Случайная величина · урок 5 из 6

Практикум: случайная величина и распределение

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9-023

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (6 ч), урок 5/6, единицы R05.1 «Случайная величина и распределение вероятностей», R05.2 «Математическое ожидание и дисперсия случайной величины». Тип урока — П (практикум): теория — короткие сводки, основное время — решение задач. Опора — VIS9-019 … VIS9-022.
Хронометраж: Теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %), итого 45 мин.
Теория (12,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: случайная величина и распределение) 3,5 · 7 (сводка: $E (X)$ , $D (X)$ , $σ$ ) 4 · 10 (сводка: число успехов в серии Бернулли) 3.
Практика (32,5 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 18) 5 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — распределение числа орлов при четырёх бросках монеты; пунктир — математическое ожидание $E (X) = 2$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R05.1 · R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Распределение

составлять таблицу распределения перебором исходов и проверять сумму $1$ (ПР-6, ПР-2)

$E (X)$

находить математическое ожидание как теоретическое среднее (ПР-6, ПР-3)

$D (X)$ и $σ$

вычислять дисперсию и стандартное отклонение по таблице (ПР-3)

Из жизни

оценивать лотерею, страховку и серию Бернулли через $E (X)$ (ПР-5, ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6 (= REQ-5.6): «Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей». ПР-3 (= REQ-5.3): «Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания» — у случайной величины это $E (X)$ и $D (X)$ . ПР-2 (= REQ-5.2) — перебор исходов при составлении распределения. ПР-5 (= REQ-5.5) — вероятности в серии Бернулли.
Элементы содержания: EL-5.8 «Случайная величина и распределение вероятностей», EL-5.9 «Математическое ожидание и дисперсия», EL-5.10 «… случайной величины „число успехов в серии испытаний Бернулли“».

повторение: VIS9-019 … VIS9-022

Разминка · устно

Суммы, произведения, квадраты

Вычислите

$0, 2 + 0, 5 + 0, 1$ $0, 8$
$1 - 0, 8$ $0, 2$
$2 \cdot 0, 3 + 5 \cdot 0, 2$ $1, 6$
$(3 - 5)^{2} \cdot 0, 25$ $1$

Найдите

$\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ $1$
$10 \cdot 0, 3$ $3$
$10 \cdot 0, 3 \cdot 0, 7$ $2, 1$
$0, 49$ $0, 7$

R05.1

Теория · сводка: случайная величина и распределение

Значения и их вероятности

Случайная величина $X$ — число, которое зависит от исхода опыта. Пример: число орлов при двух бросках монеты.

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Распределение — все значения и их вероятности; сумма вероятностей

= 1

.

Дискретные: очки, число брака. Непрерывные: рост, вес, время.

3,5 мин · теория
Случайная величина (Высоцкий–Ященко) — величина, значение которой определяется исходом случайного опыта. Каждому элементарному событию сопоставлено число: ОО → 2, ОР → 1, РО → 1, РР → 0.
Распределение вероятностей — таблица «значение → вероятность». Значения несовместны и исчерпывают все исходы, поэтому сумма вероятностей равна 1: $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} = 1$ .
Диаграмма: высота столбика над значением — его вероятность. Вопрос классу: почему столбик над 1 выше? (Значению 1 благоприятствуют два исхода — ОР и РО.)
Дискретная величина принимает отдельные значения (их можно перечислить); непрерывная — любые значения из промежутка (рост, вес, время ожидания). На уроке — только дискретные.

R05.1

Образец → сам · распределение перебором исходов

Составьте таблицу распределения

Образец: монету бросают $3$ раза; $X$ — число орлов

исходов $2^{3} = 8$ , все равновозможны

РРР 0ОРР 1РОР 1РРО 1ООР 2ОРО 2РОО 2ООО 3

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

проверка: $\frac{1 + 3 + 3 + 1}{8}$ = $1$

Сам: составьте распределение

Кубик бросают один раз; $X$ — число шестёрок $0 : \frac{5}{6}$ ; $1 : \frac{1}{6}$
Монету бросают $2$ раза; $X$ — число решек $\frac{1}{4}$ ; $\frac{1}{2}$ ; $\frac{1}{4}$
В коробке $3$ красных и $2$ синих шара, берут $2$ ; $X$ — число красных $0, 1$ ; $0, 6$ ; $0, 3$

R05.1

Образец → сам · пропущенная вероятность и события

Сумма вероятностей равна $1$

Образец: найдите $a$ и $P (X \geq 3)$

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0, 1$	$0, 3$	$a$	$0, 2$

$0, 1 + 0, 3 + a + 0, 2 = 1$ свойство распределения

$a = 1 - 0, 6 = 0, 4$

$X \geq 3$ : значения $3$ и $4$ несовместны

$P (X \geq 3) = 0, 4 + 0, 2$ = $0, 6$

Сам

$X = 0, 1, 2$ с вероятностями $0, 25$ ; $a$ ; $0, 35$ . Найдите $a$ $0, 4$
Там же: $P (X \geq 1)$ $0, 75$
Там же: $P (X \neq = 1)$ $0, 6$
обратная $X = - 1, 0, 1$ с вероятностями $2 a$ ; $a$ ; $a$ . Найдите $a$ $0, 25$

R05.2

Теория · сводка: математическое ожидание и дисперсия

Центр и разброс распределения

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

D (X) = \sum (x_{i} - E)^{2} p_{i}

E (X)

— теоретическое среднее, «точка равновесия»: здесь

E = 2, 7

.

D (X)

— мера разброса,

σ = D

: здесь

D = 0, 81

,

σ = 0, 9

.

4 мин · теория
$\sum (x_{i} - E)^{2} p_{i}$ — краткая запись суммы $(x_{1} - E)^{2} p_{1} + (x_{2} - E)^{2} p_{2} + \dots + (x_{n} - E)^{2} p_{n}$ .
Распределение со сл. 6: $X = 1, 2, 3, 4$ ; $P = 0, 1; 0, 3; 0, 4; 0, 2$ . Учитель считает сам: $E = 0, 1 + 0, 6 + 1, 2 + 0, 8 = 2, 7$ .
$D = (- 1, 7)^{2} \cdot 0, 1 + (- 0, 7)^{2} \cdot 0, 3 + 0, 3^{2} \cdot 0, 4 + 1, 3^{2} \cdot 0, 2 = 0, 289 + 0, 147 + 0, 036 + 0, 338 = 0, 81$ ; $σ = 0, 9$ .
Смысл: если опыт повторять много раз, среднее значение $X$ будет близко к $E (X)$ (закон больших чисел, VIS9-021). Если столбики — грузы на линейке, $E (X)$ — точка, где линейка в равновесии (треугольник на диаграмме).
Дисперсия — среднее квадрата отклонения от $E$ ; аналог дисперсии числового набора из 8 класса. Чем дальше значения от $E$ и чем они вероятнее, тем больше $D$ . Вопрос: может ли $D$ быть отрицательной? (Нет — сумма неотрицательных слагаемых.)

R05.2

Образец → сам · математическое ожидание

Сумма «значение × вероятность»

Образец: $X$ — число очков при броске кубика. Найдите $E (X)$

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$

$E = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6 \cdot \frac{1}{6}$ по определению

$E = \frac{1 + 2 + \dots + 6}{6} = \frac{21}{6}$ общий множитель

$E (X)$ = $3, 5$ такого значения нет — это среднее

Сам: найдите $E (X)$

$X = 0, 1, 2$ ; $P = 0, 25; 0, 5; 0, 25$ $1$
$X = - 2, 0, 3$ ; $P = 0, 3; 0, 5; 0, 2$ $0$
$X = 10, 20, 50$ ; $P = 0, 5; 0, 3; 0, 2$ $21$
обратная $X = 1$ или $x$ ; $P = 0, 6; 0, 4$ ; $E (X) = 3$ . Найдите $x$ $6$

R05.2

Образец → сам · дисперсия и стандартное отклонение

Отклонение → квадрат → умножить на $p$

Образец: $X = 0, 2, 4$ ; $P = 0, 25; 0, 5; 0, 25$ . Найдите $D (X)$ и $σ$

$E = 0 + 1 + 1 = 2$ сначала центр

$x$	$0$	$2$	$4$
$x - E$	$- 2$	$0$	$2$
$(x - E)^{2}$	$4$	$0$	$4$
$\cdot p$	$1$	$0$	$1$

$D = 1 + 0 + 1$ = $2$ сумма нижней строки

$σ = 2 \approx 1, 41$

Сам: найдите $D (X)$

$X = 0, 1$ ; $P = 0, 5; 0, 5$ $0, 25$
$X = - 1, 1$ ; $P = 0, 5; 0, 5$ $1$
$X = 0, 1, 2$ ; $P = 0, 25; 0, 5; 0, 25$ $0, 5$
$X = 1, 2, 3$ ; $P = 0, 2; 0, 6; 0, 2$ $0, 4$

R05.2 · R04.5 (повторение)

Теория · сводка: число успехов в серии Бернулли

$n$ испытаний, вероятность успеха $p$

$X$ — число успехов: $P (X = k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

E (X) = n p

D (X) = n pq

Монета,

n = 4

,

p = 0, 5

:

E = 2

,

D = 1

R05.2

Образец → сам · число успехов: E = np, D = npq

Стрелок, монета, контроль качества

Образец: стрелок ( $p = 0, 8$ ) делает $3$ выстрела; $X$ — число попаданий

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 008$	$0, 096$	$0, 384$	$0, 512$

по таблице: $0, 096 + 0, 768 + 1, 536 = 2, 4$

по формуле: $E = n p = 3 \cdot 0, 8$ = $2, 4$ совпало

$D = n pq = 3 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2$ = $0, 48$

Сам: найдите $E$ и $D$

Монету бросают $10$ раз; $X$ — число орлов $5$ ; $2, 5$
Кубик бросают $12$ раз; $X$ — число шестёрок $2$ ; $\frac{5}{3}$
Брак $5 %$ ; проверили $200$ деталей; $X$ — число бракованных $10$ ; $9, 5$
обратная $n = 20$ , $E (X) = 6$ . Найдите $p$ и $D$ $0, 3$ ; $4, 2$

R05.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: лотерея и страховка

Выгодно ли покупать билет?

Образец: из $1000$ билетов один выигрывает $5000$ ₽, десять — по $500$ ₽. Билет стоит $20$ ₽

$X$ , ₽	$5000$	$500$	$0$
$P$	$0, 001$	$0, 01$	$0, 989$

$E = 5000 \cdot 0, 001 + 500 \cdot 0, 01 = 10$ ₽

$10 - 20 = - 10$ ₽ средний итог на билет

в среднем теряем $10$ ₽ с билета

Сам

Страховой случай — с вероятностью $0, 01$ , выплата $100000$ ₽. Найдите $E$ выплаты $1000$ ₽
Там же полис стоит $1500$ ₽. Средний доход компании с полиса $500$ ₽
Выпала «шестёрка» — получаешь $50$ ₽, иначе платишь $10$ ₽. $E$ выигрыша $0$ ₽

2,5 мин · практика
Образец: $P (5000) = \frac{1}{1000}$ , $P (500) = \frac{10}{1000}$ , $P (0) = \frac{989}{1000}$ ; сумма 1 ✓. $E (X) = 5 + 5 = 10$ ₽, а платим 20 ₽: каждый билет в среднем приносит покупателю $- 10$ ₽, организатору $+ 10$ ₽.
1) $100000 \cdot 0, 01 = 1000$ ₽. 2) $1500 - 1000 = 500$ ₽ — так страховые компании назначают цену полиса. 3) $X = 50$ с $P = \frac{1}{6}$ , $X = - 10$ с $P = \frac{5}{6}$ : $\frac{50}{6} - \frac{50}{6} = 0$ — «честная» игра.
Обсуждение: почему люди всё равно страхуются, если в среднем платят больше? (Страховка защищает от редкой, но очень большой потери — важно не только $E$ , но и разброс.)

R05.1 · R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
$E$ как среднее значений без весов: $X = 0, 1, 10$ ; $P = 0, 5; 0, 4; 0, 1$	$\frac{0 + 1 + 10}{3} \approx 3, 67$	$0 + 0, 4 + 1 = 1, 4$
значения считают равновероятными: число орлов из $2$ бросков	$\frac{1}{3}; \frac{1}{3}; \frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}$
дисперсия без квадратов: $X = 0, 2$ ; $P = 0, 5; 0, 5$	$(- 1) \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 5 = 0$	$1 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 5 = 1$
в серии Бернулли $D = n p$ : $n = 10$ , $p = 0, 3$	$D = 3$	$D = n pq = 2, 1$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) Значение 10 маловероятно, его «вес» 0,1 — нельзя делить на число значений: $E = 0 \cdot 0, 5 + 1 \cdot 0, 4 + 10 \cdot 0, 1 = 1, 4$ . 2) Значения — не исходы: исходов 4 (ОО, ОР, РО, РР), значению 1 благоприятствуют два. 3) Сумма $(x - E) p$ всегда равна 0 — отклонения в обе стороны гасят друг друга; поэтому их возводят в квадрат: $E = 1$ , $D = 1$ . 4) $n p = 3$ — это $E$ , а $D = 10 \cdot 0, 3 \cdot 0, 7 = 2, 1$ .
Сигнал ошибки: $D < 0$ , сумма вероятностей $\neq = 1$ , $E$ вне промежутка от наименьшего до наибольшего значения.

R05.1 · R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $X = 1, 2, 3$ ; $P = 0, 2; 0, 5; 0, 3$ . Найдите $E (X)$

$E = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2$

вероятности не равны — нужны веса

$E = 0, 2 + 1 + 0, 9 = 2, 1$

б) Монету бросают $2$ раза; $X$ — число решек. Распределение?

$P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) = \frac{1}{3}$

исходов $4$ : ОО, ОР, РО, РР

$\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}$

в) $X = 0, 4$ ; $P = 0, 5; 0, 5$ . Найдите $D (X)$

$E = 2$ ;
$D = (0 - 2) \cdot 0, 5 +$
$+ (4 - 2) \cdot 0, 5 = 0$

отклонения надо возвести в квадрат

$D = 4 \cdot 0, 5 + 4 \cdot 0, 5 = 4$ , $σ = 2$

R05.1 · R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

$X = 1, 2, 3$ ; $P = 0, 3; a; 0, 5$

Найдите $a$ $0, 2$
Найдите $E (X)$ $2, 2$
Найдите $P (X < 3)$ $0, 5$

$X = 0, 5$ ; $P = 0, 6; 0, 4$

Найдите $E (X)$ и $D (X)$ $2$ ; $6$

Серии и опыты

Кубик; $X = 1$ , если выпала «шестёрка», иначе $0$ . $E (X)$ $\frac{1}{6}$
Монету бросают $20$ раз. $E$ числа орлов $10$
$n = 50$ , $p = 0, 2$ . $D$ числа успехов $8$

R05.1 · R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Бросают два кубика; $X$ — сумма очков. Найдите $E (X)$ $7$
повыш. $X$ принимает значения $0, 1, 2$ ; $P (X = 1) = 0, 5$ , $E (X) = 1, 2$ . Найдите $P (X = 0)$ $0, 15$
повыш.Из $3$ красных и $2$ синих шаров берут $2$ ; $X$ — число красных. Найдите $E (X)$ $1, 2$
из жизниИгра: платишь $30$ ₽, бросаешь кубик, получаешь $10$ ₽ за каждое очко. Выгодна ли игра игроку? да: в среднем $+ 5$ ₽

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Перебор 36 исходов: сумма всех сумм $252$ , $E = \frac{252}{36} = 7$ (или $3, 5 + 3, 5$ : ожидание суммы равно сумме ожиданий).
2) $P (X = 2) = b$ : $0 \cdot a + 1 \cdot 0, 5 + 2 b = 1, 2$ , $b = 0, 35$ ; $a = 1 - 0, 5 - 0, 35 = 0, 15$ .
3) Распределение со сл. 5: $0, 1; 0, 6; 0, 3$ ; $E = 0, 6 + 0, 6 = 1, 2$ (проверка: $2 \cdot \frac{3}{5} = 1, 2$ — каждый из двух шаров красный с вероятностью $\frac{3}{5}$ ).
4) Выигрыш $10 X$ , $E (10 X) = 10 \cdot 3, 5 = 35$ ₽; итог $35 - 30 = + 5$ ₽ в среднем за игру — игра выгодна игроку (организатор в среднем теряет).

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $4$ или $7$ .

Ответ: $0, 25$

2. В лотерее $500$ билетов, из них $15$ выигрышных. Найдите вероятность того, что купленный билет не выиграет.

Ответ: $0, 97$

3. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Ответ: $0, 375$

Это значения распределений урока: сумма двух кубиков, выигрыш, число орлов.

R05.1 · R05.2

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X = 0, 1, 2$ ; $P = 0, 1; a; 0, 3$ . Найдите $a$ $0, 6$
Для той же $X$ найдите $E (X)$ $1, 2$
$X = 0, 2$ ; $P = 0, 5; 0, 5$ . Найдите $D (X)$ $1$
Монету бросают $8$ раз; $X$ — число орлов. $E$ и $D$ $4$ ; $2$

Вариант 2

$X = 1, 2, 3$ ; $P = 0, 4; 0, 4; a$ . Найдите $a$ $0, 2$
Для той же $X$ найдите $E (X)$ $1, 8$
$X = 1, 5$ ; $P = 0, 5; 0, 5$ . Найдите $D (X)$ $4$
Кубик бросают $30$ раз; $X$ — число шестёрок. $E$ и $D$ $5$ ; $\frac{25}{6}$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое распределение и чему равна сумма вероятностей?
Чем $E (X)$ отличается от среднего значений?
Зачем в дисперсии квадраты?

Домашнее задание

Монету бросают $3$ раза; $X$ — число орлов: найдите $E$ и $D$ по таблице
$200$ билетов: два по $1000$ ₽, десять по $100$ ₽. $E$ выигрыша; $n = 25$ , $p = 0, 4$ : $E$ и $D$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-023 · Практикум: случайная величина

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 6 ч · урок 5/6 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R05.1 «Случайная величина и распределение вероятностей» → 2, 4–6, 13–18 · R05.2 «Математическое ожидание и дисперсия случайной величины» → 2, 7–16, 18 · повторение R04.5 (формула Бернулли) → 10, 11
Результаты	ПР-6 / REQ-5.6 (случайная величина и распределение) → 4–18 · ПР-3 / REQ-5.3 (средние и меры рассеивания) → 7–9, 13–15 · ПР-2 / REQ-5.2 (перебор) → 5, 16 · ПР-5 / REQ-5.5 (серия Бернулли) → 10, 11 · EL-5.8, EL-5.9, EL-5.10
Вне урока	обобщение по R05 и контроль — VIS9-024; непрерывные распределения — только упоминание
Время	теория 12,5 мин · практика 32,5 мин (72 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: случайная величина и распределение

Сегодня вы научитесь

Распределение

E(X)

D(X) и σ

Из жизни

Суммы, произведения, квадраты

Вычислите

Найдите

Значения и их вероятности

Составьте таблицу распределения

Образец: монету бросают 3 раза; X — число орлов

Сам: составьте распределение

Сумма вероятностей равна 1

Образец: найдите a и P(X≥3)

Сам

Центр и разброс распределения

Сумма «значение × вероятность»

Образец: X — число очков при броске кубика. Найдите E(X)

Сам: найдите E(X)

Отклонение → квадрат → умножить на p

Образец: X=0,2,4; P=0,25; 0,5; 0,25. Найдите D(X) и σ

Сам: найдите D(X)

n испытаний, вероятность успеха p

Стрелок, монета, контроль качества

Образец: стрелок (p=0,8) делает 3 выстрела; X — число попаданий

Сам: найдите E и D

Выгодно ли покупать билет?

Образец: из 1000 билетов один выигрывает 5000 ₽, десять — по 500 ₽. Билет стоит 20 ₽

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) X=1,2,3; P=0,2; 0,5; 0,3. Найдите E(X)

б) Монету бросают 2 раза; X — число решек. Распределение?

в) X=0,4; P=0,5; 0,5. Найдите D(X)

Решите и проверьте

X=1,2,3; P=0,3; a; 0,5

X=0,5; P=0,6; 0,4

Серии и опыты

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-023 · Практикум: случайная величина

$E (X)$

$D (X)$ и $σ$

Образец: монету бросают $3$ раза; $X$ — число орлов

Сумма вероятностей равна $1$

Образец: найдите $a$ и $P (X \geq 3)$

Образец: $X$ — число очков при броске кубика. Найдите $E (X)$

Сам: найдите $E (X)$

Отклонение → квадрат → умножить на $p$

Образец: $X = 0, 2, 4$ ; $P = 0, 25; 0, 5; 0, 25$ . Найдите $D (X)$ и $σ$

Сам: найдите $D (X)$

$n$ испытаний, вероятность успеха $p$

Образец: стрелок ( $p = 0, 8$ ) делает $3$ выстрела; $X$ — число попаданий

Сам: найдите $E$ и $D$

Образец: из $1000$ билетов один выигрывает $5000$ ₽, десять — по $500$ ₽. Билет стоит $20$ ₽

а) $X = 1, 2, 3$ ; $P = 0, 2; 0, 5; 0, 3$ . Найдите $E (X)$

б) Монету бросают $2$ раза; $X$ — число решек. Распределение?

в) $X = 0, 4$ ; $P = 0, 5; 0, 5$ . Найдите $D (X)$

$X = 1, 2, 3$ ; $P = 0, 3; a; 0, 5$

$X = 0, 5$ ; $P = 0, 6; 0, 4$