Испытания Бернулли · урок 5 из 6

Практикум: испытание, успех и неудача

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9-017

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 5/6, единицы R04.1 «Испытание», R04.2 «Успех и неудача». Тип урока — П (практикум): теория — короткая сводка, основное время — решение задач. Опора — VIS9-013 … VIS9-016 (испытание, первый успех, формула Бернулли, практическая работа).
Хронометраж: Теория 13 мин · практика 32 мин (71 %), итого 45 мин.
Теория (13 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (сводка: испытание, успех, неудача) 3,5 · 6 (дерево серии испытаний) 4 · 8 (сводка формул для серии) 3,5.
Практика (32 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5, 7, 9, 10, 11, 12) по 2,5 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 2,5 · повышенный уровень (сл. 16) 2 · ОГЭ (сл. 17) 1,5 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — дерево двух испытаний; выделен путь «успех, потом неудача», его вероятность $p \cdot q$ .
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; сводки теории не сокращать.

R04.1 · R04.2

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Испытание

видеть в задаче испытание с двумя исходами и называть успех и неудачу (ПР-5)

$p$ и $q$

находить вероятности успеха и неудачи, проверять $p + q = 1$ (ПР-5)

Серия

считать вероятность цепочки по дереву, первого успеха и «хотя бы одного» (ПР-5)

Ровно $k$ успехов

применять $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ в задачах из жизни (ПР-2, ПР-5)

повторение: VIS9-013 … VIS9-016

Разминка · устно

Степени, дроби, сочетания

Вычислите

$1 - 0, 3$ $0, 7$
$0, 4^{2}$ $0, 16$
$0, 5^{3}$ $0, 125$
$0, 2^{3}$ $0, 008$

Найдите

$C_{4}^{2}$ $6$
$C_{5}^{1}$ $5$
$\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}$ $\frac{5}{36}$
$0, 9 \cdot 0, 1$ $0, 09$

R04.1 · R04.2

Теория · сводка: испытание, успех и неудача

Два исхода: успех и неудача

Испытание — случайный опыт, в котором нас интересуют только два исхода: успех и неудача.

p + q = 1

Монета: успех — орёл,

p = 0, 5

. Кубик: успех — «шестёрка»,

p = \frac{1}{6}

.

«Успех» — просто название: успехом можно назвать и брак.

3,5 мин · теория
Испытание (учебник Высоцкого–Ященко) — опыт, у которого два элементарных события: успех (У) с вероятностью $p$ и неудача (Н) с вероятностью $q$ . Это противоположные события, поэтому $q = 1 - p$ .
Любой опыт можно свести к испытанию: у кубика шесть исходов, но если интересует только «шестёрка», то успех — ${6}$ , неудача — ${1, 2, 3, 4, 5}$ , $p = \frac{1}{6}$ , $q = \frac{5}{6}$ .
Вопрос классу: в контроле качества что удобнее назвать успехом — исправную деталь или брак? (Что спрашивают в задаче — то и успех; слово «успех» не означает «хорошо».)

R04.1 · R04.2

Образец → сам · испытание, успех, p и q

Назовите успех, найдите $p$ и $q$

Образец: кубик бросают один раз. Успех — выпало больше $4$

успех: ${5, 6}$ два исхода из шести

$p = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ классическая вероятность

$q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ неудача: ${1, 2, 3, 4}$

проверка: $\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$ = $1$

Сам: найдите $p$ и $q$

Монета, успех — решка $0, 5$ ; $0, 5$
Из $25$ билетов $3$ выигрышных; тянут один. Успех — выигрыш $0, 12$ ; $0, 88$
Брак — $2 %$ деталей. Успех — деталь исправна $0, 98$ ; $0, 02$
обратная $q = 0, 35$ . Найдите $p$ $0, 65$

R04.1 · R04.2

Теория · дерево серии испытаний

Три испытания — восемь цепочек

Испытания независимы: на каждом шаге вероятности успеха и неудачи те же — $p$ и $q$ .

Вероятность цепочки — произведение вдоль пути:

P (УНУ) = p \cdot q \cdot p = p^{2} q

.

Событие из нескольких цепочек — сумма их вероятностей.

4 мин · теория
Учитель строит дерево вместе с классом: из каждой вершины — две ветви (У с вероятностью $p$ , Н с вероятностью $q$ ). После $n$ испытаний — $2^{n}$ цепочек; для $n = 3$ их $8$ .
Правило умножения: вероятность цепочки равна произведению вероятностей на рёбрах её пути. Выделенный путь УНУ: $p \cdot q \cdot p = p^{2} q$ .
Правило сложения: цепочки несовместны, поэтому вероятность события «ровно два успеха» = $P (УУН) + P (УНУ) + P (НУУ) = 3 p^{2} q$ . Проверка: сумма всех восьми равна $(p + q)^{3} = 1$ .
Вопрос: зависит ли вероятность цепочки от порядка букв? (Нет — только от числа У и Н; поэтому цепочки с одинаковым числом успехов равновероятны.)

R04.1 · R04.2

Образец → сам · дерево двух испытаний

Стрелок попадает с вероятностью $0, 7$

Образец: два выстрела. $P (ровно одно попадание)$

$P (УН) = 0, 7 \cdot 0, 3 = 0, 21$ путь по дереву

$P (НУ) = 0, 3 \cdot 0, 7 = 0, 21$ второй путь

$P = 0, 21 + 0, 21$ = $0, 42$

Сам

Тот же стрелок: два попадания $0, 49$
Тот же стрелок: два промаха $0, 09$
Кубик бросают дважды. $P (ровно одна шестёрка)$ $\frac{10}{36} = \frac{5}{18}$

R04.3 · R04.5 (повторение)

Теория · сводка: события в серии из n испытаний

Пять формул для серии

Событие	Вероятность	Пример: $p = q = 0, 5$ , $n = 3$
все $n$ — успехи	$p^{n}$	$0, 125$
ни одного успеха	$q^{n}$	$0, 125$
хотя бы один успех	$1 - q^{n}$	$0, 875$
первый успех — в $k$ -м испытании	$q^{k - 1} p$	$k = 2$ : $0, 25$
ровно $k$ успехов	$C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$	$k = 2$ : $0, 375$

3,5 мин · теория
Каждая формула — следствие дерева: 1) единственная цепочка УУ…У; 2) единственная цепочка НН…Н; 3) противоположное событие ко второму; 4) цепочка Н…НУ ( $k - 1$ неудач, затем успех; что дальше — не важно); 5) $C_{n}^{k}$ цепочек, каждая с вероятностью $p^{k} q^{n - k}$ (формула Бернулли, VIS9-015).
Пример (монету бросают 3 раза, успех — орёл): $0, 5^{3} = 0, 125$ ; $0, 125$ ; $1 - 0, 125 = 0, 875$ ; первый орёл при втором броске $0, 5 \cdot 0, 5 = 0, 25$ ; ровно два орла $C_{3}^{2} \cdot 0, 125 = 3 \cdot 0, 125 = 0, 375$ .
Вопрос: какие две строки — противоположные события? (2 и 3.)

R04.3

Образец → сам · серия до первого успеха

Бросают до первого попадания

Образец: баскетболист попадает с $p = 0, 6$ . $P (первое попадание — 3- й бросок)$

цепочка: Н, Н, У два промаха, затем попадание

$q = 1 - 0, 6 = 0, 4$

$P = 0, 4 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6$ = $0, 096$

Сам

Кубик бросают до первой шестёрки. $P (она при 2- м броске)$ $\frac{5}{36}$
Монету — до первого орла. $P (орёл впервые при 4- м броске)$ $0, 0625$
Баскетболист ( $p = 0, 6$ ): понадобится больше $2$ бросков $0, 16$
Он же: хватит не больше $2$ бросков $0, 84$

R04.2 · R04.5

Образец → сам · хотя бы один успех

Через противоположное событие

Образец: выигрыш по билету — $0, 1$ ; купили $3$ билета разных тиражей. $P (хотя бы один выигрыш)$

$\overline{A}$ : ни одного выигрыша цепочка ННН

$P (\overline{A}) = 0, 9^{3} = 0, 729$ $q = 0, 9$

$P (A) = 1 - 0, 729$ = $0, 271$

Сам

Монету бросают $4$ раза: хотя бы один орёл $0, 9375$
Стрелок ( $p = 0, 7$ ), $3$ выстрела: хотя бы одно попадание $0, 973$
обратнаяПри каком наименьшем $n$ вероятность хотя бы одного орла за $n$ бросков больше $0, 95$ ? $n = 5$

R04.5

Образец → сам · ровно k успехов

Сколько цепочек — столько слагаемых

Образец: монету бросают $4$ раза. $P (ровно 2 орла)$

$n = 4$ , $k = 2$ , $p = q = 0, 5$ успех — орёл

$C_{4}^{2} = 6$ цепочек с двумя У

УУННУНУНУННУНУУННУНУННУУ

каждая: $0, 5^{2} \cdot 0, 5^{2} = \frac{1}{16}$

$P = 6 \cdot \frac{1}{16}$ = $0, 375$

Сам

Стрелок ( $p = 0, 8$ ), $3$ выстрела: ровно $2$ попадания $0, 384$
Монету бросают $5$ раз: ровно $3$ орла $0, 3125$
Кубик бросают $3$ раза: ровно одна шестёрка $\frac{75}{216} = \frac{25}{72}$

R04.2 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества

Брак — $5 %$ деталей, проверяют $3$ штуки

Образец: партию принимают, если среди трёх нет брака. $P (принята)$

успех — брак: $p = 0, 05$ , $q = 0, 95$

нужна цепочка ННН ни одного брака

$P = 0, 9 5^{3} = 0, 857375$ точно

$P \approx$ $0, 86$ до сотых

Сам (до тысячных)

Те же детали: хотя бы одна бракованная $0, 143$
Дождь в каждый из $3$ дней — с вероятностью $0, 2$ . Все дни без дождя $0, 512$
Тест: $4$ вопроса по $2$ варианта, ответы наугад. Угадать все $0, 063$

R04.1 · R04.2

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
сложили вместо умножения: $p = 0, 7$ , два попадания подряд	$0, 7 + 0, 7 = 1, 4$	$0, 7 \cdot 0, 7 = 0, 49$
«хотя бы один» как $n \cdot p$ : $3$ билета по $0, 1$	$3 \cdot 0, 1 = 0, 3$	$1 - 0, 9^{3} = 0, 271$
забыли число цепочек: ровно $2$ орла из $4$	$0, 5^{4} = 0, 0625$	$C_{4}^{2} \cdot 0, 5^{4} = 0, 375$
первый успех в $3$ -м, $p = 0, 6$ : перепутали $p$ и $q$	$0, 6^{2} \cdot 0, 4$	$0, 4^{2} \cdot 0, 6 = 0, 096$

R04.1 · R04.2

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) $p = 0, 2$ , три испытания. $P (ровно один успех)$ ?

$P = 0, 2 \cdot 0, 8^{2} = 0, 128$

это только цепочка УНН, а их три: УНН, НУН, ННУ

$P = 3 \cdot 0, 128 = 0, 384$

б) Кубик бросают до первой шестёрки. $P (при 3- м броске)$ ?

$P = (\frac{1}{6})^{3} = \frac{1}{216}$

первые два броска — неудачи: цепочка ННУ

$P = (\frac{5}{6})^{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$

в) Стрелок ( $p = 0, 9$ ), два выстрела. $P (хотя бы один промах)$ ?

$P = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2$

противоположное — оба попадания: $0, 81$

$P = 1 - 0, 81 = 0, 19$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Одно и два испытания

$p = 0, 35$ . Найдите $q$ $0, 65$
Стрелок ( $p = 0, 9$ ), $2$ выстрела: оба промаха $0, 01$
Кубик бросают дважды: ни одной шестёрки $\frac{25}{36}$
$p = 0, 4$ , $2$ испытания: хотя бы один успех $0, 64$

Серии

Монету бросают $3$ раза: все — решки $0, 125$
$p = 0, 5$ : первый успех — в $3$ -м испытании $0, 125$
Монету бросают $4$ раза: ровно один орёл $0, 25$

R04.1 · R04.2

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Стрелок попадает с $p = 0, 8$ . Какое наименьшее число выстрелов нужно, чтобы вероятность хотя бы одного попадания была не меньше $0, 99$ ? $3$
повыш.Кубик бросают до первой шестёрки. $P (понадобится не больше 3 бросков)$ $\frac{91}{216} \approx 0, 42$
повыш.Монету бросают $5$ раз. $P (орлов больше, чем решек)$ $0, 5$
из жизниТеннисист выигрывает партию с вероятностью $0, 6$ . Матч — до двух побед в партиях. $P (он выиграет матч)$ $0, 648$

2 мин · практика
В парах, по готовности; ответы — по клику. Задания 3–4 при нехватке времени — в ДЗ.
1) $1 - 0, 2^{n} \geq 0, 99 \Leftrightarrow 0, 2^{n} \leq 0, 01$ : $n = 2$ — $0, 04$ (мало), $n = 3$ — $0, 008$ (подходит). Ответ $3$ .
2) Противоположное — первые три броска без шестёрки: $1 - (\frac{5}{6})^{3} = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216} \approx 0, 42$ .
3) Орлов 3, 4 или 5: $\frac{C _{5}^{3} + C _{5}^{4} + C _{5}^{5}}{32} = \frac{10 + 5 + 1}{32} = 0, 5$ (или из симметрии: орлов и решек поровну быть не может).
4) Цепочки побед: УУ, УНУ, НУУ: $0, 36 + 2 \cdot 0, 6 \cdot 0, 4 \cdot 0, 6 = 0, 36 + 0, 288 = 0, 648$ . Матч может кончиться после двух партий — это не серия фиксированной длины; можно «доиграть» до трёх партий: $P (не меньше 2 побед из 3) = 3 \cdot 0, 36 \cdot 0, 4 + 0, 216 = 0, 648$ ✓.

R04.2 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно один раз.

Ответ: $0, 5$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 8$ . Он стреляет $3$ раза. Найдите вероятность того, что первые два раза он попал, а в третий раз промахнулся.

Ответ: $0, 128$

3. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Ответ: $0, 125$

В бланк — десятичная дробь без пробелов и единиц:

0, 128

.

R04.1 · R04.2

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

$p = 0, 3$ . Найдите $q$ $0, 7$
Стрелок ( $p = 0, 6$ ), $2$ выстрела: оба попадания $0, 36$
Монету бросают до первого орла: он при $3$ -м броске $0, 125$
$p = 0, 2$ , $3$ испытания: хотя бы один успех $0, 488$

Вариант 2

$p = 0, 45$ . Найдите $q$ $0, 55$
Стрелок ( $p = 0, 7$ ), $2$ выстрела: оба промаха $0, 09$
Кубик бросают до первой шестёрки: она при $2$ -м броске $\frac{5}{36}$
Монету бросают $3$ раза: ровно $2$ орла $0, 375$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что такое испытание и как связаны $p$ и $q$ ?
Когда вероятности умножают, а когда складывают?
Как удобнее найти «хотя бы один успех»?

Домашнее задание

$p = 0, 25$ , $3$ испытания: ровно один успех; кубик до первой шестёрки — она при $3$ -м броске
Монету бросают $6$ раз: хотя бы один орёл
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-017 · Практикум: испытание

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 5/6 · тип П (практикум)
Единицы → слайды	R04.1 «Испытание» → 2, 4–7, 13–18 · R04.2 «Успех и неудача» → 4, 5, 10, 12–18 · повторение R04.3 (первый успех) → 8, 9 · R04.5 (формула Бернулли) → 8, 11
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в сериях испытаний до первого успеха и Бернулли) → 4–18 · ПР-2 / REQ-5.2 (число цепочек $C_{n}^{k}$ ) → 6, 11 · EL-5.6, EL-5.7
Вне урока	обобщение по R04 и контроль — VIS9-018; случайная величина «число успехов», её мат. ожидание и дисперсия — VIS9-019 и далее
Время	теория 13 мин · практика 32 мин (71 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Практикум: испытание, успех и неудача

Сегодня вы научитесь

Испытание

p и q

Серия

Ровно k успехов

Степени, дроби, сочетания

Вычислите

Найдите

Два исхода: успех и неудача

Назовите успех, найдите p и q

Образец: кубик бросают один раз. Успех — выпало больше 4

Сам: найдите p и q

Три испытания — восемь цепочек

Стрелок попадает с вероятностью 0,7

Образец: два выстрела. P(ровно одно попадание)

Сам

Пять формул для серии

Бросают до первого попадания

Образец: баскетболист попадает с p=0,6. P(первое попадание — 3-й бросок)

Сам

Через противоположное событие

Образец: выигрыш по билету — 0,1; купили 3 билета разных тиражей. P(хотя бы один выигрыш)

Сам

Сколько цепочек — столько слагаемых

Образец: монету бросают 4 раза. P(ровно 2 орла)

Сам

Брак — 5% деталей, проверяют 3 штуки

Образец: партию принимают, если среди трёх нет брака. P(принята)

Сам (до тысячных)

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) p=0,2, три испытания. P(ровно один успех)?

б) Кубик бросают до первой шестёрки. P(при 3-м броске)?

в) Стрелок (p=0,9), два выстрела. P(хотя бы один промах)?

Решите и проверьте

Одно и два испытания

Серии

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-017 · Практикум: испытание

$p$ и $q$

Ровно $k$ успехов

Назовите успех, найдите $p$ и $q$

Образец: кубик бросают один раз. Успех — выпало больше $4$

Сам: найдите $p$ и $q$

Стрелок попадает с вероятностью $0, 7$

Образец: два выстрела. $P (ровно одно попадание)$

Образец: баскетболист попадает с $p = 0, 6$ . $P (первое попадание — 3- й бросок)$

Образец: выигрыш по билету — $0, 1$ ; купили $3$ билета разных тиражей. $P (хотя бы один выигрыш)$

Образец: монету бросают $4$ раза. $P (ровно 2 орла)$

Брак — $5 %$ деталей, проверяют $3$ штуки

Образец: партию принимают, если среди трёх нет брака. $P (принята)$

а) $p = 0, 2$ , три испытания. $P (ровно один успех)$ ?

б) Кубик бросают до первой шестёрки. $P (при 3- м броске)$ ?

в) Стрелок ( $p = 0, 9$ ), два выстрела. $P (хотя бы один промах)$ ?