Случайная величина · урок 2 из 6

Математическое ожидание как теоретическое среднее

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9-020

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (6 ч), урок 2/6, единица R05.3 «Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины». Тип урока — Н. Опора — VIS9-019 (случайная величина, распределение, $E (X)$ и $D (X)$ ) и R04 (испытания Бернулли).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (ожидание — теоретическое среднее) 3 · 6 (примеры распределений, $E = n p$ ) 3 · 8 (лотереи и игры) 2,5 · 10 (страхование) 2,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 11, 12, 13) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 2,5 · повышенный уровень (сл. 17) 2 · ОГЭ (сл. 18) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — распределение $X$ : значения 1, 2, 3, 4 с вероятностями 0,1; 0,2; 0,3; 0,4. Если столбики — грузы на линейке, она уравновешена в точке $E (X) = 3$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.3

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Смысл $E (X)$

объяснять ожидание как среднее значение величины при многих повторениях опыта (ПР-6)

Вычисление

находить $E (X)$ по распределению и для числа успехов: $E = n p$ (ПР-5, ПР-6)

Лотереи и страховка

оценивать средний выигрыш, справедливую цену игры и доход страховщика (ПР-6)

Обратные задачи

находить неизвестное значение или вероятность по заданному $E (X)$ (ПР-3, ПР-6)

1 мин · теория
ПР-6 (= REQ-5.6): «Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей». ПР-5 (= REQ-5.5): вероятности в сериях испытаний Бернулли. ПР-3 (= REQ-5.3): «Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения…» — ожидание как аналог среднего. Элемент содержания EL-5.9 «Математическое ожидание и дисперсия. Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины», EL-5.10 (ожидание числа успехов).

повторение: VIS9-019

Разминка · устно

Средние, суммы, вероятности

Вычислите

$0, 2 \cdot 5 + 0, 8 \cdot 10$ $9$
$\frac{1}{6} (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)$ $3, 5$
$100 \cdot 0, 03$ $3$
$10 \cdot 0, 7$ $7$

Найдите

среднее набора $2; 4; 4; 6$ $4$
$P (X = 3)$ , если остальные: $0, 1; 0, 3; 0, 4$ $0, 2$
$0, 5 \cdot 0 + 0, 5 \cdot 1$ $0, 5$
$1 - 0, 01 - 0, 09$ $0, 9$

2,5 мин · практика
Ответы: 1) $1 + 8 = 9$ ; 2) $\frac{21}{6} = 3, 5$ ; 3) $3$ ; 4) $7$ ; 5) $\frac{16}{4} = 4$ ; 6) сумма вероятностей распределения равна 1: $1 - 0, 8 = 0, 2$ ; 7) $0, 5$ ; 8) $0, 9$ .
Связь с уроком: 1, 2, 7 — это уже математические ожидания (сумма «значение × вероятность»); 3–4 — ожидание числа успехов $n p$ ; 5 — среднее арифметическое набора, его теоретический аналог — $E (X)$ ; 6 — проверка распределения.
Вопрос: чем пример 5 похож на пример 1? (Среднее $2; 4; 4; 6$ можно записать как $\frac{1}{4} \cdot 2 + \frac{2}{4} \cdot 4 + \frac{1}{4} \cdot 6$ — частоты играют роль вероятностей.)

R05.3

Теория · ожидание — теоретическое среднее

Среднее, к которому стремятся результаты

E (X) = x_{1} p_{1} + \dots + x_{n} p_{n}

Повторим опыт

N

раз: значение

x_{i}

выпадет примерно

p_{i} N

раз. Среднее результатов

\approx \frac{x _{1} p _{1} N + \dots + x _{n} p _{n} N}{N} = E (X)

.

Ожидание — точка равновесия диаграммы распределения. Самой величине оно может не равняться.

3 мин · теория
Напомнить определение (VIS9-019): математическое ожидание — сумма произведений значений на их вероятности. Сегодня — его смысл: это теоретическое среднее значение. Среднее арифметическое считают по уже полученным данным, ожидание — по распределению, ещё до опыта.
Пояснение «через $N$ повторений»: на рисунке $E (X) = 1 \cdot 0, 1 + 2 \cdot 0, 2 + 3 \cdot 0, 3 + 4 \cdot 0, 4 = 0, 1 + 0, 4 + 0, 9 + 1, 6 = 3$ . При 1000 повторениях ожидаем ≈ 100 единиц, 200 двоек, 300 троек, 400 четвёрок; среднее $\frac{100 + 400 + 900 + 1600}{1000} = 3$ .
Физическая модель: столбики — грузы на невесомой линейке; линейка уравновешена в точке $E (X)$ (центр масс).
Вопрос классу: может ли среднее число очков на кубике равняться 3,5, если такого значения нет? (Да — ожидание не обязано быть значением величины; см. следующий слайд.) Почему «примерно $p_{i} N$ раз», а не точно — обсудим на уроке о законе больших чисел (VIS9-021).

R05.3

Образец → сам · ожидание по распределению

Сколько очков в среднем?

Образец: $X$ — число очков при одном броске кубика. Найдите $E (X)$

значения $1, \dots, 6$ , каждое с $p = \frac{1}{6}$ кубик правильный

$E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6 \cdot \frac{1}{6}$ определение

$E (X) = \frac{21}{6}$ = $3, 5$

$3, 5$ очков не выпадает никогда — это среднее за много бросков

Сам: найдите $E (X)$

$X = 1$ при орле, $X = 0$ при решке $0, 5$
Кубик-тетраэдр с гранями $1, 2, 3, 4$ $2, 5$
$X$ : $0; 1; 2$ с вероятностями $0, 25; 0, 5; 0, 25$ $1$
$X$ : $- 1; 0; 2$ с вероятностями $0, 3; 0, 5; 0, 2$ $0, 1$

R05.3

Теория · ожидание известных величин

Три примера, которые стоит помнить

Индикатор события $A$ : $X = 1$ , если $A$ наступило, иначе $0$ . $E (X) = P (A) = p$

Равновозможные значения $1, 2, \dots, n$ : $E (X) = \frac{n + 1}{2}$

Число успехов в $n$ испытаниях Бернулли: $E (X) = n p$

3 мин · теория
Индикатор: $E = 1 \cdot p + 0 \cdot q = p$ . Равновозможные $1, \dots, n$ : $\frac{1 + 2 + \dots + n}{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2 n} = \frac{n + 1}{2}$ ; для кубика $\frac{7}{2} = 3, 5$ .
Число успехов: $X$ — сумма $n$ индикаторов «успех в $i$ -м испытании», ожидание суммы равно сумме ожиданий: $E (X) = p + p + \dots + p = n p$ (учебник Высоцкого–Ященко, без доказательства свойства суммы).
На рисунке — монету бросают 4 раза, $X$ — число орлов: $P = \frac{1}{16}, \frac{4}{16}, \frac{6}{16}, \frac{4}{16}, \frac{1}{16}$ (из $C_{4}^{k}$ ). По определению $E = \frac{0 + 4 + 12 + 12 + 4}{16} = \frac{32}{16} = 2$ , по формуле $n p = 4 \cdot 0, 5 = 2$ ✓. Распределение симметрично — равновесие в середине.
Вопрос: в среднем сколько шестёрок выпадет за 60 бросков кубика? ( $60 \cdot \frac{1}{6} = 10$ .)

R05.3 · R04.5

Образец → сам · ожидание числа успехов

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$

Образец: $3$ выстрела, $X$ — число попаданий. Найдите $E (X)$ двумя способами

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 008$	$0, 096$	$0, 384$	$0, 512$

$E = 0, 096 + 0, 768 + 1, 536 = 2, 4$ по распределению

$E = n p = 3 \cdot 0, 8$ = $2, 4$ по формуле

Сам

Монету бросают $10$ раз: $E (число орлов)$ $5$
Кубик бросают $12$ раз: $E (число шестёрок)$ $2$
Брак — $2 %$ ; в партии $500$ деталей. Сколько брака в среднем? $10$
обратная $n = 20$ , $E (X) = 6$ . Найдите $p$ $0, 3$

R05.3 · из жизни

Теория · лотереи и игры

Выгодна ли игра «в долгую»?

$X$ — выигрыш, $c$ — цена участия. Чистый выигрыш $X - c$ , его ожидание

E (X - c) = E (X) - c

Игра справедлива, если

E (X) - c = 0

, то есть

c = E (X)

.

Пример. Выпала «шестёрка» — получаете $60$ руб., иначе ничего. Участие — $12$ руб.

$E (X) = 60 \cdot \frac{1}{6} + 0 \cdot \frac{5}{6} = 10$ руб.

$E (X) - c = 10 - 12 = - 2$ руб. за игру

Справедливая цена —

10

руб. Организатор в среднем получает

2

руб. с каждой игры.

2,5 мин · теория (учитель решает пример сам)
Если к каждому значению прибавить (вычесть) одно и то же число, ожидание сдвинется на это число: $E (X - c) = E (X) - c$ .
Пример: за 600 игр «шестёрка» выпадет примерно 100 раз — выплаты $6000$ руб., сбор $600 \cdot 12 = 7200$ руб.; организатор в среднем зарабатывает $1200$ руб., то есть $2$ руб. на игру.
Вывод: в любой коммерческой лотерее ожидание чистого выигрыша отрицательно — из этой разницы организатор оплачивает расходы и получает прибыль. Отдельный игрок может выиграть, но «в долгую» проигрывает.

R05.3 · из жизни

Образец → сам · средний выигрыш в лотерее

$1000$ билетов по $50$ рублей

Образец: $1$ выигрыш $5000$ руб., $10$ — по $500$ , $100$ — по $50$ , остальные пустые

$x$ , руб.	$5000$	$500$	$50$	$0$
$P$	$0, 001$	$0, 01$	$0, 1$	$0, 889$

$E (X) = 5 + 5 + 5 = 15$ руб. $5000 \cdot 0, 001$ и т. д.

$E (X) - 50$ = $- 35$ руб. на один билет

Сам

$500$ билетов: $1$ по $10000$ руб., $4$ по $1000$ руб. $E (выигрыша)$ $28$ руб.
Билет из задания 1 стоит $40$ руб. Чистый выигрыш в среднем $- 12$ руб.
Два броска монеты: два орла — $100$ руб., иначе $0$ . Справедливая цена $25$ руб.

R05.3 · из жизни

Теория · страхование

Как страховая компания назначает взнос

Взнос $c$ , выплата $S$ при страховом случае с вероятностью $p$ . Доход компании с договора:

E = c - pS

Взнос назначают больше

pS

— средней выплаты.

S = 200000

,

p = 0, 005

:

pS = 1000

; при

c = 1500

руб.

E = 500

руб.

2,5 мин · теория
Вывод по дереву: $E = c \cdot (1 - p) + (c - S) \cdot p = c - pS$ . Взнос получают в обоих случаях; выплату — только при страховом случае.
Пример: средняя выплата по договору $0, 005 \cdot 200000 = 1000$ руб.; при взносе $1500$ руб. ожидаемый доход $500$ руб. с договора, по $10000$ договоров — около $5$ млн руб. Отдельный договор может принести убыток $198500$ руб., но по многим договорам доход близок к ожидаемому.
Вопрос: зачем человеку страховка, если «в среднем» он теряет? (Он платит понятную небольшую сумму, чтобы не рисковать крупной потерей; ожидание — не единственный критерий.)

R05.3 · из жизни

Образец → сам · доход страховщика

Страховка телефона на год

Образец: выплата $20000$ руб., вероятность поломки $0, 03$ , взнос $900$ руб. Найдите $E (дохода)$

$pS = 0, 03 \cdot 20000 = 600$ средняя выплата

$E = c - pS = 900 - 600$ взнос получен всегда

$E$ = $300$ руб. с договора

Сам

$S = 50000$ , $p = 0, 01$ , $c = 800$ . Найдите $E$ $300$ руб.
обратная $S = 100000$ , $p = 0, 004$ . Наименьший взнос, при котором $E \geq 0$ $400$ руб.
Автостраховка: ущерб $10000$ руб. с $p = 0, 1$ или $200000$ руб. с $p = 0, 01$ . Средняя выплата $3000$ руб.

R05.3

Образец → сам · обратная задача

Известно ожидание — найдите неизвестное

Образец: $E (X) = 3, 6$ . Найдите $a$ и $b$

$x$	$1$	$3$	$5$
$P$	$0, 2$	$a$	$b$

$a + b = 0, 8$ сумма вероятностей $1$

$0, 2 + 3 a + 5 b = 3, 6$ определение $E$

$3 (0, 8 - b) + 5 b = 3, 4 \Rightarrow 2 b = 1$

$b = 0, 5$ , $a = 0, 3$ проверка: $0, 2 + 0, 9 + 2, 5 = 3, 6$

Сам

$X$ : $0; 10; x$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$ , $E (X) = 7$ . Найдите $x$ $20$
$X$ : $- 2$ с вероятностью $a$ , $1$ с вероятностью $1 - a$ ; $E (X) = 0, 4$ $a = 0, 2$
Выигрыш $100$ руб. с вероятностью $p$ , иначе проигрыш $20$ руб. При каком $p$ игра справедлива? $\frac{1}{6}$

R05.3 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: тест наугад

Стоит ли угадывать ответ?

Образец: $4$ варианта ответа, верный — $+ 3$ балла, неверный — $- 1$ . Ответ наугад

$X = 3$ с $p = 0, 25$ ; $X = - 1$ с $p = 0, 75$

$E (X) = 0, 75 - 0, 75$ = $0$ по определению

штраф подобран так, что угадывание в среднем ничего не даёт

Сам

Один неверный вариант исключили, угадываем из $3$ . $E (X)$ $\frac{1}{3}$
Штраф $- 0, 5$ вместо $- 1$ , вариантов $4$ . $E (X)$ $0, 375$
Без штрафа: $+ 1$ или $0$ ; $12$ вопросов по $4$ варианта наугад. $E (суммы)$ $3$

R05.3

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
среднее значений без весов: $X$ : $0$ и $100$ с вероятностями $0, 9$ и $0, 1$	$\frac{0 + 100}{2} = 50$	$100 \cdot 0, 1 = 10$
забыли цену билета: $E (X) = 15$ руб., билет $50$ руб.	«в среднем $+ 15$ »	$15 - 50 = - 35$ руб.
пропустили отрицательное значение: $+ 100$ с $p = 0, 2$ , иначе $- 30$	$100 \cdot 0, 2 = 20$	$20 - 30 \cdot 0, 8 = - 4$
ожидание — «самое частое» значение: кубик, $E = 3, 5$	«чаще всего 3 и 4»	все грани равновероятны

R05.3

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $X$ : $1; 2; 3$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$ . $E (X)$ ?

$E = \frac{1 + 2 + 3}{3} = 2$

значения не равновероятны — нужны веса

$E = 0, 2 + 1 + 0, 9 = 2, 1$

б) Монету бросают $6$ раз, $X$ — число орлов

$E = 6 \cdot 0, 5 = 3$ , значит, орёл обязательно выпадет $3$ раза

$E = 3$ верно, но это среднее по многим сериям

$P (X = 3) = \frac{20}{64} = 0, 3125$

в) $S = 30000$ , $p = 0, 02$ , взнос $500$ . $E (дохода)$ ?

$E = 0, 98 \cdot 500 - 0, 02 \cdot 30000 = - 110$

при страховом случае взнос тоже получен: $500 - 30000$

$E = 500 - 600 = - 100$ руб.

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Среднее арифметическое значений годится только при равных вероятностях: $1 \cdot 0, 2 + 2 \cdot 0, 5 + 3 \cdot 0, 3 = 2, 1$ .
б) Вычисление верно, вывод — нет: ровно 3 орла выпадают лишь с вероятностью $\frac{20}{64} = 0, 3125$ .
в) Доход при страховом случае $500 - 30000 = - 29500$ : $0, 98 \cdot 500 + 0, 02 \cdot (- 29500) = 490 - 590 = - 100$ ; то же по формуле $c - pS = 500 - 600$ . Вывод: такой взнос убыточен, нужен больше $600$ руб.

R05.3

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

По распределению

$X$ : $2$ и $4$ с вероятностями $0, 5$ и $0, 5$ $3$
$X$ : $0; 1; 2$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$ $1, 1$
$X$ : $- 1$ и $1$ с вероятностями $0, 4$ и $0, 6$ $0, 2$
$X$ : $1; 2; 3; 4$ с вероятностями $0, 1; 0, 2; 0, 3$ и ? $3$

Из жизни и серии

Монету бросают $8$ раз: $E (число решек)$ $4$
Кубик бросают $30$ раз: $E (число единиц)$ $5$
Выигрыш $200$ руб. с вероятностью $0, 05$ , иначе $0$ $10$ руб.

R05.3

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Кубик бросают дважды, $X$ — сумма очков. Найдите $E (X)$ $7$
повыш.В урне $3$ белых и $2$ чёрных шара, вынимают $2$ шара сразу. $X$ — число белых. $E (X)$ $1, 2$
повыш.Стреляют до первого попадания, но не больше $3$ раз; $p = 0, 5$ . $X$ — число выстрелов. $E (X)$ $1, 75$
из жизниРемонт стоит магазину $3000$ руб., поломка за год — с вероятностью $0, 04$ . Доп. гарантию продают за $250$ руб. Средняя прибыль с неё $130$ руб.

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна $8$ . Ответ округлите до сотых.

Ответ: $0, 14$

2. В среднем из $100$ карманных фонариков, поступивших в продажу, $4$ неисправны. Найдите вероятность того, что выбранный наудачу фонарик исправен.

Ответ: $0, 96$

3. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Ответ: $0, 375$

Каждый ответ — одна вероятность из распределения: суммы очков, числа исправных, числа орлов.

R05.3

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X$ : $1; 3; 5$ с вероятностями $0, 5; 0, 3; 0, 2$ . $E (X)$ $2, 4$
Стрелок ( $p = 0, 9$ ), $20$ выстрелов: $E (попаданий)$ $18$
$200$ билетов: $1$ по $2000$ руб., $5$ по $200$ руб. $E (выигрыша)$ $15$ руб.
$X$ : $0$ и $4$ , $P (X = 4) = a$ , $E (X) = 1, 2$ . Найдите $a$ $0, 3$

Вариант 2

$X$ : $2; 4; 6$ с вероятностями $0, 3; 0, 5; 0, 2$ . $E (X)$ $3, 8$
Монету бросают $50$ раз: $E (орлов)$ $25$
$S = 40000$ руб., $p = 0, 015$ , взнос $900$ руб. $E (дохода)$ $300$ руб.
$X$ : $- 1$ и $3$ , $P (X = 3) = a$ , $E (X) = 1$ . Найдите $a$ $0, 5$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Почему $E (X)$ называют теоретическим средним?
Чему равно ожидание числа успехов в серии Бернулли?
Как понять, выгодна ли лотерея или страховка?

Домашнее задание

$X$ : $0; 1; 2; 3$ с вероятностями $0, 1; 0, 3; 0, 4; 0, 2$ — найдите $E (X)$
Монету бросают $3$ раза: распределение числа орлов, $E$ двумя способами
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-020 · Ожидание как теоретическое среднее

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 6 ч · урок 2/6 · тип Н
Единицы → слайды	R05.3 «Примеры математического ожидания как теоретического среднего значения величины» → 2–20 · повторение R05.1–R05.2 → 3, 5 · R04.5 (формула Бернулли) → 7
Результаты	ПР-6 / REQ-5.6 (случайная величина и распределение) → 4–19 · ПР-5 / REQ-5.5 (серии Бернулли) → 6, 7, 13 · ПР-3 / REQ-5.3 (средние значения) → 3, 4 · EL-5.9, EL-5.10
Вне урока	дисперсия числа успехов, закон больших чисел, измерение вероятностей частотами — VIS9-021 и далее
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Математическое ожидание как теоретическое среднее

Сегодня вы научитесь

Смысл E(X)

Вычисление

Лотереи и страховка

Обратные задачи

Средние, суммы, вероятности

Вычислите

Найдите

Среднее, к которому стремятся результаты

Сколько очков в среднем?

Образец: X — число очков при одном броске кубика. Найдите E(X)

Сам: найдите E(X)

Три примера, которые стоит помнить

Стрелок попадает с вероятностью 0,8

Образец: 3 выстрела, X — число попаданий. Найдите E(X) двумя способами

Сам

Выгодна ли игра «в долгую»?

1000 билетов по 50 рублей

Образец: 1 выигрыш 5000 руб., 10 — по 500, 100 — по 50, остальные пустые

Сам

Как страховая компания назначает взнос

Страховка телефона на год

Образец: выплата 20000 руб., вероятность поломки 0,03, взнос 900 руб. Найдите E(дохода)

Сам

Известно ожидание — найдите неизвестное

Образец: E(X)=3,6. Найдите a и b

Сам

Стоит ли угадывать ответ?

Образец: 4 варианта ответа, верный — +3 балла, неверный — −1. Ответ наугад

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) X: 1; 2; 3 с вероятностями 0,2; 0,5; 0,3. E(X)?

б) Монету бросают 6 раз, X — число орлов

в) S=30000, p=0,02, взнос 500. E(дохода)?

Решите и проверьте

По распределению

Из жизни и серии

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-020 · Ожидание как теоретическое среднее

Смысл $E (X)$

Образец: $X$ — число очков при одном броске кубика. Найдите $E (X)$

Сам: найдите $E (X)$

Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$

Образец: $3$ выстрела, $X$ — число попаданий. Найдите $E (X)$ двумя способами

$1000$ билетов по $50$ рублей

Образец: $1$ выигрыш $5000$ руб., $10$ — по $500$ , $100$ — по $50$ , остальные пустые

Образец: выплата $20000$ руб., вероятность поломки $0, 03$ , взнос $900$ руб. Найдите $E (дохода)$

Образец: $E (X) = 3, 6$ . Найдите $a$ и $b$

Образец: $4$ варианта ответа, верный — $+ 3$ балла, неверный — $- 1$ . Ответ наугад

а) $X$ : $1; 2; 3$ с вероятностями $0, 2; 0, 5; 0, 3$ . $E (X)$ ?

б) Монету бросают $6$ раз, $X$ — число орлов

в) $S = 30000$ , $p = 0, 02$ , взнос $500$ . $E (дохода)$ ?