Случайная величина · урок 1 из 6

Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R05 · VIS9-019

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R05 «Случайная величина» (6 ч), урок 1/6, единицы R05.1 «Случайная величина и распределение вероятностей», R05.2 «Математическое ожидание и дисперсия случайной величины». Тип урока — Н. Опора: R04 (испытания Бернулли, VIS9-013 … VIS9-018) и описательная статистика 7–8 классов (среднее, дисперсия числового набора).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (случайная величина) 2,5 · 5 (распределение вероятностей) 2 · 8 (математическое ожидание) 2,5 · 10 (дисперсия) 2,5 · 13 (сводка правил) 1,5. Все теоретические слайды показываются полностью.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 6, 7, 9, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 14) 1,5 · найди ошибку (сл. 15) 2 · самопроверка, база (сл. 16) 3,5 · повышенный уровень (сл. 17) 3 · ОГЭ (сл. 18) 2 · самостоятельная работа (сл. 19) 4 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Картинка на титуле — распределение числа орлов при трёх бросках монеты; треугольник-опора стоит в точке $E (X) = 1, 5$ — «центр тяжести» диаграммы.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 17 и задание 3 сл. 11 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R05.1 · R05.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Описывать величину

какие значения принимает случайная величина в опыте (ПР-6)

Строить распределение

таблицу «значение — вероятность» и его диаграмму (ПР-6, ПР-5)

Находить $E (X)$

математическое ожидание — теоретическое среднее (ПР-6)

Находить $D (X)$ и $σ$

дисперсию и стандартное отклонение — меру разброса (ПР-3)

1 мин · теория
ПР-6 (= REQ-5.6): «Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей». ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах…». ПР-3 (= REQ-5.3): «Использовать описательные характеристики для массивов числовых данных, в том числе средние значения и меры рассеивания» — дисперсия случайной величины как аналог дисперсии набора. Элементы содержания: EL-5.8, EL-5.9.
Единицы ФРП: R05.1 «Случайная величина и распределение вероятностей», R05.2 «Математическое ожидание и дисперсия случайной величины».

повторение: R04, статистика 8 класса

Разминка · устно

Вероятности и средние

Найдите вероятность

монета: орёл $0, 5$
кубик: чётное число $0, 5$
2 монеты: два орла $0, 25$
2 кубика: сумма $12$ $\frac{1}{36}$

Вычислите

среднее набора $2; 4; 9$ $5$
дисперсия набора $1; 5$ $4$
$0, 2 + 0, 5 + x = 1$ $x = 0, 3$
3 монеты: ровно 1 орёл $\frac{3}{8}$

R05.1

Новое понятие · случайная величина

Каждому исходу — число

Случайная величина $X$ — величина, значение которой зависит от исхода случайного опыта.

Опыт: монету бросают 2 раза; $X$ — число орлов

Значения: $X \in {0; 1; 2}$

Ещё примеры: очки на кубике, число бракованных деталей, рост ученика, время ожидания автобуса.

2,5 мин · теория
Случайная величина ставит в соответствие каждому элементарному исходу число. На схеме: исходы ОО, ОР, РО, РР; $X$ (ОО) = 2, $X$ (ОР) = $X$ (РО) = 1, $X$ (РР) = 0. Разным исходам может соответствовать одно и то же значение.
Дискретные величины — значения можно перечислить (число очков, число орлов, число бракованных). Непрерывные — заполняют промежуток (рост, вес, время ожидания); их изучают в старших классах. Сегодня — только дискретные.
Вопросы классу: какие значения принимает сумма очков на двух кубиках? (2, 3, …, 12.) Число шестёрок при двух бросках кубика? (0, 1, 2.) Связь с R04: «число успехов в серии из n испытаний Бернулли» — тоже случайная величина со значениями 0, 1, …, n.

R05.1

Новое понятие · распределение вероятностей

Значение — вероятность

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$

Распределение — все значения $x_{1}, \dots, x_{n}$ и их вероятности $p_{1}, \dots, p_{n}$ .

p_{1} + p_{2} + \dots + p_{n} = 1

R05.1

Образец → сам · распределение по опыту

Перебираем исходы и складываем

Образец: кубик бросают 2 раза, $X$ — число шестёрок

всего исходов $6 \cdot 6 = 36$ правило умножения

$X = 2$ : $(6; 6)$ — $1$ ; $X = 1$ : $5 + 5 = 10$ шестёрка в 1-м или во 2-м

$X = 0$ : $5 \cdot 5 = 25$ обе не шестёрки

$X$	$0$	$1$	$2$
$P$	$\frac{25}{36}$	$\frac{10}{36}$	$\frac{1}{36}$

проверка: $\frac{25 + 10 + 1}{36} = 1$

Сам: составьте распределение

монету бросают 3 раза, $X$ — число орлов $\frac{1}{8}; \frac{3}{8}; \frac{3}{8}; \frac{1}{8}$
кубик бросают 1 раз, $X$ — число очков все по $\frac{1}{6}$
из 3 белых и 2 чёрных шаров берут 2, $X$ — число чёрных $0, 3; 0, 6; 0, 1$

R05.1

Образец → сам · обратная задача: недостающая вероятность

Сумма вероятностей равна 1

Образец: найдите $p$ и $P (X \geq 3)$

$X$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P$	$0, 1$	$0, 3$	$p$	$0, 2$

$0, 1 + 0, 3 + p + 0, 2 = 1$ сумма — 1

$p = 1 - 0, 6 = 0, 4$

$P (X \geq 3) = P (3) + P (4)$ несовместные

$= 0, 4 + 0, 2$ = $0, 6$

Сам

$X$ : $0; 1; 2$ , $P$ : $0, 35; ?; 0, 15$ $0, 5$
$X$ : $- 2; 0; 3$ , $P$ : $p; 2 p; 0, 4$ . Найдите $p$ $p = 0, 2$
Может ли быть распределением: $P$ : $0, 5; 0, 6; - 0, 1$ ? нет

R05.2

Новое понятие · математическое ожидание

Теоретическое среднее значение

E (X) = x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} + \dots + x_{n} p_{n}

Кубик: $E (X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + \dots + 6 \cdot \frac{1}{6}$

$= \frac{21}{6}$ = $3, 5$

Каждое значение умножаем на его вероятность («вес») и складываем.

2,5 мин · теория (учитель решает пример с кубиком сам)
Связь со средним набора: если бросить кубик много раз, среднее выпавших очков будет близко к 3,5 (подробно — закон больших чисел, VIS9-021). Поэтому $E (X)$ называют теоретическим средним.
Значение 3,5 на кубике не выпадает никогда — математическое ожидание не обязано быть возможным значением величины. Оно всегда между наименьшим и наибольшим значениями.
Физический смысл (чертёж): если на невесомую линейку над значениями поставить грузы массой $p_{i}$ , она уравновесится на опоре в точке $E (X)$ .

R05.2

Образец → сам · математическое ожидание по таблице

Значение × вероятность и сложить

Образец: найдите $E (X)$

$X$	$- 1$	$0$	$2$	$5$
$P$	$0, 2$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 1$

сумма $P$ : $1$ ✓ таблица — распределение

$- 1 \cdot 0, 2 + 0 \cdot 0, 3 + 2 \cdot 0, 4 + 5 \cdot 0, 1$

$= - 0, 2 + 0 + 0, 8 + 0, 5$ = $1, 1$

Сам: найдите $E (X)$

$X$ : $1; 2; 3$ , $P$ : $0, 5; 0, 3; 0, 2$ $1, 7$
$X$ — число орлов при 3 бросках (сл. 6) $1, 5$
$X$ — число чёрных шаров (сл. 6, задание 3) $0, 8$

R05.2

Новое понятие · дисперсия и стандартное отклонение

Насколько значения разбросаны вокруг $E (X)$

D (X) = (x_{1} - E)^{2} p_{1} + \dots + (x_{n} - E)^{2} p_{n}

σ = D (X)

стандартное отклонение

$X$ : $D = (2 - 3)^{2} \cdot 0, 25 + 0 + (4 - 3)^{2} \cdot 0, 25 = 0, 5$

$Y$ : $D = (1 - 3)^{2} \cdot 0, 25 + 0 + (5 - 3)^{2} \cdot 0, 25 = 2$

Средние одинаковы,

E = 3

. Разброс у

Y

больше — больше и

D

.

2,5 мин · теория
Аналог дисперсии числового набора (7–8 класс): там — среднее квадратов отклонений от среднего, здесь — «взвешенное» среднее квадратов отклонений от $E (X)$ , веса — вероятности.
Почему квадраты: сумма отклонений с весами всегда равна 0 (у $X$ : −1·0,25 + 0·0,5 + 1·0,25 = 0), она не показывает разброс. Квадраты неотрицательны.
$σ$ измеряется в тех же единицах, что и $X$ (рубли, очки), а $D$ — в квадратах единиц. У $X$ : $σ = 0, 5 \approx 0, 71$ ; у $Y$ : $σ = 2 \approx 1, 41$ .
Пример для класса: $X$ сл. 4 (число орлов при двух бросках) имеет $E = 1$ , $D = (0 - 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} + 0 + (2 - 1)^{2} \cdot \frac{1}{4} = 0, 5$ — та же «форма», что у $X$ на чертеже.

R05.2

Образец → сам · дисперсия по таблице

Сначала $E$ , потом отклонения

Образец: найдите $D (X)$ и $σ$

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 1$	$0, 3$	$0, 4$	$0, 2$
$x - E$	$- 1, 7$	$- 0, 7$	$0, 3$	$1, 3$
$(x - E)^{2}$	$2, 89$	$0, 49$	$0, 09$	$1, 69$

$E = 0, 3 + 0, 8 + 0, 6 = 1, 7$

$D = 0, 289 + 0, 147 + 0, 036 + 0, 338$ = $0, 81$

$σ = 0, 81$ = $0, 9$

Сам: найдите $E$ и $D$

$X$ : $- 1; 1$ , $P$ : $0, 5; 0, 5$ $0; 1$
$X$ : $0; 10$ , $P$ : $0, 8; 0, 2$ $2; 16$
$X$ : $2; 4; 6$ — все равновероятны $4; \frac{8}{3}$

R05.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: лотерея и страхование

Выгодно ли в среднем?

Образец: 1000 билетов по 30 р.: один выигрыш 5000 р., десять — по 500 р., сто — по 50 р.

$X$	$5000$	$500$	$50$	$0$
$P$	$0, 001$	$0, 01$	$0, 1$	$0, 889$

$E = 5 + 5 + 5 + 0 = 15$ р. средний выигрыш

$15 - 30 = - 15$ р. — в среднем проигрыш

Сам

При какой цене билета лотерея «справедлива»? $15$ р.
Игра: 2 р. за бросок кубика, при шестёрке выигрыш 10 р. Выгодно? нет
Взнос 3000 р., страховой случай с вероятностью $0, 01$ , выплата 200 000 р. Средняя прибыль компании? $1000$ р.

2,5 мин · практика
Образец: проигрышных билетов 1000 − 111 = 889; $E = 5000 \cdot 0, 001 + 500 \cdot 0, 01 + 50 \cdot 0, 1 = 15$ р. Проверка: весь призовой фонд 5000 + 5000 + 5000 = 15 000 р. на 1000 билетов — 15 р. на билет. Организатор собирает 30 000 р.
1) Справедливая цена равна $E (X) = 15$ р. 2) $E = 10 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{3} \approx 1, 67$ р. $< 2$ р. — в среднем игрок теряет $\frac{1}{3}$ р. за бросок. 3) $X$ — прибыль: $3000$ с вероятностью 0,99 и $3000 - 200000 = - 197000$ с вероятностью 0,01; $E = 2970 - 1970 = 1000$ р. (или $3000 - 0, 01 \cdot 200000$ ).
Обсудить: почему люди всё равно покупают билеты и страховки (редкий крупный выигрыш; защита от редкого крупного убытка). Подробнее о мат. ожидании как теоретическом среднем — следующий урок VIS9-020.

R05.1 · R05.2

Теория · сводка правил

Распределение, $E$ , $D$ , $σ$

Что	Как найти	Смысл
распределение	$x_{i}$ и $p_{i}$ , $\sum p_{i} = 1$	какие значения и как часто
мат. ожидание	$E (X) = \sum x_{i} p_{i}$	теоретическое среднее
дисперсия	$D (X) = \sum (x_{i} - E)^{2} p_{i}$	средний квадрат отклонения
станд. отклонение	$σ = D (X)$	разброс в единицах $X$

R05.1 · R05.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сумма вероятностей не $1$	$P$ : $0, 3; 0, 4; 0, 2$ — готово	сумма $0, 9$ — пропущено значение
среднее без весов	$X$ : $0; 10$ ( $0, 9; 0, 1$ ), $E = 5$	$E = 10 \cdot 0, 1 = 1$
отклонение от $0$ , а не от $E$	$D = 0^{2} \cdot 0, 9 + 1 0^{2} \cdot 0, 1 = 10$	$D = 1 \cdot 0, 9 + 81 \cdot 0, 1 = 9$
$E$ — «возможное значение»	кубик: $E$ не $3, 5$ , а $3$ или $4$	$E = 3, 5$ — не обязано выпадать

R05.1 · R05.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) 2 броска монеты, $X$ — число орлов

значений три: $0; 1; 2$ — каждое с вероятностью $\frac{1}{3}$

значения не равновозможны: исходов $4$

$\frac{1}{4}; \frac{1}{2}; \frac{1}{4}$

б) $X$ : $1; 2; 4$ ; $P$ : $0, 2; 0, 5; 0, 3$ ; $E = 2, 4$ . Найдите $D$

$D = - 1, 4 \cdot 0, 2 - 0, 4 \cdot 0, 5$ $+ 1, 6 \cdot 0, 3 = 0$

забыты квадраты отклонений

$D = 1, 96 \cdot 0, 2 + 0, 16 \cdot 0, 5$ $+ 2, 56 \cdot 0, 3 = 1, 24$

в) $X$ : $1; 2; 3$ ; $P$ : $0, 3; 0, 5; 0, 2$ . Найдите $P (X \geq 2)$

$P (X \geq 2) = P (X = 2)$ $= 0, 5$

« $\geq 2$ » — это $2$ или $3$

$0, 5 + 0, 2 = 0, 7$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Равновозможны исходы ОО, ОР, РО, РР, а не значения: $X = 1$ дают два исхода. Верно 1/4, 1/2, 1/4.
б) $E = 0, 2 + 1 + 1, 2 = 2, 4$ — верно. Сумма отклонений с весами всегда 0 — поэтому их возводят в квадрат: $(- 1, 4)^{2} = 1, 96$ , $(- 0, 4)^{2} = 0, 16$ , $1, 6^{2} = 2, 56$ ; $D = 0, 392 + 0, 08 + 0, 768 = 1, 24$ . Признак ошибки: $D = 0$ возможно только у величины с одним значением.
в) Неравенство нестрогое и значение 3 тоже больше 2: $P = 0, 7$ (или $1 - P (X = 1) = 1 - 0, 3$ ).

R05.1 · R05.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Таблица: найдите

$X$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 2$	$0, 4$	$p$	$0, 1$

$p$ $0, 3$
$P (X > 0)$ $0, 8$
$E (X)$ $1, 3$

Найдите $E$ и $D$

$X$ : $- 2; 2$ , $P$ : $0, 5; 0, 5$ $0; 4$
$X$ : $1; 3; 5$ , $P$ : $0, 25; 0, 5; 0, 25$ $3; 2$
кубик бросают раз; $X = 1$ при шестёрке, иначе $X = 0$ . Найдите $E$ $\frac{1}{6}$

R05.1 · R05.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Два испытания Бернулли, $p = 0, 3$ ; $X$ — число успехов. Распределение и $E (X)$ $0, 49; 0, 42; 0, 09$ ; $E = 0, 6$
повыш. $X$ — сумма очков на двух кубиках. Найдите $E (X)$ , не считая всех слагаемых $7$
повыш. $X$ принимает значения $1$ и $a$ с вероятностями $0, 5$ ; $E (X) = 4$ . Найдите $a$ и $D (X)$ $a = 7$ ; $D = 9$
из жизниСтраховой случай — с вероятностью $0, 002$ , выплата 500 000 р. При каком взносе средняя прибыль компании равна 0? $1000$ р.

3 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $q = 0, 7$ : $P (0) = 0, 7^{2} = 0, 49$ , $P (1) = 2 \cdot 0, 3 \cdot 0, 7 = 0, 42$ , $P (2) = 0, 09$ ; $E = 0, 42 + 0, 18 = 0, 6 = 2 \cdot 0, 3$ . Наблюдение для следующих уроков: $E = n p$ ( $D = 0, 42 = n pq$ ).
2) Распределение суммы симметрично относительно 7 (сумма $s$ и $14 - s$ равновероятны: 1/36, 2/36, …, 6/36, …, 1/36), «центр тяжести» — в 7. Проверка суммой: $E = 252/36 = 7$ .
3) $0, 5 + 0, 5 a = 4$ , $a = 7$ ; $D = (1 - 4)^{2} \cdot 0, 5 + (7 - 4)^{2} \cdot 0, 5 = 9$ , $σ = 3$ .
4) Средняя выплата $0, 002 \cdot 500000 = 1000$ р.; при взносе 1000 р. средняя прибыль 0, реальный взнос больше (расходы и прибыль компании).

R05.1 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Ответ: $0, 5$

2. Монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

Ответ: $0, 375$

3. В лотерее 1000 билетов, из них 120 выигрышных. Найдите вероятность того, что купленный билет не выиграет.

Ответ: $0, 88$

R05.1 · R05.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$X$	$1$	$2$	$3$
$P$	$0, 2$	$p$	$0, 5$

Найдите $p$ $0, 3$
Найдите $P (X \geq 2)$ $0, 8$
Найдите $E (X)$ $2, 3$
Найдите $D (X)$ $0, 61$

Вариант 2

$X$	$0$	$2$	$4$
$P$	$0, 4$	$p$	$0, 1$

Найдите $p$ $0, 5$
Найдите $P (X \geq 2)$ $0, 6$
Найдите $E (X)$ $1, 4$
Найдите $D (X)$ $1, 64$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое случайная величина и её распределение?
Чем $E (X)$ отличается от среднего значений?
Что показывает $D (X)$ ?

Домашнее задание

$X$ : $- 1; 0; 1; 2$ , $P$ : $0, 1; 0, 2; 0, 3; p$ . Найдите $p$ , $E$ , $D$
Монету бросают 4 раза, $X$ — число орлов: распределение и $E (X)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_sluchaynaya-velichina.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-019 · Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R05 «Случайная величина», 6 ч · урок 1/6 · тип Н
Единицы → слайды	R05.1 «Случайная величина и распределение вероятностей» → 2, 4–7, 13–19 · R05.2 «Математическое ожидание и дисперсия случайной величины» → 2, 8–17, 19, 20 · повторение R04 и описательной статистики → 3
Результаты	ПР-6 / REQ-5.6 (представление о случайной величине и распределении) → 4–17, 19 · ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в изученных опытах) → 3, 6, 18 · ПР-3 / REQ-5.3 (средние и меры рассеивания) → 10, 11, 13 · EL-5.8, EL-5.9
Вне урока	примеры мат. ожидания как теоретического среднего — VIS9-020; $E$ и $D$ числа успехов в схеме Бернулли, закон больших чисел, измерение вероятностей частотами — следующие уроки R05
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия

Сегодня вы научитесь

Описывать величину

Строить распределение

Находить E(X)

Находить D(X) и σ

Вероятности и средние

Найдите вероятность

Вычислите

Каждому исходу — число

Значение — вероятность

Перебираем исходы и складываем

Образец: кубик бросают 2 раза, X — число шестёрок

Сам: составьте распределение

Сумма вероятностей равна 1

Образец: найдите p и P(X≥3)

Сам

Теоретическое среднее значение

Значение × вероятность и сложить

Образец: найдите E(X)

Сам: найдите E(X)

Насколько значения разбросаны вокруг E(X)

Сначала E, потом отклонения

Образец: найдите D(X) и σ

Сам: найдите E и D

Выгодно ли в среднем?

Образец: 1000 билетов по 30 р.: один выигрыш 5000 р., десять — по 500 р., сто — по 50 р.

Сам

Распределение, E, D, σ

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) 2 броска монеты, X — число орлов

б) X: 1; 2; 4; P: 0,2; 0,5; 0,3; E=2,4. Найдите D

в) X: 1; 2; 3; P: 0,3; 0,5; 0,2. Найдите P(X≥2)

Решите и проверьте

Таблица: найдите

Найдите E и D

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-019 · Случайная величина. Математическое ожидание и дисперсия

Находить $E (X)$

Находить $D (X)$ и $σ$

Образец: кубик бросают 2 раза, $X$ — число шестёрок

Образец: найдите $p$ и $P (X \geq 3)$

Образец: найдите $E (X)$

Сам: найдите $E (X)$

Насколько значения разбросаны вокруг $E (X)$

Сначала $E$ , потом отклонения

Образец: найдите $D (X)$ и $σ$

Сам: найдите $E$ и $D$

Распределение, $E$ , $D$ , $σ$

а) 2 броска монеты, $X$ — число орлов

б) $X$ : $1; 2; 4$ ; $P$ : $0, 2; 0, 5; 0, 3$ ; $E = 2, 4$ . Найдите $D$

в) $X$ : $1; 2; 3$ ; $P$ : $0, 3; 0, 5; 0, 2$ . Найдите $P (X \geq 2)$

Найдите $E$ и $D$