Случайная величина · урок 3 из 6

Закон больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9-021

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (6 ч), урок 3/6, единицы R05.4 «Понятие о законе больших чисел», R05.5 «Измерение вероятностей с помощью частот». Тип урока — Н. Опора: частота события (курс 7–8 кл.), испытания Бернулли (VIS9-013 — VIS9-018), математическое ожидание и дисперсия (VIS9-019, VIS9-020).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (частота — случайная величина) 2,5 · 6 (закон больших чисел) 3 · 8 (почему частота «садится» на вероятность) 2,5 · 10 (измерение вероятности частотой) 2 · 14 (закон больших чисел — не «закон компенсации») 1,5.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12) по 2 · исследование в классе и в таблице (сл. 13) 3 · типичные ошибки (сл. 15) 1,5 · найди ошибку (сл. 16) 2 · самопроверка, база (сл. 17) 2 · повышенный уровень (сл. 18) 2 · ОГЭ (сл. 19) 2 · задача из жизни (сл. 20) 2 · самостоятельная работа (сл. 21) 3,5 · итог (сл. 22) 1.
На титуле — три настоящих компьютерных серии по 1000 бросков монеты: в начале частоты сильно различаются, к 1000 бросков все три близки к 0,5. Спросите: «Что общего у трёх линий справа?»
К уроку: по монете на пару (сл. 13). Если не успеваете: сл. 20 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.4 · R05.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Находить частоту события

$ν = \frac{m}{n}$ и обратно: $m = ν \cdot n$ (ПР-4)

Понимать закон больших чисел

частота при большом $n$ близка к вероятности (ПР-7)

Оценивать вероятность частотой

когда исходы не равновозможны (ПР-4, ПР-5)

Видеть частоту как случайную величину

$E (ν) = p$ , разброс $pq / n$ (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами проведенных измерений и наблюдений». ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах…». ПР-6 (= REQ-5.6): «Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей». ПР-7 (= REQ-5.7): «Иметь представление о законе больших чисел как о проявлении закономерности в случайной изменчивости и о роли закона больших чисел в природе и обществе».
Элемент содержания EL-5.11 «Понятие о законе больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот. Роль и значение закона больших чисел в природе и обществе». Деятельность по ФРП: «изучать частоту события в повторяющихся случайных опытах как случайную величину», «знакомиться с законом больших чисел (в форме Бернулли)», «решать задачи на измерение вероятностей с помощью частот».

повторение: 8 класс, VIS9-019 — VIS9-020

Разминка · устно

Частота, вероятность, ожидание

Вычислите

$\frac{18}{60}$ десятичной дробью $0, 3$
$0, 25$ в процентах $25 %$
$0, 0025$ $0, 05$
$0, 4 \cdot 0, 6$ $0, 24$

Ответьте

Монету бросили $10$ раз, орёл — $7$ раз. Частота орла? $0, 7$
А вероятность орла? $0, 5$
$E (X)$ для очков на кубике $3, 5$
Бернулли: $n = 600$ , $p = 1/6$ . $E (X) = n p$ $100$

R05.4 · R05.5

Теория · частота события — случайная величина

Каждая серия даёт свою частоту

ν (A) = \frac{m}{n}

n

— число опытов,

m

— сколько раз наступило

A

$0 \leq ν \leq 1$ ; $ν$ в процентах — $ν \cdot 100 %$

Вероятность

P (A)

— число.
Частота

ν

— случайная величина: до опытов она неизвестна.

Серия: $10$ бросков	Орлов $m$	Частота $ν$
1-я	$6$	$0, 6$
2-я	$3$	$0, 3$
3-я	$6$	$0, 6$
4-я	$7$	$0, 7$
5-я	$2$	$0, 2$

При $n = 10$ частота «прыгает» от $0, 2$ до $0, 7$

2,5 мин · теория
Определение (повторяем 7–8 кл.): частота события $A$ в серии из $n$ опытов — отношение $m / n$ , где $m$ — число опытов, в которых $A$ наступило. Частота не меньше $0$ и не больше $1$ .
Таблица — пять компьютерных серий по $10$ бросков монеты (настоящая случайная генерация). Вопрос классу: «Какое значение частоты правильное?» — Никакое: частота зависит от серии, это случайная величина со значениями $0; 0, 1; \dots; 1$ . Число орлов $m$ в серии — это «число успехов» в испытаниях Бернулли, $ν = m / n$ .
Ключевая мысль: вероятность $0, 5$ — характеристика монеты, частота — характеристика конкретной серии опытов.

R05.5 · ПР-4

Образец → сам · частота события

Частота $ν = m : n$ и обратно $m = ν \cdot n$

Образец: кубик бросили $50$ раз, шестёрка выпала $13$ раз. Найдите частоту шестёрки

$n = 50, m = 13$ опыты и «успехи»

$ν = \frac{13}{50} = \frac{26}{100}$ определение частоты

Ответ: $0, 26$ , или $26 %$

Сравним: $P = 1/6 \approx 0, 17$ — серия короткая

Сам

$n = 80$ , $ν = 0, 3$ . Сколько раз наступило событие? $24$
$n = 250$ , $ν = 0, 42$ . Найдите $m$ $105$
Из $200$ деталей $34$ бракованные. Частота годных? $0, 83$

R05.4

Теория · закон больших чисел

При большом $n$ частота близка к вероятности

Закон больших чисел (Я. Бернулли, 1713)

При неограниченном увеличении числа $n$ независимых опытов вероятность того, что частота $ν_{n}$ отличается от $p$ меньше чем на любое заданное $ε$ , стремится к $1$ .

Коротко: $ν_{n} \approx p$ при большом $n$

Это закономерность в среднем: отдельный опыт по-прежнему случаен

3 мин · теория
График: три компьютерные серии по $1000$ бросков монеты, по горизонтали — число бросков (шкала растянута: $1, 10, 100, 1000$ ), по вертикали — частота орла после $n$ бросков. Синяя серия: $ν_{10} = 0, 3$ , $ν_{100} = 0, 41$ , $ν_{1000} = 0, 496$ ; розовая: $0, 8$ ; $0, 59$ ; $0, 509$ ; зелёная: $0, 4$ ; $0, 51$ ; $0, 499$ .
Формулировка Бернулли: для любого $ε > 0$ вероятность $P (∣ ν_{n} - p ∣ < ε) \to 1$ при $n \to \infty$ . Для 9 класса достаточно: «при большом числе опытов частота события, как правило, близка к его вероятности». Слова «как правило» важны: отклонение возможно, но маловероятно.
Вопрос: «Почему все три линии попали в коридор $0, 5 \pm 0, 05$ , хотя начинали по-разному?» Это и есть статистическая устойчивость: случайность каждого броска «гасится» в среднем.

R05.4 · R05.5

Образец → сам · исторические опыты с монетой

Насколько частота отклонилась от $0, 5$ ?

Кто	$n$	Орлов $m$
Ж. Бюффон	$4040$	$2048$
К. Пирсон	$12000$	$6019$
К. Пирсон	$24000$	$12012$

Образец: опыт Бюффона

$ν = \frac{2048}{4040} \approx 0, 507$ частота орла

$∣ ν - 0, 5∣ \approx 0, 007$ отклонение

Сам: опыты Пирсона

Частота при $n = 12000$ (до тысячных) $0, 502$
Частота при $n = 24000$ (до десятитысячных) $0, 5005$
На сколько орлов $m$ отличается от $n /2$ при $n = 24000$ ? на $12$

R05.4 · ПР-6

Теория · почему частота приближается к вероятности

Ожидание частоты — $p$ , разброс падает с ростом $n$

$E (X) = n p, D (X) = n pq \Rightarrow E (ν) = p, D (ν) = \frac{pq}{n}, σ (ν) = \frac{pq}{n}$

2,5 мин · теория
$X$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли: $E (X) = n p$ , $D (X) = n pq$ (VIS9-019, VIS9-020). Частота $ν = X / n$ : при делении величины на $n$ ожидание делится на $n$ , дисперсия — на $n^{2}$ . Отсюда $E (ν) = p$ , $D (ν) = n pq / n^{2} = pq / n$ , стандартное отклонение $σ (ν) = pq / n$ .
Рисунок — распределения частоты орла при $n = 10$ и $n = 100$ (точные вероятности по формуле Бернулли). Розовые столбики — частота от $0, 4$ до $0, 6$ . $n = 10$ : $P = (210 + 252 + 210) /1024 = 0, 656$ ; $n = 100$ : $P \approx 0, 965$ . Проверено python.
Вывод: увеличили $n$ в $100$ раз — $σ$ уменьшилась в $10$ раз ( $0, 158 \to 0, 05$ ). Чтобы уменьшить разброс вдвое, опытов нужно вчетверо больше.

R05.4 · ПР-6

Образец → сам · разброс частоты

Разброс частоты: $σ (ν) = pq / n$

Образец: монету бросают $100$ раз. Найдите $σ (ν)$ для частоты орла

$p = q = 0, 5$ , $pq = 0, 25$ симметричная монета

$D (ν) = \frac{0 , 25}{100} = 0, 0025$ $D (ν) = pq / n$

$σ (ν) = 0, 0025$ корень из дисперсии

Ответ: $0, 05$

Сам

Монета, $n = 10000$ . $σ (ν)$ $0, 005$
$p = 0, 2$ , $n = 400$ . $σ (ν)$ $0, 02$
Во сколько раз увеличить $n$ , чтобы $σ (ν)$ уменьшилась в $3$ раза? в $9$ раз

R05.5

Теория · измерение вероятностей с помощью частот

Нет равновозможных исходов — проводим опыты

Опыт

$P (A)$ неизвестна

→

Повторить

$n$ раз, независимо

→

Сосчитать

$m$ — число «успехов»

→

Оценка

$P (A) \approx ν = \frac{m}{n}$

Где так измеряют	Пример
производство	доля брака по проверенной партии
демография	вероятность рождения мальчика $\approx 0, 51$
спорт, опросы	точность броска игрока, доля «за» среди жителей

2 мин · теория
Классическое определение $P = \frac{благоприятные}{все}$ работает только при равновозможных исходах (монета, кубик). Как узнать вероятность того, что кнопка упадёт остриём вверх, деталь бракованная, игрок попадёт? Закон больших чисел даёт способ: провести много независимых опытов и взять частоту. Это и есть статистическое (частотное) измерение вероятности.
Точность оценки — порядка $σ (ν) = pq / n$ : чем больше опытов, тем точнее (сл. 8).
Демография: по многолетней статистике в России и в мире мальчиков рождается чуть больше половины — около $51 %$ (вероятность $\approx 0, 51 - 0, 52$ ). Это узнали только по частотам.

R05.5 · ПР-4

Образец → сам · оценка вероятности по частоте

Оценили $p$ — сделали прогноз

Образец: из $2000$ проверенных ламп $30$ бракованных. Оцените вероятность брака. Сколько бракованных ожидать в партии из $10000$ ламп?

$P \approx ν = \frac{30}{2000} = 0, 015$ частота брака

$10000 \cdot 0, 015 = 150$ $E (X) = n p$

Ответ: $0, 015$ ; около $150$ ламп

Сам

Баскетболист забросил $68$ штрафных из $80$ . Оцените $P (попадание)$ $0, 85$
Кнопку бросили $1000$ раз, $380$ раз — остриём вверх. $P (на бок)$ ? $\approx 0, 62$
Из $500$ опрошенных $185$ — «за». Сколько «за» ожидать среди $20000$ ? $\approx 7400$

R05.5 · ПР-5

Образец → сам · прогноз и обратная задача

$m \approx p \cdot n$ , отсюда $n \approx m : p$

Образец: частота рождения мальчика $0, 512$ . В роддоме за год $3500$ рождений. Сколько примерно мальчиков?

$p \approx 0, 512$ , $n = 3500$ оценка по статистике

$m \approx 0, 512 \cdot 3500 = 1792$ $m \approx p n$

Ответ: около $1800$ мальчиков

Сам

$P (попадание) = 0, 8$ . Сколько попаданий ожидать в $250$ бросках? $\approx 200$
Частота брака $0, 004$ ; нашли $12$ бракованных. Сколько изделий в партии? $\approx 3000$
При частоте $0, 512$ родилось $1280$ мальчиков. Сколько всего рождений? $\approx 2500$

R05.4 · R05.5 · ПР-4

Исследование · частота в классе и в таблице

Проверим закон больших чисел сами

Пара: бросьте монету $20$ раз, найдите $m$ и $ν$ у всех разные
Сложите $m$ и $n$ всего класса: $ν_{класса} = \frac{\sum m}{\sum n}$ ближе к $0, 5$
В таблице: столбец C на строке $1001$ и F9 пять раз $0, 47 - 0, 53$
Оцените $σ (ν)$ при $n = 20$ и $n = 1000$ $\approx 0, 11$ и $\approx 0, 016$

3 мин · практика (1,5 мин броски в парах, 1,5 мин — сводка на доске)
1) Каждая пара записывает $m$ и $ν = m /20$ на доску. Частоты пар разбросаны (от $0, 3$ до $0, 7$ — нормально, $σ \approx 0, 11$ ). 2) Общая частота класса: при $12$ парах $n = 240$ , $σ \approx 0, 032$ — она почти наверняка ближе к $0, 5$ , чем у большинства пар. Если вдруг нет — обсудить «как правило» из закона.
3) Электронная таблица: B2 $=$ ЕСЛИ(СЛЧИС()$\lt$0,5;1;0) — орёл/решка, C2 $=$ СРЗНАЧ($B$2:B2) — накопленная частота (среднее нулей и единиц $=$ доля единиц). Протянуть до строки $1001$ . F9 — пересчёт: значения при $n = 1000$ почти всегда в пределах $0, 5 \pm 0, 05$ (за $\pm 3 σ \approx 0, 047$ выходит менее $1 %$ серий). На рисунке — пример (зелёная серия со сл. 6): $ν_{100} = 0, 51$ , $ν_{1000} = 0, 499$ .
4) $0, 25/20 \approx 0, 112$ ; $0, 25/1000 \approx 0, 0158$ . Без компьютеров: задание 3 показывает учитель со своего экрана. Проверено python.

R05.4 · ПР-7

Теория · что закон больших чисел НЕ утверждает

Монета не «помнит» прошлые броски

$n$	Орлов $m$	$m - \frac{n}{2}$	$ν$
$10$	$6$	$1$	$0, 6$
$100$	$54$	$4$	$0, 54$
$10000$	$5070$	$70$	$0, 507$

Разница в штуках может расти — близка к $p$ доля

После $5$ орлов подряд $P (решка) = 0, 5$ — броски независимы

Закон работает в страховании, в физике газов, в опросах — там, где опытов очень много

1,5 мин · теория
Таблица — одна условная серия. Отклонение числа орлов от половины обычно растёт (порядка $n /2$ : $\approx 1, 6$ ; $5$ ; $50$ ), а отклонение частоты падает (порядка $1/ (2 n)$ ). Закон больших чисел говорит о частоте, а не о числе орлов.
«Ошибка игрока»: «долго не было решки — значит, сейчас точно будет». Неверно: следующий бросок не зависит от прошлых, вероятность решки $0, 5$ . Частота возвращается к $0, 5$ не потому, что решки «догоняют», а потому, что старые броски «тонут» среди новых.
Роль закона (ПР-7): страховые компании и банки считают средние потери по тысячам клиентов; давление газа — среднее от ударов огромного числа молекул; социологи по опросу $1, 5 - 2$ тыс. человек оценивают мнение миллионов. Подробнее — следующий урок (VIS9-022).

R05.4 · R05.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
«должна выпасть решка»	$5$ орлов подряд → $P (решка) > 0, 5$	броски независимы: $0, 5$
закон о числе, а не о доле	$1000$ бросков → ровно $500$ орлов	$ν \approx 0, 5$ ; $P (m = 500) \approx 0, 025$
мало опытов	$3$ из $10$ → точно $P = 0, 3$	лишь оценка: $σ \approx 0, 14$
делят на неудачи	$30$ брак, $970$ годных: $\frac{30}{970}$	$ν = \frac{30}{1000} = 0, 03$

R05.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кнопку бросили $400$ раз, $160$ раз — остриём вверх. Оцените $P (на бок)$

$P \approx \frac{160}{400} = 0, 4$

$160$ — это «остриём вверх»

$\frac{400 - 160}{400} = 0, 6$

б) Стрелок попал $45$ раз из $50$ . Частота промахов?

$ν = \frac{5}{45} \approx 0, 11$

делят на число всех выстрелов

$ν = \frac{5}{50} = 0, 1$

в) Частота брака $0, 02$ . Сколько бракованных ожидать в партии из $3000$ ?

$\frac{3000}{0 , 02} = 150000$

больше всей партии! надо умножать

$3000 \cdot 0, 02 = 60$

R05.4 · R05.5

Задания с самопроверкой · база

Частота, прогноз, разброс

Найдите

$250$ бросков кубика, шестёрка — $40$ раз. $ν$ ? $0, 16$
$ν = 0, 35$ , $n = 200$ . Найдите $m$ $70$
$48$ бракованных из $1200$ . $ν$ в процентах $4 %$
$σ (ν)$ : монета, $n = 2500$ $0, 01$

Ответьте

Монету бросят $400$ раз. Сколько орлов примерно? около $200$
Частота попаданий $0, 7$ . Попаданий из $60$ ? $\approx 42$
Верно ли: при $n = 10000$ частота орла всегда равна $0, 5$ ? нет, лишь близка

R05.4 · R05.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Сколько бросков монеты нужно, чтобы $σ (ν) \leq 0, 01$ ? $n \geq 2500$
повыш.После $200$ бросков $ν = 0, 46$ . Ещё $300$ бросков дали $162$ орла. Частота за все $500$ ? $0, 508$
из жизниЗа год $150$ из $10000$ застрахованных машин попали в ДТП, выплата — $200000$ ₽. Каким должен быть взнос, чтобы в среднем покрыть выплаты? $3000$ ₽
повыш.Почему частоту по двум сериям нельзя считать как среднее $ν_{1}$ и $ν_{2}$ , если $n_{1} \neq = n_{2}$ ? веса $n_{1}$ и $n_{2}$

R05.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

«В среднем из …» — это частота

1. В среднем из $1000$ садовых насосов, поступивших в продажу, $5$ подтекают. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос не подтекает.

$0, 995$

2. В среднем из $150$ карманных фонариков, поступивших в продажу, три неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу фонарик исправен.

$0, 98$

3. Фабрика выпускает сумки. В среднем $8$ сумок из $100$ имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

$0, 92$

Вероятность здесь измерена частотой:

P \approx m / n

. В бланк — 0,995.

R05.4 · R05.5 · ПР-7

Задача из жизни · социологический опрос

Опросили $2500$ жителей: $1100$ — за новый парк

Оцените долю сторонников парка в городе $0, 44$
Найдите $σ (ν)$ для такого опроса $\approx 0, 01$
В городе $300000$ жителей. Сколько примерно «за»? $\approx 132000$
Какой будет $σ (ν)$ , если опросить только $25$ человек? $\approx 0, 1$

Вывод: опрос нескольких тысяч человек даёт долю с точностью до

1 - 2 %

— если люди выбраны случайно.

R05.4 · R05.5

Самостоятельная работа · 3,5 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$300$ бросков кубика, « $1$ » — $45$ раз. $ν$ ? $0, 15$
Частота брака $0, 03$ . Бракованных в партии из $2000$ ? $\approx 60$
$σ (ν)$ : монета, $n = 400$ $0, 025$
В среднем из $200$ ручек $4$ не пишут. $P (пишет)$ $0, 98$

Вариант 2

$400$ бросков кнопки, остриём вверх — $140$ . $ν$ ? $0, 35$
Частота попаданий $0, 9$ . Попаданий из $150$ ? $\approx 135$
$σ (ν)$ : монета, $n = 1600$ $0, 0125$
В среднем из $500$ насосов $15$ подтекают. $P (не подтекает)$ $0, 97$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Чем частота отличается от вероятности?
Что утверждает закон больших чисел?
Как измерить вероятность, если исходы не равновозможны?
Почему «решка не обязана выпасть»?

Домашнее задание

$50$ бросков монеты: частота после $10, 20, \dots, 50$ бросков — в таблицу
Из $800$ семян взошло $736$ . Оцените $P (всхожесть)$ и число ростков из $5000$ семян
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_dispersiya-i-zakon.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-021 · Закон больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 6 ч · урок 3/6 · тип Н
Единицы → слайды	R05.4 «Понятие о законе больших чисел» → 1, 2, 4, 6–9, 13–15, 17, 18, 20, 21 · R05.5 «Измерение вероятностей с помощью частот» → 2, 4, 5, 10–13, 15–21
Результаты	ПР-4 / REQ-5.4 (частоты по результатам наблюдений) → 3–5, 7, 11, 13, 16, 17, 21 · ПР-7 / REQ-5.7 (закон больших чисел, роль в природе и обществе) → 6, 7, 14, 15, 20 · ПР-6 / REQ-5.6 (случайная величина) → 4, 8, 9 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности) → 10–12, 19
Вне урока	применение закона больших чисел (страхование, лотереи, Монте-Карло) — VIS9-022; строгая формулировка через неравенство Чебышёва — за рамками ФРП
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Закон больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот

Сегодня вы научитесь

Находить частоту события

Понимать закон больших чисел

Оценивать вероятность частотой

Видеть частоту как случайную величину

Частота, вероятность, ожидание

Вычислите

Ответьте

Каждая серия даёт свою частоту

Частота ν=m:n и обратно m=ν⋅n

Образец: кубик бросили 50 раз, шестёрка выпала 13 раз. Найдите частоту шестёрки

Сам

При большом n частота близка к вероятности

Закон больших чисел (Я. Бернулли, 1713)

Насколько частота отклонилась от 0,5?

Образец: опыт Бюффона

Сам: опыты Пирсона

Ожидание частоты — p, разброс падает с ростом n

Разброс частоты: σ(ν)=pq/n​

Образец: монету бросают 100 раз. Найдите σ(ν) для частоты орла

Сам

Нет равновозможных исходов — проводим опыты

Опыт

Повторить

Сосчитать

Оценка

Оценили p — сделали прогноз

Образец: из 2000 проверенных ламп 30 бракованных. Оцените вероятность брака. Сколько бракованных ожидать в партии из 10000 ламп?

Сам

m≈p⋅n, отсюда n≈m:p

Образец: частота рождения мальчика 0,512. В роддоме за год 3500 рождений. Сколько примерно мальчиков?

Сам

Проверим закон больших чисел сами

Монета не «помнит» прошлые броски

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кнопку бросили 400 раз, 160 раз — остриём вверх. Оцените P(на бок)

б) Стрелок попал 45 раз из 50. Частота промахов?

в) Частота брака 0,02. Сколько бракованных ожидать в партии из 3000?

Частота, прогноз, разброс

Найдите

Ответьте

Подумайте и решите

«В среднем из …» — это частота

Опросили 2500 жителей: 1100 — за новый парк

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-021 · Закон больших чисел. Измерение вероятностей с помощью частот

Частота $ν = m : n$ и обратно $m = ν \cdot n$

Образец: кубик бросили $50$ раз, шестёрка выпала $13$ раз. Найдите частоту шестёрки

При большом $n$ частота близка к вероятности

Насколько частота отклонилась от $0, 5$ ?

Ожидание частоты — $p$ , разброс падает с ростом $n$

Разброс частоты: $σ (ν) = pq / n$

Образец: монету бросают $100$ раз. Найдите $σ (ν)$ для частоты орла

Оценили $p$ — сделали прогноз

Образец: из $2000$ проверенных ламп $30$ бракованных. Оцените вероятность брака. Сколько бракованных ожидать в партии из $10000$ ламп?

$m \approx p \cdot n$ , отсюда $n \approx m : p$

Образец: частота рождения мальчика $0, 512$ . В роддоме за год $3500$ рождений. Сколько примерно мальчиков?

а) Кнопку бросили $400$ раз, $160$ раз — остриём вверх. Оцените $P (на бок)$

б) Стрелок попал $45$ раз из $50$ . Частота промахов?

в) Частота брака $0, 02$ . Сколько бракованных ожидать в партии из $3000$ ?

Опросили $2500$ жителей: $1100$ — за новый парк