Случайная величина · урок 4 из 6

Применение закона больших чисел

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9-022

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (6 ч), урок 4/6, единица R05.6 «Применение закона больших чисел». Тип урока — Н. Опора: VIS9-021 (закон больших чисел, измерение вероятностей с помощью частот), VIS9-019–020 (математическое ожидание).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (закон больших чисел: частота стабилизируется) 2,5 · 5 (два применения: оценка и прогноз) 2 · 8 (метод отметок, выборка) 2 · 10 (среднее многих опытов и математическое ожидание) 2 · 12 (метод Монте-Карло) 1,5 · 21 (итоговая сводка) 1.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 13) по 2,5 · задача из жизни (сл. 14) 1,5 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2,5 · повышенный уровень (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · самостоятельная работа (сл. 20) 5 · итог и ДЗ (сл. 22) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 18 и сл. 14 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R05.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Оценивать вероятность

по частоте в большой серии: $p \approx \frac{m}{n}$ (ПР-4, ПР-7)

Прогнозировать

число событий в $n$ опытах: $m \approx n p$ (ПР-5, ПР-7)

Оценивать по выборке

численность и долю: метод отметок, опрос (ПР-4, ПР-7)

Считать средний результат

лотерея, страхование, метод Монте-Карло (ПР-6, ПР-7)

1 мин · теория
ПР-7 (= REQ-5.7): представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости и о его роли в природе и обществе. ПР-4 (= REQ-5.4): частоты событий по результатам наблюдений. ПР-5 (= REQ-5.5): вероятности случайных событий. ПР-6 (= REQ-5.6): случайная величина и распределение. Элемент EL-5.11 «Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе».
Сказать классу: на прошлом уроке узнали, что частота «успокаивается» около вероятности; сегодня — как этим пользуются врачи, страховщики, экологи, социологи и программисты.

повторение: VIS9-019…021

Разминка · устно

Частоты, доли, средние

Посчитайте

Событие наступило в $30$ опытах из $200$ . Частота? $0, 15$
Частота $0, 4$ в $50$ опытах. Сколько раз? $20$
$p = 0, 25$ , $n = 400$ : $n p$ $100$
$\frac{x}{1000} = \frac{3}{60}$ $x = 50$

Объясните

$6 %$ от $500$ $30$
$P (брак) = 0, 02$ . $P (не брак)$ ? $0, 98$
$X = 0$ или $10$ , каждое с вероятностью $\frac{1}{2}$ . $E (X)$ ? $5$
$10$ бросков монеты — $7$ орлов. Значит, $P (орёл) = 0, 7$ ? нет, опытов мало

R05.6

Теория · закон больших чисел: частота стабилизируется

Частота орла в $1000$ бросков монеты

Закон больших чисел: при большом $n$ частота $\frac{m}{n}$ близка к вероятности $p$

Опыт	$n$	$m$	$\frac{m}{n}$
Бюффон	$4040$	$2048$	$0, 5069$
Пирсон	$12000$	$6019$	$0, 5016$
Пирсон	$24000$	$12012$	$0, 5005$

Случай — в отдельном опыте, закономерность — в массе опытов.

2,5 мин · теория
Напоминание VIS9-021. График — компьютерное моделирование 1000 бросков (одна реализация): в начале частота скачет (после 10 бросков 0,3, после 100 — 0,41), к 1000 броскам — 0,496 и уже не выходит из коридора 0,45–0,55. Закон Бернулли: чем больше n, тем меньше вероятность, что частота отклонится от p больше чем на заданное число.
Таблица — исторические опыты (Ж. Бюффон, XVIII в.; К. Пирсон, конец XIX в.): 2048/4040 ≈ 0,5069; 6019/12000 ≈ 0,5016; 12012/24000 = 0,5005 (проверено делением).
Вопрос классу: у Пирсона во втором опыте орлов на 12 больше половины, а частота ближе к 0,5, чем у Бюффона с превышением на 28. Почему? (Важна не разность m − n/2, а доля.)

R05.6

Теория · два направления применения

От частоты к вероятности и обратно

1. Оценка вероятности

известны $n$ опытов и $m$ появлений события

$p \approx \frac{m}{n}$

Бюффон: $\frac{2048}{4040} \approx 0, 507$

рождение мальчика $\approx 0, 51$ , брак, всхожесть семян, попадание в цель

2. Прогноз числа событий

известна вероятность $p$ , будет $n$ опытов

$m \approx n p$

кубик, $600$ бросков: $600 \cdot \frac{1}{6} = 100$ «шестёрок»

сколько заказать запчастей, сколько придёт зрителей, сколько выплат

Обе оценки тем надёжнее, чем больше

n

. Это приближения, а не точные равенства.

2 мин · теория
Направление 1 — «частотный метод» измерения вероятности (VIS9-021): вероятность, которую нельзя посчитать по формуле (родится мальчик, деталь окажется бракованной, семя взойдёт), измеряют по статистике. По многолетней статистике доля мальчиков среди новорождённых около 0,51–0,52.
Направление 2 — прогноз: зная p, ожидаем около np появлений события в n опытах (это математическое ожидание числа успехов, VIS9-020). Так планируют склад, страховые выплаты, число мест.
Подчеркнуть знак ≈: при n = 1000 и p = 0,5 обычно выходит от 470 до 530 орлов, а не ровно 500.

R05.6

Образец → сам · оценка вероятности по частоте

Вероятность по статистике: $p \approx m : n$

Образец: из $2000$ проданных чайников $36$ вернули по гарантии. Оцените вероятность, что купленный чайник исправен.

$\frac{36}{2000} = 0, 018$ частота неисправности

$n = 2000$ — много частоте можно доверять

$1 - 0, 018$ = $0, 982$ противоположное

Сам

За год ( $365$ дней) $146$ дней шёл дождь. $P (дождь)$ ? $0, 4$
Из $800$ опрошенных $312$ ездят на метро. Оцените вероятность $0, 39$
Родилось $25600$ детей, мальчиков $13120$ . Оцените $P (девочка)$ $0, 4875$

R05.6

Образец → сам · прогноз числа событий

$m \approx n p$ и обратная задача

Образец: батарейка оказывается бракованной с вероятностью $0, 03$ . Сколько бракованных ожидать в партии из $5000$ ?

$p = 0, 03$ , $n = 5000$ партия большая

$m \approx n p = 5000 \cdot 0, 03$ закон больших чисел

около $150$ штук не ровно, а примерно

Сам

Кубик бросят $600$ раз. Сколько примерно «шестёрок»? $100$
Баскетболист попадает с вероятностью $0, 85$ . Попаданий из $40$ бросков? $34$
Билет выигрывает с вероятностью $0, 02$ . Сколько билетов купить, чтобы ожидать $5$ выигрышей? $250$

R05.6

Теория · выборка: метод отметок

Сколько рыб в озере?

1. Поймали и пометили $K = 12$ рыб, отпустили

2. Новый улов: $n = 18$ , из них с меткой $k = 2$

3. доля в улове ≈ доля в озере: $\frac{k}{n} \approx \frac{K}{N}$

$N \approx \frac{12 \cdot 18}{2} = 108$ (на рисунке $110$ )

2 мин · теория
Метод отметок (повторного отлова) — так экологи оценивают численность рыб, птиц, насекомых. Меченые рыбы перемешиваются с остальными, поэтому улов — случайная выборка: доля меченых в улове (частота) близка к доле меченых в озере (вероятности поймать меченую). Из пропорции 2/18 = 12/N получаем N ≈ 108.
На рисунке всего 110 рыб, из них 12 меченых (сгенерировано кодом), — оценка 108 очень близка. В улове всего 18 рыб — в реальности берут сотни, чтобы оценка была точнее.
Так же работает социологический опрос: доля «за» среди 1500 случайно опрошенных ≈ доля «за» среди всех избирателей (к сл. 9).

R05.6

Образец → сам · оценка по выборке

Доля в выборке ≈ доля во всей совокупности

Образец: в городе $60000$ избирателей. Из $1500$ случайно опрошенных $540$ поддерживают проект. Сколько примерно сторонников в городе?

$\frac{540}{1500} = 0, 36$ доля в выборке

$0, 36 \cdot 60000$ та же доля в городе

около $21600$ человек

Сам

Пометили $50$ карасей. В новом улове $40$ , из них $4$ с меткой. Сколько карасей в пруду? $\approx 500$
Из $500$ проверенных деталей $15$ бракованных. Брака в партии $20000$ ? $\approx 600$
В мешке $20$ шаров. Шар достают и возвращают; из $100$ раз белый — $30$ . Белых шаров? $\approx 6$

R05.6

Теория · среднее многих опытов ≈ математическое ожидание

Лотерея: средний выигрыш на билет

$X$ , руб.	$0$	$100$	$1000$
$P$	$0, 9$	$0, 08$	$0, 02$

$E (X) = 8 + 20 = 28$ руб.

среднее $X$ в $n$ опытах $\approx E (X)$ при большом $n$

Билет за

50

руб.: в среднем

- 22

руб. с билета.

2 мин · теория
X — выигрыш по одному билету. E(X) = 0 · 0,9 + 100 · 0,08 + 1000 · 0,02 = 8 + 20 = 28 руб. (VIS9-019). График — моделирование 2000 билетов: средний выигрыш вначале скачет (крупный выигрыш резко поднимает среднее), потом держится около 28 (после 2000 билетов — 27,25).
Закон больших чисел для средних: среднее значение случайной величины в большом числе независимых опытов близко к её математическому ожиданию. Поэтому E(X) называют теоретическим средним.
Билет стоит 50 руб. — игрок в среднем теряет 50 − 28 = 22 руб. с билета; организатор, продав 10 000 билетов, получит около 220 000 руб. На этом же законе держится страхование (сл. 11).

R05.6

Образец → сам · страхование и лотереи

Средний результат на одного участника

Образец: страховой случай за год — с вероятностью $0, 01$ , выплата $200000$ руб. Взнос $2500$ руб., клиентов $5000$ . Ожидаемая прибыль компании?

$E (выплаты) = 0, 01 \cdot 200000 = 2000$

$2500 - 2000 = 500$ с клиента в среднем

$500 \cdot 5000$ = $2, 5$ млн руб.

Сам

$1000$ билетов: $1$ выигрыш $5000$ руб. и $10$ по $500$ руб. Средний выигрыш на билет? $10$ руб.
Игра: при «шестёрке» платят $50$ руб., участие $10$ руб. Сколько в среднем получит организатор за $600$ игр? $1000$ руб.
Угон — с вероятностью $0, 002$ , выплата $1, 5$ млн руб. Наименьший взнос без убытка в среднем? $3000$ руб.

2,5 мин · практика
Образец: средняя выплата на клиента — математическое ожидание 2000 руб. По закону больших чисел при 5000 клиентах средняя выплата близка к 2000, общая — около 10 млн руб.; взносы 12,5 млн; прибыль ≈ 2,5 млн руб. Одному клиенту страховка «невыгодна в среднем», но защищает от крупной потери.
1) (5000 + 10 · 500)/1000 = 10 000/1000 = 10 руб. 2) Игрок в среднем получает 50 · 1/6 ≈ 8,33 руб., платит 10; организатор получает в среднем 10 − 50/6 = 5/3 руб. за игру, за 600 игр — 1000 руб. (проверено fractions). 3) Взнос не меньше ожидаемой выплаты: 0,002 · 1 500 000 = 3000 руб.

R05.6

Теория · метод Монте-Карло

Случайные точки измеряют площадь

точка — случайная в квадрате $1 \times 1$ ; $P (в четверти круга) = \frac{π}{4}$

частота: $\frac{158}{200} = 0, 79 \approx \frac{π}{4}$

$π \approx 4 \cdot 0, 79 = 3, 16$

$S_{фигуры} \approx S_{квадрата} \cdot \frac{m}{n}$

1,5 мин · теория
Геометрическая вероятность (VIS9-009…012): вероятность попасть в фигуру равна отношению площадей; у четверти круга радиуса 1 площадь π/4. По закону больших чисел частота попаданий ≈ этой вероятности — значит, по частоте можно найти площадь.
На рисунке 200 случайных точек (сгенерированы кодом), в четверти круга 158 (розовые): π ≈ 4 · 158/200 = 3,16. При 10 000 точках обычно получается 3,13–3,15. Так компьютер считает площади сложных фигур и моделирует случайные процессы (метод назван по городу казино Монте-Карло).

R05.6

Образец → сам · Монте-Карло в электронной таблице

$=$ СЛЧИС() — случайное число от $0$ до $1$

C2=ЕСЛИ(A2^2+B2^2<=1;1;0)

	A	B	C
1	x	y	в круге
2	0,41	0,73	1
3	0,92	0,58	0
…	…	…	…
1002	СУММ		787

Образец: $1000$ точек

$\frac{787}{1000} = 0, 787$

$π \approx 4 \cdot 0, 787$

$π \approx$ $3, 148$

Сам

$2000$ точек, в четверти круга $1572$ . Оцените $π$ $3, 144$
Прямоугольник $4 \times 3$ ; в фигуру попали $300$ точек из $1200$ . Площадь фигуры? $\approx 3$
Квадрат со стороной $2$ ; в фигуре $450$ точек из $1000$ . Площадь? $\approx 1, 8$

2,5 мин · практика
Практическая часть R05.6: в A2 и B2 — =СЛЧИС() (координаты случайной точки квадрата), в C2 — =ЕСЛИ(A2^2+B2^2<=1;1;0) (точка в четверти круга x² + y² ≤ 1), протянуть до строки 1001; в C1002 — =СУММ(C2:C1001). F9 пересчитывает таблицу — каждый раз новый результат, но близкий к 785. Образец: 4 · 787/1000 = 3,148.
1) 4 · 1572/2000 = 3,144. 2) 12 · 300/1200 = 3. 3) Площадь квадрата 4: 4 · 450/1000 = 1,8.
Если есть компьютеры — каждый строит таблицу и сообщает своё π; среднее по классу обычно ещё ближе к 3,14 (снова закон больших чисел).

R05.6

Задача из жизни · опоздания автобуса

Стоит ли выходить раньше?

По статистике автопарка из $500$ рейсов $35$ опоздали больше чем на $5$ минут. Вы ездите на этом автобусе $2$ раза в день, $20$ учебных дней в месяц.

Оцените вероятность опоздания рейса $0, 07$
Сколько опозданий ожидать за месяц? $\approx 3$
Какой должна быть вероятность, чтобы ожидать не больше одного опоздания в месяц? $\leq 0, 025$

R05.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Ситуация	Неверно	Верно
решка выпала $5$ раз подряд	«теперь должен выпасть орёл»	$P (орёл) = \frac{1}{2}$ : монета не помнит
$10$ бросков, $7$ орлов	$P (орёл) = 0, 7$	опытов мало, оценке нельзя верить
$10000$ бросков, $5070$ орлов	«должно быть ровно $5000$ »	к $p$ близка частота: $0, 507$
пометили $200$ , в улове $150$ , меток $12$	$N \approx \frac{12 \cdot 150}{200} = 9$	$\frac{12}{150} = \frac{200}{N}$ , $N \approx 2500$

1,5 мин · практика (ученики объясняют, почему неверно)
1) «Ошибка игрока»: броски независимы, после серии решек вероятность орла по-прежнему 1/2. Закон больших чисел не «исправляет» прошлые броски — он говорит о доле при большом n, а прошлые отклонения просто «растворяются».
2) При n = 10 частота 0,7 встречается часто (вероятность 7 и более орлов ≈ 0,17). 3) Закон больших чисел — про частоту, а не про число: отклонение m от n/2 на 70 при 10 000 бросках нормально, частота 0,507 близка к 0,5.
4) Пропорцию перевернули: в озере не может быть 9 рыб, если 200 уже пометили. Проверка здравым смыслом: N больше K. Верно: N = 200 · 150/12 = 2500.

R05.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) В среднем $4$ сумки из $200$ с дефектом. Вероятность купить качественную?

$\frac{4}{200} = 0, 02$

это вероятность дефекта

$\frac{196}{200} = 0, 98$

б) Пометили $30$ птиц. Поймали $60$ , из них $5$ с меткой. Сколько птиц?

$30 + 60 - 5 = 85$

нужна пропорция долей

$\frac{5}{60} = \frac{30}{N}$ , $N \approx 360$

в) Билет $100$ руб., выигрыш $1000$ руб. с вероятностью $0, 05$ .

«в среднем выигрываю $50$ руб. — выгодно»

забыта цена билета

$50 - 100 = - 50$ руб. с билета

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Спрашивают о противоположном событии: (200 − 4)/200 = 0,98. б) Сложение не имеет смысла: многие птицы просто не попались. Доля меченых в улове 5/60 ≈ доле в популяции 30/N: N = 30 · 60/5 = 360. в) Математическое ожидание выигрыша 1000 · 0,05 = 50 руб., но билет стоит 100: средний результат −50 руб.; при многих покупках игрок почти наверняка в убытке.

R05.6

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Частота и прогноз

Кнопку бросили $1200$ раз, остриём вверх — $780$ . Оцените вероятность $0, 65$
$P (дефект) = 0, 04$ . Дефектных в партии $2500$ ? $\approx 100$
Из $250$ опрошенных $90$ смотрят сериал. Доля в городе? $\approx 36 %$

Выборка и среднее

Пометили $40$ рыб; в улове $50$ , меток $4$ . Рыб в озере? $\approx 500$
$1000$ билетов: $5$ по $200$ руб., $50$ по $20$ руб. Средний выигрыш? $2$ руб.
Квадрат площадью $4$ : в фигуре $125$ точек из $500$ . Площадь? $\approx 1$

R05.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Кубик бросили $6000$ раз, «шестёрка» выпала $1400$ раз. Есть ли основания считать кубик неправильным? да: ждали $\approx 1000$
повыш.Монету бросают $10000$ раз. Что вероятнее: «ровно $5000$ орлов» или «от $4900$ до $5100$ орлов»? второе ( $\approx 0, 96$ )
из жизни $2000$ клиентов, страховой случай — $0, 005$ , выплата $300000$ руб., взнос $2000$ руб. Ожидаемая прибыль? $1$ млн руб.
из жизниБилет $50$ руб.; выигрыш $1000$ руб. — $0, 01$ , $100$ руб. — $0, 1$ . Средний результат на билет? $- 30$ руб.

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) Для правильного кубика ожидается 6000/6 = 1000 шестёрок; частота 1400/6000 ≈ 0,233 вместо 0,167. Такое отклонение при 6000 бросках практически невозможно (типичный разброс — несколько десятков), значит кубик, скорее всего, неправильный.
2) P(ровно 5000) ≈ 0,008, P(4900 ≤ m ≤ 5100) ≈ 0,956 (посчитано точно через math.comb). Закон больших чисел гарантирует близость частоты к 0,5, а не точное число.
3) Ожидаемые выплаты 2000 · 0,005 · 300 000 = 3 000 000 руб., взносы 4 000 000 руб., прибыль ≈ 1 000 000 руб. 4) E(выигрыша) = 1000 · 0,01 + 100 · 0,1 = 20 руб.; 20 − 50 = −30 руб.

R05.6 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Вероятность по статистике

1. Фабрика выпускает сумки. В среднем $8$ сумок из $160$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

$0, 95$

2. В среднем из $1500$ садовых насосов, поступивших в продажу, $6$ подтекают. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает.

$0, 996$

3. Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо или не пишет, равна $0, 1$ . Покупатель выбирает одну ручку. Найдите вероятность того, что она пишет хорошо.

$0, 9$

«В среднем

k

из

n

» — это частота, по которой оценена вероятность.

R05.6

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Из $400$ семян взошло $348$ . Оцените вероятность всхожести $0, 87$
Посеяли $1000$ таких семян. Сколько примерно взойдёт? $870$
Пометили $60$ рыб; в улове $80$ , из них $6$ с меткой. Рыб в озере? $\approx 800$
Билет $20$ руб., выигрыш $500$ руб. с вероятностью $0, 02$ . Средний результат на билет? $- 10$ руб.

Вариант 2

Из $600$ деталей $27$ бракованных. Оцените вероятность брака $0, 045$
Сколько бракованных ожидать в партии из $4000$ деталей? $180$
Пометили $45$ птиц; поймали $90$ , из них $9$ с меткой. Птиц всего? $\approx 450$
Билет $30$ руб., выигрыш $1000$ руб. с вероятностью $0, 01$ . Средний результат на билет? $- 20$ руб.

R05.6

Теория · итоговая сводка

Закон больших чисел в работе

Оценка

$p \approx \frac{m}{n}$
$n$ большое

Прогноз

$m \approx n p$
«примерно», не «ровно»

Выборка

$\frac{k}{n} \approx \frac{K}{N}$
выборка случайная

Среднее

среднее $X \approx E (X)$
лотереи, страхование

Монте-Карло

$S \approx S_{кв} \cdot \frac{m}{n}$
$=$ СЛЧИС()

Помнить

монета не помнит
близка частота, а не число

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Как измерить вероятность, которую нельзя посчитать?
Почему страховая компания не разоряется?
Как сосчитать рыб, не вылавливая всех?
Почему после $5$ решек орёл не «обязан» выпасть?

Домашнее задание

Из $1500$ телефонов $21$ с дефектом. Оцените вероятность и число дефектных в партии $30000$
Пометили $80$ рыб; в улове $120$ , меток $8$ . Рыб в озере?
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-022 · Применение закона больших чисел

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 6 ч · урок 4/6 · тип Н
Единицы → слайды	R05.6 «Применение закона больших чисел» → 2–22 (оценка вероятности 4–6, прогноз 5, 7, 14; выборка 8–9; среднее и математическое ожидание 10–11; метод Монте-Карло 12–13)
Результаты	ПР-7 / REQ-5.7 (закон больших чисел, роль в природе и обществе) → 4–21 · ПР-4 / REQ-5.4 (частоты событий) → 3, 6, 9, 17, 19, 20 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности событий) → 6, 19 · ПР-6 / REQ-5.6 (случайная величина) → 10–11
Вне урока	практикум «Случайная величина и распределение вероятностей» — VIS9-023; оценка точности частоты (дисперсия частоты) — не входит в базовый уровень
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Применение закона больших чисел

Сегодня вы научитесь

Оценивать вероятность

Прогнозировать

Оценивать по выборке

Считать средний результат

Частоты, доли, средние

Посчитайте

Объясните

Частота орла в 1000 бросков монеты

От частоты к вероятности и обратно

1. Оценка вероятности

2. Прогноз числа событий

Вероятность по статистике: p≈m:n

Образец: из 2000 проданных чайников 36 вернули по гарантии. Оцените вероятность, что купленный чайник исправен.

Сам

m≈np и обратная задача

Образец: батарейка оказывается бракованной с вероятностью 0,03. Сколько бракованных ожидать в партии из 5000?

Сам

Сколько рыб в озере?

Доля в выборке ≈ доля во всей совокупности

Образец: в городе 60000 избирателей. Из 1500 случайно опрошенных 540 поддерживают проект. Сколько примерно сторонников в городе?

Сам

Лотерея: средний выигрыш на билет

Средний результат на одного участника

Образец: страховой случай за год — с вероятностью 0,01, выплата 200000 руб. Взнос 2500 руб., клиентов 5000. Ожидаемая прибыль компании?

Сам

Случайные точки измеряют площадь

=СЛЧИС() — случайное число от 0 до 1

Образец: 1000 точек

Сам

Стоит ли выходить раньше?

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) В среднем 4 сумки из 200 с дефектом. Вероятность купить качественную?

б) Пометили 30 птиц. Поймали 60, из них 5 с меткой. Сколько птиц?

в) Билет 100 руб., выигрыш 1000 руб. с вероятностью 0,05.

Решите и проверьте

Частота и прогноз

Выборка и среднее

Подумайте и решите

Вероятность по статистике

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Закон больших чисел в работе

Оценка

Прогноз

Выборка

Среднее

Монте-Карло

Помнить

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-022 · Применение закона больших чисел

Частота орла в $1000$ бросков монеты

Вероятность по статистике: $p \approx m : n$

Образец: из $2000$ проданных чайников $36$ вернули по гарантии. Оцените вероятность, что купленный чайник исправен.

$m \approx n p$ и обратная задача

Образец: батарейка оказывается бракованной с вероятностью $0, 03$ . Сколько бракованных ожидать в партии из $5000$ ?

Образец: в городе $60000$ избирателей. Из $1500$ случайно опрошенных $540$ поддерживают проект. Сколько примерно сторонников в городе?

Образец: страховой случай за год — с вероятностью $0, 01$ , выплата $200000$ руб. Взнос $2500$ руб., клиентов $5000$ . Ожидаемая прибыль компании?

$=$ СЛЧИС() — случайное число от $0$ до $1$

Образец: $1000$ точек

а) В среднем $4$ сумки из $200$ с дефектом. Вероятность купить качественную?

б) Пометили $30$ птиц. Поймали $60$ , из них $5$ с меткой. Сколько птиц?

в) Билет $100$ руб., выигрыш $1000$ руб. с вероятностью $0, 05$ .