблица с двумя признаками

Опрос $50$ девятиклассников: любимый спорт

	футбол	волейбол	плавание	итого
мальчики	$14$	$6$	$10$	$30$
девочки	$2$	$8$	$10$	$20$
итого	$16$	$14$	$20$	$50$

Образец: какая доля всех опрошенных — девочки, выбравшие плавание?

$10$ клетка «девочки × плавание»

$\frac{10}{50} = 0, 2$ = $20 %$ делим на общий итог

Сам

Сколько человек выбрали волейбол? $14$
Какой процент девочек выбрали волейбол? $40 %$
Среди выбравших плавание — какая доля мальчиков? $0, 5$

Сначала решите: от какого итога считаем долю?

R06.1

Образец → сам · столбиковая диаграмма с двумя рядами

Посетители музея по кварталам, тыс. человек

Образец: в каком квартале рост за год наибольший в процентах?

I: $\frac{50 - 40}{40} = 25 %$ III: $\frac{72 - 60}{60} = 20 %$

IV: $\frac{3}{30} = 10 %$ II: спад $50 \to 45$

Ответ: I квартал, $25 %$ не III, хотя $+ 12$ больше

На сколько тысяч больше посетителей в 2026 г.? $20$
Какую долю годового числа 2026 г. дал III квартал? $36 %$
На сколько процентов упало число во II квартале? $10 %$

R06.1

Образец → сам · построение круговой диаграммы

Бюджет семьи за месяц: $60000$ рублей

Образец: продукты — $21000$ р. Угол сектора?

$\frac{21 000}{60 000} = 0, 35$ доля от целого

$0, 35 \cdot 36 0^{\circ}$ = $12 6^{\circ}$ доля · 360°

остальные: $5 4^{\circ}, 3 6^{\circ}, 7 2^{\circ}, 7 2^{\circ}$ сумма $36 0^{\circ}$

Сектор ЖКХ — $5 4^{\circ}$ . Сколько это рублей? $9000$ р.
В другой семье продукты — сектор $9 0^{\circ}$ , это $18000$ р. Весь бюджет? $72000$ р.
Сравните траты на транспорт в двух семьях по их диаграммам — можно ли без сумм? нет

R06.1 · ПР-4

Теория · сводка: группировка данных и гистограмма

Время на дорогу в школу, минут ( $20$ учеников)

$5, 12, 18, 7, 25, 14, 33, 11, 9, 16, 22, 15, 3, 28, 19, 36, 13, 24, 21, 17$

Интервал	$[0; 10)$	$[10; 20)$	$[20; 30)$	$[30; 40)$
Частота	$4$	$9$	$5$	$2$
Отн. ч.	$0, 2$	$0, 45$	$0, 25$	$0, 1$

Интервалы равной ширины; левый конец входит, правый — нет:

20 \in [20; 30)

.

Столбики вплотную; высота — частота. Сумма частот

= 20

.

3,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Значений 20 и почти все разные — таблица частот отдельных значений бесполезна. Группируем по 10 минут. Подсчёт: [0;10): 5, 7, 9, 3 — 4; [10;20): 12, 18, 14, 11, 16, 15, 19, 13, 17 — 9; [20;30): 25, 22, 28, 24, 21 — 5; [30;40): 33, 36 — 2. Всего 4 + 9 + 5 + 2 = 20 ✓.
Относительные частоты: 4/20 = 0,2; 9/20 = 0,45; 5/20 = 0,25; 2/20 = 0,1; сумма 1.
Вопросы: куда отнести значение 20? (В [20;30) — правый конец не входит.) Что теряется при группировке? (Точные значения: по гистограмме нельзя сказать, сколько учеников идут ровно 15 минут.) Какая доля учеников тратит меньше 20 минут? ((4 + 9)/20 = 0,65.)

R06.1 · ПР-4

Образец → сам · чтение гистограммы

Рост учеников двух девятых классов

Образец: какая доля учеников ростом не меньше $165$ см?

$2 + 5 + 8 + 6 + 3 + 1 = 25$ все

$6 + 3 + 1 = 10$ три правых столбика

$\frac{10}{25}$ = $40 %$

Сколько учеников ростом меньше $160$ см? $7$
В каком интервале больше всего учеников? $[160; 165)$
Какой процент — от $155$ до $170$ см? $76 %$

R06.1

Теория · сводка: чтение линейного графика

Температура воздуха в полдень, 1–7 марта

Точка = (день; значение)

наибольшее $5^{\circ}$ , наименьшее $- 4^{\circ}$

размах $5 - (- 4) = 9^{\circ}$

рост: самый крутой подъём $2 \to 3$ : $+ 5^{\circ}$

спад: $6 \to 7$ : $- 3^{\circ}$

среднее $\frac{7}{7} = 1^{\circ}$ сумма : число дней

2 мин · теория (учитель решает пример сам)
Значения: −4, −2, 3, 1, 2, 5, 2 (°C). Шкала по вертикали — шаг 1°, нулевая линия выделена.
Наибольшее 5° (6 марта), наименьшее −4° (1 марта), размах 5 − (−4) = 9°. Изменения по дням: +2, +5, −2, +1, +3, −3: самый крутой подъём — 2→3 марта (+5°, зелёный отрезок), самое сильное понижение — 6→7 марта (−3°, розовый).
Сумма −4 − 2 + 3 + 1 + 2 + 5 + 2 = 7; среднее 7 : 7 = 1°. Выше нуля — 5 дней (3–7 марта).
Чем круче отрезок — тем быстрее меняется величина; горизонтальный отрезок — величина не менялась.

R06.1

Образец → сам · изменение по линейному графику

Расход электроэнергии семьи, кВт·ч

Образец: в каком месяце спад наибольший и на сколько процентов?

$- 20, - 40, - 60, - 20, 0$ разности соседних

март → апрель: $240 \to 180$

$\frac{60}{240}$ = $25 %$ от того, что было

Средний расход за полгода $220$
Сколько месяцев расход был выше среднего? $3$
На сколько процентов меньше расход в мае, чем в апреле? $\approx 11 %$

R06.1 · ПР-5

Образец → сам · от частоты к вероятности

Контроль качества: проверили $500$ деталей

результат	годные	брак: размер	брак: покрытие
деталей	$480$	$8$	$12$

Образец: вероятность, что случайная деталь — с браком

$8 + 12 = 20$ брак любого вида

$P \approx \frac{20}{500}$ = $0, 04$ отн. частота

Сам

Вероятность, что деталь годная $0, 96$
Сколько деталей с браком ожидать в партии из $2000$ ? $\approx 80$
По таблице сл. 5: наугад выбран ученик. $P$ (девочка, волейбол)? $0, 16$

R06.1

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
процент изменения: было $50$ , стало $40$	спад на $25 %$	$\frac{10}{50} = 20 %$ от «было»
сложили проценты разных целых: «5» — $40 %$ из $25$ и $20 %$ из $25$	вместе $60 %$	$\frac{10 + 5}{50} = 30 %$
граница интервала: значение $20$	в $[10; 20)$	в $[20; 30)$
ось не с нуля: столбики $98$ и $99$ , один «вдвое выше»	«в $2$ раза больше»	$\frac{99}{98} \approx 1, 01$ — почти равны

R06.1

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $30$ учеников, театр выбрали $12$ . Угол сектора?

$12 \cdot 3, 6^{\circ} = 43, 2^{\circ}$

$3, 6^{\circ}$ — это $1 %$ , а $12$ — не проценты

$\frac{12}{30} \cdot 36 0^{\circ} = 14 4^{\circ}$

б) Цена $1000$ р. выросла на $20 %$ , потом снизилась на $20 %$

«вернулась к $1000$ р.»

второй раз $20 %$ — от $1200$

$1200 \cdot 0, 8 = 960$ р.

в) Гистограмма сл. 9: ростом не меньше $165$ см

« $6$ учеников»

взял один столбик, а нужны все правее $165$

$6 + 3 + 1 = 10$

R06.1

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Проценты и секторы

$45$ из $150$ — сколько процентов? $30 %$
Сектор $10 8^{\circ}$ — какая доля? $30 %$
Опрошено $80$ человек, $25 %$ ответили «да». Сколько человек? $20$
Было $80$ , стало $92$ . Рост в процентах? $15 %$

Гистограмма: частоты $3, 7, 6, 4$

Сколько всего значений? $20$
Доля последнего интервала $0, 2$
Интервалы $[20; 30)$ и $[30; 40)$ : куда отнести $30$ ? $[30; 40)$

R06.1

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Цену $800$ р. повысили на $25 %$ , затем понизили на $20 %$ . Итоговая цена? $800$ р.
повыш.Секторы трёх ответов опроса относятся как $1 : 2 : 3$ . Угол наибольшего сектора? $18 0^{\circ}$
из жизниВ 9 «А» $25$ учеников, «5» за четверть у $40 %$ ; в 9 «Б» $25$ учеников, у $20 %$ . Какой процент пятёрок в двух классах вместе? $30 %$
из жизниВремя ожидания такси по $40$ заказам: $[0; 5)$ — $12$ , $[5; 10)$ — $20$ , $[10; 15)$ — $6$ , $[15; 20)$ — $2$ мин. Оцените вероятность ждать не меньше $10$ минут. $0, 2$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) 800 · 1,25 = 1000; 1000 · 0,8 = 800 р. (здесь вернулась: 1,25 · 0,8 = 1 — сравните с «Найди ошибку» б).
2) 1 + 2 + 3 = 6 частей; 360° : 6 = 60°; наибольший 3 · 60° = 180°.
3) 25 · 0,4 = 10 и 25 · 0,2 = 5; вместе 15 из 50 = 30 %. Не 60 %: проценты разных целых не складывают. Среднее (40 + 20) : 2 = 30 % совпало только потому, что классы одинаковые; при 30 и 20 учениках так уже нельзя.
4) 6 + 2 = 8 из 40: 8/40 = 0,2.

R06.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность по данным: $P = \frac{m}{N}$

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем $8$ сумок из $160$ имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефекта.

$0, 95$

2. По таблице сл. 5 ( $50$ опрошенных) наугад выбирают одного девятиклассника. Найдите вероятность того, что он выбрал плавание.

$0, 4$

3. По гистограмме сл. 9 ( $25$ учеников) наугад выбирают ученика. Найдите вероятность того, что его рост меньше $160$ см.

$0, 28$

В бланк — десятичная дробь:

0, 28

записывают как 0,28.

R06.1

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$18$ из $72$ — сколько процентов? $25 %$
Сектор $25 %$ — сколько градусов? $9 0^{\circ}$
Было $60$ , стало $75$ . Рост в процентах? $25 %$
Частоты интервалов $5, 8, 4, 3$ . Доля второго? $0, 4$

Вариант 2

$27$ из $90$ — сколько процентов? $30 %$
Сектор $20 %$ — сколько градусов? $7 2^{\circ}$
Было $80$ , стало $60$ . Спад в процентах? $25 %$
Частоты интервалов $6, 9, 3, 2$ . Доля первого? $0, 3$

R06.1

Теория · итоговая сводка правил

Пять правил представления данных

Доля и процент

$доля = \frac{часть}{целое}$ ; процент $= доля \cdot 100 %$ ; сначала выбрать целое (итог)

Круговая диаграмма

угол $= доля \cdot 36 0^{\circ}$ ; $1 % \to 3, 6^{\circ}$ ; сумма углов $36 0^{\circ}$

Изменение в процентах

$\frac{стало - было}{было} \cdot 100 %$ — база «было»

Гистограмма

интервалы равной ширины $[a; b)$ ; высота — частота; сумма частот $= N$

Вероятность по данным:

P \approx \frac{m}{N}

— относительная частота при случайном выборе.

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какую диаграмму выбрать для долей целого?
От чего считают процент изменения?
Чем гистограмма отличается от столбиковой?
Как по таблице оценить вероятность?

Домашнее задание

$40$ учеников: «5» — $14$ , «4» — $18$ , «3» — $8$ . Углы секторов
Сгруппируйте $12, 25, 31, 18, 7, 22, 15, 28, 34, 19$ по интервалам $[0; 10)$ , …, $[30; 40)$ , постройте гистограмму
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_analiz-dannyh.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-025 · Обобщение: представление данных

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R06 «Обобщение, контроль», 10 ч · урок 1/10 · тип О · «Обобщение и систематизация по теме „Обобщение, контроль“»
Единицы → слайды	R06.1 «Представление данных» → 2–20 · R06.2 «Описательная статистика» → мостик (сл. 10, 11, 19), урок VIS9-026 · R06.3 «Элементы комбинаторики», R06.4 «Случайные величины и распределения» → уроки VIS9-027…034
Результаты	ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы, графики) → 3–11, 13–16, 18–19 · ПР-4 / REQ-5.4 (частоты) → 8–9, 12, 15 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятность) → 12, 16–17
Вне урока	описательная статистика (среднее, медиана, дисперсия) — VIS9-026; комбинаторика, испытания Бернулли, случайная величина — VIS9-027…034
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Представление данных: таблицы, диаграммы, графики

Сегодня вы повторите и научитесь

Читать таблицы

Строить диаграммы

Группировать данные

Делать выводы

Доли, проценты, градусы

Часть и целое

Сектор и изменение

Какой вопрос — такая форма

Опрос 50 девятиклассников: любимый спорт

Образец: какая доля всех опрошенных — девочки, выбравшие плавание?

Сам

Посетители музея по кварталам, тыс. человек

Образец: в каком квартале рост за год наибольший в процентах?

Бюджет семьи за месяц: 60000 рублей

Образец: продукты — 21000 р. Угол сектора?

Время на дорогу в школу, минут (20 учеников)

Рост учеников двух девятых классов

Образец: какая доля учеников ростом не меньше 165 см?

Температура воздуха в полдень, 1–7 марта

Расход электроэнергии семьи, кВт·ч

Образец: в каком месяце спад наибольший и на сколько процентов?

Контроль качества: проверили 500 деталей

Образец: вероятность, что случайная деталь — с браком

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 30 учеников, театр выбрали 12. Угол сектора?

б) Цена 1000 р. выросла на 20%, потом снизилась на 20%

в) Гистограмма сл. 9: ростом не меньше 165 см

Решите и проверьте

Проценты и секторы

Гистограмма: частоты 3, 7, 6, 4

Подумайте и решите

Вероятность по данным: P=Nm​

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Пять правил представления данных

Доля и процент

Круговая диаграмма

Изменение в процентах

Гистограмма

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-025 · Обобщение: представление данных

Опрос $50$ девятиклассников: любимый спорт

Бюджет семьи за месяц: $60000$ рублей

Образец: продукты — $21000$ р. Угол сектора?

Время на дорогу в школу, минут ( $20$ учеников)

Образец: какая доля учеников ростом не меньше $165$ см?

Контроль качества: проверили $500$ деталей

а) $30$ учеников, театр выбрали $12$ . Угол сектора?

б) Цена $1000$ р. выросла на $20 %$ , потом снизилась на $20 %$

в) Гистограмма сл. 9: ростом не меньше $165$ см

Гистограмма: частоты $3, 7, 6, 4$

Вероятность по данным: $P = \frac{m}{N}$