Испытания Бернулли · урок 3 из 6

Испытания Бернулли

Вероятность и статистика · 9 класс · базовый уровень
ФРП «Математика», Москва – 2025 · строка R04 · VIS9-015

1 мин · теория (орг. момент, тема урока)
Паспорт: R04 «Испытания Бернулли» (6 ч), урок 3/6, единицы R04.4 «Испытания Бернулли», R04.5 «Вероятности событий в серии испытаний Бернулли». Тип урока — Н (новый материал). Опора — испытание, успех и неудача (VIS9-013), серия испытаний до первого успеха (VIS9-014), число сочетаний и треугольник Паскаля (VIS9-006).
Хронометраж: Теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %), итого 45 мин.
Теория (13,5 мин): сл. 1–2 (тема, цели) 2 · 4 (что такое испытания Бернулли) 3 · 6 (вероятность цепочки, дерево) 3 · 8 (формула Бернулли) 3,5 · 10 (распределение числа успехов, «хотя бы один») 2.
Практика (31,5 мин): разминка (сл. 3) 2,5 · образцы → сам (сл. 5) 1,5, (сл. 7) 2,5, (сл. 9) 3, (сл. 11) 3 · задача из жизни (сл. 12) 3 · типичные ошибки (сл. 13) 1,5 · найди ошибку (сл. 14) 2 · самопроверка, база (сл. 15) 3 · повышенный уровень (сл. 16) 2,5 · ОГЭ (сл. 17) 2 · самостоятельная работа (сл. 18) 4 · итог и ДЗ (сл. 19) 1.
Картинка на титуле — распределение числа орлов при 6 бросках монеты: высоты столбиков пропорциональны $C_{6}^{k}$ (1, 6, 15, 20, 15, 6, 1 из 64). Вопрос в конце урока: почему столбик «3 орла» самый высокий, но его вероятность всего $\frac{20}{64} = 0, 3125$ ?
Если не успеваете: задания 3–4 сл. 16 — в ДЗ; теоретические слайды не сокращать.

R04.4 · R04.5

Цели урока

Сегодня вы научитесь

Узнавать схему

отличать серию испытаний Бернулли: $n$ одинаковых независимых испытаний, успех с вероятностью $p$ (ПР-5)

Вероятность цепочки

находить вероятность цепочки успехов и неудач — произведение $p$ и $q$ (ПР-5)

Ровно $k$ успехов

применять формулу Бернулли $C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ (ПР-5, ПР-2)

Хотя бы один

считать через противоположное событие: $1 - q^{n}$ ; видеть распределение числа успехов (ПР-6)

1 мин · теория
ПР-5 (= REQ-5.5): «Находить вероятности случайных событий в изученных опытах, … в сериях испытаний до первого успеха, в сериях испытаний Бернулли». ПР-2 (= REQ-5.2): «Решать задачи … с использованием комбинаторных правил и методов» — число сочетаний $C_{n}^{k}$ . ПР-6 (= REQ-5.6): «Иметь представление о случайной величине и о распределении вероятностей» — распределение числа успехов (подготовка к R05). Элемент содержания EL-5.7: «Серия испытаний Бернулли. Вероятности событий в серии испытаний Бернулли».

повторение: VIS9-006, VIS9-013, VIS9-014

Разминка · устно

Успех, неудача, сочетания

Вероятности

$p = 0, 3$ . Найдите $q$ $0, 7$
$0, 2^{2} \cdot 0, 8$ $0, 032$
$0, 5^{4}$ $0, 0625$
Кубик дважды: $P (две шестёрки)$ $\frac{1}{36}$

Сочетания и серии

$C_{4}^{2}$ $6$
$C_{5}^{1}$ и $C_{5}^{0}$ $5$ и $1$
Монета: первый орёл — на 3-м броске $\frac{1}{8}$
Стрелок, $p = 0, 9$ : два промаха подряд $0, 01$

R04.4

Новое понятие · испытания Бернулли

Одно и то же испытание повторяют $n$ раз

Серия испытаний Бернулли — $n$ испытаний, в каждом:

два исхода: успех (У) и неудача (Н);
$P (У) = p$ — одна и та же; $P (Н) = q = 1 - p$ ;
испытания независимы друг от друга.

Число испытаний

n

задано заранее — в отличие от серии до первого успеха.

Монету бросают $10$ раз; успех — орёл: $n = 10$ , $p = \frac{1}{2}$

Кубик бросают $6$ раз; успех — «шестёрка»: $n = 6$ , $p = \frac{1}{6}$

Проверяют $20$ деталей; успех — брак: $n = 20$ , $p = 0, 05$

3 мин · теория
Определение (учебник Высоцкого–Ященко, 9 кл.): серия из $n$ одинаковых независимых испытаний, в каждом из которых два элементарных события — успех и неудача — с вероятностями $p$ и $q = 1 - p$ . Якоб Бернулли (1654–1705), книга «Искусство предположений».
«Успех» — просто название выделенного исхода, не обязательно хорошего: в контроле качества успех — найти брак.
Вопрос классу: почему «достать 3 шара из урны без возвращения» — не серия Бернулли? (После первого шара состав урны меняется — вероятность успеха во 2-м испытании другая, испытания зависимы.) С возвращением — серия Бернулли.
Отличие от VIS9-014: там серию продолжают до первого успеха, число испытаний случайно; здесь $n$ фиксировано, считаем, сколько будет успехов.

R04.4

Образец → сам · узнать испытания Бернулли

Найдите $n$ , успех и $p$ — или объясните, почему нет

Образец: стрелок делает $5$ выстрелов, попадает с вероятностью $0, 8$

испытание — выстрел, $n = 5$ число задано

успех — попадание, $p = 0, 8$ в каждом выстреле

неудача — промах, $q = 0, 2$ $q = 1 - p$

выстрелы независимы — серия Бернулли

Сам: серия Бернулли?

Монету бросают $8$ раз, считают решки да: $n = 8$ , $p = \frac{1}{2}$
Кубик бросают $4$ раза, считают «единицы» да: $n = 4$ , $p = \frac{1}{6}$
Из $5$ билетов, $2$ выигрышных, тянут $3$ без возвращения нет: $p$ меняется
Бросают мяч в кольцо до первого попадания нет: $n$ не задано

R04.5

Теория · вероятность цепочки в серии

Дерево серии из трёх испытаний

Исход серии — цепочка из У и Н. При $n = 3$ цепочек $2^{3} = 8$ .

Испытания независимы — вероятности умножаются вдоль пути:

P (УНУ) = p \cdot q \cdot p = p^{2} q

Цепочка с

k

успехами из

n

:

p^{k} q^{n - k}

— порядок не важен.

3 мин · теория
Дерево: от корня 2 ветви (У с вероятностью $p$ , Н — $q$ ), от каждого узла снова 2 ветви. Листьев $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ — это все элементарные события серии. Розовым выделен путь У → Н → У.
Правило умножения для независимых событий (8 кл., R01.3): $P (УНУ) = p \cdot q \cdot p$ . Справа у каждого листа — вероятность его цепочки.
Вопрос: какие цепочки имеют одинаковую вероятность? (Все с одинаковым числом успехов: УУН, УНУ, НУУ — по $p^{2} q$ .) Проверка: сумма всех восьми вероятностей $p^{3} + 3 p^{2} q + 3 p q^{2} + q^{3} = (p + q)^{3} = 1$ .

R04.5

Образец → сам · вероятность одной цепочки

Умножаем $p$ за каждый успех и $q$ за каждую неудачу

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью $0, 7$ . Три броска: попал, попал, промах

$p = 0, 7$ , $q = 0, 3$ успех — попадание

цепочка УУН: $p \cdot p \cdot q$ броски независимы

$0, 7 \cdot 0, 7 \cdot 0, 3$ = $0, 147$

Сам

Монета $4$ раза: О, Р, О, О $\frac{1}{16} = 0, 0625$
Кубик $3$ раза: «шестёрка», не «шестёрка», «шестёрка» $\frac{5}{216}$
$p = 0, 9$ , $n = 5$ : все $5$ — успехи $0, 59049$
подумайМонета: что вероятнее — ОООО или ОРОР? поровну: $\frac{1}{16}$

R04.5

Теория · формула Бернулли

Ровно $k$ успехов: сколько цепочек — и вероятность каждой

Ровно

2

успеха из

3

: цепочки УУН, УНУ, НУУ — их

C_{3}^{2} = 3

, каждая

p^{2} q

.

Выбрать, в каких

k

местах из

n

стоят У, —

C_{n}^{k}

способов.

P = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}

P (ровно 2 из 3) = 3 p^{2} q

3,5 мин · теория
Вывод. Событие «ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях» складывается из всех цепочек, где $k$ букв У и $n - k$ букв Н. Цепочки — несовместные элементарные события, их вероятности складываются. Каждая цепочка имеет вероятность $p^{k} q^{n - k}$ (сл. 6). Цепочка определяется выбором $k$ мест из $n$ для У — это $C_{n}^{k}$ способов (VIS9-006). Итого $P = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k}$ — формула Бернулли.
Здесь $n = 3$ , $k = 2$ : розовые пути УУН, УНУ, НУУ, $C_{3}^{2} = 3$ , $P = 3 p^{2} q$ . Например, при $p = 0, 7$ : $3 \cdot 0, 49 \cdot 0, 3 = 0, 441$ — втрое больше, чем у одной цепочки УУН из прошлого образца ( $0, 147$ ).
Частные случаи: $k = n$ — все успехи, $p^{n}$ ; $k = 0$ — ни одного успеха, $q^{n}$ ( $C_{n}^{0} = 1$ ).

R04.5

Образец → сам · формула Бернулли

Ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях

Образец: монету бросают $5$ раз. Найдите $P (ровно 3 орла)$

$n = 5$ , $k = 3$ , $p = q = \frac{1}{2}$ данные схемы

$C_{5}^{3} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 !} = 10$ число цепочек

$p^{3} q^{2} = (\frac{1}{2})^{5} = \frac{1}{32}$ одна цепочка

$P = \frac{10}{32}$ = $0, 3125$

Сам

Монета $4$ раза: ровно $2$ орла $0, 375$
$p = 0, 8$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 384$
Кубик $3$ раза: ровно одна «шестёрка» $\frac{25}{72}$

R04.5 · к R05

Теория · число успехов и «хотя бы один»

Монету бросают $4$ раза: сколько выпадет орлов?

Числители

1, 4, 6, 4, 1

— строка треугольника Паскаля:

C_{4}^{k}

.

Сумма вероятностей

k = 0, 1, \dots, n

равна

1

.

Хотя бы один успех — противоположно «ни одного»:

P = 1 - q^{n}

R04.5

Образец → сам · «хотя бы один» и «не меньше»

Сумма столбиков или противоположное событие

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ . Три выстрела. $P (хотя бы одно попадание)$

противоположное — три промаха ННН

$P (ННН) = 0, 4^{3} = 0, 064$ $q = 0, 4$

$P = 1 - 0, 064$ = $0, 936$

Сам

Монета $5$ раз: хотя бы один орёл $0, 96875$
Монета $4$ раза: не меньше $3$ орлов $0, 3125$
$p = 0, 9$ , $n = 3$ : не больше одной неудачи $0, 972$

R04.5 · из жизни

Образец → сам · задача из жизни: контроль качества и тест

Брак на заводе — $5 %$ изделий

Образец: контролёр берёт $4$ изделия. $P (ровно одно бракованное)$

успех — брак: $p = 0, 05$ , $q = 0, 95$ , $n = 4$

$P = C_{4}^{1} \cdot 0, 05 \cdot 0, 9 5^{3}$ формула Бернулли

$= 4 \cdot 0, 05 \cdot 0, 857375 = 0, 171475$

$P \approx$ $0, 17$

Сам

Те же $4$ изделия: ни одного бракованного (до сотых) $0, 81$
Тест: $4$ вопроса, у каждого $4$ варианта, ответы наугад. $P (ровно 2 верных)$ $\frac{27}{128}$
Футболист забивает пенальти с вероятностью $0, 8$ . $3$ удара: $P (не меньше 2 голов)$ $0, 896$

R04.5

Осторожно · типичные ошибки

Неверно → почему → верно

Где ошибаются	Неверно	Верно
забыли $C_{n}^{k}$ : монета $3$ раза, ровно $2$ орла	$(\frac{1}{2})^{3} = \frac{1}{8}$	$C_{3}^{2} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$
степень у $q$ — не $k$ , а $n - k$ : $p = 0, 8$ , $n = 3$ , ровно $1$ успех	$3 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2 = 0, 48$	$3 \cdot 0, 8 \cdot 0, 2^{2} = 0, 096$
«хотя бы один» как $n \cdot p$ : $p = 0, 6$ , $3$ выстрела	$3 \cdot 0, 6 = 1, 8 > 1$	$1 - 0, 4^{3} = 0, 936$
ни одного успеха: « $C_{n}^{0} = 0$ »	$P = 0$	$C_{n}^{0} = 1$ , $P = q^{n}$

R04.5

Найди ошибку

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают $4$ раза. $P (ровно две « шестёрки »)$ ?

$C_{4}^{2} \cdot (\frac{1}{6})^{2} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$

забыт множитель $q^{2} = (\frac{5}{6})^{2}$

$6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{25}{216}$

б) Попадание $0, 7$ , $4$ броска. $P (хотя бы один промах)$ ?

$1 - 0, 3^{4} = 0, 9919$

противоположное — «все попадания», а не «все промахи»

$1 - 0, 7^{4} = 1 - 0, 2401$ $= 0, 7599$

в) Монету бросают $6$ раз. $P (ровно 3 орла)$ ?

орлы — половина бросков, $P = 0, 5$

чисел орлов $7$ вариантов: $0, 1, \dots, 6$

$\frac{C _{6}^{3}}{2 ^{6}} = \frac{20}{64} = 0, 3125$

2 мин · практика
Сначала видны только «решения ученика» (красным); 1 мин в парах — найти ошибку, затем открывать исправления.
а) В цепочке 4 броска: 2 «шестёрки» и 2 «не шестёрки»; $6 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{25}{36} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216} \approx 0, 12$ .
б) Ученик нашёл вероятность «хотя бы одного попадания». «Хотя бы один промах» противоположно «ни одного промаха» = «все 4 попадания»: $0, 7^{4} = 0, 2401$ ; $P = 0, 7599$ .
в) Путают вероятность успеха в одном броске ( $\frac{1}{2}$ ) с вероятностью числа успехов в серии. $C_{6}^{3} = 20$ ; $\frac{20}{64} = \frac{5}{16} = 0, 3125$ — самое вероятное значение, но не «половина».

R04.4 · R04.5

Задания с самопроверкой · база

Решите и проверьте

Монета

$3$ броска: ровно $1$ орёл $0, 375$
$6$ бросков: ровно $2$ орла $\frac{15}{64}$
$5$ бросков: ни одного орла $0, 03125$

Любое $p$

$p = 0, 9$ , $n = 2$ : ровно $1$ успех $0, 18$
$p = 0, 2$ , $n = 3$ : ровно $2$ успеха $0, 096$
Кубик $2$ раза: ровно одна «шестёрка» $\frac{5}{18}$
$p = 0, 4$ , $n = 3$ : хотя бы один успех $0, 784$

R04.5

Задания с самопроверкой · повышенный уровень

Подумайте и решите

повыш.Монету бросают $10$ раз. Что вероятнее: ровно $5$ орлов или ровно $4$ ? $5$ : $\frac{252}{1024}$ против $\frac{210}{1024}$
повыш.Стрелок попадает с вероятностью $0, 8$ . $4$ выстрела: $P (не меньше 3 попаданий)$ $0, 8192$
повыш.Какое наименьшее число раз надо бросить монету, чтобы $P (хотя бы один орёл) > 0, 99$ ? $7$
из жизниКаждая из $5$ лампочек гирлянды за год перегорает с вероятностью $0, 1$ независимо от других. $P (перегорит не больше одной)$ , до сотых $0, 92$

R04.5 · ОГЭ

Формат ОГЭ · линия 10

Запишите ответ — число

1. Симметричную монету бросают $3$ раза. Найдите вероятность того, что орёл выпадет ровно $2$ раза.

Ответ: $0, 375$

2. Симметричную монету бросают $4$ раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу.

Ответ: $0, 0625$

3. Вероятность того, что батарейка бракованная, равна $0, 06$ . Покупатель берёт упаковку из двух батареек. Найдите вероятность того, что обе исправны.

Ответ: $0, 8836$

В бланк — десятичная дробь:

0, 375

. Монета — перебор цепочек или формула Бернулли.

R04.5

Самостоятельная работа · 4 минуты

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Монета $4$ раза: ровно $3$ орла $0, 25$
$p = 0, 7$ , $n = 2$ : ровно $1$ успех $0, 42$
Монета $5$ раз: хотя бы один орёл $0, 96875$
Стрелок, $p = 0, 9$ , $3$ выстрела: ровно $2$ попадания $0, 243$

Вариант 2

Монета $4$ раза: ровно $1$ орёл $0, 25$
$p = 0, 6$ , $n = 2$ : ровно $1$ успех $0, 48$
$p = 0, 2$ , $n = 3$ : хотя бы один успех $0, 488$
Стрелок, $p = 0, 6$ , $3$ выстрела: ровно $2$ попадания $0, 432$

рефлексия · ДЗ

Итог урока

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Какие три условия делают серию серией Бернулли?
Откуда в формуле множитель $C_{n}^{k}$ ?
Как быстро найти $P (хотя бы один успех)$ ?

Домашнее задание

Монета $5$ раз: $P (ровно 2 орла)$
$p = 0, 75$ , $n = 3$ : $P (ровно 2 успеха)$
Кубик $4$ раза: $P (хотя бы одна « шестёрка »)$ — до сотых
Тренажёр: reknow.ru/9/veroyatnost/9_veroyatnost_ispytaniya-bernulli.htm

Паспорт соответствия · скрытый слайд

VIS9-015 · Испытания Бернулли; вероятности событий в серии испытаний Бернулли

Поле	Значение
ФРП	«Математика» (базовый уровень), 5–9 кл., Москва – 2025 · курс «Вероятность и статистика», 9 класс
Строка, урок	R04 «Испытания Бернулли», 6 ч · урок 3/6 · тип Н
Единицы → слайды	R04.4 «Испытания Бернулли» → 2, 4, 5, 15 · R04.5 «Вероятности событий в серии испытаний Бернулли» → 2, 6–19 · разминка по R02 и R04.1–R04.3 (VIS9-006, VIS9-013, VIS9-014) → 3
Результаты	ПР-5 / REQ-5.5 (вероятности в сериях испытаний Бернулли) → 4–18 · ПР-2 / REQ-5.2 (комбинаторика, $C_{n}^{k}$ ) → 8, 9, 16 · ПР-6 / REQ-5.6 (распределение числа успехов) → 10 · EL-5.7
Вне урока	практическая работа «Испытания Бернулли» в электронных таблицах — VIS9-016; математическое ожидание и дисперсия числа успехов — R05 (VIS9-019 и далее)
Время	теория 13,5 мин · практика 31,5 мин (70 %)
Проверки	автопроверка: pending · методист: pending

Испытания Бернулли

Сегодня вы научитесь

Узнавать схему

Вероятность цепочки

Ровно k успехов

Хотя бы один

Успех, неудача, сочетания

Вероятности

Сочетания и серии

Одно и то же испытание повторяют n раз

Найдите n, успех и p — или объясните, почему нет

Образец: стрелок делает 5 выстрелов, попадает с вероятностью 0,8

Сам: серия Бернулли?

Дерево серии из трёх испытаний

Умножаем p за каждый успех и q за каждую неудачу

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью 0,7. Три броска: попал, попал, промах

Сам

Ровно k успехов: сколько цепочек — и вероятность каждой

Ровно k успехов в n испытаниях

Образец: монету бросают 5 раз. Найдите P(ровно 3 орла)

Сам

Монету бросают 4 раза: сколько выпадет орлов?

Сумма столбиков или противоположное событие

Образец: стрелок попадает с вероятностью 0,6. Три выстрела. P(хотя бы одно попадание)

Сам

Брак на заводе — 5% изделий

Образец: контролёр берёт 4 изделия. P(ровно одно бракованное)

Сам

Неверно → почему → верно

Где ошибся ученик?

а) Кубик бросают 4 раза. P(ровно две «шестёрки»)?

б) Попадание 0,7, 4 броска. P(хотя бы один промах)?

в) Монету бросают 6 раз. P(ровно 3 орла)?

Решите и проверьте

Монета

Любое p

Подумайте и решите

Запишите ответ — число

Два варианта — решите свой

Вариант 1

Вариант 2

Проверьте себя и потренируйтесь

Ответьте одной фразой

Домашнее задание

VIS9-015 · Испытания Бернулли; вероятности событий в серии испытаний Бернулли

Ровно $k$ успехов

Одно и то же испытание повторяют $n$ раз

Найдите $n$ , успех и $p$ — или объясните, почему нет

Образец: стрелок делает $5$ выстрелов, попадает с вероятностью $0, 8$

Умножаем $p$ за каждый успех и $q$ за каждую неудачу

Образец: баскетболист попадает штрафной с вероятностью $0, 7$ . Три броска: попал, попал, промах

Ровно $k$ успехов: сколько цепочек — и вероятность каждой

Ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях

Образец: монету бросают $5$ раз. Найдите $P (ровно 3 орла)$

Монету бросают $4$ раза: сколько выпадет орлов?

Образец: стрелок попадает с вероятностью $0, 6$ . Три выстрела. $P (хотя бы одно попадание)$

Брак на заводе — $5 %$ изделий

Образец: контролёр берёт $4$ изделия. $P (ровно одно бракованное)$

а) Кубик бросают $4$ раза. $P (ровно две « шестёрки »)$ ?

б) Попадание $0, 7$ , $4$ броска. $P (хотя бы один промах)$ ?

в) Монету бросают $6$ раз. $P (ровно 3 орла)$ ?

Любое $p$