Испытания Бернулли · урок 4 из 6 · практическая работа

Испытания Бернулли в электронных таблицах

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9-016

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 4/6, единица R04.6 «Практическая работа „Испытания Бернулли“». Тип урока — И (практическая работа). Опора: испытание, успех и неудача (VIS9-013), серия до первого успеха (VIS9-014), формула Бернулли (VIS9-015), функции ЧИСЛКОМБ и СЛЧИС (VIS9-007).
Хронометраж: Теория 12 мин · практика 33 мин (73 %), итого 45 мин.
Теория (12 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (формула Бернулли в ячейке) 3 · 6 (план практической работы) 1,5 · 7 (таблица распределения, закреплённые ссылки) 2,5 · 11 («хотя бы один успех», учитель решает сам) 3.
Практика (33 мин): разминка (сл. 3) 2 · образцы → сам (сл. 5, 9, 12, 15) по 2 · исследования в таблице (сл. 8, 10, 14 — по 2,5; сл. 13 — 2) · типичные ошибки (сл. 16) 1,5 · найди ошибку (сл. 17) 2 · самопроверка, база (сл. 18) 2 · повышенный уровень (сл. 19) 2 · ОГЭ (сл. 20) 2 · самостоятельная работа (сл. 21) 3 · итог (сл. 22) 1.
Нужен компьютерный класс (Excel, «Р7-Офис», LibreOffice Calc или Google Таблицы) — по компьютеру на пару. Без компьютеров: формулы записывают в тетрадь, значения считают на калькуляторе, листы 1–3 показывает учитель со своего экрана.
Если не успеваете: сл. 14 (моделирование) показывает учитель, задания 3–4 сл. 19 — в ДЗ; теорию не сокращать.

R04.6

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Считать по формуле Бернулли в таблице

ЧИСЛКОМБ, знак ^ и БИНОМ.РАСП (ПР-5)

Строить распределение числа успехов

таблица и диаграмма для любых $n$ и $p$ (ПР-6)

Находить «хотя бы один успех»

$1 - q^{n}$ и сколько нужно испытаний (ПР-5)

Сравнивать частоту и вероятность

в сериях, смоделированных СЛЧИС (ПР-4)

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, в том числе … в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли». ПР-6 (= REQ-5.6): «Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей». ПР-4 (= REQ-5.4): «Находить частоты значений и частоты события, в том числе пользуясь результатами проведенных измерений и наблюдений».
Единица ФРП: R04.6; элементы содержания EL-5.6 «Испытание. Успех и неудача…», EL-5.7 «Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли». Деятельность по ФРП: «изучать в ходе практической работы, в том числе с помощью цифровых ресурсов, свойства вероятности в серии испытаний Бернулли».

повторение: VIS9-013 — VIS9-015

Разминка · устно

Успех, неудача, формула Бернулли

Вычислите

$p = 0, 3$ . Чему равно $q$ ? $0, 7$
$C_{4}^{2}$ $6$
$0, 5^{3}$ $0, 125$
$C_{5}^{0}$ и $C_{5}^{5}$ $1$ и $1$

Ответьте

Монету бросают $2$ раза. $P (два орла)$ $0, 25$
$p = 0, 8$ , два выстрела. $P (оба мимо)$ $0, 04$
Сколько цепочек из $5$ испытаний с ровно $1$ успехом? $C_{5}^{1} = 5$
Формула $P_{n} (k)$ $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$

R04.5 · R04.6

Теория · формула Бернулли в электронной таблице

Три множителя — три части формулы

$P_{n} (k) = C_{n}^{k} \cdot p^{k} \cdot q^{n - k}$

Что считаем	Формула в ячейке	Пример
$C_{n}^{k}$ , $p^{k}$ , $q^{n - k}$	=ЧИСЛКОМБ(4;2)0,5^20,5^2	$0, 375$
сразу $P_{n} (k)$	=БИНОМ.РАСП(k;n;p;ЛОЖЬ)	(2;4;0,5;ЛОЖЬ) $0, 375$
успех в одном опыте	=ЕСЛИ(СЛЧИС()<p;1;0)	$1$ или $0$

ЛОЖЬ — ровно

k

успехов; ИСТИНА — не более

k

. Порядок аргументов:

k

,

n

,

p

.

3 мин · теория
Повторяем формулу Бернулли: P_n(k) — вероятность ровно k успехов в n независимых испытаниях с вероятностью успеха p в каждом, q = 1 − p. C_n^k — число цепочек с k успехами, p^k q^(n−k) — вероятность одной такой цепочки.
Пример: монету бросают 4 раза, ровно 2 орла: C₄² · 0,5² · 0,5² = 6 · 0,0625 = 0,375. Знак ^ — возведение в степень (можно и СТЕПЕНЬ(0,5;2)).
БИНОМ.РАСП(k; n; p; ЛОЖЬ) — готовая функция формулы Бернулли (англ. BINOM.DIST, в старых версиях БИНОМРАСП). С последним аргументом ИСТИНА она даёт P(не более k успехов) = P(0) + … + P(k).
ЕСЛИ(СЛЧИС()<p;1;0): СЛЧИС() — случайное число из [0; 1); оно меньше p с вероятностью p — это и есть «успех» (1). В английской версии — IF(RAND()<p,1,0).

R04.5 · R04.6

Образец → сам · ровно k успехов

Найти $n$ , $k$ , $p$ — и в ячейку

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ . Три выстрела. $P (ровно 2 попадания)$

$n = 3, k = 2, p = 0, 7, q = 0, 3$ выстрелы независимы

$C_{3}^{2} \cdot 0, 7^{2} \cdot 0, 3 = 3 \cdot 0, 147$ формула Бернулли

=БИНОМ.РАСП(2;3;0,7;ЛОЖЬ)

Ответ: $0, 441$

Сам: формула и ответ

Монета $4$ раза: ровно $3$ орла (3;4;0,5;ЛОЖЬ) $0, 25$
Кубик $3$ раза: ровно одна шестёрка $\frac{25}{72} \approx 0, 347$
$p = 0, 9$ : все $5$ испытаний — успех $0, 9^{5} = 0, 59049$

R04.6

Практическая работа · инструкция

Три листа — три исследования

Лист 1 «Распределение»

$n$ и $p$ — в ячейках B1, B2.

Таблица $P (k)$ для $k = 0 \dots n$ и диаграмма.

Лист 2 «Хотя бы один»

$n = 1 \dots 15$ , рядом $1 - q^{n}$ .

Сколько испытаний нужно для $0, 9$ ?

Лист 3 «Опыт»

$100$ серий по $6$ бросков монеты через СЛЧИС.

Частота против вероятности.

В тетрадь: формулу каждой ответной ячейки, её значение и вывод одной фразой.

R04.6 · ПР-6

Теория · таблица распределения числа успехов

Одна формула — вся таблица

$B$1, $B$2 — $n$ и $p$ закреплены: при копировании не «уезжают»

A5 — своё $k$ в каждой строке

Протянули B5 до B11 — готово

Меняем

p

в B2 — пересчитывается вся таблица и диаграмма.

2,5 мин · теория
Лист 1: A1 «n», B1 = 6; A2 «p», B2 = 0,5; A4:B4 — заголовки; A5:A11 — k = 0…6 (ввести 0 и 1, протянуть). В B5: =БИНОМ.РАСП(A5;$B$1;$B$2;ЛОЖЬ), протянуть вниз. Абсолютные ссылки $B$1 и $B$2 при копировании не меняются, ссылка A5 становится A6, A7, …
Значения при n = 6, p = 0,5: 1/64, 6/64, 15/64, 20/64, 15/64, 6/64, 1/64 (0,0156; 0,0938; 0,2344; 0,3125; …) — числители 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 = строка 6 треугольника Паскаля (VIS9-006), потому что p^k q^(6−k) = 1/64 для любого k.
Без БИНОМ.РАСП: =ЧИСЛКОМБ($B$1;A5)*$B$2^A5*(1-$B$2)^($B$1-A5) — то же значение. Диаграмма: выделить B5:B11 → «Вставка» → «Гистограмма», подписи оси — A5:A11.

R04.6 · ПР-6

Исследование · распределение при p = 0,5

Лист 1: монету бросают $6$ раз

Какое $k$ вероятнее всего? $k = 3$
$P (k \geq 4)$ $\frac{11}{32} \approx 0, 34$
=СУММ(B5:B11) $1$
Где симметрия и почему? $P (k) = P (6 - k)$ : $p = q$

2,5 мин · практика (исследование)
Ученики строят лист 1 и отвечают по своей таблице и диаграмме. 1) k = 3, P = 20/64 = 0,3125 (розовая рамка). 2) P(4) + P(5) + P(6) = (15 + 6 + 1)/64 = 22/64 = 11/32 ≈ 0,344 (жёлтая рамка); в таблице =СУММ(B9:B11) или =1-БИНОМ.РАСП(3;6;0,5;ИСТИНА).
3) Сумма = 1: события «k = 0», …, «k = 6» несовместны и исчерпывают все исходы. 4) При p = q = 0,5 «успех» и «неудача» равноправны: P(k) = P(6 − k), диаграмма симметрична относительно k = 3.
Вопрос классу: удивительно ли, что «ровно 3 орла из 6» бывает лишь примерно в трети серий? (Нет: даже самое вероятное значение здесь меньше 1/3.)

R04.5 · ПР-6

Образец → сам · распределение числа успехов

Таблица $P (k)$ — сумма должна быть $1$

Образец: $n = 3$ , $p = 0, 4$ , $q = 0, 6$

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
формула	$q^{3}$	$3 p q^{2}$	$3 p^{2} q$	$p^{3}$
$P (k)$	$0, 216$	$0, 432$	$0, 288$	$0, 064$

сумма: $0, 216 + 0, 432 + 0, 288 + 0, 064 = 1$ проверка

Сам

$n = 2$ , $p = 0, 3$ : все $P (k)$ $0, 49; 0, 42; 0, 09$
$n = 3$ , $p = 0, 5$ : все $P (k)$ $\frac{1}{8}; \frac{3}{8}; \frac{3}{8}; \frac{1}{8}$
По образцу: $P (k \geq 2)$ $0, 352$

R04.6 · ПР-6

Исследование · как распределение зависит от p

Лист 1: $n = 10$ , меняем $p$ в ячейке B2

1. Наиболее вероятное $k$ при каждом $p$ ? $2; 5; 8$

2. Сравните с $n \cdot p$ . $n p = 2; 5; 8$

3. Чем похожи $p = 0, 2$ и $p = 0, 8$ ? зеркально

2,5 мин · практика (исследование)
Ученики добавляют строки до k = 10 (B1 = 10) и по очереди ставят в B2 значения 0,2; 0,5; 0,8, глядя на диаграмму. Столбик наиболее вероятного k подсвечивается по клику.
p = 0,2: P(2) ≈ 0,302 — максимум (P(1) ≈ 0,268, P(3) ≈ 0,201). p = 0,5: P(5) ≈ 0,246. p = 0,8: P(8) ≈ 0,302. Наиболее вероятное число успехов здесь совпадает с np — «в среднем успехов около np».
3) Диаграммы для p = 0,2 и p = 0,8 зеркальны: P₀,₈(k) = P₀,₂(10 − k), потому что успех и неудача меняются ролями. При p = 0,5 диаграмма симметрична сама себе.
Вывод в тетрадь: «Чем больше p, тем правее “горб” распределения; он находится около np». (Точное правило для наиболее вероятного числа — материал старших классов.)

R04.5 · ПР-5

Теория · «хотя бы один успех» через противоположное событие

Кубик бросают $4$ раза. $P (хотя бы одна шестёрка)$ ?

Напрямую: $P (1) + P (2) + P (3) + P (4)$ — четыре формулы Бернулли

Короче: $1 - q^{n} = 1 - (\frac{5}{6})^{4} = \frac{671}{1296}$

=1-(5/6)^4 →

0, 5177 \dots

«хотя бы один успех»

= 1 - q^{n}

3 мин · теория (учитель решает пример сам)
Событие «хотя бы одна шестёрка» противоположно событию «ни одной шестёрки», то есть «все 4 броска — неудача». По формуле Бернулли P₄(0) = C₄⁰ p⁰ q⁴ = (5/6)⁴ = 625/1296 ≈ 0,482. Значит, P = 1 − 625/1296 = 671/1296 ≈ 0,518.
Напрямую: P(1) = 500/1296, P(2) = 150/1296, P(3) = 20/1296, P(4) = 1/1296; сумма 671/1296 ✓ — длинно. Проверено python.
Исторический пример (кавалер де Мере, XVII в.): ставка «хотя бы одна шестёрка за 4 броска» выгодна — вероятность чуть больше 1/2.
Вопрос: почему нельзя сложить 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 2/3? (События «шестёрка в 1-м броске», «во 2-м» … совместны; при 7 бросках такая «вероятность» стала бы больше 1.)

R04.5 · ПР-5

Образец → сам · хотя бы один успех

$1 - q^{n}$ : сначала «ни одного»

Образец: лампочка перегорает за год с вероятностью $0, 1$ . В люстре $3$ лампочки. $P (хотя бы одна перегорит)$

«ни одна»: $0, 9^{3} = 0, 729$ все три — неудача

$P = 1 - 0, 729$ = $0, 271$ противоположное

=1-0,9^3

Сам

Монета $5$ раз: хотя бы один орёл $\frac{31}{32} = 0, 96875$
$p = 0, 6$ , $3$ выстрела: хотя бы одно попадание $0, 936$
$p = 0, 2$ , $2$ испытания: хотя бы одна неудача $0, 96$

R04.6 · ПР-5

Исследование · сколько испытаний нужно

Лист 2: $p = 0, 2$ , столбец $1 - 0, 8^{n}$

B2: =1-(1-0,2)^A2

$P$ при $n = 5$ $\approx 0, 672$
Наименьшее $n$ , при котором $P \geq 0, 9$ $n = 11$
Может ли $P$ стать равной $1$ ? нет: $0, 8^{n} > 0$

2 мин · практика (исследование)
Лист 2: A2:A16 — n = 1…15, в B2 формула =1-(1-0,2)^A2 протянута вниз (лучше p в отдельной ячейке со ссылкой $E$1). Значения: n = 1 — 0,2; 2 — 0,36; 3 — 0,488; 5 — 0,6723; 10 — 0,8926; 11 — 0,9141; 12 — 0,9313.
1) 1 − 0,8⁵ = 1 − 0,32768 = 0,67232. 2) 0,8¹⁰ ≈ 0,107 > 0,1, а 0,8¹¹ ≈ 0,086 < 0,1 — нужно 11 испытаний (розовые столбики выше красной линии 0,9). 3) Нет: 0,8ⁿ уменьшается, но всегда положительно — вероятность растёт и приближается к 1, не достигая её.
Связь с прошлым уроком (VIS9-014): «первый успех наступит не позже n-го испытания» — это то же событие «хотя бы один успех за n испытаний»; 1 − qⁿ — сумма геометрической прогрессии p + pq + … + pq^(n−1).

R04.6 · ПР-4

Исследование · моделирование серий в таблице

Лист 3: $100$ серий по $6$ бросков

H2: =СУММ(B2:G2)

J2: =СЧЁТЕСЛИ(H2:H101;3)/100

Частота « $3$ орла» на рисунке (по $8$ сериям)? $\frac{3}{8} = 0, 375$
Какое число ждёте в J2? около $0, 31$
F9 пять раз: что меняется? частота, а не $P$

2,5 мин · практика (исследование)
Лист 3: B2:G101 — формула =ЕСЛИ(СЛЧИС()<0,5;1;0) (1 — орёл), H — число орлов в серии, J2 — частота серий ровно с тремя орлами. Числа на рисунке — пример одного запуска, у каждого будут свои.
1) На рисунке серии 1, 3, 6 дали 3 орла: 3/8 = 0,375. 2) Теоретически P₆(3) = 0,3125 (лист 1) — частота при 100 сериях обычно от 0,22 до 0,40. 3) При каждом пересчёте (F9) частота другая, а вероятность 0,3125 — постоянное число.
Дополнительно (если есть время): 1000 серий (строки до 1001, деление на 1000) — частоты от запуска к запуску ближе к 0,31. Это проявление закона больших чисел (подробно — R05, VIS9-021).
Без компьютеров: каждая пара бросает монету 6 раз × 5 серий, класс суммирует серии на доске.

R04.5 · ПР-5

Образец → сам · «не менее» и «не более»

Складываем несколько $P (k)$ — или вычитаем из $1$

Образец: монету бросают $4$ раза. $P (не менее 2 орлов)$

противоположное: $k = 0$ или $k = 1$ меньше слагаемых

$P (0) + P (1) = \frac{1}{16} + \frac{4}{16} = \frac{5}{16}$

$P = 1 - \frac{5}{16}$ = $\frac{11}{16} = 0, 6875$

=1-БИНОМ.РАСП(1;4;0,5;ИСТИНА)

Сам

$p = 0, 8$ , $3$ выстрела: не менее $2$ попаданий $0, 896$
Монета $5$ раз: не более $1$ орла $\frac{3}{16} = 0, 1875$
Тест из $4$ вопросов «да/нет», ответы наугад: не менее $3$ верных $\frac{5}{16} = 0, 3125$

R04.5 · R04.6

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли $C_{n}^{k}$	$P_{3} (2) = 0, 7^{2} \cdot 0, 3 = 0, 147$	$3 \cdot 0, 147 = 0, 441$ — три цепочки
«хотя бы один» через $p$	$1 - 0, 1^{3} = 0, 999$	$1 - q^{n} = 1 - 0, 9^{3} = 0, 271$
ИСТИНА вместо ЛОЖЬ	=БИНОМ.РАСП(2;3;0,7;ИСТИНА) $0, 657$	ЛОЖЬ → ровно $2$ : $0, 441$
сложили для совместных: $P > 1$	$7$ бросков: $7 \cdot \frac{1}{6} = \frac{7}{6}$	$1 - (\frac{5}{6})^{7} \approx 0, 72$

R04.5 · R04.6

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Лист 1: в B5 формула протянута вниз

=БИНОМ.РАСП(A5;B1;B2;ЛОЖЬ)

в B6 уже B2;B3 — $n$ и $p$ «уехали»

(A5;$B$1;$B$2;ЛОЖЬ)

б) Монета $5$ раз, $P (ровно 2 орла)$

$C_{5}^{2} \cdot 0, 5^{2} = 10 \cdot 0, 25 = 2, 5$

$P > 1$ ! пропущен множитель $q^{3}$

$10 \cdot 0, 5^{5} = \frac{10}{32} = 0, 3125$

в) $p = 0, 9$ , $2$ выстрела. $P (хотя бы одно попадание)$

$1 - 0, 9^{2} = 0, 19$

противоположное — «оба промаха»: $q^{2}$

$1 - 0, 1^{2} = 0, 99$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) Относительные ссылки B1 и B2 при копировании вниз сдвигаются: в B6 получится =БИНОМ.РАСП(A6;B2;B3;ЛОЖЬ) — n = 0,5 и пустое p, ошибка. Верно — абсолютные $B$1 и $B$2 (сл. 7).
б) Ответ 2,5 > 1 — сигнал ошибки; P₅(2) = C₅² · 0,5² · 0,5³ = 10/32 = 0,3125. в) 1 − 0,9² = 0,19 — это вероятность «хотя бы один промах». Для «хотя бы одного попадания» противоположное — оба промаха: 0,1² = 0,01, ответ 0,99. Проверено python.

R04.5 · R04.6

Задания с самопроверкой · база

Формула в ячейке — и ответ

Что выдаст таблица?

=БИНОМ.РАСП(0;3;0,5;ЛОЖЬ) $0, 125$
=ЧИСЛКОМБ(4;1)*0,5^1*0,5^3 $0, 25$
=1-0,7^2 $0, 51$
Формула для $P_{5} (2)$ при $p = 0, 4$ (2;5;0,4;ЛОЖЬ) $0, 3456$

Решите

Монета $3$ раза: ровно $1$ орёл $0, 375$
Кубик $2$ раза: ровно одна шестёрка $\frac{5}{18}$
$p = 0, 9$ , $4$ испытания: ни одной неудачи $0, 6561$

R04.5 · R04.6

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Монету бросают $n$ раз; $P (ни одного орла) = \frac{1}{64}$ . Найдите $n$ $n = 6$
повыш.Сколько раз бросить монету, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 99$ ? не менее $7$
из жизниБрак — $5 %$ изделий. Контролёр берёт $10$ . $P (хотя бы одно бракованное)$ $\approx 0, 40$
из жизниТест: $5$ вопросов, у каждого $4$ варианта, ответы наугад. $P (не менее 4 верных)$ $\frac{1}{64} \approx 0, 016$

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Ответ — десятичной дробью

1. Симметричную монету бросают $3$ раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно $2$ раза.

$0, 375$

2. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0, 9$ . Он стреляет $2$ раза. Найдите вероятность того, что оба раза он промахнётся.

$0, 01$

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0, 06$ . Покупатель берёт $2$ батарейки. Найдите вероятность того, что обе исправны.

$0, 8836$

В бланк — число без единиц:

0, 375

записывают как 0,375.

R04.5 · R04.6

Самостоятельная работа · 3 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

=БИНОМ.РАСП(2;4;0,5;ЛОЖЬ) $0, 375$
$p = 0, 6$ , $3$ выстрела: ровно $2$ попадания $0, 432$
$p = 0, 3$ , $3$ испытания: хотя бы один успех $0, 657$

Вариант 2

=БИНОМ.РАСП(1;4;0,5;ЛОЖЬ) $0, 25$
$p = 0, 4$ , $3$ выстрела: ровно $2$ попадания $0, 288$
$p = 0, 2$ , $3$ испытания: хотя бы один успех $0, 488$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Что делают три множителя формулы Бернулли?
Чем ЛОЖЬ отличается от ИСТИНА?
Где «горб» распределения?
Как найти «хотя бы один успех»?

Домашнее задание

Лист 1 для $n = 8$ , $p = 0, 5$ : наиболее вероятное $k$ и $P_{8} (4)$
$p = 0, 9$ , $3$ попытки: $P (ровно 2 успеха)$
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-016 · Испытания Бернулли: практическая работа

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 4/6 · тип И
Единицы → слайды	R04.6 «Практическая работа „Испытания Бернулли“» → 2, 4, 6–8, 10, 13, 14, 16–18, 21 · повторение R04.1–R04.5 (испытание, успех и неудача, серия до первого успеха, формула Бернулли) → 3, 5, 9, 11, 12, 15, 19, 20
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в сериях испытаний Бернулли) → 3–5, 9, 11–13, 15–21 · ПР-6 / REQ-5.6 (распределение вероятностей) → 7–10 · ПР-4 / REQ-5.4 (частоты по результатам эксперимента) → 14
Вне урока	практикум «Испытание» — VIS9-017; случайная величина, мат. ожидание числа успехов и закон больших чисел — строка R05
Время	теория 12 мин · практика 33 мин (73 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Испытания Бернулли в электронных таблицах

Сегодня вы научитесь

Считать по формуле Бернулли в таблице

Строить распределение числа успехов

Находить «хотя бы один успех»

Сравнивать частоту и вероятность

Успех, неудача, формула Бернулли

Вычислите

Ответьте

Три множителя — три части формулы

Найти n, k, p — и в ячейку

Образец: стрелок попадает с вероятностью 0,7. Три выстрела. P(ровно 2 попадания)

Сам: формула и ответ

Три листа — три исследования

Лист 1 «Распределение»

Лист 2 «Хотя бы один»

Лист 3 «Опыт»

Одна формула — вся таблица

Лист 1: монету бросают 6 раз

Таблица P(k) — сумма должна быть 1

Образец: n=3, p=0,4, q=0,6

Сам

Лист 1: n=10, меняем p в ячейке B2

Кубик бросают 4 раза. P(хотя бы одна шестёрка)?

1−qn: сначала «ни одного»

Образец: лампочка перегорает за год с вероятностью 0,1. В люстре 3 лампочки. P(хотя бы одна перегорит)

Сам

Лист 2: p=0,2, столбец 1−0,8n

Лист 3: 100 серий по 6 бросков

Складываем несколько P(k) — или вычитаем из 1

Образец: монету бросают 4 раза. P(не менее 2 орлов)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Лист 1: в B5 формула протянута вниз

б) Монета 5 раз, P(ровно 2 орла)

в) p=0,9, 2 выстрела. P(хотя бы одно попадание)

Формула в ячейке — и ответ

Что выдаст таблица?

Решите

Подумайте и решите

Ответ — десятичной дробью

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-016 · Испытания Бернулли: практическая работа

Найти $n$ , $k$ , $p$ — и в ячейку

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 7$ . Три выстрела. $P (ровно 2 попадания)$

Лист 1: монету бросают $6$ раз

Таблица $P (k)$ — сумма должна быть $1$

Образец: $n = 3$ , $p = 0, 4$ , $q = 0, 6$

Лист 1: $n = 10$ , меняем $p$ в ячейке B2

Кубик бросают $4$ раза. $P (хотя бы одна шестёрка)$ ?

$1 - q^{n}$ : сначала «ни одного»

Образец: лампочка перегорает за год с вероятностью $0, 1$ . В люстре $3$ лампочки. $P (хотя бы одна перегорит)$

Лист 2: $p = 0, 2$ , столбец $1 - 0, 8^{n}$

Лист 3: $100$ серий по $6$ бросков

Складываем несколько $P (k)$ — или вычитаем из $1$

Образец: монету бросают $4$ раза. $P (не менее 2 орлов)$

б) Монета $5$ раз, $P (ровно 2 орла)$

в) $p = 0, 9$ , $2$ выстрела. $P (хотя бы одно попадание)$