Испытания Бернулли · урок 6 из 6

Обобщение: успехи, неудачи и формула Бернулли

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9-018

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 6/6 — итоговый, единицы R04.1–R04.6: испытание, успех и неудача, серия до первого успеха, испытания Бернулли, вероятности событий в серии, практическая работа. Тип урока — О. Опора: VIS9-013…017; сегодня — система правил и смешанные задачи.
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: испытание и серия до первого успеха) 3 · 7 (сводка: формула Бернулли по дереву) 3,5 · 10 (сводка: распределение числа успехов) 2 · 19 (итоговая сводка правил) 1,5. Тип О — теория только сводками.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 6, 8, 9, 11) по 2,5 · задача из жизни (сл. 12) 2 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 5 · итог и ДЗ (сл. 20) 1.
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 и задание 3 сл. 12 — в ДЗ; сводки не сокращать.

R04.1 · R04.2 · R04.3 · R04.4 · R04.5 · R04.6

Цели урока

Сегодня вы закрепите

Описывать испытание

успех $p$ и неудача $q = 1 - p$ (ПР-5)

Серия до первого успеха

$q^{k - 1} p$ и «не позже $n$ -й попытки» $1 - q^{n}$ (ПР-5)

Формула Бернулли

ровно $k$ успехов из $n$ , «не менее», «хотя бы один» (ПР-2, ПР-5)

Распределение числа успехов

таблица и диаграмма, расчёт в электронной таблице (ПР-1, ПР-6)

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): находить вероятности случайных событий, в том числе в сериях испытаний до первого успеха и в сериях испытаний Бернулли. ПР-2 (= REQ-5.2): комбинаторные правила — число сочетаний в формуле Бернулли. ПР-1 (= REQ-5.1): таблицы и диаграммы. ПР-6 (= REQ-5.6): представление о распределении вероятностей. Элементы EL-5.6 «Испытание. Успех и неудача. Серия испытаний до первого успеха», EL-5.7 «Серия испытаний Бернулли».
Сказать классу: последний урок темы — в конце самостоятельная; со следующего урока — случайная величина, и число успехов станет первым её примером.

повторение: VIS9-013…017

Разминка · устно

Сочетания, степени, вероятности

Посчитайте

$C_{4}^{2}$ $6$
$C_{5}^{1}$ и $C_{6}^{0}$ $5$ и $1$
$0, 5^{3}$ $0, 125$
$0, 2 \cdot 0, 8$ $0, 16$

Испытания

$p = 0, 3$ ; $q$ $0, 7$
Кубик, успех — «шестёрка»: $p$ $\frac{1}{6}$
Монету бросают до первого орла: орёл впервые на $2$ -м броске $\frac{1}{4}$
Сколько путей с $2$ успехами из $3$ испытаний? $3$

R04.1 · R04.2 · R04.3

Теория · сводка: серия испытаний до первого успеха

Бросаем, пока не будет успеха: $p = 0, 4$

Испытание — опыт с двумя исходами: успех ( $p$ ) и неудача ( $q = 1 - p$ )

первый успех на $k$ -й попытке: $q^{k - 1} p$

успех не позже $n$ -й: $p + qp + \dots + q^{n - 1} p = 1 - q^{n}$

$n = 3$ : $1 - 0, 6^{3} = 0, 784$

3 мин · теория
Каждая строка — серия до первого успеха. Попытки независимы, поэтому вероятность серии — произведение: Н…НУ = q · q · … · q · p = q^{k−1}p. При p = 0,4, q = 0,6: 0,4; 0,24; 0,144 (проверено fractions).
«Успех не позже n-й попытки» — сумма первых n членов геометрической прогрессии с первым членом p и знаменателем q: p · (1 − qⁿ)/(1 − q) = 1 − qⁿ, потому что 1 − q = p. Проще через противоположное: не успеть за n попыток — n неудач подряд, qⁿ.
Проверка: 0,4 + 0,24 + 0,144 = 0,784 = 1 − 0,216. Вопрос классу: с какой вероятностью понадобится больше трёх попыток? (0,6³ = 0,216.)

R04.3

Образец → сам · первый успех на k-й попытке

Сначала неудачи, потом успех

Образец: баскетболист попадает с вероятностью $0, 7$ и бросает до первого попадания. $P (первое попадание — 3- й бросок)$ ?

серия Н, Н, П два промаха, потом попадание

$q = 1 - 0, 7 = 0, 3$ вероятность промаха

$0, 3^{2} \cdot 0, 7$ = $0, 063$ броски независимы

Сам

Кубик бросают до первой «шестёрки»: она впервые на $2$ -м броске $\frac{5}{36}$
Монету бросают до первого орла: он впервые на $4$ -м броске $\frac{1}{16}$
$p = 0, 2$ : первые три попытки — неудачи $0, 512$

R04.3

Образец → сам · успех не позже n-й попытки

Сумма прогрессии или $1 - q^{n}$

Образец: стрелок ( $p = 0, 6$ ) стреляет до первого попадания, патронов $3$ . $P (мишень поражена)$ ?

$0, 6 + 0, 4 \cdot 0, 6 + 0, 4^{2} \cdot 0, 6$ П, НП, ННП

$= 0, 6 + 0, 24 + 0, 096$ несовместные серии

$= 1 - 0, 4^{3}$ = $0, 936$ проверка: «три промаха»

Сам

Монету бросают до орла, не более $5$ раз: орёл выпадет $\frac{31}{32}$
Кубик бросают до «шестёрки», не более $2$ раз: она выпадет $\frac{11}{36}$
$p = 0, 5$ . Сколько попыток нужно, чтобы успех был не позже последней с вероятностью не меньше $0, 9$ ? $4$

R04.4 · R04.5

Теория · сводка: формула Бернулли

Три испытания: ровно два успеха

Серия Бернулли: $n$ независимых испытаний, $p$ в каждом одна и та же

путь с $k$ успехами: $p^{k} q^{n - k}$ , путей $C_{n}^{k}$

$P (k успехов) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

$p = 0, 6$ : $3 \cdot 0, 6^{2} \cdot 0, 4 = 0, 432$

3,5 мин · теория
Дерево трёх испытаний: из каждого узла — успех У (вероятность p) и неудача Н (q). Восемь путей. «Ровно два успеха» — три розовых пути УУН, УНУ, НУУ; у каждого два множителя p и один q, то есть p²q. Число таких путей — число способов выбрать, в каких двух испытаниях из трёх был успех: C₃² = 3.
Отсюда формула Бернулли: P(k успехов из n) = Cₙᵏ · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ. При p = 0,6, q = 0,4: 3 · 0,36 · 0,4 = 0,432 (проверено math.comb: 54/125).
Вопрос: какие пути отвечают событию «ни одного успеха»? (Один путь ННН, q³ — это C₃⁰ q³.) Условие применимости: испытания независимы и p не меняется (шары без возвращения — не Бернулли).

R04.5

Образец → сам · формула Бернулли

Ровно $k$ успехов из $n$

Образец: монету бросают $5$ раз. $P (ровно 3 орла)$ ?

$n = 5$ , $k = 3$ , $p = q = \frac{1}{2}$ успех — орёл

$C_{5}^{3} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$ число путей

$10 \cdot (\frac{1}{2})^{3} (\frac{1}{2})^{2} = \frac{10}{32}$ = $0, 3125$

Сам

Кубик бросают $4$ раза: ровно две «шестёрки» $\frac{25}{216}$
$p = 0, 8$ , $n = 4$ : ровно $3$ успеха $0, 4096$
Монету бросают $6$ раз: ровно $2$ орла $\frac{15}{64}$

R04.5

Образец → сам · «не менее» и «хотя бы один»

Складываем случаи или берём противоположное

Образец: стрелок ( $p = 0, 8$ ) стреляет $3$ раза. $P (не менее двух попаданий)$ ?

$P (2) + P (3)$ «не менее двух» = 2 или 3

$3 \cdot 0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 384$ ; $0, 8^{3} = 0, 512$

$0, 384 + 0, 512$ = $0, 896$ несовместны

Сам

Тот же стрелок: хотя бы одно попадание $0, 992$
Монету бросают $4$ раза: не менее $3$ орлов $\frac{5}{16}$
Монету бросают $5$ раз: не более одного орла $\frac{3}{16}$

R04.5 · R04.6

Теория · сводка: распределение числа успехов

Монету бросают $4$ раза: сколько орлов?

$P (k) = C_{4}^{k} \cdot \frac{1}{16}$ , $k = 0, \dots, 4$

числители $1, 4, 6, 4, 1$ — строка треугольника Паскаля

сумма всех $P (k) = 1$ : какое-то число успехов наступит

Самое вероятное число успехов — рядом с

n p

: здесь

4 \cdot \frac{1}{2} = 2

.

R04.6

Образец → сам · практическая работа в электронной таблице

$n = 5$ , $p = 0, 2$ : таблица распределения

B4=ЧИСЛКОМБ(5;A4)*0,2^A4*0,8^(5-A4)

	A	B
1	k	P(k)
2	0	0,32768
3	1	0,4096
4	2	?
5	3	0,0512
6	4	0,0064
7	5	0,00032

Образец: ячейка B4

$C_{5}^{2} = 10$

$0, 2^{2} = 0, 04$ ; $0, 8^{3} = 0, 512$

$10 \cdot 0, 04 \cdot 0, 512$ = $0, 2048$

Сам: по таблице

Самое вероятное $k$ $1$
Сумма столбца B $1$
$P (не более одного успеха)$ $0, 73728$

R04.5

Образец → сам · задачи из жизни

Контроль качества, пенальти, тест

Образец: брак — $10 %$ деталей. Проверяют $3$ детали. $P (ровно одна с браком)$ ?

успех — «брак»: $p = 0, 1$ , $q = 0, 9$

$C_{3}^{1} \cdot 0, 1 \cdot 0, 9^{2}$ формула Бернулли

$= 3 \cdot 0, 1 \cdot 0, 81$ = $0, 243$

Сам

Футболист забивает пенальти с вероятностью $0, 8$ . Забьёт все $5$ ? $0, 32768$
Тест: $3$ вопроса по $4$ варианта, ответы наугад. Ровно $2$ верных? $\frac{9}{64}$
В семье $3$ ребёнка, $P (мальчик) = 0, 5$ . Хотя бы одна девочка? $\frac{7}{8}$

R04.3 · R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли $C_{n}^{k}$ : ровно $2$ орла из $3$	$0, 5^{2} \cdot 0, 5 = \frac{1}{8}$	$C_{3}^{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
степени не у тех $p$ и $q$ : ровно $1$ успех из $3$ , $p = 0, 8$	$3 \cdot 0, 8^{2} \cdot 0, 2 = 0, 384$	$3 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2^{2} = 0, 096$
первый успех на $3$ -й попытке, $p = 0, 9$	$0, 9^{2} \cdot 0, 1 = 0, 081$	$0, 1^{2} \cdot 0, 9 = 0, 009$
«хотя бы один» как $n p$ : $p = 0, 4$ , $n = 3$	$3 \cdot 0, 4 = 1, 2$	$1 - 0, 6^{3} = 0, 784$

R04.3 · R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают $3$ раза. Ровно одна «шестёрка»

$\frac{1}{6} \cdot (\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{216}$

забыт множитель $C_{3}^{1} = 3$

$3 \cdot \frac{25}{216} = \frac{25}{72}$

б) $p = 0, 3$ , до первого успеха. Успех не позже $2$ -й попытки

$0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 21$

это «впервые на $2$ -й»; забыт успех сразу

$0, 3 + 0, 21 = 1 - 0, 7^{2} = 0, 51$

в) Монету бросают $4$ раза. Хотя бы один орёл

$C_{4}^{1} \cdot \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$

это «ровно один орёл»

$1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

R04.3 · R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Серия Бернулли

Монету бросают $3$ раза: ровно один орёл $\frac{3}{8}$
$p = 0, 9$ , $n = 2$ : оба раза успех $0, 81$
$p = 0, 5$ , $n = 4$ : ровно $2$ успеха $0, 375$
$p = 0, 2$ , $n = 3$ : хотя бы один успех $0, 488$

До первого успеха

Монета: орёл впервые на $3$ -м броске $\frac{1}{8}$
$p = 0, 7$ : первый успех на $2$ -й попытке $0, 21$
$p = 0, 1$ : три неудачи подряд $0, 729$

R04.3 · R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Монету бросают $6$ раз. Что вероятнее: ровно $3$ орла или ровно $2$ ? На сколько? $3$ орла, на $\frac{5}{64}$
повыш.Стрелок ( $p = 0, 6$ ) стреляет $4$ раза. Найдите вероятность не менее $3$ попаданий $0, 4752$
из жизниСколько раз нужно бросить кубик, чтобы «шестёрка» выпала хотя бы раз с вероятностью больше $0, 5$ ? $4$
из жизниБрак — $5 %$ лампочек, в коробке $4$ штуки. Вероятность, что бракованных не больше одной (до тысячных)? $0, 986$

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно два раза.

$0, 375$

2. Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что оба раза выпало число, большее $3$ .

$0, 25$

3. Биатлонист $5$ раз стреляет по мишеням, вероятность попадания $0, 8$ . Найдите вероятность того, что он первые $3$ раза попал, а последние $2$ промахнулся.

$0, 02048$

В бланк — число без единиц:

0, 375

записывают как 0,375.

R04.3 · R04.5

Самостоятельная работа · 5 минут

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Монету бросают $4$ раза: ровно один орёл $0, 25$
$p = 0, 6$ : первый успех на $3$ -й попытке $0, 096$
$p = 0, 7$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 441$
$p = 0, 3$ , $n = 3$ : хотя бы один успех $0, 657$

Вариант 2

Монету бросают $4$ раза: ровно три орла $0, 25$
$p = 0, 4$ : первый успех на $3$ -й попытке $0, 144$
$p = 0, 9$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 243$
$p = 0, 4$ , $n = 3$ : хотя бы один успех $0, 784$

R04.1–R04.6

Теория · итоговая сводка правил

Испытания Бернулли на одном слайде

Испытание

два исхода: успех и неудача
$q = 1 - p$
«успех» — то, о чём спрашивают
испытания независимы

До первого успеха

впервые на $k$ -й:
$q^{k - 1} p$
не позже $n$ -й:
$1 - q^{n}$
больше $n$ попыток: $q^{n}$

Серия из $n$

ровно $k$ :
$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$
«хотя бы один»:
$1 - q^{n}$
«не менее» — сумма $P (k)$
сумма всех $P (k) = 1$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Когда опыт — серия Бернулли?
Зачем в формуле множитель $C_{n}^{k}$ ?
Как считать «хотя бы один»?
Чем «впервые на $k$ -й» отличается от «не позже $k$ -й»?

Домашнее задание

$p = 0, 6$ , $n = 4$ : ровно $2$ успеха
Кубик бросают до «шестёрки», не более $3$ раз: она выпадет
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-018 · Обобщение по теме «Испытания Бернулли»

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 6/6 · тип О
Единицы → слайды	R04.1 «Испытание» и R04.2 «Успех и неудача» → 2–4, 19 · R04.3 «Серия испытаний до первого успеха» → 4–6, 13–15, 18 · R04.4 «Испытания Бернулли» → 7 · R04.5 «Вероятности событий в серии испытаний Бернулли» → 7–18 · R04.6 «Практическая работа» → 10–11
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в сериях до первого успеха и Бернулли) → 3–18 · ПР-2 / REQ-5.2 (комбинаторика, $C_{n}^{k}$ ) → 3, 7–9 · ПР-1 / REQ-5.1 (таблицы, диаграммы) → 10–11 · ПР-6 / REQ-5.6 (распределение) → 10
Вне урока	случайная величина, математическое ожидание и дисперсия, в том числе числа успехов — VIS9-019, VIS9-020; закон больших чисел — VIS9-021
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Обобщение: успехи, неудачи и формула Бернулли

Сегодня вы закрепите

Описывать испытание

Серия до первого успеха

Формула Бернулли

Распределение числа успехов

Сочетания, степени, вероятности

Посчитайте

Испытания

Бросаем, пока не будет успеха: p=0,4

Сначала неудачи, потом успех

Образец: баскетболист попадает с вероятностью 0,7 и бросает до первого попадания. P(первое попадание — 3-й бросок)?

Сам

Сумма прогрессии или 1−qn

Образец: стрелок (p=0,6) стреляет до первого попадания, патронов 3. P(мишень поражена)?

Сам

Три испытания: ровно два успеха

Ровно k успехов из n

Образец: монету бросают 5 раз. P(ровно 3 орла)?

Сам

Складываем случаи или берём противоположное

Образец: стрелок (p=0,8) стреляет 3 раза. P(не менее двух попаданий)?

Сам

Монету бросают 4 раза: сколько орлов?

n=5, p=0,2: таблица распределения

Образец: ячейка B4

Сам: по таблице

Контроль качества, пенальти, тест

Образец: брак — 10% деталей. Проверяют 3 детали. P(ровно одна с браком)?

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают 3 раза. Ровно одна «шестёрка»

б) p=0,3, до первого успеха. Успех не позже 2-й попытки

в) Монету бросают 4 раза. Хотя бы один орёл

Решите и проверьте

Серия Бернулли

До первого успеха

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Испытания Бернулли на одном слайде

Испытание

До первого успеха

Серия из n

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-018 · Обобщение по теме «Испытания Бернулли»

Бросаем, пока не будет успеха: $p = 0, 4$

Образец: баскетболист попадает с вероятностью $0, 7$ и бросает до первого попадания. $P (первое попадание — 3- й бросок)$ ?

Сумма прогрессии или $1 - q^{n}$

Образец: стрелок ( $p = 0, 6$ ) стреляет до первого попадания, патронов $3$ . $P (мишень поражена)$ ?

Ровно $k$ успехов из $n$

Образец: монету бросают $5$ раз. $P (ровно 3 орла)$ ?

Образец: стрелок ( $p = 0, 8$ ) стреляет $3$ раза. $P (не менее двух попаданий)$ ?

Монету бросают $4$ раза: сколько орлов?

$n = 5$ , $p = 0, 2$ : таблица распределения

Образец: брак — $10 %$ деталей. Проверяют $3$ детали. $P (ровно одна с браком)$ ?

а) Кубик бросают $3$ раза. Ровно одна «шестёрка»

б) $p = 0, 3$ , до первого успеха. Успех не позже $2$ -й попытки

в) Монету бросают $4$ раза. Хотя бы один орёл

Серия из $n$